【文档说明】湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高三下学期2月月考数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.012 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-967f9628d70649789834e98bf5e87fe2.html

以下为本文档部分文字说明：

2022—2023学年度下学期2020级二月月考数学试卷命题人：刘昌梅审题人：邹振斌考试时间：2023年2月23日一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已

知集合2{N13},3AxxBxx=−=∣∣，则AB=（）A.{13}xx−∣B.03xx∣C.0,1D.1【答案】C【解析】【分析】先化简集合A、B，再利用交集定义即可求得AB.【详解】{

N13}0,1,2Axx=−=∣，2333Bxxxx==−∣∣，则0,1,2330,1ABxx=−=∣故选：C.2.()()3icos60isin60+−=（）A.i−B

.2C.13i−D.3i−【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法规则即可求得该式值.【详解】()1333133iiii3i222222+−=−++=−，故选：D.3.在正方形ABCD中，E在CD上且有2,CEEDAE=与对角线BD交于F，则AF=（）A.1233ABA

D+B.3144ABAD+C.1344ABAD+D.13ADAB+【答案】C的【解析】【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】如图，正方形ABCD中，2CEED=，则3131DECDAB==因为ABCD∥,所以DEFBAF∽,则13EFDEAFAB==,故3333131()44443

44AFAEADDEADABADAB==+=+=+,故选：C4.今年入夏以来，南方多省市出现高温少雨天气，持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔50m时，相应水面的面积为2160km；水位为海拔41m时，相应水面的面积为2140km

.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔50m下降到41m时，减少的水量约为（143.7）（）A.931.010mB.931.210mC.931.310mD.931.410m【答案】C

【解析】【分析】利用台体的体积公式，将题中数据代入计算即可.详解】台体体积公式：()121213VhSSSS=++，由题意可得50419mh=−=，282116010001.610mS==，282214010001.410mS==，代入计算得893310

(30.414)1.310mV=+，故选：C5.从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（）A.110B.15C.310D.25【答案】C【【解析】【分析】根据每个数的因数个数，根据

组合数的计算即可计算总数，列举即可求解所满足要求的个数，由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】11的因数有11和1，共有2个因数，12的因数有1，2，3，4，6，12，共有6个，13的因数有13和1，共有2个因数

，14的因数有1，2，7，14，共有4个，15的因数有1，3，5，15，共有4个，从5个数中选两个数，共有25C10=种选择，而2个数的因数个数之和为8，则这两个数可以是11和12，或者12和13，或者15或1

4，共三种，故2个数的因数个数之和为8的概率是310故选：C6.已知()()()π232tan0,,023fxxf=+=，周期π3ππ,,,0446T是()fx的对称中心，则π3f的值

为（）A.3−B.3C.233D.233−【答案】D【解析】【分析】根据条件()2303f=，列出方程即可求得，然后根据对称中心以及周期范围求出，即可得到()fx的解析式，从而得到结果.【详解】因为(

)()π2tan0,2fxx=+，由()2303f=可得2332tantan33==，且π2，所以π6=，又因为π,06是()fx的对称中心，故πππ,662kk+=Z解得31,kk=−Z且π3π,44T

，即ππ34π4443所以，当1k=时，2=即()π2tan26fxx=+，所以πππ232tan23363f=+=−故选:D7.若2ln1.01,,1.021201a

bc===−，则（）A.abcB.bacC.bcaD.cba【答案】B【解析】【分析】由于ln1.01ln(10.01),1.02110.0121ac==+=−=+−，故构造函数()ln(1)121,(0)fxxxx=+−++，利用导数判断其单调性，可比较

,ac的大小，根据()20.01ln10.01,20.01ab=+=+，构造函数2()ln(1),(0)2xgxxxx=+−+，判断其单调性，可比较,ab大小，由此可得答案.【详解】由于ln1.01ln(10.01),1.02110

