【文档说明】北京市通州区2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷 Word版含解析.docx，共(19)页，1.245 MB，由小赞的店铺上传

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通州区2023—2024学年第一学期高二年级期末质量检测数学试卷2024年1月本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共

40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知等差数列59,10,20naaa==，则1a等于（）A.1−B.0C.2D.5【答案】B【解析】【分析】设出等差数列na的公差为d，建立等量关系求解即可.【详解】设等差数列na的公差为

d，因为5910,20aa==，所以11410820adad+=+=，解得：52d=，10a=.故选：B.2.已知P为双曲线221916xy−=右支上一点，12,FF为双曲线的左右焦点，12PFPF

−等于（）A8B.6C.4D.3【答案】B【解析】【分析】由双曲线的定义即可求出结果.【详解】因P为双曲线221916xy−=右支上一点，所以1226PFPFa−==.故选：B..为3.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点为12,FF

，上下顶点为12,BB，若四边形1122FBFB为正方形，则椭圆C的离心率为（）A.2B.32C.22D.12【答案】C【解析】【分析】根据四边形1122FBFB为正方形得到,bc的关系，结合离心率计算公式求解出结果.【详解】因为四边形1122FBFB为正方形，所以1212FFBB=，所以b

c=，所以2222222222ccccaabcc====+，故选：C.4.已知点()00,Axy在抛物线24yx=上，且点A到抛物线准线的距离为3，则0y等于（）A.1B.2C.2D.22【答案】D【解析】【分析】由抛物线的定义可求出0

2x=，再由2004yx=即可求出结果.【详解】由抛物线的定义知，点A到抛物线准线的距离为00132pxx+=+=，所以02x=，又20048yx==，所以022y=.故选：D.5.已知双曲线2222:1(0,0)yxCabab−=的离心率为233，则C的渐近线方

程为（）A.3yx=B.3yx=C.33yx=D.13yx=【答案】A【解析】【分析】先根据离心率计算出ba的值，然后根据渐近线方程为ayxb=分析出结果.【详解】因为双曲线C的离心率为233，所以22222313ccbaaa==+=，所以33b

a=，又因为2222:1(0,0)yxCabab−=的渐近线方程为ayxb=，且3ba=，所以渐近线方程为3yx=，故选：A.6.已知数列11,1,2nnnnaaaa+=−=，则10a等于（）A.511B.1022C.1023D.2047【答案】C【解析

】【分析】根据递推关系，利用累加法及等比数列求和公式得解.【详解】因为12nnnaa+−=，所以212aa−=，2322aa−=，3432aa-=，4542aa−=，L，91092aa−=，累加可得：9239101012

(12)22222212aa−−=++++==−−，所以1010211023a=−=.故选：C7.已知等差数列na的前n项和为nS，若110a=，公差2d=−，则（）A.nS有最大值为1214B.

nS有最大值为814C.nS有最大值为30D.nS有最小值为30【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的求和公式结合二次函数性质求解即可.【详解】由110a=，公差2d=−得，()()21102112nnnSnnn−=+−=−+，易知n一定为正整数，且结合二次函数性

质得当5n=或6n=时，nS取得最大值30，显然C正确.故选：C8.已知首项为1a，公比为q的等比数列na，其前n项和为nS，则“10,1aq”是“nS单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由10nnnS

Sa−−=可判断充分性；取111,2aq==可判断必要性.【详解】在等比数列na中，10,1aq，则110nnaaq−=，当2n时，10nnnSSa−−=，所以nS单调递增，故充分性成立；当nS单调递增时，111,2aq==时，1

1121211212nnnS−==−−单调递增，但是推不出10,1aq，故必要性不成立.故选：A.9.已知双曲线22:13xCy−=的左、右焦点分别为12,FF，直线yxm=+与C交于A，B两点，若1FAB面积是2F

