【文档说明】山东省枣庄市2022-2022学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.799 MB，由小赞的店铺上传

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2022~2023学年度第一学期学科素养诊断试题高二数学2023.02一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点A是点(2,9,6)A在坐标平面Oxy内的射影，则点A的坐标为（）A.(2

,0,0)B.(0,9,6)C.(2,0,6)D.(2,9,0)【答案】D【解析】【分析】根据空间中射影的定义即可得到答案.【详解】因为点A是点(2,9,6)A在坐标平面Oxy内的射影，所以A的竖坐标为0，横、纵坐标与A点的横、

纵坐标相同，所以点A的坐标为(2,9,0).故选：D2.已知()(),2,5,1,4,10mxn=−=−，且mn∥，则x的值是（）A.12−B.2−C.12D.2【答案】A【解析】【分析】由mn∥直接列方程求解即可.【详解】因为()(),

2,5,1,4,10mxn=−=−，且mn∥，所以251410x−==−，解得12x=−，故选：A3.如图，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=.点M在OA上，且2OMMA=，N为BC的中点，则MN=（）A.121232abc−+B.211322abc−++C.112223abc+−

rrrD.121232abc+−【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.【详解】()1221123322MNONOMOBOCOAabc=−=+−=−++.故选：B.4.已知

直线1:310−−=lxy，若直线2l与1l垂直，则2l的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】D【解析】【分析】由直线2l与1l垂直得到2l的斜率2lk，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线2l与1

l垂直，且13lk=，所以121llkk=−，解得233lk=−，设2l的倾斜角为，3tan3=−，所以150=.故选：D5.在棱长均为1的平行六面体1111ABCDABCD−中，1160BADBAADAA===，则1AC=uuur（）A.3B.3C.6D.

6【答案】C【解析】【分析】设ABa=，ADb=，1AAc=，利用21()ACabc=++结合数量积的运算即可得到答案.【详解】设ABa=，ADb=，1AAc=，由已知，得,60ab=，,60ac=，,60cb=，||||||1abc===，

所以ab=ac=12cb=，所以22221()2226ACabcabcabacbc=++=+++++=rrrrrrrrrrruurur.故选：C6.已知数列na满足12a=，1,,231,,nnnnnaaaaa+=+

当为偶数时当为奇数时则8a=（）A.164B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据递推式以及12a=迭代即可.【详解】由12a=，得1212aa==，32314aa=+=，3422aa==，4512a

a==，65314aa=+=，6722aa==，7812aa==.故选：B7.抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24xy=的焦点为F，一条平行于y轴的光线从点(1,2)M射出，经过抛物线

上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则经点B反射后的反射光线必过点（）A.(1,2)−B.(2,4)−C.(3,6)−D.(4,8)−【答案】D【解析】【分析】求出A、F坐标可得直线AF的方程，与抛物线方程联

立求出B，根据选项可得答案,【详解】把1x=代入24xy=得14y=，所以11,4A，()0,1F所以直线AF的方程为114101−−=−yx即314yx=−+，与抛物线方程联立23144=−+=yxxy解得44==−yx，所以()4,4B−，因为反射光线平行于y轴，根

据选项可得D正确,故选：D.8.已如双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左､右焦点分别为1F，2F，过2F的直线交双曲线的右支于A，B两点，若1AFAB⊥，且143AFAB=，则该双曲线的离心率为（）A.102B.10

C.52D.5【答案】A【解析】【分析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到13AFa=，2AFa=，利用勾股定理得到关于,ac的等量关系，求出离心率.【详解】连接1FB，设13AFx=，则根据143AFAB=可知，4ABx=，因为1AFAB⊥，由勾股定理得：15FBx=，由双

曲线定义可知：122AFAFa−=，122BFBFa−=，解得：232AFxa=−，252BFxa=−，从而32524xaxax−+−=，解得：xa=，所以13AFa=，2AFa=，由勾股定理得：22294aac+=

，从而102ca=，即该双曲线的离心率为102.故选：A二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.圆224xy+=与圆222420+

−−+=xyxmym的位置关系可能是（）A.外离B.外切C.相交D.内含【答案】ABC【解析】【分析】由圆心距与两圆半径关系判断两圆的位置关系.【详解】222420+−−+=xyxmym整理为：()()2224xym−+−=，从而圆心为()2,m，半径为2，而224xy+=的圆心为()

