【文档说明】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二（6月）第二次月考数学（文）试题 【精准解析】.doc，共(19)页，1.403 MB，由小赞的店铺上传

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2021届高二年级下学期第二次月考数学（文科）试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数z满足()13izi+=+，其中i为虚数单位，则z=等于（）A.10B.10C.5D.5【答案】D【解析】由题意23(3)(1)3321(1)(1)2iiiiii

ziiii++−−+−====−++−，则25zi=−=，故选D．2.抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A为“两个点数不同”，事件B为“两个点数中最大点数为4”，则()PBA=（）A.112B.

16C.15D.56【答案】C【解析】【分析】抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A为“两个点数不同”的基本事件共有30种，再由“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件共有6种，利

用条件概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，抛掷两枚均匀骰子，构成的基本事件的总数共有36种，其中记事件A为“两个点数不同”的基本事件共有36630−=种，又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的基本事件为：(1,4),(2,

4),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)，共有6种，所以6()136()30()536PABPBAPA===，故选C．【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算方法，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

3.设xR，则“3x”是“21x”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：若3x，则根据不等式的性质有21x成立，但21x推不出3x，据此判断充

分必要性.详解：当3x时，291x，取2x=，则241x=，当23，故“3x”是“21x”的充分不必要条件，故选A.点睛：充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p则q”是真命题，“若q则p”是假命

题，则p是q的充分不必要条件；若“若p则q”是真命题，“若q则p”是真命题，则p是q的充分必要条件；若“若p则q”是假命题，“若q则p”是真命题，则p是q的必要不充分条件；若“若p则q”是假命题，“若q则p”是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件.4.执行如图所示的程序框图，若输入的

16n=，则输出的i，k的值分别为（）A.3，5B.4，7C.5，9D.6，11【答案】C【解析】执行第一次循环后，11s=+，2,3ik==，执行第二次循环后，112316s=+++，3,5ik==，执行第三次循环后，11233516s=+++++，4,7ik==，执行第四次循

环后1123354716s=+++++++，此时5,9ik==，不再执行循环体，故选C.点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.5.已知,xy的取值如下表：（）x01，234y11

.33.25.68.9若依据表中数据所画的散点图中，所有样本点()(,)1,2,3,4,5iixyi=都在曲线212yxa=+附近波动，则a=（）A.1B.12C.13D.12−【答案】A【解析】设2tx=，则11(014916)6,(11.33.25.68.9)455t

y=++++==++++=，所以点（6,4）在直线12yta=+上，求出1a=，选A.点睛：本题主要考查了散点图，属于基础题．样本点的中心(),xy一定在直线回归直线上，本题关键是将原曲线变形为12yta=+，将点（6,4）代入，求出值．6.不等式2313xxaa+−−−

对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A.(,1][4,)−−+B.(,2][5,)−−+C.[1,2]D.(,1][2,)−+【答案】A【解析】因为24314313xxxxaa−+−

−+−−−对对任意x恒成立，所以22343041aaaaaa−−−即，解得或．7.甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为P、23、35，若三人中有人达标但没有全部达

标的概率为23，则P等于（）A.23B.34C.45D.56【答案】B【解析】试题分析：人中有人达标但没有全部达标，其对立事件为“人都达标或全部没有达标”，则()231221135353PP+−=−，解得34P=.故选

B.考点：古典概型.8.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A.nB.2nC.1n+D.1n−【答案】C

【解析】【分析】由图二，可以求出当1n=时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A、B、D选项．【详解】由题意知，当1n=时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n=时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3

，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n+；也可以通过排除法，当1n=时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A、B、D都不满足题意，从而选出答案．故选C.【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．9.察下列各式：33

2123+=，33321236++=，33332123410+++=……，则3337815+++=（）A.14400B.13959C.14175D.13616【答案】B【解析】【分析】由有限项可得2333(1)12...2nnn++++=，再代入运算即可得解.【详解】

解：由332123+=，33321236++=，33332123410+++=……，则2333(1)12...2nnn++++=，则3337815+++215(151)2+=−