AB面积的2倍，则m等于（）A.6B.23C.23−D.6−【答案】D【解析】【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与x轴交点后求参数即可.【详解】易得3,1,2abc===，故214FF=，设11(,)Axy，22(,)

Bxy，直线yxm=+与x轴交点(,0)−Mm，1FAB面积为1S，2FAB面积为2S，由题意得1FAB面积是2FAB面积的2倍，则11221211222FMyyFMyy−=−，化简得122FMFM=，结合214FF

=，故124FMFM=+，解得24FM=，即(6,0)M，故6m−=，解得6m=−.故选：D.10.已知数列na的通项公式为121nnan−=+，给出下列四个结论：①数列na为单调递增数列，且存在常数

2m−，使得nam>恒成立；②数列na为单调递减数列，且存在常数2m−，使得nam>恒成立；③数列na为单调递增数列，且存在常数0m，使得nam恒成立；④数列na为单调递减数列，且存在常数0m，使得nam恒成立．其中正确结论的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【

答案】B【解析】【分析】先根据1nnaa+−的正负判断出na的单调性，然后根据na的单调性求解出na的取值范围，由此可判断出正确结论.【详解】因为121nnan−=+，所以1122nnan+−−=+，所以()()1121221213

0211212nnannnnnnnnann+−−−−+−−=−=+++=+++−，所以na为单调递减数列；又因为1222332111nnnannn−−−+===−++++，当n→+且*Nn，2n

a→−，当1n=时，131222a=−+=−，所以12,2na−−，当2m−时，nam>恒成立，当102m−时，nam恒成立，由上可知，②④正确，故选：B.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知等

比数列23,1,3naaa==，则5a=__________．【答案】27【解析】【分析】先求出公比，然后代入即可求解.【详解】由题意323aqa==（q为公比），所以22533327aaq===.故答案为：27.

12.若抛物线22(0)ypxp=的准线经过双曲线2213xy−=的左焦点，则p=__________．【答案】4【解析】【分析】根据双曲线的方程得出其左焦点为()2,0F−，根据抛物线的方程得出其准线为2px=−，再根据条件即可求出结果.【详解】因为双曲线2213xy−=

的左焦点为()2,0F−，又抛物线22(0)ypxp=的准线为2px=−，所以22p−=−，得到4p=，故答案为：4.13.已知数列nb的通项公式是24nbntn=−+，使数列中存在负数项的一个t的值为__________．【答案】5（答案不唯一，()4,+中的一个值）【解

析】【分析】记2Δ16t=−，然后分类讨论Δ0、0，当Δ0以及4t−时可直接根据通项公式的取值正负作出判断，当4t时，根据2a的正负作出判断，由此可求解出结果.【详解】记()22Δ41416tt=−−=−，当0时，即44t−，显然240

nbntn=−+恒成立，不满足要求；当0时，4t−或4t，若4t−，则20,40tnn−+，所以240nbntn=−+恒成立，不满足要求；若4t，此时2820at=−，必然满足数列nb中存在负数项，由上可知

，t的可取值的范围是()4,+，故可取5t=，故答案为：5（答案不唯一，()4,+中的一个值）.14.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差不小于0.5m，已行车道AB总宽度||6(m)AB=

，则车辆通过隧道的限制高度为__________m．【答案】134##3.25【解析】【分析】先求出抛物线的解析式，再根据题意判断该隧道能通过的车辆的最高高度即可得到结论.【详解】取隧道截面，抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，设抛物线方程为22(0)xpyp

=−，由图易知抛物线过点(4,4)−，所以168p=，得到2p=，故抛物线方程为24xy=−，又行车道AB总宽度||6mAB=，将3x=代入，得到2.25y=−，所以限制高度为62.250.53.25m−−=，故答案为：3.25m.15.已知曲线:||||1Wxy=．关于曲线W有四个结论：①曲线

W既是轴对称图形又是中心对称图形；②曲线W的渐近线方程为0,0xy==；③当0xy时曲线W为双曲线，此时实轴长为2；④当0xy时曲线W为双曲线，此时离心率为2．则所有正确结论的序号为__________．【答案】

