【文档说明】四川省武胜烈面中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(19)页，1.119 MB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

烈面中学期中数学试卷（理科）一．选择题1.若复数z满足（z﹣1）（i﹣1）＝i，则z对应的点在第（）象限.A.一B.二C.三D.四【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进一步求出z的坐标得答案.【详解】由（z﹣1）（i﹣1

）＝i，得z﹣1()()()11111122iiiiiii−−===−−−+−−，∴z3122i=−，则3122zi=+.∴z对应的点的坐标为（32，12），在第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数

代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.2.下列求导运算正确的是（）A.()cossinxx=B.()1ln2xx=C.()333logxxe=D.()22xxxexe=【答案】B【解析】分析：利用基本初等函数的导数公式

、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案.详解：()'cossinxx=−，A不正确；()'11ln222xxx==，B正确；()'33ln3xx=,C不正确；()'222xxxxexexe=+

，D不正确，故选B.点睛：本题主要考查基本初等函数的导数公式、导数的运算法以及简单的复合函数求导法则，属于基础题.3.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）A.38B.

27C.28D.37【答案】B【解析】【分析】第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，即可求出第二次取到红球的概率．【详解】解：依题意，第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，所以第二次取到红球的概率是：27P=．故选：B．【点睛】本题考查条件概率

，确定基本事件的个数是关键，属于基础题．4.函数5()lnfxxx=+的单调减区间为（）.A.(,5)−B.(0,5)C.(5,)+D.(0,)+【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数求函数的单调递减

区间即可．【详解】解：因为5()lnfxxx=+，所以函数的定义域为()0,+，所22515()xfxxxx−=−+=，令()0fx，解得05x故函数的单调递减区间为()0,5故选：B【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题．5.甲、乙二人进行围棋比赛

，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为()．A.22213221333C+B.22232233C+C.22112221333C+

D.21112221333C+【答案】C【解析】【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．

【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为2121233C，若前两局都是甲赢，所求概率为223，因此，甲获胜的概率

为22112221333C+，故选C．【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．6.某医院

计划从3名医生，9名护士中选派5人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战，要求选派的5人中至少要有2名医生，则不同的选派方法有（）A.495种B.288种C.252种D.126种【答案】B【解析】【分析】题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，②选派3名医生，2名护士，分别计算，再根

据分类加法计算原理计算可得；【详解】解：依题意分两种情况，①选派2名医生，3名护士，则有2339252CC=（种）；②选派3名医生，2名护士，则有323936CC=（种）；按照分类加法计算原理可知，一共有2332393936252288CCCC+=+=（种）.故

选：B【点睛】本题考查简单的组合问题，分类加法计算原理，属于中档题.7.已知二项式121(2)nxx+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（）A.240B.120C.48D.36【答案】A【解析】【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n=即6n=，写出

二项式展开式的通项公式3362162rrrrTCx−−+=，令3302r−=即可得解.【详解】由题意264n=，解得6n=，则1162211(2)(2)nxxxx+=+，则二项式1621(2)xx+的展开式的通项公式为6133622166122rrrrrr

rTCxCxx−−−+==，令3302r−=即2r=，则6426622240rrCC−==.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.8.已知变量x，y之间的线性回归方程为0.710.3yx

=−+，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（）x681012y6m32A.可以预测，当20x=时，3.7y=−B.5m=C.变量x，y之间呈负相关关系D.该回归直线必过点()8,5【答

案】D【解析】【分析】将20x=代入回归直线方程，即可判断A选项；算出,xy的平均数，根据样本点中心一定在回归直线上，判断BD选项；根据回归直线的斜率判断C选项.【详解】对于A选项，当20x=时，0.72010.33.7y

=−+=−，A选项正确；对于B选项，68101294x+++==，6321144mmy++++==将点（x，y）的坐标代入回归直线方程得110.7910.344m+=−+=解得5m=，B选项正确；对于C选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量x，y之间呈负相关关系，C选项正确；对于D选项，

由B选项可知，回归直线0.710.3yx=−+必过点()9,4，D选项不正确．故选D．【点睛】本题主要考查了由回归直线方程求参数等，属于基础题.9.已知随机变量X服从二项分布(),Bnp.若()2EX=，()43DX=

