【文档说明】广东省清远市四校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考试题+数学+含解析.docx，共(24)页，1.059 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年第一学期“四校联盟”期中联考高二数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时150分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考场号､考生号､座位号等信息填写在答题卡上，将条形码横贴在答题

卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，

先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第I卷（选择题）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项

填涂在答题卡相应位置上.1.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数为大于2小于5”，B=“点数为偶数”，则AB表示的事件为（）A.“点数为4”B.“点数为3或4”C.“点数为偶数”D.“点数为大于2小于5”2.已知向量()()3,2,5,1

,5,1aab=−−=−，则b=（）A.61B.61C.13D.133.在四面体OABC中，点,MN分别为线段,OABC的中点，若MNxOAyOBzOC=++，则xyz++的值为（）A.32B.1C.12D.144.从2名

男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.35.若直线2410mxym+−−=的斜率0k，那么该直线不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.已知空间向量()()1,0,1,,

1,1abx=−=，且1ab=，则向量a与b的夹角为（）A.5π6B.2π3C.π3D.π67.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”PABCD−中，PA

⊥平面ABCD，2ADABPA==，则直线PC与面PBD所成角的正弦值为（）A.69B.759C.33D.638.已知直线()():21330lmxmym++−−−=，点()4,3M，记M到l的距离为d，则d的取

值范围为（）A.)0,8B.0,8C.)0,22D.0,22二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错

得0分.9.已知向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2abc=−−==−−，则（）A.//acB.ab⊥C.//abD.bc⊥10.已知直线:31lxy+=，则（）A.直线l的斜率为33−B.直线l的倾斜角为

120C.直线l不经过第三象限D.直线l与直线3320xy+−=垂直11.6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为1X，第二次取出球的数字为2X．设12XXX

=，其中X表示不超过X的最大整数，则（）A.()12512PXX=B.()12259PXX+==C.事件“16X=”与“X0=”互斥D.事件“21X=”与“X0=”对立12.如图所示，正方体1111ABCDABCD−中，1AB=，点P在侧面11BC

CB及其边界上运动，并且总是保持1APBD⊥，则以下四个结论正确的是（）A.1BDPC⊥B.1APBC⊥C.点P必在线段1BC上D.//AP平面11ACD第II卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计2

0分.13.设,,ABC为三个随机事件，若A与B是互斥事件，B与C是相互对立事件，且()()15,412PAPC==，则()PAB+=____.14.过点()14P−,且垂直于直线230xy−+=的直线方程为___.15.已知向量()()()2,4,,2,1,2,2,2,1axbc===

−且,,abc共面，则abc++=__________.16.已知两条平行直线12:210,:0lxylmxyn−+=−+=间距离为5，则22mn−=____.的四､解答题：本大题共6小题，共70分.17.如图所示，已知三

角形三个顶点为()()()2,4,1,2,2,3ABC−−，求：（1）BC所在直线的方程；（2）BC边上的高AD所在直线的方程；（3）三角形ABC的面积.18.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛．（1）将5名学生做适当编

号，把选中2人的所有可能情况列举出来；（2）求所选2人中恰有一名女生概率；（3）求所选2人中至少有一名男生的概率．19.如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD−中，PA⊥底面,,ABCDEF分别是,PCPD的中点，1,2PAABBC===.（1）求,BF两点间距

离；（2）求证：//EF平面PAB；（3）求证：平面PAD⊥平面PDC.20.甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；的的的（

3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.21已知直线():240Rlkxykk−++=.（1）求证：直线l经过一个定点；（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点,BO为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值

及此时直线l的方程.22.如图所示，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，14,1,BBABM==是1DD的中点，（1）求B到平面MAC的距离；（2）在棱1BB上是否存在一点P，使二面角MACP−−为π4？

若存在，建立适当坐标系，写出P点坐标，若不存在，请说明理由..2023-2024学年第一学期“四校联盟”期中联考高二数学试卷本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时150分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考

场号､考生号､座位号等信息填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案

必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第I卷（选择题）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每

小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应位置上.1.抛掷一颗质地均匀的骰子，设事件A=“点数为大于2小于5”，B=“点数为偶数”，则AB表示的事件为（）A.“点数为4”B.“点数为3或4”C.“点数为偶数”D.“点数为大于2小

于5”【答案】A【解析】【分析】先分别求得事件,AB所包含的基本事件，进而求得AB表示的事件.【详解】A=“点数为大于2小于5”3,4=,B=“点数为偶数”2,4,6=,则4AB=,故AB表示的事件为“点数为4”.故选：A2.已知向量()()3,2,5,1,5

