【文档说明】浙江省温州市乐清市知临中学2023-2024学年高二上学期开学质量检测数学试题（B） 含解析.docx，共(22)页，1.856 MB，由小赞的店铺上传

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2023学年第一学期高二段数学开学质量检测B卷本卷满分150分，考试时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合110Axx=−∣，{1}B

xx=∣，则AB=（）A.(1,10B.()1,+C.1,10−D.)1,−+【答案】D【解析】【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】因为集合110Axx=−∣，{1}Bxx=∣，所以{|1}ABxx=−，也即[1,)AB=−+,故选：D.2.在平面直角坐标

系xOy中，动点P的坐标满足方程22(1)(3)4xy−+−=，则点P的轨迹经过A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限【答案】A【解析】【详解】试题分析：由题意得，点P在以(1,3)为圆心，2为半径的圆上，如下图所示，故可知点P在第一、二象限，故选A.考点：圆的

标准方程.3.要得到余弦曲线cosyx=，只需将正弦曲线sinyx=向左平移（）A.2个单位B.3个单位C.4个单位D.6个单位【答案】A【解析】【分析】由题得cossin()2yxx==+

，再利用图象变换知识求解.【详解】由于cossin()2yxx==+，所以要得到余弦曲线cosyx=，只需将正弦曲线sinyx=向左平移2个单位.故选：A4.设直线1:250lxay+−=，()2:3120laxay−−−=，则1a=是12ll⊥的（）A充要条件B

.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合直线垂直的性质判断即可.【详解】当1a=时，直线1:250lxy+−=，2:220lxy−−=，.此时12

1,22kk=-=，则121kk?-，所以12ll⊥，故充分性成立；当12ll⊥时，()()13120aaa−+−=，解得1a=或12a=，故必要性不成立；所以“1a=”是“12ll⊥”的充分不必要条件，故选：C.5.已知圆1C：221xy+=，圆2C：()()22349xy−+−=，

则圆1C与圆2C的位置关系是（）A.内含B.外离C.相交D.相切【答案】B【解析】【分析】计算出两圆的圆心距，判断圆心距与两个圆的半径之和的大小关系即可.【详解】由题意得：()10,0C,()23,4C,121,3rr==因为()()221212304054

CCrr=−+−==+，所以两圆外离.故选：B【点睛】本题主要考查了两个圆的位置关系，熟练掌握两圆内含、外离、相交、相切满足的条件，属于基础题.6.设0.83a=，0.713b−=，21log32=c，则a，b，c的大小关系为（）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.b＜a＜cD

.b＜c＜a【答案】A【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的单调性可得出1ba，1c，进而即可得到a，b，c的大小关系．【详解】由0.70.7133b−==，且0.70.8133，即1ba，又1222221log3log3log3log21

2c====，所以c＜b＜a．故选：A．7.在ABC中，已知D是AB边上的中点，G是CD的中点，若AGABAC=+uuuruuuruuur，则实数+=（）A.14B.12C.34D.1【答案】C【解析】【分析】根据D是AB边上的中

点，G是CD的中点，得到11,22ADABCGCD==uuuruuuruuuruuur，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：因为D是AB边上的中点，G是CD的中点，所以11,22ADABCGCD==uuuru

uuruuuruuur，所以12AGACCGACCD=+=+uuuruuuruuuruuuruuur，()111242ACADACABAC=+−=+uuuruuuruuuruuuruuur，又因为AGABAC=+uuuruuuruuur，所以11,42==，则34

+=，故选：C8.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，正方形ABCD的中心为O，棱1CC，11BC的中点分别为E，F，则下列选项中不正确的是（）A.12OEBC=B.68FOES=△C.点F到直线1OD的距离为144D.异面直线1OD与EF所成角

的余弦值为336【答案】D【解析】【分析】以D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Dxyz−，计算OEBC可判定A选项；利用正弦定理计算三角形FOE的面积判定B选项；利用空间向量的距离公式可判定C

选项；利用直线方向向量可计算夹角余弦值，可判定D选项.【详解】以D为原点，1,,DADCDD分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Dxyz−，()0,0,0D，11,,022O，()1,1,0B,()0,1,0C,10,1,2