，则p=（）A.34B.23C.13D.14【答案】C【解析】【分析】由随机变量X服从二项分布B（n，p），结合期望及方差的公式运算即可得解．【详解】由随机变量X服从二项分布B(n,p).又E(X)=2,()43DX=，所以np=2，np(1−p)=43，解得：p=13，故选：C.【点睛】本题考查

二项分布与n次独立重复试验的模型，运用二项分布的期望及方差的公式运算即可求解，属于基础题.10.已知曲线()3211532fxxx=+−在点()()1,1f处的切线的倾斜角为，则2cos2sin2cos=+（）A.13B.35-C.2D

.85【答案】B【解析】【分析】由导数几何意义求出tan，用二倍角公式变形求值式后弦化切后，代入tan的值可得结论．【详解】解：由()3211532fxxx=+−，得()2fxxx=+，则()fx在点()()1,1f处

的切线斜率()tan12f==．∴2222cos2cossinsin2cos2sincoscos−=++21tan32tan15−==−+．故选：B．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查二倍角公式和同角间的

三角函数关系，掌握导数的几何意义是解题关键．三角函数求值时注意关于sin,cos齐次式的求解方法：弦化切．11.某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[

50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].从样本成绩不低于80分的学生中随机选取2人,记这2人成绩在90分以上(含90分)的人数为ξ,则ξ的数学期望为()A.13B

.12C.23D.34【答案】B【解析】由频率分布直方图知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成绩不低于80分的学生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成绩在90分以上(含90分

)的学生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝29212CC＝611，P(ξ＝1)＝1139212CCC＝922，P(ξ＝2)＝23212CC＝122，∴ξ的分布列

为ξ012P611922122∴E(ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12.选B.12.已知函数()2()xxfxeexxR−=−−，则不等式()2(1)10fxfx++−…的解集是（）A.[2,1]−

B.[1,2]−C.(,1][2,)−−+D.(,2][1,)−−+【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，将不等式()()2110fxfx++−化为()()211fxfx+−，再由函数的单调得到211xx+

−，求解即可得出结果.【详解】因为函数()()2xxfxeexxR−=−−，所以()()2xxfxeexfx−−=−+=−，因此函数()fx为奇函数，所以()()2110fxfx++−化为()()211fxfx+−，又()´20xxfxee

−=+−在R上恒成立，因此函数()2xxfxeex−=−−恒为增函数，所以211xx+−，即220xx−−，解得12x−.故选:B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用、以及单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念以及利用导数研

究函数的单调性的方法即可，属于常考题型.二．填空题13.已知平面的一个法向量10,,22n=−−，A，P，且31,,222PA=−，则直线PA与平面所成的角为__

____．【答案】π3【解析】【分析】设直线PA与平面所成的角为，由sincosnPAnPA==，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】解：设直线PA与平面所成的角为，则s10234213102244

4incosnPAnPA===−−=++++，∴直线PA与平面所成的角为π3．故答案为：π3．【点睛】本题考查了空间向量法求线面角，熟记公式是解题的关键，属于基础题.14.6名工人，其中2人只会电工，3人只会

木工，还有1人既会电工又会木工，选出电工2人木工2人，共有______种不同的选法．【答案】12【解析】【分析】由题意按照既会电工又会木工1人没入选、既会电工又会木工1人入选充当电工、既会电工又会木工1人入选充当木工分类讨论，结合分步乘

法、组合的知识即可得解.【详解】由题意可对选出的电工2人木工2人分类：①既会电工又会木工1人没入选，有22233CC=种选法；②既会电工又会木工1人入选充当电工，有12236CC=种选法；③既会电工又会木工1人入选充当木工，有21233CC=

种选法；综上，共有36312++=种选法．故答案为：12．【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了分类讨论思想，合理分类、分步是解题的关键，属于基础题.15.已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝___

__．【答案】0.35【解析】【分析】由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可求．【详解】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35.