①②④【解析】【分析】①根据以x−代换x、y−代换y、以x−代换x，y−代换y后方程是否变化作出判断；②根据0xy、0xy时,xy的关系式作出判断；③根据,xy的关系式判断是否为双曲线，然后通过将图形顺时针旋转45再作出判断；④根据,xy的关系式判断是

否为双曲线，结合③中的旋转过程以及渐近线方程可求解出离心率.【详解】①以x−代换x可得方程||||1xy−=，即为||||1xy=，故曲线关于y轴对称，以y−代换y可得方程||||1xy−=，即为||||1xy=，故曲线关于x轴对称，以x−代换

x，y−代换y可得方程||||1xy−−=，即为||||1xy=，故曲线关于原点成中心对称，所以曲线W既关于x轴对称，也关于y轴对称，同时关于原点成中心对称，故①正确；②如下图：当0xy时，1yx=，可知渐近线为0,0xy==；当0xy时，1yx=−，

可知渐近线为0,0xy==；所以曲线W的渐近线方程为0,0xy==，故②正确；③当0xy时，1yx=，显然此时曲线W为双曲线，因为1yx=与yx=的交点为()()1,1,1,1AB−−，所以2OAOB==，将双曲线绕原点顺时针旋转45，如下图：此时双

曲线与x轴的交点为()2,0，所以2a=，所以实轴长为222a=，故③错误；④当0xy时，1yx=，显然此时曲线W为双曲线，将双曲线绕原点顺时针旋转45，此时渐近线方程为yx=，所以1ba=，所以离心率22212ccbeaaa===+=，故④正确，故答案为：①②

④.【点睛】结论点睛：曲线C的方程为(),0Fxy=，①如果(),0Fxy−=，则曲线关于y轴对称；②如果(),0Fxy−=，则曲线关于x轴对称；③如果(),0Fxy−−=，则曲线关于原点成中心对称.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明

、演算步骤或证明过程．16.已知圆22:4240Cxyxy+−−+=，点()1,0P−．（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）求过P点的圆C的切线方程．【答案】（1）圆心坐标为()2,1，半径为1（2）0y=或3

430xy−+=【解析】【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心和半径；（2）先考虑切线斜率不存在，直接分析即可；再考虑切线斜率存在，根据圆心到直线的距离等于半径可求结果.【小问1详解】将圆的一般方程化为标准

方程可得：()()22:211Cxy−+−=，所以圆心坐标为()2,1，半径为1.【小问2详解】当切线斜率不存在时，切线方程为=1x−，此时()211−−，不符合题意；当切线斜率存在时，设过P点的切线方程为()1ykx=+，即0kx

yk−+=，圆心到直线0kxyk−+=的距离22|21||31|111kkkdkk−+−===++，解得0k=或34k=，当0k=时，切线方程为0y=，当34k=时，切线方程为()314yx=+，即3430xy−+=，综上所述，过P点的圆C的切线方

程为0y=或3430xy−+=．17.已知直线30xy+−=与抛物线2:8Cyx=相交于A，B两点．（1）求弦长AB及线段AB的中点坐标；（2）试判断以AB为直径的圆是否经过坐标原点O？并说明理由．【答案】（1）85AB=，中点

坐标为(7,4)−（2）以AB为直径的圆不经过坐标原点O，理由见解析【解析】【分析】（1）设出,AB坐标，联立直线与抛物线方程得到横坐标的韦达定理形式，根据弦长公式结合韦达定理可求AB，根据1212,xxyy++的值可求线段AB的中点坐标；

（2）根据韦达定理计算出1212xxyy+的值，然后可判断出结果.【小问1详解】设()()1122,,,AxyBxy，联立2308xyyx+−==，消去y整理得21490xx−+=，且21441916