,1aab=−−=−，则b=（）A.61B.61C.13D.13【答案】B【解析】【分析】由已知向量的坐标，求出b的坐标，由模长公式计算b即可.【详解】由()()3,2,5,1,5,1aab=−−=−，得()()4,3,6baab=−−=−−，222(4)(3)661b=−+

−+=.故选：B.3.在四面体OABC中，点,MN分别为线段,OABC的中点，若MNxOAyOBzOC=++，则xyz++的值为（）A.32B.1C.12D.14【答案】C【解析】【分析】先依据空间向量基本定理利用向量,,OAOBOC表示向

量MN，进而求得,,xyz的值，即可求得xyz++的值.【详解】由111222MNONOMOBOCOA−=−+=又MNxOAyOBzOC=++，则121212xyz=−==所以12xy

z++=故选：C4.从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务，则选中的2人中恰有一名男生的概率为（）A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3【答案】A【解析】【分析】5人中任选2人，基本事件共10种，其中2人中恰有一名男生占6种基本事件，可求概率.【

详解】设2名男同学为12,AA，3名女同学为123,,BBB，从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,AAABABABABABABBBBBBB共10种可能，选中的2人恰好是一男一女的情况共有共6种可能则选中的2人恰好是一

男一女的概率为0.6，故选：A5.若直线2410mxym+−−=的斜率0k，那么该直线不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求得2410mxym+−−=过定点

()2,1，再依据其斜率0k，即可得到该直线不经过第三象限.【详解】直线2410mxym+−−=可化为()()2410mxy−+−=则直线2410mxym+−−=过定点()2,1，又直线2410mxym+−−=斜率0k，故

该直线不经过第三象限.故选：C6.已知空间向量()()1,0,1,,1,1abx=−=，且1ab=，则向量a与b的夹角为（）A.5π6B.2π3C.π3D.π6【答案】C【解析】【分析】现根据空间向量数量积的坐标表示求出x，进而根

据模长公式求得,ab，进而根据向量与向量的夹角公式求解即可.【详解】因为011abx=−++=，所以0x=，即()0,1,1b=，则有2,2ab==，.所以11cos,222ababab===，又因为,0,πab，所以向量a与b的夹角为π3.故选：C.7.《九章算术》是我

国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”PABCD−中，PA⊥平面ABCD，2ADABPA==，则直线PC与面PBD所成角的正弦值为（）A.69B.759C.33D.63【答案】A【解析】【分析】建

立空间直角坐标系，求出面PBD的法向量，再求直线PC与面PBD所成角的正弦值.【详解】因为PA⊥平面ABCD，,ABAD面ABCD，底面ABCD为矩形，所以,,ABADAP两两垂直，设1,2ABADAP=

==，以,,ABADAP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系如图，则()()()()1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2,BCDP所以()()()1,2,0,1,0,2,1,2,2BDBPPC=−=−=−，设平面PBD的法向量为(),,nxyz=，所以2020nBDxynBPxz

=−+==−+=，令2x=，则1,1yz==，所以取()2,1,1n=，直线PC与面PBD所成角的正弦值为2226cos,969nPCnPCnPC+−===.故选：A8.已知直线()():21330lmxmym++−−−=，点()4,3M，记M到l的距离为d，则d

的取值范围为（）A.)0,8B.0,8C.)0,22D.0,22【答案】C【解析】【分析】当直线l过点()4,3M时，求出m的值，可得出0d=；然后求出直线l所过定点A的作坐标，求出AM，分析可知当MAl⊥时，d最大，但此时l不存在，由此可得出d的取值

范围.【详解】若直线l过点()4,3M，则()()423133420mmmm++−−−=+=，解得12m=−，此时，点M到直线l的距离为0d=；由直线()():21330lmxmym++−−−=，可得()3230mxyxy+−+−−=，由30230xyxy+−=−−=，可解得2

1xy==，即直线()():21330lmxmym++−−−=过定点()2,1A，则()()22423122MA=−+−=，31142MAk−==−，当直线()():21330lmxmym++−−−=与直线MA垂直时，22d=最大，此时，直线l的斜率为211mkm+

=−=−−，m的值不存在，即这样的直线l不存在，所以022d.故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.