E,1,1,12F骣÷ç÷ç÷ç桫,()10,0,1D111,,222OE=−,()1,0,0BC=−,则()1110022OEBC=−−++=，故选项A正确；10,,12OF=，所以1

1042cos,111114444OEOFOEOFOEOF++===+++155，则2310sin,1cos,155OEOFOEOF=−=−=，13510sin,22216285FOESOEOFOEOF=

==△，故选项B正确；111,,122OD=−−，111101304cos,1011111444ODOFODOFODOF−+===+++,2113070sin,1cos,110010ODOFODOF=−=−=,点F到直线1OD的距离157014sin,2104OFODOF=

=,故选项C正确；11,0,22EF=,则111110342cos,6111114444ODEFODEFODEF−++===+++,则令异面直线1OD与EF所成角，可得13coscos,6ODEF==.故选项D错误.故选：D.二、多项选择题（

本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.在空间中，设mn，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列正确的是（）A.若m

⊥，//m，则⊥B.若⊥，//m，则m⊥C.若//，m，n，则//mnD.若⊥，m⊥，n⊥，则mn⊥【答案】AD【解析】【分析】由面面垂直的判定定理可得⊥，选项A可判定；若⊥，//m，则//m，m或m与相交，选项B可判定

；若//，m，n，则//mn，m与n相交，m与n异面，选项C可判定；由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可证得mn⊥，选项D可判定.【详解】因为//m所以可取直线l，//lm且l，因为//lm，m⊥，所以l⊥，又l，可得⊥，故选项A正确；若⊥，//m，

则//m，m或m与相交，故选项B错误；若//，m，n，则//mn，m与n相交，m与n异面，故选项C错误；因为⊥，令1l=可取直线2l，2l且12ll⊥，可得2l⊥又

n⊥，所以2//ln，因为m⊥，2l，所以2ml⊥，又2//ln，可得mn⊥，故选项D正确.故选：AD.10.下列说法正确的是（）A.直线sin10xy−+=的倾斜角的取值范围为π3π0,,π44B.“5c=”是“点()2,1到直线340xyc++=

距离为3”的充要条件C.直线():30lxyR+−=恒过定点()3,0D.直线1:21lyx=+与直线2:210lxy++=垂直，且1l与圆225xy+=相交【答案】ACD【解析】【分析】先求出斜率范围，再求倾斜角的范围即可，则选项

A可判定；由点到直线的距离公式构建方程求解即可，则选项B可判定；提取参数并消去参数可求得必过点，则选项C可判定；求出两直线的斜率，判定位置关系，求出圆心到直线距离并与半径比较，即可判定直线与圆的位置关系，则选项D可判定。【详解】因为sin10x

y−+=所以斜率sinka=，则11k−，令倾斜角为，则1tan1−，又0π，解的π3π0,,π44,故选项A正确.由点()2,1到直线340xyc++=

距离为3，可得223241334c++=+，解的5c=或25c=−，故选项B错误.():30lxyR+−=,可得()30xy−+=，令30x−=可得3,0xy==，所以l必过点()3,0,故选项C正确；直线1:21lyx=+与直线2:210l

xy++=中斜率分别为12,2−，乘积为1−，故而垂直，原点到1:210lxy−+=距离155541d==+，故而1l与圆225xy+=相交，故选项D正确；故选：ACD.11.已知正数a，b满足1ab+=，则下列结论正确的是（）A.104abB.1920ab+C.2ab+

D.2222ab+【答案】CD【解析】【分析】本题首先可根据2abab+判断出A，然后根据()1919ababab+=++判断出B，再然后根据()()2222abab++判断出C，最后根据22222abab+判断出D.【详解】因为a、b正实数，所以2abab+，当

且仅当ab=时取等号.因为1ab+=，所以12ab≤，故A不正确.因为()1919991910216babaababababab+=++=++++=.当且仅当9baab=，即13,44ab==等

号成立，故B不正确.()()222222abab++=，当且仅当ab=时取等号.即2ab+，故C正确.222222222ababab++==，当且仅当ab=时取等号，故D正确.故选：CD.12.已知函数()()e,021,0xxfxfxx

=−，若关于x的方程()fxa=有两解，则实数a的值可能为（）A.1ea=B.1a=C.ea=D.3a=【答案】BD【解析】【分析】根据题意分析可得方程()fxa=根的个数可以转化为()yfx=与ya=的交点个数，结合()yfx=的单调性与值域以及图