.0121ac==+=−=+−，故设函数()ln(1)121,(0)fxxxx=+−++，则1112(1)()112(1)12xxfxxxxx+−+=−=++++，0x，由于222(12)(1)0xxx+−+=−，所以22(12)(1)xx++，即12(1)0x

x+−+，即()0fx，故()ln(1)121,(0)fxxxx=+−++为单调递减函数，故()(0)0fxf=，即ln(1)121,(0)xxx++−，令0.01x=，则ln(10.01)120.011++−，即ac；又220.01ln1.01ln(10.0

1),20120.01ab==+==+，令2()ln(1),(0)2xgxxxx=+−+，则22214()0,(0)1(2)(1)(2)xgxxxxxx=−=++++，即2()ln(1),(0)2xgxxxx=+−+为单调递增函数，故()(0)0gxg=，即2ln(1),

(0)2xxxx++，令0.01x=，则20.012ln1.0120.01201=+，即ab，故bac，故选：B【点睛】关键点点睛：此类比较数的大小的题目类型，一般是要构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，关键是要

能对数的特征进行变化，根据数的特征选定自变量，从而构造函数.8.某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长[3,2l∣，则其体积的取值范围是（）A.9343,2B.128343,27C.931283,227

D.643,4327【答案】B【解析】【分析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可.【详解】如图所示：设该正六棱锥的高1POh=，侧棱长为a，设该正六棱锥外接球的半径为

r，因为正六棱锥外接球的表面积为16π，所以有216π4π2rr==，因为外接球球心在正六棱锥内部或底面上，所以2h，设OPB=，在正六边形ABCDEF，因为正六边形边长为l∣，所以1OBl=，在OPB△中，由余弦定理可知244cos224aaa+−==，在直角三角形1O

PB中，cosha=，所以有2cos44haaha===，由勾股定理可知222222244hlahlhlhh+=+==−，因为[3,2l∣，所以2[3,4l∣，因此有234413hhh−

，而2h，所以23h，该正六棱锥的体积223113336(4)(4)32222Vllhhhhhh==−=−，23338()(83)()223Vhhhhh=−=−−，当823

h时，()0,()VhVh单调递增，当833h时，()0,()VhVh单调递减，所以max81283()()327VhV==，因为93(2)43,(3)2VV==，(2)(3)VV，所以min()43Vh=，因此该正六棱锥的体积的取值范围是128343,27，

故选：B【点睛】关键点睛：利用导数的性质求值域是解题的关键.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.通过长期调查知，人类汗液中A指标的值X服从正态分布()210,2.5N.则（

）参考数据：若()2~,XN，则()0.6827PX−+=；的()220.9545PX−+=.A.估计100人中汗液A指标的值超过10的人数约为50B.估计100人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为16C

.估计100人中汗液A指标的值不超过15的人数约为95D.随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过10的概率为516【答案】ABD【解析】【分析】根据正态分布的性质，进行ABC选项的判断；结合正态分布的性质以及二项分布的概率计算公式即可判断选项D

.【详解】由10=，可得汗液A指标的值超过10的概率为()1102PX=.所以100人中汗液A指标的值超过10的人数约为1100502=，故A对；同理，D选项中，随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过10的概率为：232

5115C2216=，故D对；由102.512.5+=+=，所以100人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为()10012.5PX()11002PX−−+==10.6827100162−，B对；由2102.5215+=+=，100人

中汗液A指标的值不超过15的人数约为()()122100222PXPX−−++−+10.95451000.95452−=+98，故C错.故选：ABD10.已知AC为圆锥SO底面圆O的直径（S

为顶点，O为圆心），点B为圆O上异于,AC的动点，1,3SOOC==，则下列结论正确的为（）A.圆锥SO的侧面积为23B.SAB的取值范围为ππ,63C.若,ABBCE=为线段AB上的动点，则min()10215SECE+=+D.过该圆锥顶点S的平面截此圆锥所得截面

面积的最大值为3【答案】AC【解析】【分析】依次判断每个选项，直接计算A正确；当2AB=时，π3=SAB，B错误；当1,,SEC三点共线时SECE+最小，根据余弦定理计算得到C正确；计算截面24SMNSaa=−△，根据均值不等式计算得到D错误，得到答案.