故答案为：0.35．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．16.已知32nxx+展开式中第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列，将展开式中所有项重新排列，则有理项不相邻的概率为______．【

答案】514【解析】【分析】由二项式系数成等差数列求出n，写出展开式通项公式得出有理项的项数，求出有理项不相邻的排法数，再求出所有项排列的方法数，然后可计算出概率．【详解】由题意2132nnnCCC=+，由3n且n

为正整数，故解得7n=，77331772()()2rrrrrrrrTCxCxxx−−−+==07,rrN，当73r−为整数时，该项为有理项，这样的r为1，4，7，共3项，展开式共8项，全排列有88A种，有理项不相邻的排列数有5356AA，所以所求概率为535688514AAPA=

=．故答案为：514．【点睛】本题考查二项式定理，考查古典概型，首先要掌握二项式系数的概念，确定n的值，确定展开式中的项数，然后要掌握二项式展开式的通项公式，确定其中有理项的项数，第三还要掌握插空法求不相邻问题的排列数．第四要掌握古典概型概率计算公式，本题属于中档题．三．解答题17.已知函数

2yxx=-．（1）求这个函数图像垂直于直线30xy+−=的切线方程；（2）求这个函数图像过点()1,4−的切线方程．【答案】（1）1yx=−；（2）310xy++=或590xy−−=.【解析】【分析】（1）求出导函数，由

切线斜率求得切点坐标，从而得切线方程；（2）设切点坐标为00(,)xy，由切点坐标写出切线方程，代入点(1,4)−的坐标，从而求得切点．【详解】（1）设2()fxxx=−，则'()21fxx=−，∵切线与30xy+−=垂直，∴切线斜率为1，∴'()211fxx=−=，1

x=，(1)0f=，即切点为(1,0).∴切线方程为1yx=−；（2）设切点为00(,)xy，由（1）00'()21fxx=−，切线方程为20000()(21)()yxxxxx−−=−−，∵切线过点(1,4)−，∴200004()(21)(1)xxxx−−−=−−，解得01x=−或03x=

，∵切线方程为23(1)yx−=−+或65(3)yx−=−，即310xy++=或590xy−−=.【点睛】本题考查导数几何意义．求切线方程有两种情形：一种是已知切点00(,)xy，则切线方程为000'()()yyfxxx−=−，另一种

是已知切线过点00(,)xy，则设切点为11(,)xy，切线方程为111'()()yyfxxx−=−，代入00(,)xy后求出切线11(,)xy，得切线方程．18.已知在331()2nxx−的展开式中第5项为常数项.（1）求n的值；（2）求展开式中含有2x项的系数；（3）求展开

式中所有的有理项.【答案】（1）8；（2）4−；（3）24x−，358，2116x−【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项公式2311()2nrrrrnTCx−+=−，由展开式中第5项为常数项，则当

4r=时，有203nr−=，从而求出n出的值.（2）由（1）中得到8n=，则含有2x项，即8223r−=，得到1r=，从而求出答案.（3）展开式中所有的有理项,则82308rrrZ−，可得r可取1，4，7，可得到答案.【详解】（1）展开式的通项

公式为2331311()()()22nrrnrrrrrnnTCxCxx−−+=−=−.因为第5项为常数项.所以4r=时，有203nr−=，解得8n=.（2）令223nr−=，由（1）8n=，解1r=，故所求系数为181()42C−=−（3）有题意得，82308rrrZ−

，令82()3rkkZ−=，则833422krk−==−所以k可取2,0,2−，即r可取1，4，7它们分别为24x−，358，2116x−.【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式应用，求展开式中某项的系数，属于中档题.19.江夏一中将要举行校园歌手大赛，

现有3男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果．．用数字作答．．．．．）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果女生甲在女生乙的前面（可以不相邻），那么有多少种不同的出场顺序？（3）如果3位男生都相邻，且女生

甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】（1）144；（2）360；（3）108【解析】【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①、先将3名男生排成一排，②、男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；（2

）根据题意，先不考虑甲乙的情况，将6人排成一排，又由女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，即可得答案；（3）根据题意，分3步进行分析：①、先将3名男生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，②、将除之外的两名女生

和三名男生的整体全排列，③、分析女生甲的安排方法，由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：①先将3名男生排成一排，有33A种情况，②男生排好后有4个空位，在4个空位中任选3个，安排3名女生，有34A种情况，则有33341

44AA=种不同的出场顺序；（2）根据题意，将6人排成一排，有66A种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，则女生甲在女生乙的前面的排法有6622360AA=种；（3）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男生看

成一个整体，考虑三人之间的顺序，有33A种情况，②将除之外的两名女生和三名男生的整体全排列，有33A种情况，③女生甲不在第一个出场，则女生甲的安排方法有13C种，则有313333108ACA=种符合题意的