象分析判断.【详解】①当0x时，()exfx=在(,0−内单调递增，且()01f=，所以()(0,1fx；是的②当0x时，则()(*2e,1,,kxkfxxkkk−=−N，可知()fx在(*1,,kkk−N内单调递增，且()()21,2

ekkfkfk−==，所以()*2,2,ekkfxkN，且12222,eekkkk++N.方程()fxa=的根的个数可以转化为()yfx=与ya=的交点个数，可得：当0a时，()yfx=与ya=没有交点；

当20ea≤时，()yfx=与ya=有且仅有1个交点；当122,ekkak+N时，()yfx=与ya=有且仅有2个交点；当222,ekkak+N时，()yfx=与ya=有且仅有1个交点；若关于x的方程()fxa=有两解，即()yfx=与ya=有且仅有2个交点，

所以实数a的取值范围为12,2,ekkk+N，因为281,1,3,4ee，而A、C不在相关区间内，所以A、C错误，B、D正确.故选：BD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若复数12i13iz+=−，则z=_

_____.【答案】22##122【解析】【分析】利用复数的四则运算与复数模的运算公式即可得解.【详解】因为()()()()12i13i12i55i11i13i13i13i1022z+++−+====−+−−+，所以22112222z=−+=

.故答案为：22.14.若两条直线126:0lxy+−=与2:50lxay+−=平行，则1l与2l间的距离是______.【答案】55##155【解析】【分析】先利用两直线平行的公式求出参数a，再用两平行线间距离

公式求距离即可.【详解】两条直线126:0lxy+−=与2:50lxay+−=平行,210a−=解得2a=，经检验2a=时，2:250lxy+−=,两直线不重合；所以2a=，则1l与2l间的距离655514−+=+,故答案为：55.15.一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，

c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是_________．【答案】13【解析】【分析】先确定a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b

，c互不相同所组成的三位数的所有可能情况，再确定其中“凹数”的个数，最后即可运用古典概型的概率计算公式求解即可【详解】a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：123，132，213，231，312，32

1，124，142，214，241，412，421，134，143，314，341，413，431，234，243，324，342，423，432，共24个数字，其中为“凹数”的有213，312，214，412，314，413，324

，423，共8个，所以所求概率为81243=，故答案为：1316.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为32π3，这两个圆锥的体积之和为4π，则这两个圆锥中，体积较大者的高与体积较小者的高的比值为______.

【答案】3【解析】【分析】可先画出图形，由球体积和两个圆锥的体积之和求出球半径和底面半径，由截面圆中的直角三角形利用勾股定理求出1OO，则两高可得，结论可求.【详解】如图所示，设圆锥11PO与圆锥21PO

公共底面得圆心为1O,取底面圆周上一点Q，令底面半径为r，球半径为R,因为球的体积为32π3，所以3432ππ33R=,解得2R=,因为两个圆锥的体积之和为4π，所以21π24π3rR=即24π4π3r=解得3r=，

在直角三角形1OOQ中2211431OOOQOQ=−=−=，可得1111211POPOOO=−=−=,2121+2+13POPOOO===，所以体积较大者的高与体积较小者的高的比值2111331POPO==.故答案为：3.四、解答题（本大题共

6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知直线1:260lxy−+=和2:10lxy−+=的交点为P．（1）若直线l经过点P且与直线343:50xyl−−=平行，求直线l的方程；（2）若直线m经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线m的方程．【

答案】（1）4380xy−+=（2）25100xy−−=或85200xy−+=【解析】【分析】（1）由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；（2）设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.【小问1详解】

解：联立12,ll的方程26010xyxy−+=−+=，解得54xy=−=−，即(5,4)P−−设直线l的方程为：430xyc−+=，将(5,4)P−−带入可得8c=所以l的方程为：4380xy−+=；【小问2详解】解

：法①：易知直线m在两坐标轴上的截距均不为0，设直线方程为：1xyab+=，则直线与两坐标轴交点为(,0),(0,)AaBb，由题意得541152abab−−+==，解得：52==−a

b或524ab=−=所以直线m的方程为：152xy+=−或1542xy+=−，即：25100xy−−=或85200xy−+=.法②：设直线m的斜率为(0)kk，则m的方程为4(5)ykx+=+，当0x=时，54yk=−当0y=时，45xk=−所以1454552kk−−=，解得：