00=−=，所以1212149xxxx+==，所以()2212121421963685ABkxxxx=++−=−=，又因为12121214,338xxyyxx+=+=−+−=−，所以线段AB的中点坐标为(

)7,4−．【小问2详解】以AB为直径的圆不经过坐标原点O．因为()()()12121212121233239150OAOBxxyyxxxxxxxx=+=+−−=−++=−，所以OA与OB不垂直，故以AB为直径的圆不经过坐标原点

O．18.设数列na为公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个符合题目要求的条件作为已知，完成下列问题．（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．条件①：124aa+=且48S=;条件②

：123aa+=且410S=；条件③：48S=且682SS=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】18.选择条件①：0d=，不合题意；选择条件②：nan=；选择条件③：23nan=−19.

选择条件②：nT1nn=+；选择条件③：21nnTn=−−.【解析】【分析】（1）选①，利用等差数列的性质转化为首项和公差的方程组，求出公差不符合题意，选②，③利用等差数列的性质转化为首项和公差的方程组，求出首项和公差即可求出通项公式.（2）将第一问结论代入11

nnnbaa+=，再利用裂项相消即可求出结果.【小问1详解】设等差数列na首项为1a，公差为d．选择条件①：12124aaad+=+=且()412238Sad=+=，解得0d=，不合题意．选择条件②：1

23aa+=且410S=，由等差数列的通项公式及前n项和公式得1123,4610,adad+=+=解得11,1ad==．所以等差数列na通项公式为nan=．选择条件③：48S=且862SS=，由等差数列前n项

和公式得11234,2,adda+==−解得11,2ad=−=．所以等差数列na的通项公式为23nan=−．【小问2详解】选择条件②：因为nan=，所以11111(1)1nnnbaannnn+===−++，12nnTbbb=+++111122

3(1)nn=++++1111112231nn=−+−++−+11n1=−+1nn=+．选择条件③：因为23nan=−，所以111111(23)(21)22321nnnbaannnn+===−−−−−．所以12nnTbbb=+++1111113(23)(21)

nn=+++−−−的的11111111123352321nn=−−+−+−++−−−111221n=−−−21nn=−−．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA

⊥平面,2ABCDPAAB==．（1）求证：//AD平面PBC；（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值；（3）求点B到平面PCD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22（3）2【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定

理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出面面角的余弦值；（3）利用点到平面距离的向量公式求解即可.【小问1详解】因为ABCD为正方形，所以//ADBC，又BC平面PBC，AD平面PBC，所以//AD平面PBC.【小问2详解】因为PA⊥平面

ABCD，,ABAD平面ABCD，所以PAAB⊥，PAAD⊥，又ABAD⊥，所以,,ABADAP两两垂直，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，由2PAAB==，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0)

,(0,2,0),(0,0,2)ABCDP，()()()2,0,0,0,2,2,0,2,0DCPDAD==−=，设平面PDC的法向量(),,nxyz=，则20220nDCxnPDyz===−=，令1y=，则1z=，所以()0,1,1n=，又因为

AD⊥平面PAB，所以()0,2,0AD=为平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面PCD夹角为，则22coscos,222nADnADnAD====，所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为22.【小问3详解】因为平面PDC的法向量()0,1,1n=，()2,0,2P

B=−，所以()0210122222nPBdn++−====，所以点B到平面PCD的距离为2.20.已知椭圆2222:1xyCab+=，点A，B为椭圆C的左右顶点（A点在左），||4AB=，离心率为32．（1）求椭圆C的标准方程；（2

）过点()1,0−的直线l与椭圆C交于,MN（与A，B不重合）两点，直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上．【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件先求解出,ac的值，然后根据22bac=−求得b的值，则椭圆方程可知；（2）

设出l方程以及,MN坐标，然后联立直线与椭圆方程得到纵坐标的韦达定理形式，表示出直线,AMBN的方程并得到P点横坐标满足的关系式，结合韦达定理可求P点横坐标，由此完成证明.【小问1详解】由题意可知：2