9.已知向量()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2abc=−−==−−，则（）A.//acB.ab⊥C.//abD.bc⊥【答案】ABD【解析】【分析】通过空间向量平行和垂直的坐标运算，验证各选项是否正确.【详解】A选项，因为2=ca，所以//ac，A

正确；B选项，因为()2230140ab=−+−+=，所以ab⊥，B正确；C选项，设bka=，则有22034kkk=−=−=，方程组无解，故,ab不平行，C错误；D选项，()()2,0,44,6,28080bc=−−=−++=，故bc⊥，D正确

.故选：ABD10.已知直线:31lxy+=，则（）A.直线l的斜率为33−B.直线l的倾斜角为120C.直线l不经过第三象限D.直线l与直线3320xy+−=垂直【答案】AC【解析】【分析】由直线方程确定斜率,倾斜角判断选项A,B；根据直线方程直

接判定所过象限判断选项C；由直线垂直的判定判断选项D.【详解】由题设33:33lyx=−+，倾斜角0180，则3tan1503=−=，A对，B错；直线l斜率为负值，y轴截距为正值，则直线l

过第一，二，四象限，不过第三象限，C对；由3320xy+−=，可得其斜率为33−，由3311333−−=−，可得直线l与3320xy+−=不垂直，D错.故选：AC11.6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为1X

，第二次取出球的数字为2X．设12XXX=，其中X表示不超过X的最大整数，则（）A.()12512PXX=B.()12259PXX+==C.事件“16X=”与“X0=”互斥D.事件“21X=”与“X0=”对立【答案】AC【解析】【分析】结合互斥事件和对立事件的定义，结合古典

概型公式即可得出结论.详解】由题意，6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．∴共有36种可能的情况，其中12XX的情况共有：366152−=，∴()121553612PXX==，故A正确∵两次取球数字之和为5的

情况有以下四种：()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，∴()12415369PXX+===，故B错误.当16X=时，12260XXXX==，∴事件“16X=”与“X0=”互斥，故C正确.∵当21X=时，1120XXXX

==，【.当22X=，12X=时，1210XXX==∴事件“21X=”与“X0=”不对立，故D错误.故选：AC.12.如图所示，正方体1111ABCDABCD−中，1AB=，点P在侧面11BC

CB及其边界上运动，并且总是保持1APBD⊥，则以下四个结论正确的是（）A.1BDPC⊥B.1APBC⊥C.点P必在线段1BC上D.//AP平面11ACD【答案】ACD【解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，

设出点()()1111,1,,,0,1Pxzxz=，由题意1APBD⊥，从而可得11xz=，对于A，只需验证10CPBD=是否成立即可；对于B，只需验证10BCAP=是否成立即可；对于C，令11,0,1BPBC=，判断关于的方程是否有解即可；对于D，求出平面11ACD的法

向量m，验证0mAP=是否成立即可.【详解】以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系如下图所示，则()()()()()()()()11111,0,0,1,1,0,

0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1,0,0,1ABCDABCD，设()()1111,1,,,0,1Pxzxz，则()()1111,1,,1,1,1APxzBD=−=−−，由1APBD⊥，可得()()11111111,1,1,1,1110AP

BDxzxzzx=−−−=−+−+=−=，即11xz=，又()11,0,CPxz=，则()()111111,1,1,0,0CPBDxzxz=−−=−+=，故1CPBD⊥，故选项A判断正确；由()()1111,0,1,1,1,BCAPxz=−=−，可得()()111111,1,1,0,111

0BCAPxzxz=−−=−+=，则两向量1BC与AP不垂直，故AP与1BC不垂直，故选项B判断错误；又()()11111,0,1,1,0,1BCBPxz=−−=−−，令11,0,1BPBC=，则有1111xz−=−−=−，解之得1111xz=−=−此时

11110,,0,1,0,1xzxz−+=均成立.故点P必在线段1BC上，故选项C判断正确；设平面11ACD的一个法向量为(),,mxyz=，又()()1111,1,0,1,0,1ACAD=−=−−.则00xyxz−+=−−=，令1x=

，则1,1yz==-，则()1,1,1m=−，由()()1111111,1,11,1,110mAPxzxzxz=−−=−+−=−=，可得mAP⊥，又AP平面11ACD，则//AP平面11ACD，故选项D判断正确.故选：

ACD.【点睛】关键点点睛：解题的关键是明确验证线线垂直只需方向向量的数量积为0，对于C选项只需验证方程11,0,1BPBC=是否有解，验证线面平行只需验证平面的法向量与直线的方向向量的数量积是否为0.第II卷三､填空题：本大题共4小

题，每小题5分，共计20分.13.设,,ABC为三个随机事件，若A与B是互斥事件，B与C是相互对立事件，且()()15,412PAPC==，则()PAB+=____.【答案】56【解析】【分析】先利用对立事件的概率公式求得()PB的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得()PAB+的值.【详解】由B