0,0，半径为2，从而两圆的圆心距为24m+，当2422m++，即23m或23m−时，此时两圆外离；当2422m+=+，此时23m=，此时两圆外切；由于242m+恒成立，故当22422m++，即2323m−时，两圆相交；且

242m+，故两圆不会内含或内切，综上：两圆得位置关系可能是外离，外切或相交.故选：ABC10.已知nS为等差数列na的前n项和，且17a=−，315S=−，则下列结论正确的是（）A.29nan=−B.na为递减数列C.6a是4a和9a的等比中项D.nS的最小值为1

6−【答案】AD的【解析】【分析】先由题干中条件得到公差2d=，从而求出通项公式，判断出AB选项；计算出4a，6a，9a发现2649aaa，故判断C选项的正误；D选项na为递增数列，且410a=−，5

10a=，从而得到4S最小，计算出结果即可判断.【详解】由题意得：313315Sad=+=−，因为17a=−，所以2d=，所以na通项公式为：()72129nann=−+−=−，A选项正确；由于20d=，所以na为递增数列，B选项错误；通过计算可得：41

a=−，63a=，99a=，其中2649aaa，所以6a不是4a和9a的等比中项，C选项错误；因为na为递增数列，且410a=−，510a=，故nS在4n=时取得最小值，4146281216Sad=+=−+=−，D选

项正确故选：AD11.已知直线2:(1)10lxaay−−+−=，其中aR，下列说法正确的是（）A.若直线l与直线0xy−=平行，则0a=B.当1a=时，直线l与直线0xy+=垂直C.直线l过定点()1,0D.当0a=时，直线l在两坐标轴上的截距

相等【答案】BC【解析】【分析】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.【详解】对于A项，若直线l与直线0xy−=平行，则()211100aaaaa−−＋＝＝＝或1，故A错误；对于B项，当1a=时，直线l为10xy−−＝，斜率为1，而直线0xy+=斜率为－1，∴两条直

线垂直，故B正确；对于C项，2(1)10xaay−−+−=恒成立时，令y＝0，得x＝1，即直线过定点(1，0)，故C正确；对于D项，当0a=时，直线l为10xy−−=，令01xy==−，令01yx==，所以横截距和纵

截距互为相反数，故D错误.故选：BC.12.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P在线段1BD上运动（包括端点），下列选项正确的有（）A.1APBC⊥B.PDBC⊥C.直线1PC与平面11A

BCD所成角的最小值是6D.PCPD+的最小值为23【答案】ACD【解析】【分析】证明1BC⊥平面1ABD得到A正确；取特殊点排除B；根据距离的最值得到C正确；确定11PCPDPCPAAC+=+得到D正确，得到答案.【详解】如图所示：连接1AD，D

B，1BC，AB⊥平面11BCCB，1BC平面11BCCB，故1ABBC⊥，11BCBC⊥，11BCAD∥，故11BCAD⊥，又因为1ABADA=，故1BC⊥平面1ABD，又因为AP平面1ABD，故1APBC⊥，A正确；当P与B重合时，PB即BD，由于DB，BC不垂直，故B错误

；1C到平面11ABCD的距离为1122CD=，当1PC最大时，直线1PC与平面11ABCD所成角度最小，1PC的最大值为22BC=，故此处线面所成角的最小值θ的正弦值为21sin222==，π0,2，故π6=，C正确；1123PCPDPCPAAC+=+=，当1,,APC三

点共线时等号成立，D正确.故选：ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.13.若(1,0,1)a=−，()0,2,1b=，2,1()cm=−,为共面向量，则m的值为_

________.【答案】2【解析】【分析】根据空间向量共面定理即可求解.【详解】若,,abc为共面向量,则存在一组唯一的实数,，使得cab=+，即()2,11,010,2,1()()m=+−−,,

，即221m==−+=−，解得221m===，故答案为：214.已知数列na中，732,1aa==，且数列1{}1na+为等差数列，则5a=_____________.【答案】75【解析】【详解】试题分析：由题意得:7355311

1111157,(53).732411125aaddaaa−++===+−==−++考点：等差数列通项15.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，O为平面11AABB的中心，E为BC的中点，则点O到直线1AE的距离为__________.【答案】26##126【解

