【文档说明】【精准解析】江西省瑞金市四校联盟2020届高三第三次联考数学文科试题.pdf，共(20)页，333.671 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2020届四校联盟高三第三次联考试卷数学（文科）第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02,|22,4xAxx

Bx则AB（）A.|20xxB.1|0xxC.|21xxD.|12xx【答案】B【解析】【分析】计算122214xBxxx

，再计算交集得到答案.【详解】122214xBxxx，|02Axx，故|01ABxx.故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题.2.已知复数12,3izi则z的共轭复数z

（）A.2133iB.2133iC.2133iD.2133i【答案】D【解析】【分析】化简得到2133zi，再计算共轭复数得到答案.【详解】121222133333iiiiziiii，故2133zi.故选：

D.-2-【点睛】本题考查了复数的运算，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3.已知1(1,3),(2,),2ab则2ab（）A.14B.34C.41D.26【答案】C【解析】【分析】计算25,4ab，再计算向量模得到答案.【详解】1(1,3),(2,)

2ab，25,4ab，则25,441ab.故选：C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量模，意在考查学生的计算能力.4.14a是函数2()1fxaxx有且仅有一个零点的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答

案】A【解析】【分析】将14a代入函数证明充分性，取0a得到不必要，得到答案.【详解】当14a时，2211()11042fxxxx，2x，充分性；当0a时，()10fxx，1x，一个零点，故不必要.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要

条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.5.已知3log2a，234bxx，2ln2c则a，b，c的大小关系是（）A.cbaB.acbC.bcaD.bac【答案】D-3-【解析】【分析】计算102a，12b

，0c，得到答案.【详解】3330loglog2log1132a，2231114222bxxx，2lnln102c，故bac.故选：D.【点睛】本题考查了根据对数函数单调性比较大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

6.函数()(22)sin2xxfxx的部分图像大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】确定函数为偶函数排除BD，当0,2x时，0fx，排除C，得到答案.【详解】()(22)sin2xxfxx

，()(22)sin2xxfxxfx，函数为偶函数，排除BD；-4-当0,2x时，0,22sin20xxx，故0fx，排除C.故选：A.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为偶函数为解题的关键.7.《易经》是中国传统文

化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（）A.314B.27C.928D.1928【答

案】A【解析】【分析】列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率.【详解】根据题意一共有：乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震

兑；坎离、坎艮、坎兑；离艮、离兑；艮兑，28种情况.满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.故632814p.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.2020年年初，新

冠肺炎疫情袭击全国.全力抗疫成为举国上下的首要大事，而口罩成为重要的抗疫物资，为了确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，工人加班加点生产.设该工厂连续5天生产的口罩数依次为12345,,,,xxxxx(单位:十万只)，已知

这组数据的平均值为4，方差为2,5且158,xx125,,xxx成递增的等差数列，324,,xxx成等比数列，则这组数据的极-5-差为（）A.1B.2C.3D.5【答案】B【解析】【分析】根据等差数列等比数列性质计算得到2344xxx

，153,5xx或155,3xx，得到极差.【详解】，根据题意：158xx，15228xxx，故24x.32445812xxx，故348xx，223416xxx，故344xx.方差为221544255xx，故153,5xx或155

,3xx，故极差为2.故选：B.【点睛】本题考查了平均值，方差，极差，意在考查学生的计算能力和有应用能力.9.在棱长为4的正方体1111ABCDABCD中，点,EF分别为11,AACC的中点，则过,,BEF三点的平面与正方体

各个面的交线组成的平面多边形的面积为（）A.42B.86C.63D.125【答案】B【解析】【分析】如图所示：连接11,DEDF，M为1BB中点，证明四边形1BEDF为菱形，计算面积得到答案.【详解】如图所示：连接11,D

EDF，M为1BB中点，易知11//EMDC，四边形11CDEM为平行四边形，故11//EDMC，1//BFMC，故1//EDBF，故1BEDF四点共面，故交线组成的平面多边形1BEDF.1125BEEDDFFB