【详解】对选项A：母线长()22132SC=+=，侧面积为π23πSrl==，正确；对选项B：SAB△中，2SASB==，023AB，则当2AB=时，π3=SAB，错误；对选项C：ABC为等腰直角三角形，6ABBC==，将SAB△放平得到1SAB，如图2所示，当1,

,SEC三点共线时SECE+最小，F为AB中点，连接1SF，则1SFAB⊥，2211162210sin24SFABSSB−===，2211111π2cos46226cos2SCBSBCBSBCSBCAB

S=+−=+−+10215=+，正确；对选项D：如图3，设截面为SMN，Q为MN中点，连接,OQSQ，设2MNa=，(0,3a，则222111342SMNSMNSQaOQaaaa==+=+−=−△22422aa+−=，当

24aa=−，即2a=时等号成立，D错误.故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中侧面积，截面积和线段和的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和空间想象能力，其中，将空间的线段和转化为平面的距离是解题

的关键.11.已知抛物线C：22(0)ypxp=过点()1,2,M是C准线l上的一点，F为抛物线焦点，过M作C的切线,MAMB，与抛物线分别切于AB､，则（）A.C的准线方程是1x=−B.2||MFFAFB=C.2||AMAFAB=D.0MAMB【答案】ABC【解析】【分析】根据抛物线过的

点，确定p的值，求得抛物线方程以及准线，判断A;设切线方程为(1),0ykxmk=++,利用判别式可得1212,1kkmkk+=−=−，判断D;再证明,,ABF三点共线，以及证明MFAB⊥，即可判断BC.【详解】由抛物线C：22(0)ypxp=过点()1,2，可得42,2pp==，即24

yx=，设焦点为,(10)FF，,则C的准线方程是12px=−=−，A正确；设点(1,)Mm−，先考虑0m情况，则过点M作C的切线,MAMB，切线斜率必存在且不等于0，设切线方程为(1),0ykxmk=++，联立24yx=，可得24440myykk−++=，则

21616(1)0mkk=−+=，即210kmk+−=，240m=+，设,MAMB的斜率分别为12,kk，则1212,1kkmkk+=−=−，即MAMB⊥，即0MAMB=，D错误；设1122(,),(,)AxyBxy，不妨设A在第一象限，B在第四

象限，则11222,2yxyx==−，由于24yx=，对于曲线在第一象限内部分有12,yxyx==,则111kx=，对于曲线在第四象限内部分有12,yxyx=−=−,则221kx=−，由于121kk=−，故121211(1xxxx−=−=）

1,，则()21212121616,4yyxxyy===−，由于0m，故AB斜率一定存在，设直线AB的方程为yuxv=+，联立24yx=，得2440vyyuu−+=，故121244,4,vyyyyuvuu+===−

=−，则直线AB的方程为(1)yuxuux=−=−，即直线AB过定点(1,0)F，所以,,AFB三点共线，由于12121212122442221122ABkkkuyykkmmxxkk−=======++−−+，2MFmk=−，故1

,ABMFkkMFAB=−⊥,在RtAMB△中，MFBAFMAMB∽∽VVV,则2||MFFAFB=，2||AMAFAB=，当0m=时，即(1,0)M−,,AB关于x轴对称，12120,1kkkk+==−，0MAMB=成立；此时AB

斜率不存在，不妨取121,1kk==−，则:1,:1MAyxMByx=+=−−，联立24yx=，解得(1,2),(12)AB−，,则AB过定点(1,0)，且MFAB⊥,则2||MFFAFB=，2||AMAFAB=成立，综合上述，BC正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：解决此类关于直线