与C是对立事件，可得()()5711,1212PBPC=−=−=由A与B是互斥事件，可得175()()()4126PABPAPB+=+=+=.故答案为：5614.过点()14P−,且垂直于直线230xy−+=的直线方程为___.【答案】220xy+−=【解析】【分析】先

利用两直线垂直求得所求直线斜率，进而利用点斜式直线方程求得所求直线方程.【详解】直线230xy−+=的斜率为12，则过点()14P−,且垂直于直线230xy−+=的直线斜率为2−，则所求直线方程为()4

21yx−=−+，化为一般式为220xy+−=.故答案为：220xy+−=15.已知向量()()()2,4,,2,1,2,2,2,1axbc===−且,,abc共面，则abc++=__________.【答案】313【解析】【分析】由题意可得存在非零实数,

满足cab=+，结合空间向量坐标的线性运算可得x的值，进而结合空间向量模的坐标公式求解即可.【详解】若,,abc共面，则存在非零实数,满足cab=+，则()()()()2,2,12,4,2,1,222,4,2xx−=+=+++，即2224221x+=−

+=+=，解得125x==−=，所以()2,4,5a=r，则()2,7,8abc++=，所以222278313abc++=++=.故答案为：313.16.已知两条平行直线12:210,:0lxylmxyn−+=−+=间的距离为5，则22mn−=____.【答案】5【解析

】【分析】先利用两直线平行求得m值，再利用两平行直线间的距离公式求得n的值，进而求得22mn−的值.【详解】根据题意，两条直线12:210,:0lxylmxyn−+=−+=平行，必有()()112m−=−，解可得1,2m=则2:0lmxyn−+=即102x

yn−+=，变形可得220xyn−+=，又由两条平行直线间的距离为5，则有21514n−=+，故215n−=，解之可得3n=或2n=−，则3n=时2216=5mn−=−；2n=−时221+4=5mn−=.故答案为：5.四､解答题：本大题共6小题，共

70分.17.如图所示，已知三角形的三个顶点为()()()2,4,1,2,2,3ABC−−，求：的（1）BC所在直线的方程；（2）BC边上的高AD所在直线的方程；（3）三角形ABC的面积.【答案】（1）5310xy++=；（2）35140xy−

+=；（3）232【解析】【分析】（1）利用直线的两点式方程即可求得BC所在直线的方程；（2）先求得直线AD的斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得AD所在直线的方程；（3）利用点到直线距离公式求得BC边上的高，再利用两点间距离公式求得BC边的长，进而求得三角形ABC的面积.小问1详解】因为

()()1,2,2,3BC−−，所以直线BC的两点式方程为213221yx+−=+−−，化简得5310xy++=；【小问2详解】因为2351(2)3BCk−−==−−−，又ADBC⊥，则1BCADkk=−

，所以35ADk=，则直线AD的方程为()3425yx−=−，即35140xy−+=.【【小问3详解】点()2,4A到直线BC：5310xy++=的距离AD2252341232334,343453++===+又ABC的底边22(32)(21)34BC=

++−−=，所以ABC的面积为1233423342342S==.18.从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛．（1）将5名学生做适当编号，把选中2人的所有可能情况列举出来；（2）求所选2人中恰有一名女

生的概率；（3）求所选2人中至少有一名男生的概率．【答案】（1）详见解析；（2）35（3）910【解析】【分析】（1）3名男生分别记为A，B，C，2名女生分别记为a，b，从中任选2人的情况列举即可；（2）利用古典概型的概率求解；（3）利用古典概型的概率求解；【小问1详解】解：

3名男生分别记为A，B，C，2名女生分别记为a，b，从中任选2人的所有情况为：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种；【小问2详解】所选2人中恰有一名女生的情况有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6种，所以所选2人中恰有一名女生的概率是63105P==；

【小问3详解】所选2人中至少有一名男生的情况有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb共9种，所以选2人中至少有一名男生的概率910P=.19.如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD−中，PA

⊥底面,,ABCDEF分别是,PCPD的中点，1,2PAABBC===.（1）求,BF两点间的距离；（2）求证：//EF平面PAB；（3）求证：平面PAD⊥平面PDC.【答案】（1）32（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）建立空间直

角坐标系，结合空间向量求解BF，进而求解；（2）利用空间向量可得//EFAB，进而得到//EFAB，进而根据线面平行的判定定理即可证明；（3）利用空间向量可得,APDCADDC⊥⊥，进而得到DC⊥平面PAD，再根据面面垂直的判定定理即可证明.【小问1详解】由题可知，