，四边形1BEDF为菱形，42EF，143DB，故11862SEFDB.-6-故选：B.【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10.设函数()sin()(0,0)fxx

是R上的偶函数，且在(0,5)上单调递减，则的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】计算2，()cos()fxx，(0,5)x，故5(0,)x，根据单调性得到5，解得答案.【详解】(

)sin()(0,0)fxx，故,2kkZ，0，故2.()cos()fxx，(0,5)x，故5(0,)x，函数单调递减，故5，故5.故选：C.【点睛】本题考查了根据三角函数单调

性求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知直线12,ll的方程分别为220mxym和2230,xmy设12,ll交于点M，记点M的轨迹为曲线,C若双曲线22122:1(0,0)xyCabab的渐近线与曲线C没有公共

-7-点，则双曲线1C的离心率的取值范围是（）A.6(1,)2B.(6,)C.42(1,)3D.23(,)3【答案】D【解析】【分析】联立方程得到轨迹方程为22114xy，根据圆心到直线的半径大于半径

得到答案.【详解】根据题意：2202230mxymxmy，消去m得到22114xy.22122:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为byxa，取0bxay，根据题意：2212bdab，即2234ca，

故233e.故选：D.【点睛】本题考查了圆的轨迹方程，双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.设函数()1()xfxxexR的最大值为,m若对任意xR，关于x的不等式21cos2cos3xaxm

恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[]12,2B.45(,)33C.11[,]33D.22[,]22【答案】C【解析】【分析】确定()fx为偶函数，0x时，得到函数单调性，得到0m，故245coscos033xax，-8-得到4503345

033aa，解得答案.【详解】()1()xfxxexR，函数为偶函数，当0x时，()1xfxxe，()10xfxe，函数单调递减，故max00fxf.故0m，21cos2cos03xax恒成立，即24

5coscos033xax，故4503345033aa，故1133a.故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，根据导数求最值，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.第I卷（选择题，

共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：共4小题，每小题5分共20分，将答案填写在答题卷中的相应区域，答案写

在．．．．试题卷上无效．．．．．．.13.曲线()sinfxxx在点(,())22f处的切线方程为__________．【答案】yx【解析】【分析】计算得到()22f，'()12f，得到切线方程.【详解】()sinfxxx，()22f，'()sincosfxxxx

，'()12f.故切线方程为：yx.故答案为：yx.【点睛】本题考查了切线方程，意在考查学生的计算能力.14.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，且已知在该几何体中能-9-挖出的圆柱的最大体积为4,则该几何体的外接球的表面积为________

__．【答案】76482【解析】【分析】根据等面积法计算22r，得到642h，计算19122R，得到面积.【详解】根据三视图知几何体为三棱柱，底面为等腰直角三角形，设其内切圆半径为r，根据等面积法：11222222222Sr，解

得22r.设三棱柱的高h，则24rh，故642h.将两个三棱柱组成一个长方体，设外接圆半径为R，则22222642191222R，故2476482SR.故答案为：76482.【

点睛】本题考查了三视图，外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.15.已知过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F的直线:4lyxb截抛物线C所得的弦长为17，设点A为抛物线C上的动点，点(2,6),B过点A作抛物线C的准线1l的垂线，垂足为,D则ABAD的最小值为_____

_____.【答案】210【解析】【分析】计算2bp，联立方程得到1298xxp，根据弦长得到8p，-10-ABADABAFBF，得到答案.【详解】2:2(0)Cypxp焦点为,02p，直线过焦点，故2bp，设交点的横坐标分别为12,x

x，2242ypxyxp，故22161840xxpp，故1298xxp，故1217178xxpp，故8p，故216yx.210ABADABAFBF，当BAF共线时等号成立.故答案为：210.【点睛】本题考查了

根据抛物线的弦长求参数，抛物线中最短距离，意在考查学生的计算能力和转化能力.16.已知ABC的三个内角,,ABC的对边分别为,,,abc且满足20,coscosabcAB则2sin2tanBC的取值

范围是__________.【答案】0,322【解析】【分析】根据正弦定理得到34A，4BC，代入化简得到2221sin2tan32coscosBCCC，设21cos,12tC，代入计算得