25k=或85k=所以m的方程为24(5)5yx+=+或84(5)5yx+=+即：25100xy−−=或85200xy−+=.18.为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布

直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组)45,55，第二组)55,65，第三组)65,75，第四组)75,85，第五组)85,95.已知图中第三组频率为0.45，第一组和第五组的频率相同.（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人数；（

3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数精确到0.1）【答案】（1）0.02,0.045ab==（2）90（3）69.5;69.4【解析】【分析】（1）由频率分布图中小矩形面积之和为1，能

求出,ab的值；（2）先由题意求出高分频率，再根据公式求出频数即可；（3）根据平均数和中位数的定义即可求解.【小问1详解】第一组)45,55频率100.0050.05=，第二组)55,65频率100.0250.25=，第三组)6

5,75频率10b,第四组)75,85频率10a,第五组)85,95频率100.0050.05=,由概率之和为1，可得0.050.2510100.051ba++++=即0.065ab+=，第三组频率为0.45，可得100.45b=，解得0.02,0.045ab==，

【小问2详解】高分（大于等于80分）频数()85800.02100.0050.15−+=，则估算高分（大于等于80分）频数为0.1560090=（人），【小问3详解】估计平均数为0.05500.25600.45700.2800.059069.5+

+++=，设中位数为x，由于0.050.250.450.750.5++=，故)65,75x，()0.050.250.045650.5x++−=，解得69.4x，故中位数为69.4.19.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()()3

sincoscosbACcaB−=−.（1）求角B大小；（2）若5a=，3c=，O为ABC的重心，求OAC的面积.【答案】（1）2π3（2）534【解析】【分析】（1）由3sin1cosBB=−，再利用辅助角公式化简可得π1sin62B+=，解三角方程可得

B；（2）由O为ABC的重心，得到点O到线段AC的距离与点B到线段AC的距离的比值，再将其转化为面积比，则面积可求.【小问1详解】()()3sincoscosbACcaB−=−由正弦定理可得()()sin3sincossinsincosBACCAB−=−，3sinsinsincossincos

sincosABBCCBAB−=−，3sinsinsincossincossincosABCBBCAB=+−，()3sinsinsin+sincosABCBAB=−，又三角形中πBCA+=−,可得()3sinsinsinπsincosABAAB=−−，3sinsinsi

nsincosABAAB=−，又sin0A3sin1cosBB=−，可得π1sin62B+=,又()0,πB即ππ7π,666B+，可得π5π66B+=，则2π3B=.【小问2详解】连接BO并延长使其交AC与点D，

如图，因为O为ABC的重心，所以13ODBD=,则点O到线段AC的距离是点B到线段AC的距离的13，则11111353sin533323224OACBACSSacB====.20.如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，1PD

DC==，M为BC的中点，且PBAM⊥．（1）求BC；（2）求二面角APMB−−的余弦值．【答案】（1）2（2）31414【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用0PBAM=求得BC.（2）利用向量法求得二面角APMB−−的余弦值.【小问1

详解】PD⊥平面ABCD，,ADCD平面ABCD，所以,PDADPDCD⊥⊥，四边形ABCD为矩形，ADCD⊥，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz−，设2BCa=，则()0,0,0D、()0,0,1P、()2,1,0Ba、(

),1,0Ma、()2,0,0Aa，则()2,1,1PBa=−，(),1,0AMa=−，PBAM⊥，则2210PBAMa=−+=，解得22a=，故22BCa==；【小问2详解】设平面PAM的法向量为()111,,mxyz=，则

2,1,02AM=−，()2,0,1AP=−，由111120220mAMxymAPxz=−+==−+=，取12x=，可得()2,1,2m=，设平面PBM的法向量为()22

2,,xnyz=，2,0,02BM=−，()2,1,1BP=−−，由222220220nBMxnBPxyz=−==−−+=，取21y=，可得()0,1,1n=，设二面角APMB−−的平面角为，则3314cos1472mnmn===，由图可知，二面角APM