析】【分析】建立空间坐标系，求解直线1AE的单位方向向量u，结合勾股定理进行求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(,1,0),(1,,)222AEO，因为11(,1,1)2AE=−−，1

1122(,,)333||AEuAE==−−，111(0,,)22OA=−，所以123OAu=−.所以点O到直线1AE的距离为2211142()296OAOAu−=−=.故答案为：26.16.已知点()2,1A，()3,4B，()0,2C，直线():1lykx=−，若直

线l与线段AB有公共点，则k的最大值为________；若直线l与线段BC有公共点，则k的取值范围是________.【答案】①.2②.(),22,−−+【解析】【分析】直线l表示过点()1,0的直线，在平面直角坐标系中作出线段

AB，当直线l过点B时，直线l与线段AB相交且斜率最大，求出斜率；作出线段BC，直线l分别过点B和点C时，为斜率的临界值，得到斜率的取值范围.【详解】直线l表示过点()1,0的直线，在平面直角坐标系中作出线段AB如图，当直线l过点B时，直线l与线段AB相交且斜率最大，此时斜率140231k−=

=−；在平面直角坐标系中作出线段BC如图，直线l过点B时，斜率12k=，直线l过点C时，斜率220201k−==−−，所以k的取值范围为(),22,−−+U.故答案为：2；(),22,−−+U四､解答题：本大题共

6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）在等差数列na中，nS为其前n项的和，若486,20SS==，求16S.（2）在等比数列中2413,60,36nbbbbb+==，求1b和公比q.【答案

】（1）72；（2）12,3bq==或12,3bq=−=−【解析】【分析】（1）利用等差数列前n项和公式计算首项和公差，再代入计算16S；（2）利用等比中项的性质求2b，并结合2460bb+=确定2b的具体值，再代入等式计算可求出1b，q.【详解】解：（1）设数列

na的首项为1a，公差为d，由题意，得11466,82820adad+=+=解得131,42ad==.所以1611612072Sad=+=.（2）由等比数列的性质可得，213236bbb==，又()2242160bbbq+=+=，所以220,6bb=，所以21

10q+=，解得3q=.当3q=时，212bbq==；当3q=−时，212bbq==−.18.给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x=−.（1）对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选

出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是24yx=，并说明理由；（2）过点()4,0的任意一条直线l与2:4Cyx=交于A，B不同两点，试探究是否总有OAOB⊥？请说明理由.【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有OAOB⊥，证

明见解析【解析】【分析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；（2）假设总有OAOB⊥，设直线l的方程为4xty=+，联立244yxxty==+，利用韦达定理计算OAOB可得结

果.【详解】解：（1）因为抛物线2:4Cyx=的焦点()1,0F在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线2:4Cyx=的准线方程为：=1x−，所以条件④不适合题意，当选择条件③时，1112AAFx=+=+=，此

时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线C方程是24yx=；（2）假设总有OAOB⊥，由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为4xty=+，由244yxxty==+得24160yty−−=设()11,Axy，

()22,Bxy所以0恒成立，124yyt+=，1216yy=−，则()()121244xxtyty=++()21212416tyytyy=+++2216161616tt=−++=，所以12121

6160OAOBxxyy=+=−=，所以OAOB⊥，综上所述，无论l如何变化，总有OAOB⊥.【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，2,3ABAP==

，直线PA垂直于平面,,ABCDEF分别为,PAAB的中点，直线AC与DF相交于O点.的（1）证明：OE与CD不垂直；（2）求二面角BPCD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）413−.【解析】【分析】（1）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直

线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出点O的坐标，计算得出0OECD，即可证得结论成立；或利用反证法；（2）利用空间向量法即求.【小问1详解】方法一：如图以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z

轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0C、()0,2,0D、()0,0,3P、30,0,2E、()1,0,0F．设(),,0Ott，因为()1,,0FOtt=−，()1,2,0FD−=uuur，因为//FOFD，所以112−=−tt，得23t=，即点22,,033O

，因为223,,332OE=−−，()2,0,0CD=−，所以403=OECD，故OE与CD不垂直．方法二：假设OE与CD垂直，又直线PA⊥平面,ABCDCD平面ABCD，所以PACD⊥.而PA与OE相交，所以CD⊥平面PAC又CA平面