到答案.【详解】20coscosabcAB，即coscos2cos0aBbAcA，即sincossincos2sincos0ABBACA，sin12cos0CA，sin0C，故12cos0A，34A，故4BC.2

22222222cos11cossin1sin2tancos232coscoscoscosCCCBCCCCCC，0,4C，故21cos,12tC，故132ytt，

-11-根据双勾函数性质知：函数在12,22上单调递增，在2,12上单调递减.故max322y，当1t时，0y，当12t时，0y，故2sin2tan0,322BC.故答案为

：0,322.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，函数值域，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.答案写在试题卷上无效．．．．．．．．．．17.已知数列na的前n项和

为,nS122,3,aa令,nnnbSa且数列nb为等差数列.（1）求数列nb的通项公式nb；（2）设数列11nnbb的前n项和为,nT求证：1.16nT【答案】（1）4nbn；（2

）证明见解析【解析】【分析】（1）计算得到14b，28b，得到通项公式.（2）111111161161nnbbnnnn，根据裂项求和计算得到证明.【详解】（1）nnnbSa，故1114bSa，2222128bSaaa，故4d，4n

bn.（2）111111161161nnbbnnnn，111111111...1162231161116nTnnn.【点睛】本题考查了数

列通项公式，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18.癌症是迄今为止人类尚未攻克的疾病之一，目前，癌症只能尽量预防．某医学中心推出了一种抗癌症的制剂，现对20位癌症病人，进行医学试验测试药效，测试结果分为“病

人死亡”-12-和“病人存活”，现对测试结果和药物剂量（单位：mg）进行统计，规定病人在服用6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”，统计结果显示，这20病人中“病人存活”的有13位，对病人服用的药物剂量统计如下表：编号1234567891011121314151

617181920吸收量/mg683895662775106788469已知“病人存活”，但服用的药物剂量不足的病人共1位．（1）完成下列22列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“病人存活”与服用药物的剂量足量

有关？服用药物足量服用药物不足量合计病人存活1病人死亡合计20（2）若在该样本“服用药物剂量不足”的病人中随机抽取3位，求这三人中恰有1位“病人存活”的概率．参考数据:2()PKk0．150．100．050．0250．0100．0050．001k2．072．7

063．8415．0246．6357．87910．82-13-2822().()()()()nadbcKabcdacbd【答案】（1）列联表见解析，不能；（2）35【解析】【分析】（1）完善列联

表，计算25405.9346.63591K得到答案.（2）设计量不足的5位病人中，死亡人员为1234,,,aaaa，存活人员为b，列出所有共10种情况，满足条件的有6种，得到答案.【详解】（1）根

据题意：服用的药物剂量有15人，服用药物足量服用药物不足量合计病人存活12113病人死亡347合计15520则22204835405.9346.63515513791K，故不能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为

“病人存活”与服用药物的剂量足量有关.（2）设计量不足的5位病人中，死亡人员为1234,,,aaaa，存活人员为b.则共有123aaa，124aaa，134aaa，234aaa，12aab，13aab，14aab，23aab，24aab，34aab，共10种情况，满足条件的

有6种，故63105p.【点睛】本题考查了列联表，独立性检验，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.19.如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，,ABBC设D为AC的中点，且-14-14ABBCAA．（1）求证:1AB//平面1.BCD（2）求点1B到平

面1BCD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）433【解析】【分析】（1）连接1CB与1BC交于点G，连接GD，故1//DGAB，得到证明.（2）1B到平面1BCD的距离等于A到平面1BCD的距离，利用等体积法计算得到距离.【详解】（1）连接1CB与1BC交于点G，

连接GD，则G为1CB中点，D为AC的中点，故1//DGAB，DG平面1BCD，故1AB//平面1.BCD（2）1AB//平面1BCD，故1B到平面1BCD的距离等于A到平面1BCD的距离.11111644333CABDABDVSCC

，1BCD中：22BD，142BC，126DC，故22211BDDCBC，1CDBD，故112226432BCDS，设点A到平面1BCD的距离为h，则1114316333ABCDBCDVShh，故433h.故点1B到平面1BCD的距离为433.