432aca==，所以2,3ac==，所以221bac=−=，所以椭圆C的标准方程为2214xy+=；【小问2详解】证明：由题意，直线l的斜率不为0，设直线:1lxmy=−，()()1122,,,MxyNxy，联立221

44xmyxy=−+=可得()224230mymy+−−=，显然0，所以12122223,44myyyymm+==−++，所以()121232yymyy−+=，又因为()()2,0,2,0AB−，所以()()1212:2,:222AMBNy

ylyxlyxxx=+=−+−，令()()12122222yyxxxx+=−+−，则()()()()()()1221221211221212121121123312121222393223333222yyyyyyxymymyyyxxyxymymyyyyyyyy−++

−−++++======−−−−−+−−−，解得4x=−，即4Px=−，所以点P在定直线4x=−上.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及椭圆方程求解、椭圆中定直线问题，对学生的计算能力要求较高，难度较大.解答本题第二问的关键在于：利用纵坐标的韦达定理关系表示出直线AM与直线BN

的交点P的横坐标，根据坐标判断出点P是否位于定直线上.21.已知数列,nnab满足：1111110,0,,1111nnnnnnnniiiiabaabbab++===−=+++．（注：1123niin==++++）（1）若11a=，求2a及数列na的通项

公式；（2）若100100101101abab=，求11ab−的值．【答案】21.12，112nna−=22.199【解析】【分析】（1）根据递推关系式可得()*12111111Nnnnna

aaaa++++=−−，再写出1211211111nnnaaaaa++++++=−−，两式相减化简可得数列na成等比数列，即可得解；（2）根据递推关系得出()*11211111Nnnnnbbbbb+++

+=−−，再写出()*1212111111Nnnnnbbbbb++++++=−−两式相减可得数列1nnnbbb+−为等差数列，求出通项公式可得10111001200199bbbb+=+，再由（1）可得10011101211aa

aaaa+==，化简即可得解.【小问1详解】因为11a=，11111nnniiaaa+==−+，所以21111111221aaa=−=−=+.因为0na，11111nnniiaaa+==−+，所以()*11111

1,Nnnniinnaanaaa+=+=−−，即()*12111111Nnnnnaaaaa++++=−−①1211211111nnnaaaaa++++++=−−②②−①得1121111nnnnnaaaaa++++=−−−，化简得：212nnnaaa++=

，即121nnnnaaaa+++=，所以数列na成等比数列，公比为2112aa=，故112nna−=.【小问2详解】由（1）可知，121211111111111aaaaaaaaaa=−=−=+++，数列na为

等比数列，所以11111nnaaaa−=+，因为0nb，11111nnniibbb+==++，所以11111,1nnniinnbbbbb+=+=−−，即()*11211111Nnnnnbbbbb++++=−−③()

*1212111111Nnnnnbbbbb++++++=−−④④−③化简得2111111nnnnnbbbbb++++=+−−，变形得11121111112nnnnnnnnnnnnnnbbbbbbbb

bbbbbb++++++++−+=+=−+=+−−−，即()*12112Nnnnnnnbbnbbbb++++−=−−，由11111niinnbbb=+=−−，当1n=时，121111bbb=−−，即11211bbbb=+−，所以数列1nnnbb

b+−是以11b+为首项，2为公差的等差数列，所以()111212121.nnnbbnbnbbbb+=+−=+−−−所以111221nnbbnbbn++=+−，因为100100101101abab=，所以100101101100abab=，又121nnnnaaaa+++=，所以1009

911011002aaaaaa===，又因12111aaaa=+，所以11211aaaa+=，即11111200199abab++=+，即11199ab=+，所以11199ab=−.为【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对递推关系的变形，通过变形可得两个和式，作差后变形，能够证明数列为

等差或等比数列是解题的关键，其次对于抽象式子的运算、及有方向性的变形、推理是解决问题的第二个关键所在.