PA⊥底面ABCD，ABAD⊥，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0

,1ABCDP，11113,1,,0,1,,1,1,,22222EFBFBF=−=，即,BF两点间的距离为32.【小问2详解】由（1）知，()()()()1,0,0,0,0,1,0,2,0,1,0,0,1,0,02EFAPADDCAB=−====

，所以12EFAB=−，即//EFAB，即//EFAB，又AB平面,PABEF平面PAB，所以//EF平面PAB.【小问3详解】由（2）知，()0,0,1AP=，()0,2,0AD=，()1,0,0DC=，所以()()0,0,11,0,

00APDC==，()()0,2,01,0,00ADDC==，则,APDCADDC⊥⊥，即,APDCADDC⊥⊥，又APADA=，且,APAD平面PAD，所以DC⊥平面PAD，又DC平面PDC，所以平面PAD⊥平面PDC.20.甲、乙两名跳

高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.8，0.7，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多

一次的概率.【答案】（1）0.032（2）0.94（3）0.2976.【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式可得；（2）利用间接法，先求其对立事件的概率即可；（3）所求事件可表示为两个互斥事件的和事件.先由相互独立事件的概率乘法公式

分别求解两个互斥事件的概率，再由概率加法公式可得.【小问1详解】设“甲第i次试跳成功”为事件iA，“乙第i次试跳成功”为事件iB，依题意得()()P0.8,0.7iiAPB==，且()1,2,3,iiABi=相互独立.“甲

第三次试跳才成功”为事件123AAA，且三次试跳相互独立，()()()()1231230.20.20.80.032PAAAPAPAPA===.即甲第三次试跳才成功的概率为0.032.【小问2详解】“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人

成功”为事件C，则11CAB=，()()()()11110.20.30.94PCPCPAPB==−=−=.即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.94.【小问3详解】设“甲在两次试跳中成功

i次”为事件()0,1,2iMi=，“乙在两次试跳中成功i次”为事件()0,1,2iNi=，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021MNMN+，且10MN､21MN为互斥事件，所求的概率为()(

)()10211021PMNMNPMNPMN+=+()()()()1021PMPNPMPN=+122122C0.80.20.30.8C0.70.3=+0.02880.26880.2976=+=.故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.2976.21.已知直线():2

40Rlkxykk−++=.（1）求证：直线l经过一个定点；（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点,BO为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.【答案】21.证明见解析；22.S的最小值为16，直线l的方程为280xy−+

=【解析】【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线l经过一个定点；（2）先求得AOB的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线l的方程.【小问1详解】直线():240Rlkxykk−++=，可化为()24ykx=++故直线

l过定点()4,2−.【小问2详解】由（1）得直线l过定点()4,2−，又直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点,B则0k，令0x=，得24yk=+,所以()0,24Ak+，令0y=得2424,k

xkk+=−=−−所以24,0Bk−−，所以()()1224244122Skkkk=++=++228882816kkkk=+++=，（当且仅当28kk=即1

2k=时等号成立，）此时直线l的方程是()1422yx=++即280xy−+=22.如图所示，在正四棱柱1111ABCDABCD−中，14,1,BBABM==是1DD的中点，（1）求B到平面MAC的距离；（2）在棱1BB上是否存在一点P，使二

面角MACP−−为π4？若存在，建立适当坐标系，写出P点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）23；（2）存在；892(1,1,)14+.【解析】【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法求解即得.（2）由（1）中坐标系，设出点P的坐标，利用二

面角的向量求法列式求解即得.【小问1详解】在正四棱柱1111ABCDABCD−中，以D为原点，直线1,,DADCDD分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，由11,4,ABBBM==是1DD的中点，得()()()()1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2ABCM，()()

()1,0,0,1,0,2,1,1,0BCAMAC=−=−=−，设平面MAC的一个法向量为(),,nxyz=r，则200nAMxznACxy=−+==−+=，令2x=，得()2,2,1n=，所以点B到平面MAC的距离为23||||BCndn==.【小问2详解】若1

BB上存在点()1,1,Pm(04)m，则()0,1,APm=，设平面PAC的一个法向量为()1111,,nxyz=，则11111100nAPymznACxy=+==−+=，令11z

=−，得1(,,1)nmm=−，而平面MAC的一个法向量为()2,2,1n=，由二面角MACP−−为π4，得1121|||41|2|cos,|||2|321|nnmnnnnm−===+，化简得2141670mm−−=，解

得89214m−=或89214m+=，当89214m+=时，满足04m，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com