26(61)2+2212021(12021)(12021)13959=−=+−=，故选：B.【点睛】本题考查了归纳推理能力，重点考查了运算能力，属中档题.10.若2x=−是函数21()(1)xfxxaxe−=+−的极值点，则()fx的极小值为（）．A

.1−B.32e−−C.35e−D.1【答案】A【解析】由题可得()()()()121212121xxxfxxaexaxexaxae−−−=+++−=+++−，因为()20f−=，所以1a=−，()()211xfxxxe−=−−，故()()212xf

xxxe−−=+，令()0fx，解得2x−或1x，所以()fx在()(),2,1,−−+上单调递增，在()2,1−上单调递减，所以()fx的极小值为()()1111111fe−=−−=−，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要

条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11.若曲线3222yxx=−+在点A处的切线方程为46yx=−，且点A在直线10mxny+−=（其中

0m，0n）上，则12mn+的最小值为（）A.42B.322+C.642+D.82【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝

3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s23=−，t263=−，由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s23=−，t263=−，舍去），

则12mn+=（2m+2n）（12mn+）＝2（32nmmn++）≥2（3+22nmmn）＝6+42，当且仅当n2=m时，取得最小值6+42，故选C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．12.函数()fx的定义

域为(,2)−，()fx为其导函数，若'1(2)()()xxxfxfxe−−+=且(0)0f=，则()0fx的解集为（）A.(,0)−B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)【答案】D【解析】【分析】设()(2)()gxxfx=−，由已知可得()gx在(1

,2)上单调递减，在(,1)−单调递增，且(0)0g=，(2)0=g，()0fx()0gx，结合图象即可得到答案.【详解】设()(2)()gxxfx=−，由已知，得'1()xxgxe−=，显然当12x时，'()0gx，当1x时，'()0g

x，故()gx在(1,2)上单调递减，在(,1)−单调递增，且(0)(02)(0)0gf=−=，(2)(22)(2)0gf=−=，作出示意图如图()()002gxfxx−，所以只需()0gx即可，解得02x

.故选：D【点睛】本题考查构造法解不等式，涉及到利用导数研究函数的单调性，考查学生的转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.复数()()223456zmmmmi=−−+−−为纯虚数，则实数m=________【答案】4【

解析】【分析】若复数zabi=+为纯虚数，则00ab=，再将题设中的条件代入运算即可.【详解】解：因为复数()()223456zmmmmi=−−+−−为纯虚数，所以22340560mmmm−−=−−，解得4161mmmm==−−或且，即4m=，故答案为

4.【点睛】本题考查了纯虚数的概念，属基础题.14.已知命题:p方程22113xymm+=+−表示焦点在y轴上的椭圆，命题:q关于x的方程22230xmxm+++=无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题.则

实数m的取值范围为_______.【答案】13m【解析】【分析】分别由命题p和命题q为真，求出m的范围，再根据复合命题的真假得到命题p与命题q必是一真一假，再分两种情况列式即可解得结果.【详解】由方程22113xymm+=+−表示焦点在y轴上的椭圆，可得310mm−+

，解得11m−.由关于x的方程22230xmxm+++=无实根，可得244(23)0mm=−+，即2230mm−−，解得13m−.因为“pq”为假命题，“pq”为真命题，所以命题p与命题q必是一真一假，当p真q假时，有1113mm

m−−或，此时无解，当p假q真时，有1113mmm−−或，解得13m.所以实数m的取值范围为13m.\故答案为：13m.【点睛】本题考查了由复合命题的真假判断命题的真假，考查了

由命题的真假求参数的取值范围，考查了椭圆的标准方程，考查了二次方程的实根的问题，属于中档题.15.用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数

”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________________．【答案】a，b，c，d全是负数【解析】【分析】考虑命题的反面，即可得出结论.【详解】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结

论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．故答案为：a，b，c，d全是负数【点睛】本题考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，属于基础题.

16.设P是边长为a的正ABC内的一点，P点到三边的距离分别为123hhh、、，则12332hhha++=；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和1234hhhh+++=___________．【答案】63a.【解析】【分析

】由平面几何类比到空间几何体，注意式子结构上的变化．【详解】根据等边三角形面积公式234Sa=，因为P点到三边的距离分别为123hhh、、，所以()21231324ahhha++=即12332hhha++=正四面体的体积为3212Va=P点到四个面的距离为1234hhhh、、、，所

以()2312341323412ahhhha+++=所以123463hhhha+++=【点睛】本题考查了类比推理的简单应用，从平面几何到空间几何体，属于基础题．三、解答题（共70分）17.已知函数()|2||2|fxxax=+−−.