和抛物线的位置关系类题目，要注意设直线方程，并联立抛物线方程，得根与系数的关系，然后化简，这是解决这类问题的一般解决方法，解答此题的关键在于要注意到证明直线AB过定点(1,0)F，即,,AFB三点共线，然后证明MFAB⊥.12.设定义在R上的函数()fx与()gx的导函数分别为()fx和

()gx．若()()42fxgx−−=，()(2)gxfx=−，且()2fx+为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.函数()fx的图象关于点()1,0对称B.()()354gg+=−C.20231

()0kfk==D.20231()0kgk==【答案】BC【解析】【分析】由()(2)gxfx=−得()()2gxfxa=−+，结合()()42fxgx−−=得()()22fxfxa=−++，即可令1x=求得2a=−.对A，由()(2)fxfx=−可判断其对称性；对

C，由()2fx+为奇函数可得()yfx=的周期、对称性及特殊值，从而化简；对BD，由()()22gxfx=−−，结合C即可判断.【详解】对A，∵()(2)gxfx=−，则()()2gxfxa=−+，则()()42gxfxa−=−+，又()()42fxg

x−−=，所以()()22fxfxa=−++，令1x=，可得20a+=，即2a=−.所以()(2)fxfx=−，所以函数()fx的图象关于1x=对称，A错；对C，∵()2fx+为奇函数，则()yfx=图像关于()2,0对称，且

()()220fxfx++−=，∴()00f=，()20f=，()()130ff+=，()()400ff+=，∴()40f=.又()()()22fxfxfx+=−−+=−，∴()()()24fxfxfx=−+=+，∴()yfx=的

周期4T=，∴20231()505(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)0kfkfffffff==++++++=，C对；对B，()()22gxfx=−−，则()gx是周期4T=的函数，()()()()3512324ggff+=−+−=−，B对；对D，2023202311

()(1)2(0)2(1)2(2021)2()220234046kkgkfffffk===−−+−+−++−=−=−，D错.故选：BC.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()623xy++中4xy的系数为__________（用数

字作答）.【答案】1620【解析】【分析】()623xy++的二项展开式的通项为()()6216C3rrrrTxy−+=+，令()624rxx−=，再求出()43y+展开式中y的系数，从而可求解.【详解】()()622633xyxy=++++，其

二项展开式的通项为()()6216C3rrrrTxy−+=+，要得到4xy，则()624rxx−=，解得4r=.()43y+二项展开式的通项为414C3kkkkTy−+=，令41k−=，可得3k=.故()623xy++中4xy

的系数为43364CC3=154271620=.故答案为:1620.14.已知直线ykxb=+是曲线()ln1yx=+与2lnyx=+的公切线，则kb+=__________.【答案】3ln2−【解析】【分析】分别设两条曲线上的切

点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算kb+.【详解】设曲线()ln1yx=+上切点()()11,ln1Axx+，11yx=+，的切线斜率111kx=+，切线方程()()1111ln11yxxxx−+=−+，即()11111ln111xyxxxx=−++++同理，设曲线2lnyx=+上切

点()22,2lnBxx+，1yx=，切线斜率21kx=，切线方程()()22212lnyxxxx−+=−，即2211lnyxxx=++，所以121121111ln(1)1ln1xxxxxx=+−++=++，解得121212xx=−=，所以2k=，1ln

2b=−，3ln2kb+=−.故答案为：3ln2−.15.若1ab，且35ab+=，141abb+−−的最小值为m，2abbab−−+的最大值为n，则mn为___________，【答案】2516【解析】【分析】根据条件等式利用基本不等式中“1”的妙用可求得25m=，由2()(1)

aabbbabb−−+−−=并结合()4(1)1abb−+−=即可求得116n=，便可得出2516mn=.【详解】由1ab可得0,10abb−−>>，由35ab+=可得，()4(1)1abb−+−=，所以4(1)()()461(1)41