安排方法．【点睛】本题考查排列、组合的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意分步、分类计数原理的应用．20.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB=，1AF=，M是线

段EF的中点．（1）求证//AM平面BDE；（2）求二面角ADFB−−的大小；（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．【答案】（1）证明见解析；（2）60°；（3）点P为线段AC的中点.【解析】【分析】（1）根据正方形A

BCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，建立空间直角坐标系，求得,NEAM的坐标，证明共线即可.（2）根据AB⊥平面ADF，得到AB为平面DAF的一个法向量，由0NEDB=，0NENF=，得到NE为平面BDF的一个法向量，然后代入公式cos,=ABNEABNEABNE求解.

（3）设(),,0Pxx，求得PF，CD的坐标，代入公式πcos3=PFCDPFCD求解.【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系：设ACBDN=，连接NE，则点N、E的坐标分别是22,,022、()0,0,1，∴22,,12

2NE−=−，又点A、M的坐标分别是()2,2,0、22,,122，∴22,,122AN=−−，∴ANME=，且NE与AM不共线，∴//NEAM，又∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴//AM平面BDE.（2）∵AFAB⊥，ABAD⊥，

AFAAD=，∴AB⊥平面ADF，∴()2,0,0AB=−为平面DAF的一个法向量，∵()22,,12,2,0022NEDB=−−−=，∴()22,,12,2,1022NENF=−=，得NEDB⊥，NENF⊥，∴NE

为平面BDF的一个法向量，∴2211cos,2222122===−+−+ABNEABNEABNE，∴AB，NE的夹角是60°，即所求二面角ADFB−−的大小是60°.（3）设(),,0Pxx，()2,2,1PFxx=−−，()2,0,0C

D=，则()()222π1cos322221−===−+xPFCDPFCDx，解得22x=或322x=（舍去），所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．【点睛】本题主要考查向量法证明线面平行，二面角，异面直线所成的角的向量求法，还考查了空间想象和运算求解

的能力，属于中档题.21.2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为

了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？（2）针

对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：()20PKk…0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.706

3.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++．【答案】（1）列联表见解析；能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）分布列见解析；4()3EX=【解析】【分析】（1）根据

总数为100，结合已知数据即可补充完整列联表；根据公式，求得2K的观测值，结合参考数据，即可容易判断；（2）求得分层抽样的抽样比，计算出6人中男生和女生人数，利用概率计算公式即可求得分布列，结合分布列求得()EX.【详解】（1）补充完整的列联表如下：喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生40

1050合计6040100计算得22100(20104030)16.6710.82860405050K−=，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系．（2）喜欢国学的共60

人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为110，从而需抽取男生2人，女生4人，故X的所有可能取值为0，1，2．22261(0)15CCPX===，1142268(1)15CCPXC===，242662(2)155CPXC====，故X的分布列为：X012P11581525数学期望1824

()012151553EX=++=．【点睛】本题考查2K的计算，离散型随机变量的分布列和数学期望，涉及分层抽样，属综合中档题.22.已知函数f（x）＝aex﹣2x+1．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实

数a的取值范围【答案】（1）极小值为3﹣2ln2，无极大值；（2）322e−+，．【解析】【分析】（1）求导，判断函数单调性，根据单调性求得极值；（2）分离参数，构造函数，求解函数的最值，即可求得参数的范围.【详解】（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣

2x+1，则f′（x）＝ex﹣2，令f′（x）＜0，解得x＜ln2；令f′（x）＞0，解得x＞ln2；故函数f（x）在（﹣∞,ln2）上递减，在（ln2,+∞）上递增，故函数f（x）的极小值为f（ln2）＝2﹣2ln2+1＝3﹣2ln2，无极大值；（2）f（x）＞0对x∈R成立，

即为21xxae−＞对任意x∈R都成立，设()21xxgxe−=，则a＞g（x）max()()222132'()xxxxexexgxee−−−==，令g′（x）＞0，解得32x＜；令g′（x）＜0，解得32x＞；故函数g（x）在32−

，递增，在32+，递减，∴323232()22maxgxgee−===，故实数a的取值范围为322e−+，．【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，以及根据恒成立问题求解参数的范围，本题采用了分离参数的方法.