PAC，从而CDCA⊥又已知ABCD是正方形，所以CD与CA不垂直，这产生矛盾，所以假设不成立，即OE与CD不垂直得证.【小问2详解】设平面PBC的法向量为()111,,mxyz=r，又()()()0,2,0,0,0,3,2,0,0DPB，()2,2,0C因为

()()2,0,3,0,2,0BPBC=−=，所以11123020BPmxzBCmy=−+===，令13x=，得()3,0,2m=r设平面PCD的法向量为()222,,nxyz=r，因为()()2,0,0,0,2,3CDPD

=−=−，所以22220230CDnxPDnyz=−==−=，令23y=，得()0,3,2n=.因为4cos,13mnmnmn==.显然二面角BPCD−−为钝二面角，所以二面角BPCD−−的余弦值是413−..20.已知数列

na的前n项和22nnSa=−．（1）证明na是等比数列，并求na的通项公式；（2）在na和1na+之间插入n个数，使这2n+个数组成一个公差为nd的等差数列，求数列1nd的前n项

和nT．【答案】（1）证明见解析，2nna=（2）332nn+−【解析】【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn−=−及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项112nnnd+=，再利用错位相

减法求和即可.【小问1详解】因为22nnSa=−，当2n时，1122nnSa−−=−，所以，当2n时，12nnaa−=，又1122aa=−，解得12a=，所以na是以2为首项，2为公比的等比数列，故2nna=【小问2详解】因2nna=，所以1211nnnnaadnn+−==++，112

nnnd+=，21211111123(1)222nnnTnddd=+++=++++，231111123(1)2222nnTn+=++++，所以231111111(1)22222nnnTn+=+++

+−+211111(1)13112211222212nnnnnn−++−++=+−=−−−为13322nn++=−，所以332nnnT+=−21.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东

西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米．在建筑物底面中心O的东北方向202米的点A处，有一360全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度．（1）在西辅道上距离建筑物1米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内？（2）求观景

直道不在该摄像头的监控范围内的长度．【答案】（1）不在（2）17.5米【解析】【分析】（1）以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线AB方程，判断直线AB与圆O的位置关系即可；（2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点A的直线l与圆O相切时的直

线方程即可.【小问1详解】以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系则(0,0),(20,20)OA，观景直道所在直线的方程为10y=−依题意得：游客所在点为(5,0)B−则直线AB的方程为520205yx+=+，化简得45200xy−+=，所

以圆心O到直线AB的距离22|20|2044145d==+，故直线AB与圆O相交，所以游客不在该摄像头监控范围内.【小问2详解】由图易知：过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过A且恰与圆O相切，①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O

相切；②若直线l不垂直于x轴，设:20(20)lykx−=−，整理得20200kxyk−−+=所以圆心O到直线l的距离为2|2020|41kdk−+==+，解得34k=或43k=，所以直线l方程为320(20)4yx−

=−或420(20)3yx−=−，即34200xy−+=或43200xy−−=，设这两条直线与10y=−交于D，E由1034200yxy=−−+=，解得20x=−，由1043200yxy=−−−=，解得2.5x=−，所以17.5DE=，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长

度为17.5米.的22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率是32，且过点()2,1P.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，且2OM=，求AOB面积的最大值.【答案】（1）221

82xy+=；（2）2.【解析】【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭

圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长2OM=得k和t的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.【小问1详解】由题知2241132abca+==，解得222826abc===，∴椭圆C的标准方程为22182xy+=.

【小问2详解】当ABx⊥轴时，M位于x轴上，且OMAB⊥，由2OM=可得6AB=，此时123AOBOSMAB==△；当AB不垂直x轴时，设直线AB的方程为ykxt=+，与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy，由22182xyykxt+=

=+，得()222148480kxktxt+++−=.得122814ktxxk−+=+，21224814txxk−=+，从而224,1414kttMkk−++已知2OM=，可得()2222214116ktk+=+.∵()()

()22222212122284814141414kttABkxxxxkkk−−=++−=+−++()()()222221682114ktkk−+=++.设O到直线AB的距离为d，则2221tdk=+，结

合()2222214116ktk+=+化简得()()22222212411162116AOBkkSABdk+==+△()2222212412164116kkk++=+此时AOB的面积最大，最大值为2.当且仅当221241kk=+即218k

=时取等号，综上，AOB的面积的最大值为2.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com