4411111abbabbabbababbb+−−−+==+++−−−−−−+−4(1)4()172251bababb−−+=−−，当且仅当76,55ab==时，等号成立；即141abb+−−

的最小值为25m=；21()4(1)2()4(1)4()(1)4abbababbabbabb=−+−−−=−−−−+=，所以214abbab−−+，即2116abbab−−+；当且仅当139,88ab==时，等号成立；即2abbab−−+的最大值为116n=；所以1

25251616mn==.故答案为：251616.如图，12FF、是椭圆1C与双曲线2C的公共焦点，AB、分别是1C、2C在第二、四象限的交点，若12π3AFB=，则1C与2C的离心率之积的最小值为________．【答案】32【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义

和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可.【详解】设椭圆方程为22222221(0),xyababcab+=−=，双曲线方程为22222221(,0),xymnmncmn−=+=

，如下图，连接22AFFB、，所以12AFBF为平行四边形，由12π3AFB=得12π3FAF=，设12,FAsAFt==，在椭圆中，由定义可知：2sta+=，由余弦定理可知：()22222222π442cos4333cststcststst

ststb=+−=+−=+−=，122133223FAFSstb==，在双曲线中，由定义可知中：：2tsm−=，由余弦定理可知：()22222222π42cos443cststcststtsstst

n=+−=+−=−+=，12213322FAFSstn==，所以1222223333FAFSbnbn===，()22222222233423mamaaccmccc−=−+=，当且仅当3am=时取等号，所

以232cma，所以1C与2C的离心率之积的最小值为32．故答案为：32【点睛】关键点睛：在椭圆和双曲线中利用焦点三角形的面积建立等式是解题的关键.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程及演算步骤.17.已知数列na满足()12nnnaaS+=，

其中nS是na的前n项和.（1）求证：na是等差数列；（2）若121,2aa==，求()121nnnnnabaa+−=的前n项和nT.【答案】（1）见解析（2）1221nnnT+−=+【解析】【分析】（1）根据,nnSa的关系可得()()112

1nnnaana−−=−+−，根据此递推关系即可根据等差中项求证，（2）根据裂项求和即可求解.【小问1详解】由()12nnnaaS+=得：当2n时，()()11112nnnaaS−−−+=，两式子相减得()()1121nnnaana−−=−+−①，因此可得()1

11nnnaana+−=−+②，①②相减得：()()()112211nnnnanana+−−=−+−，由于10n−，所以112nnnaaa+−=+，所以na是等差数列；【小问2详解】由（1）知na是等差数列，121,2aa==，所以nan=，因此()()()1121212211n

nnnnnnnanbaannnn++−−===−++，所以12231122222222122311nnnnnnTn++=++−−−=−+++.18.在ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，且()2222222abcaRaacb+−−

=+−，其中R是三角形外接圆半径，且A不为直角.（1）若π6B=，求A的大小；（2）求2222acb−的最小值.【答案】（1）π6（2）427−【解析】【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出A的大小.(2)运用正弦定理和二倍

角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解2222acb−的最小值.【小问1详解】在ABC中，()2222222cos2c2osabcaRaacBbabcAac+−−=+−=coscosbAB=，进而2cosco

scosRBaBbA−=，2cos2sincos2sincosRBRABRBA−=，cossincoscossinBABAB=+sin()sinABC=+=，又A不为直角，则π2BC+，π2CB=+，π6B=，ππ6ABC=−−=.【

小问2详解】由(1)知，()2222222abcaRaacb+−−=+−转化为cossinBC=，又πABC++=，π2CB=+，π22AB=−.2222acb−2222sinsinsinACB−=222222π2sin(2)cos2cos2cos2sinsinBBBBBB−−−==

()()22242222212sin1sin8sin8sin21sinsinsinBBBBBBB−−−−+−+===422228sin7sin118sin7sinsinBBBBB−+=+−22128sin7427sinBB−=−，当且仅当2218s

insinBB=，即41sin8B=时，等号成立，2222acb−的最小值为427−.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面,ABCDO为AB中点，AC与OD交于点,EPAB的重心为G.（1）求证