（1）当2a=时，求不等式()21fxx+的解集；（2）若不等式()2fxx−对任意的(0,2)x恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）|5xx−或1x=；（2）1,3−.【解析】【分析】（1）当a＝2时，结合函数的解析式零点分段求解不等式的解集即可；（2）原问题等价于26ax

x−，据此结合恒成立的条件确定实数a的取值范围即可.【详解】（1）当a＝2时，()4,22223,214,1xxfxxxxxxx−−=+−−=−−+，当x≤－2时，由x－4≥2x＋1，解得x≤－5；当－2＜

x＜1时，由3x≥2x＋1，解得x∈∅；当x≥1时，由－x＋4≥2x＋1，解得x＝1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x＝1}．（2）因为x∈（0，2），所以f（x）＞x－2等价于|ax－2|＜4，即等价于26axx−，所以由题设得26axx−在x∈（0，2）

上恒成立，又由x∈（0，2），可知21x−−，63x，所以－1≤a≤3，即a的取值范围为[－1，3]．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与

方程的思想．18.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2sincos0−=，以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，已知M点的坐标为(0,1)，直线l的参数方程为22212xtyt=−=+

（t为参数），且与曲线C交于,AB两点.（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求||||MAMB的值.【答案】（1）1yx=−+；（2）2.【解析】试题分析：（1）将cosx=，siny=代入可得曲线C的直角坐标方程，消去参数t

可得直线l的普通方程；（2）将直线的参数方程代入带抛物线中，根据参数的几何意义可得MAMB的值.试题解析：（1）∵cosx=，siny=，由2sincos0−=，得22sincos=.∴2yx=，即为曲线C的直角坐标方程；由22212xtyt=−

=+消去参数t可得直线l的普通方程为1yx=−+.（2）把直线l的参数方程为22212xtyt=−=+（t为参数）代入曲线C的方程，得：222122tt+=−，即2322

0tt++=，()23242100=−=，设,AB对应的参数分别为12,tt，则1212322tttt+=−=，又直线l经过点M，故由t的几何意义得：点M到,AB两点的距离之积12122MAMB

tttt===.19.目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期低于平均数的患者，称为“短潜伏者”

，潜伏期不低于平均数的患者，称为“长潜伏者”.（1）求这500名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数；（2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述500名患者中抽取300

人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关；短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上9060岁以下140合计300附表及公式：()20PKk0.150.100.050.

0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++【答案】（1）平均数6；人数250人（2）见解析，有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关【解析】【分析】（1）用各

个矩形的面积乘以矩形底边的中点值再相加即可得到平均数，用样本容量乘以频率可得频数；（2）根据分层抽样完善列联表，根据公式计算出2K的值，结合临界值表可得结论.【详解】（1）平均数为()0.0210.0830.1550.1870.0

390.03110.011326++++++=.“长潜伏者”即潜伏期时间不低于6天的频率为()0.180.030.030.0120.5+++=，所以500人中“长潜伏者”的人数为5000.5250=人（2）因为500人中“长潜伏者”的人数为250人，“短潜伏者”

的人数为250人，按分层抽样可知，300人中“长潜伏者”的人数为150人，“短潜伏者”的人数为150人，因为60岁及以上的“短潜伏者”的人数为90人，所以60岁以下的“短潜伏者”的人数为60人，又60岁以下的人数为140人，所以60岁以下的“长潜伏者”的人数为

80人，所以60岁及以上的“长潜伏者”的人数为70人，由此可得补充后的列联表如图：短潜伏者长潜伏者合计60岁及以上907016060岁以下6080140合计150150300所以2K的观测值为22300(90

806070)755.3575.02415015016014014K−==，经查表，得()25.0240.025PK，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.【点睛】本题考

