【文档说明】2021-2022学年高中数学人教A版必修5教案：2.5等比数列的前n项和 3 含解析【高考】.doc，共(9)页，100.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2.5等比数列的前n项和（一）教学目标：综合运用等比数列的定义式、通项公式、性质及前n项求和公式解决相关问题，提高学生分析、解决问题的能力.教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.教学难点：灵活

使用有关知识解决问题教学过程：Ⅰ.复习回顾前面我们学习了哪些有关等比数列的知识?定义式：anan－1＝q(q≠0，n≥2)通项公式：an＝a1qn－1(a1,q≠0)若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq,S

n＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q(q≠1)Sn＝na1，(q＝1)an＝Sn－Sn－1(n≥2)，a1＝S1(n＝1)Ⅱ.讲授新课我们结合一些练习来看一下如何灵活应用它们.［例1］求和：（x＋1

y）＋（x2＋1y2）＋…＋（xn＋1yn）(其中x≠0，x≠1，y≠1)分析：上面各个括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列，分别求出这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和.解：当x≠0，x≠1，y

≠1时，（x＋1y）＋（x2＋1y2）＋…＋（xn＋1yn）＝(x＋x2＋…＋xn)＋(1y＋1y2＋…＋1yn)＝x（1－xn）1－x＋1y（1－1yn）1－1y＝x－xn＋11－x＋yn－1yn＋1－yn此方法为求和

的重要方法之一：分组求和法.-2-［例2］已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列.分析：由题意可得S3＋S6＝2S9，要证a2，a8，a5成等差数列，只要证a2＋a5＝2a8即可.证明：∵S3，S9，S6成等差数列，∴S

3＋S6＝2S9若q＝1，则S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，由等比数列中，a1≠0得S3＋S6≠2S9，与题设矛盾，∴q≠1，∴S3＝a1（1－q3）1－q，S6＝a1（1－q6）1－q，S9＝a1（1－q9）1－q且a1（1－q3）1－q＋a

1（1－q6）1－q＝2a1（1－q9）1－q整理得q3＋q6＝2q9，由q≠0得1＋q3＝2q6又∵a2＋a5＝a1q＋a1q4＝a1q(1＋q3)，∴a2＋a5＝a1q·2q6＝2a1q7＝2a8∴a2，a8，a5成等差数列.评述：要注意题中的隐含条件与公式的应用条件.［例3］某制糖厂

第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨(保留到个位)?分析：由题意可知，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第1年起，每年的产量组成一个等比

数列，总产量则为等比数列的前n项和.解：设每年的产量组成一个等比数列{an}，其中a1＝5，q＝1＋10%＝1.1，Sn＝30∴5（1－1.1n）1－1.1＝30，整理可得：1.1n＝1.6两边取对数，得nlg1

.1＝lg1.6，即：n＝lg1.6lg1.1≈5答：约5年内可以使总产量达到30万吨.评述：首先应根据题意准确恰当建立数学模型，然后求解.Ⅲ.课堂练习课本P58练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，应掌握等比数列的定义式、通

项公式、性质以及前n项求和公式的灵活应用.利用它们解决一些相关问题时，应注意其特点.Ⅴ.课后作业课本P58习题3，4，5-3-等比数列的前n项和(二)1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前2n项的和为6560，求此数列

的首项和公比.2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的数列{bn}是否仍为等比数列？-4-3．求数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项a

n；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20

的值.-5-7．求和（x＋1x）2＋（x2＋1x2）2＋…＋（xn＋1xn）28．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.等比数列的前n项和(二)答案1．数列{an}为正数的等比数列，它的前n项和

为80，且前n项中数值最大的项为54，它的前-6-2n项的和为6560，求此数列的首项和公比.分析：利用等比数列的前n项和公式Sn＝a1（1－qn）1－q解题.解：若q＝1，则应有S2n＝2Sn，与题意不合，故q≠1.当q≠1时，由已知得a1（1－qn）1－q＝80①a1（1－

q2n）1－q＝6560②由②①，得1－q2n1－qn＝82，即q2n－82qn＋81＝0得qn＝81或qn＝1(舍)∴qn＝81，故q＞1.{an}的前n项中最大，有an＝54.将qn＝81代入①，得a

1＝q－1③由an＝a1qn－1＝54，得a1qn＝54q即81a1＝54q④由③、④得a1＝2，q＝3评述：在数学解题中还应有一个整体观念，如本题求出qn＝81，应保留qn为一个整体求解方便.2．已知数列{an}是等比数列，试判断该数列依次k项的和组成的

数列{bn}是否仍为等比数列？分析：应对{an}的公比q分类讨论.解：设bn＝a(n－1)k+1＋a(n－1)k+2＋…＋ank，且数列{an}的公比为q则当q＝1时，b1＝b2＝…＝bn＝…＝ka1,∴{bn}为公比是1的等比数列.当q≠