：EG//平面PCD（2）若5,8,4PAPBABBC====，求二面角CGED−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）172242.【解析】【分析】（1）由题可得EG//PD，然后根据线面平行的判定定理即得；（2）根据面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD

，然后利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【小问1详解】因为PAB的重心为G，O为AB中点，所以13OGOP=，又1//,2OACDOACD=，所以12OEDE=，即13OEOD=，又13OGOP=，所以OEOGODOP=，所以EG//PD，又PD

平面PCD，EG平面PCD，所以EG//平面PCD；【小问2详解】因为PAPB=，O为AB中点，所以POAB⊥，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，OP平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，

如图以O为原点建立空间直角坐标系，则()()()444,4,0,4,4,0,0,0,1,,,033CDGE−−，所以8164488,,0,,,1,,,0333333ECGEED==−−=−，设平面CGE的法向量为(),,mxyz=，则81603

344033mECxymGExyz=+==−−=，令1y=−，可得()2,1,4m=−，设平面GED的法向量为(),,nabc=，则8803344033mEDabmGEabc=−==−−=，令1a=，可得()1

,1,0n=，所以142cos,42212mnmnmn===，所以二面角CGED−−的正弦值1172214242−=.20.2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分7:5战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：

淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜

；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为2:0，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一

方不进球的情况，进球方胜出.（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有35的可能性将球扑出.若球

员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数X的分布列期望；（2）现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方0:0战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为34，乙队每名队员射进点球的概率均为

23，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以6:5获得冠军的概率.【答案】（1）分布列见解析，45（2）（

i）164；（ii）131152【解析】【分析】（1）根据题意可得门将每次扑中点球的概率131355p==，且14,5XB，进而根据二项分布求解即可；（2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.【小问1详解】根据题

意门将每次扑中点球概率131355p==，X的可能取值为0,1,2,3,4，且14,5XB，()()004113442562560C(1);1C(1);625625PXppPXpp==−===−=()()()222334496162C(1);3C1;625

625PXppPXpp==−===−=()440414C(1)625PXpp==−=；所以X的概率分布为X01234()PX25662525662596625166251625数学期望()14455EX==.【小问2详解】

（i）甲队先踢点球，第三轮结束时甲队踢进了3个球，并获得冠军，则乙队没有进球，所以甲队获得冠军的概率为3332114364−=.（ii）点球在第7轮结束，且乙队以6:5获胜，所以前5轮战平，且第6轮战平，第7轮乙队1:0胜甲队当前5轮两

队为时，乙队胜出的概率为4444553121321225CC443343432304=当前5轮两队为5:5时，乙队胜出的概率为5555

553211121CC4343432304=，因为上述两个事件互斥，所以乙队胜出的概率为25113230423041152+=.的21.已知椭圆222

2:1(10)xyCabab+=的左､右焦点分别为12,FF，过点2F作直线l（与x轴不重合）交C于,MN两点，且当M为C的上顶点时，1△MNF的周长为8，面积为837（1）求C的方程；（2）若A是C的右顶点，设直

线,,lAMAN的斜率分别为12,,kkk，求证：1211kkk+为定值.【答案】（1）2214xy+=;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用三角形周长求出a，当M为C的上顶点时，求出直

线l方程，进而求出点N的坐标，利用三角形面积求出b作答.（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算推理作答.【小问1详解】依题意，1△MNF的周长111221||||||||||||||48MFMNNFM

FMFNFNFa++=+++==，解得2a=，则椭圆222:14xyCb+=，令椭圆C的半焦距为c，当M为C的上顶点时，直线l为：1xycb+=，由222114xycbxyb+=+=消去y得22(4)80cxcx+−=，解得0x=或284cxc=+，于是