查了利用频率分布直方图求平均数、频数，考查了分层抽样，考查了完善列联表，考查了独立性检验，属于基础题.20.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，60ABC=，1,PAABE==为PC的中点.（1）求证：//PA平面BDE；（2）求三棱锥PBDE−的体积.【答案

】(1)见解析；(2)324PBDEV−=．【解析】【分析】（1）设ACBDO=，连接OE，由中位线定理可得//PAOE，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）根据等积变换及棱锥的体积公式可得，13224PB

DEABDEEABDPABDVVVV−−−−====.【详解】（1）证明：设ACBDO=，连接OE，则//PAOE，又OE平面BDE，且PA平面,//BDEPA平面BDE.（2）11113311223222

4PBDEABDEEABDPABDVVVV−−−−=====.21.已知函数()()xfxaexaR=−，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）试判断函数()fx的单调性；（Ⅱ）当21ae=时，不等式()2lnfxxxt−+恒成立，求

实数t的取值范围．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)(,12ln2−−【解析】【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，()fx＜0，f（x）为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各段内的符号得

到原函数的单调性；（Ⅱ）分离参数t，可得22lnxetxe−恒成立．令()22lnxegxxe=−，则问题等价于求解函数g（x）的最小值，然后利用导数分析求解函数g（x）的最小值得答案．【详解】（Ⅰ）由题可得函数(

)fx的定义域为R，()1xfxae=−，当0a时，因为0xe，所以()0fx，所以函数()fx在R上单调递减；当0a时，令()0fx，解得lnxa−；令()0fx，解得lnxa−，所以函数()fx在(),lna−−上单

调递减，在)ln,a−+上单调递增．综上，当0a时，函数()fx在R上单调递减；当0a时，函数()fx在(),lna−−上单调递减，在)ln,a−+上单调递增．（Ⅱ）当21ae=时，()2xefxxe=−，则不等式()

2lnfxxxt−+可化为22lnxetxe−，因为不等式()2lnfxxxt−+恒成立，所以原问题可转化为2min2lnxetxe−．设()22lnxegxxe=−，显然函数()gx的定义域为()0,+，()22xegxex=−，令()22(0)xehxxex=−

，则()222'0xehxex=+恒成立，所以函数()hx在()0,+上单调递增，又()222202ehe=−=，所以当02x时，()0gx；当2x时，()0gx，所以函数()gx在()0,2上单调递减，在)2,+上单调递增，所

以()()min212ln2gxg==−，所以12ln2t−，故实数t的取值范围为(,12ln2−−．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数最值的求法，考查了利用分离变量法求解恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想，是中档题．22.在平面直角坐

标系xOy中，已知椭圆()2222:10xyCabab+=过点()2,1P，且离心率32e=.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A、B两点，求PAB的面积的最大值.【答案】（1）22182xy+=；（2）2.【解析】【分

析】（1）由椭圆C的离心率可得出224ab=，将点P的坐标代入椭圆C的方程，可得出2a和2b的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）设直线l的方程为12yxm=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，由求出2m的范围，列出韦达定理，利用弦长公式计算出

AB，利用点到直线的距离公式求出PAB的高，然后利用三角形的面积公式结合基本不等式可求出该三角形面积的最大值.【详解】（1）设椭圆C的焦距为()20cc，则22222222314cabbeaaa−===−=，224ab=.则椭圆C的方程可化为222214xybb+=，将点P的坐标代

入椭圆C的方程得224114bb+=，可得22b=，28a=，因此，椭圆C的方程为22182xy+=；（2）设直线l的方程为12yxm=+，设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线l的方程与椭圆C的方程联立221

2182yxmxy=++=，消去y，整理得222240xmxm++−=，()2244240mm=−−，得24m.由韦达定理得122xxm+=−，21224xxm=−.则()()22212121215145422ABxxxxxxm=+−=+−=−，

直线l的一般方程为220xym−+=，点P到直线l的距离为()222512mmd==+−，所以，()()22222211454422225PABmmmSABdmmm−+==−=−=，当且仅当224mm−=时，即当2m=时，等号成立，因此，PAB面积的最大值为2.【点睛】本题考查椭圆

方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求解直线与椭圆的综合问题时，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查运算求解能力，属于中等题.