-15-【点睛】本题考查了线面平行，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20.如图所示，已知椭圆E的离心率为2,2,,,ABCF分别为椭圆的上顶点、下顶点、右顶点和右焦点，且BCF的面积为222.（1）求椭圆E的方程；

（2）是否存在过点B的直线l，使得l与椭圆E交于另一点,D且ABD是以BD为底边的等腰三角形，若存在，请求出此时直线l的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184xy；（2）不存在，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到22cea，12222

acb，解得答案.-16-（2）则D在以A为圆点，AB为半径的圆上，联立方程解得0,2D与B点重合，故不存在.【详解】（1）根据题意：22cea，12222BCFSacb，解得22a，2b.故椭

圆方程为22184xy.（2）根据题意ABAD，则D在以A为圆点，AB为半径的圆上，即22216xy.2222216184xyxy，解得02xy，即0,2D

与B点重合，故不存在.【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内的存在性问题，意在考查学生计算能力和转化能力.21.已知函数2()(1)ln,2afxxaxx2()(1)(1)5ln1,(0).2agxxaxxa（1）讨论函数()fx的极值点个数；（2）设函数()()()

hxfxgx，若对1,x，()0hx恒成立，且()hx有唯一的零点，求证：01a.【答案】（1）1a或01a时有2个极值点，1a时没有极值点；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到1'()xxaf

xx，讨论1a，1a，01a三种情况得到答案.（2）根据题意得到24ln1mxxx和2nxax相切，设切点为00,2xax，得到00422xax，且20004ln12xxax，解得答案.【详解】（1）2()(1)l

n2afxxaxx，则111'()(1)xaxfxaxaxx，当1a时，fx在10,a和1,上单调递增，在1,1a上单调递减，故有2个极值点；当1a时，'()0fx恒成立，

故fx单调递增，没有极值点；-17-当01a时，fx在0,1和1,a上单调递增，在11,a上单调递减，故有2个极值点；综上所述：1a或01a时有2个极值点，1a时没有极值点.（2）2()()()24ln10hxfxgxxaxx，即2

4ln12xxax恒成立，且()hx有唯一的零点，故24ln1mxxx和2nxax相切，设切点为00,2xax，故0004'22mxxax，且20004ln12xxax，消去a得到2004ln5xx，设24ln5Kxx

x，易知函数单调递增，244ln250K，故012x，00422axx，即002axx，01,2x，0a，故0,1a.【点睛】本题考查了函数极值点，恒成立问题，

零点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号选修4–4坐标系与参数方程22.以平面直角坐标系xoy的原点为极点，x轴的非负

半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为22(cossin)1.．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）过点(3,0)P的直线l的参数方程为3321,2xtyt(t为参数)，且l与曲线C交于,AB两点，求11PAPB的值.

【答案】（1）22111xy；（2）2314【解析】-18-【分析】（1）直接根据极坐标方程公式得到答案.（2）将参数方程代入圆方程得到12231tt，124tt，计算得到答案.【详解】（1）22

(cossin)1，则22221xyxy，即22111xy.（2）将参数方程代入圆方程得到223140tt，故12231tt，124tt.12121211112314ttPAPB

tttt.【点睛】本题考查了极坐标方程，参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.选修4–5不等式选讲23.已知函数()1.fxxx（1）若关于x的不等式()1fxt对任意的xR恒成立，求实数t的取值范围；（2）设（1）中t的最小

值为,m且正实数,ab满足21,33mabab求57ab的取值范围.【答案】（1）2t；（2）9,2【解析】【分析】（1）()11fxxx，代入计算得到答案.（2）12157233233abababab

ab，展开化简利用均值不等式得到答案.【详解】（1）()111fxxxxx，当1x时等号成立，故11t，解得2t.（2）21233abab，故

12157233233ababababab2311955242323322ababaabb，-19-当233323abababab，即38

ab时等号成立，故957,2ab.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.-20-