±1时，bn＝a（n－1）k＋1（1－qk）1－q，bn＋1bn＝ank＋1a（n－1）k＋1＝qk∴{bn}为公比是qk的等比数列.当q＝－1时，若k为偶数，则bn＝0，此时{bn}不能为等比数列.若k为奇数，数列{bn}为公比为－1的等比数

列.综上：当{an}的公比不为－1时，数列{bn}仍为等比数列；当{an}的公比为－1时，若k为偶数，则{bn}不是等比数列；当k为奇数时，数列{bn}为公比为－1的等比数列.3．求数列1，a＋a2，a2

＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…的前n项和Sn.解：(1)a＝0时，Sn＝1；(2)a＝1时，Sn＝12n(n＋1)；-7-(3)a＝－1时，Sn＝n2（n为偶数）n＋12（n为奇数）；(4)a＝±1；a≠0时，Sn＝（1－an

）（1－an＋1）（1－a）（1－a2）.4．数列{an}中，Sn＝1＋kan(k≠0，k≠1)(1)证明数列{an}为等比数列；（2）求通项an；(3)当k＝－1时，求和a12＋a22＋…＋an2.分析：由于条件中涉及Sn与an的关系，因此，要考虑Sn－Sn－1＝a

n(n≥2)的运用，然后回答定义.（1）证明：∵Sn＝1＋kan①Sn－1＝1＋kan－1②①－②得Sn－Sn－1＝kan－kan－1(n≥2)∴(k－1)an＝kan－1，anan－1＝kk－1(常数)，（n≥2）∴{an}是公比为kk－1的等比数列.（

2）解：∵S1＝a1＝1＋ka1，∴a1＝11－k∴an＝11－k·(kk－1)n－1＝－nnkk)1(1−−(3)解：∵{an}中a1＝11－k，q＝kk－1∴{an2}为首项为（1k－1）2，公比为（kk－1）2的等比数列.当k

＝－1时，等比数列{an2}的首项为14，公比为14∴a12＋a22＋…＋an2＝14[1－（14）n]1－14＝13[1－（14）n]评述：应注意an＝S1（n＝1）Sn－Sn－1（n≥2）的应用.5．已知一个项数是偶数的等比数列的首项为1，其奇

数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数.解：设数列的公比为q，项数为2n则a1＋a3＋…＋a2n－1＝85a2＋a4＋…＋a2n＝170，得q(a1＋a3＋…＋a2n－1

)＝170，∴q＝2-8-又∵a1（1－q2n）1－q2＝85，即1－22n1－22＝85∴22n＝256＝28，∴2n＝8评述：在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及到a1，n，q，an，Sn5个量，其中a1和q是基本量，利用这两个公式，可知

三求二.6．等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，求a17＋a18＋a19＋a20的值.分析：关键是确定首项和公比.解：设此数列的首项和公比为a1和q.则a1（1－q4）1－q＝1①a1（1－q8）1－q＝3②由②÷①得q4＝2.∴a17＋a18＋a19＋a20＝S2

0－S16＝a1（1－q20）1－q－a1（1－q16）1－q＝a1q16（1－q4）1－q＝q16＝24＝16.评述：在研究等比数列的问题中，要确定基本量a1和q,仍然离不开方程思想，在具体求解时，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意优化与化简.7．求和（x＋1x）

2＋（x2＋1x2）2＋…＋（xn＋1xn）2分析：注意到（xn＋1xn）2＝an＝x2n＋1x2n＋2，且{x2n}与{(1x)2n}为等比数列，故可考虑拆项法.解：Sn＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋(1x2＋1x4＋…＋1x2n)＋22)22(个n+

++当x＝±1时，Sn＝n＋n＋2n＝4n.当x≠±1时，Sn＝x2（1－x2n）1－x2＋1x2（1－1x2n）1－1x2＋2n＝（x2n－1）（x2n＋2＋1）x2n（x2－1）＋2n评述：在运用等

比数列的求和公式时，要注意分析公比是否为1.8．求数列2x2，3x3，4x4，…，nxn，…的前n项和.分析：可以通过错位相减的方法转化为等比数列的求和问题.解：（1）当x＝0时，Sn＝0.-9-(2)当x＝1时，Sn＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝12n

(n＋3).(3)当x≠1时，Sn＝2x2＋3x3＋4x4＋…＋(n＋1)xn+1①xSn＝2x3＋3x4＋4x5＋…＋nxn+1＋(n＋1)xn+2②①－②得：（1－x）Sn＝2x2＋x3＋x4＋…＋xn+1－(n＋1)xn+2＝2x2＋x3（1－xn－1）1－x－(n＋1)xn+2∴Sn＝2

x2―x3―（n＋2）xn+2＋（n＋1）xn+3（1－x）2③又当x＝0时，Sn＝0适合③∴Sn＝12n(n＋3)（x＝1）2x2―x3―（n＋2）xn+2＋（n＋1）xn+3（1－x）2（x≠1）评述

：错位相减法是一种常用的重要的求和方法.