B−−为锐角，所以二面角APMB−−的余弦值为31414.21.已知圆()22:21Cxy−+=，点P是直线:0lxy+=上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.（1）若P坐标为()1,1P−，求过点P的切线方程；（2）直线0xy

m−+=与圆C交于E，F两点，求OEOF的取值范围（O为坐标原点）.【答案】（1）10y−=或3410xy+−=.（2）)2,522+【解析】【分析】（1）过点P设直线方程，然后由圆心到直线的距离等于半径构建方程，即可求出切线；（2）联立圆与直线，利用韦达定理

构建OEOF的函数式，再求其范围即可.【小问1详解】P的坐标为()1,1P−,当斜率不存在时可设线为=1x−，此时圆心()2,0C到直线的距离()21=31d=−−，不符合切线要求，舍去；当斜率不存在时可设线为()11ykx−=+，即1

0kxyk−++=，的此时圆心()2,0C到直线的距离221=11kkdk++=+，即2430kk+=，可得0k=或34−，过点P的切线方程为10y−=或3410xy+−=.【小问2详解】设()11,Exy，()22,Fxy联立()22021xymxy−+=−+=，

消去y，可得()()2221xxm−++=，化简可得：()2222430xmxm+−++=，则()()22244230mm=−−+，即2420mm++，解得2222m−−−+，由韦达定理可得122xxm+=−，21232mxx+=，()()12121212

OmxEOxxyyxFxmx=+=+++()()22222121223212xxmxxmmmmmm=+++=++−+=++，又2222m−−−+，())2122,522mOEOF=+++.22.已知函数()fxxxax=−+，aR.（1）若0a=

，判断函数()yfx=的奇偶性（不需要给出证明）；（2）若函数()fx在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数2,3a−，使得关于x的方程()()0fxtfa−=有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围.【答案】（1）奇函数

；（2）11a−；（3）413t．【解析】【分析】（1）若0a=，写出函数()fx的解析式，可判断出该函数的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；（3）根据方程()()0fxtfa−=有三个不同的

实数根，建立条件关系即可得到结论．【详解】（1）当0a=时，()fxxxx=+为奇函数；（2）()()()221,1,xaxxafxxaxxa+−=−++.函数()21yxax=+−的对称轴为直线12ax−=，函数()21yxax=−

++的对称轴为直线12ax+=.若函数()fx在R上是增函数，则1122aaa−+，解得11a−；（3）方程()()0fxtfa−=的解即为方程()()fxtfa=的解．①当11a−时，函数()fx在R上是

增函数，所以，关于x的方程()()fxtfa=不可能有三个不相等的实数根；②当1a时，即1122aaa+−，所以，函数()fx1,2a+−上单调递增，在1,2aa+上单调递减，在(),a+上单调递增，当()()12afatfaf+

时，关于x的方程()()fxtfa=有三个不相等的实数根，即()214aata+，即()2214124ataaaa=+++，因为1a，所以，11124taa++．设()1124haaa=++，存在2,3a−使得关于x的方

程()()fxtfa=有三个不相等的实数根，所以，()max1tha，下证函数()1124haaa=++在(1,3上单调递增．在任取1a、(21,3a且12aa，则()()1212

1211112244hahaaaaa−=++−++()()()1212211212121144aaaaaaaaaaaa−−−=−+=，因为1213aa，则120aa−，121

aa，所以，()()12haha，故函数()1124haaa=++在(1,3上单调递增．所以当(1,3a时，()max43ha=，故413t；③当1a−时，即1122aaa−+，函数()yfx=在(),a−上单调递增，在1,

2aa−上单调递减，在1,2a−+上单调递增，当()()12aftfafa−时，关于x的方程()()fxtfa=有三个不相等的实数根.即()214ataa−−，1a−，所以，11124taa−+

−，设()1124gaaa=−+−，下证函数()ga在)2,1−−上为减函数，任取1a、)22,1a−−且12aa，则()()12121211112244gagaaaaa−=−+−++−()(

)()1212211212121144aaaaaaaaaaaa−−−=−−+=−，因为1221aa−−，则120aa−，121aa，所以，()()12gaga，故函数()1124gaaa=−+−在)2

,1−−上单调递减．因为存在2,3a−使得关于x的方程()()fxtfa=有三个不相等的实数根，所以，()()max9281tgag==−，所以，918t.综上：413t．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法

：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直

角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com