得点2228(4)(,)44cbcNcc−++，又1△MNF的面积为837，则221(4)832[]247bccbc−−=+，整理得273(4)bcc=+，则有22743(4)ccc−=+，解得23c=或2413c=，有21b=或24813b=，因为01b，则21b

=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.【小问2详解】由（1）知，2(3,0)F，(2,0)A，直线l的方程为(3)ykx=−，由22(3)44ykxxy=−+=消去y得2222(41)831240kxkxk+−+−=，设()()1122,,,Mxy

Nxy，则2212122283124,4141kkxxxxkk−+==++，而1122122121,2(3)(3)222ykkxykxxxxkx−−====−−−−，12121212121212222(23)(431

111()333(3))xxxxxxkkkkxxxxxx−−−++++=+=−−−++222222222(23)43133124834141124834141kkkkkkkkk−++=−++−+

−++22222212(124)(23)8343(1(843)(41)41)124)3833(kkkkkkkk−−++==−−−+++，所以1211()843kkk+=−为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入

手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数()()1ln1axfxxx+=−−（1）当1a=−时，求()fx的单调区间；（2）若()fx有两个零点()1212,xxxx，求a的范围，并证明12110lnln

xaxa+++【答案】（1）单调增区间为()0,23−和()23,++，单调减区间为()23,1−和()1,23+（2）a的范围是()0,+，证明见解析【解析】【分析】（1）1a=−求出导函数()fx，令()0fx¢>、()0fx解不等式可得答案；（2）当0

a=、0a讨论不符合题意；当0a时求出()fx得()fx在()0,1和()1,+均单调递增，当1x时，由()0eaf、()31e0+af得()fx在()1,+上有一个零点；当01x，()()312e0,e0e1aaaaff−−

−=−，()fx在()0,1上有一个零点，所以a的范围是()0,+，可得11111ln2xxaax−=+，22211ln2xxaax−=+，再由1211lnln+++xaxa1211122=−+axx，()0fx=得()fx的两个零点12,xx，再利用基

本不等式得121120xx−+可得答案.【小问1详解】()fx的定义域为()()0,11,+，当1a=−时，()1ln1xfxxx+=+−，导函数()2241(1)xxfxxx−+−=，令()0

fx¢>，得023x−或23x+；令()0fx，得2323x−+且1x；所以()fx的单调增区间为()0,23−和()23,++，单调减区间为()23,1−和()1,23+；【小问2详解】当0a=时，()fx只有1个零点，不符合题意；当0<a时，若01x，则()0

fx；若1x，则()0fx，不符合题意，所以0a.当0a时，()2120(1)afxxx−=+，所以()fx在()0,1和()1,+均单调递增.当1x时，由()2e0e1aaaf=−−，()()()()()31313131313131

e131e1e1elnee1e1aaaaaaaaaaf+++++++++−−+=−=−−()()()31313131313e1e12e20e1e1aaaaaaaa+++++−−+−=−−，所以()fx在()1,+上有一个零点；当01x，同理()()312e0,e0e1a

aaaff−−−=−，所以()fx在()0,1上有一个零点，所以a的范围是()0,+，因为()fx的两个零点为12,xx，所以()1111ln1axxx+=−，即1112ln1axxax+=−，所以11111ln2xxaa

x−=+，同理，22211ln2xxaax−=+，所以1212121211111112lnln222xxxaxaaxaxaxx−−+=+=−+++，若()0fx=，即()1ln01axxx+−=−，则()()111

1lnln0111aaxxxfxxxx++−=−+=−=−−，所以()fx的两个零点12,xx互为倒数，即211xx=，所以11211112xxxx+=+（等号不成立），所以121120xx−

+，所以12121212111111120lnln222xxxaxaaxaxaxx−−+=+=−+++，所以得证.【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用导数判断出两个零点12,x

x互为倒数，本题考查了学生的分析问题、解决问题以及运算能力，属于难题.