【文档说明】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二（6月）第二次月考数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(19)页，1.461 MB，由管理员店铺上传

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2021届高二年级下学期第二次月考数学（理科）试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.定义运算abadbccd=−，则符合条件1142izzi−=+的复数z为（）A.3i−B.13i+C.3i+D.13i−【答案】A【解析】试题分析：由题意得()()()()4

2142624231112iiiiziziziiii+−+−+=+====−++−考点：复数运算2.用数学归纳法证明“()*111112321nnnNn++++−，”时,第一步需要验证的不等式是（）A.123B.1122+C.111223++D.11112234+++【

答案】C【解析】【分析】第一步验证2n=是的情况，即111223++，得到答案.【详解】()*111112321nnnNn++++−，第一步验证2n=时的情况，即111223++故选C【点睛】本题考查了数学归纳法，属于简单题型.3.在一组样本数据()11,

xy，()22,xy，…，(),nnxy（2n…，1x，2x…nx不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)iixyin=都在直线y=3?x+1−上，则这组样本数据的样本相关系数为（）A.-3B.0C.-1D.1【答案】C【解析】因为所有样本点()(),1,2,,iixyin=

都在直线31yx=−+上，所以回归直线方程是31yx=−+，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点()(),1,2,..,iixyin=，都在直线上，则有1,r=相关系数1r=−，故选C.4.为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩

有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：及格不及格合计很少使用手机20525经常使用手机101525合计302050则有（）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．参考公式:()()()()()22=nad

bcKabcdacbd−++++，其中nabcd=+++()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A.97.5%B.99%C.99.5%D.99.9%【答案】C【

解析】【分析】根据2×2列联表，求出k的观测值2K，结合题中表格数据即可得出结论.【详解】由题意，可得：222()50(2015105)258.3337.879()()()()302025253nadbcKab

cdacbd−−===++++，所以有99.5%的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响.故选C.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，考查了计算能力，属于基础题.5.经过选拔有5位同学进入猜谜背古诗朗读共三项的决赛，每人三个赛项均参与，每

个赛项只有唯一一个冠军.则不同的夺冠种数是（）A.35CB.35AC.35D.53【答案】C【解析】【分析】用分步乘法计数原理求解，用冠军选人的思路完成这件事．【详解】完成这件事分三步：第一步猜谜冠军有5种可能，第二

步背古诗冠军有5种可能，第三步朗读冠军有5种可能，共有夺冠种数35555=种．故选：C．【点睛】本题考查分步乘法计数原理，解题关键确定完成一件事的方法，是分类完成还是分步完成，注意分类与分步的区别．6.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A

.18种B.36种C.54种D.72种【答案】B【解析】【分析】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.【详解】把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，则不同的

分配方案有234336CA=种.故选：B.【点睛】本题考查排列组合，属于基础题.7.已知()13fxxx=++−的最小值为n，则多项式21(2)nxx−+展开式中x2项的系数为（）A.18B.26C.32D.38【答案】D【解析】【分析】利用绝对值三角不等式求得()fx的最小值n，结合乘

法分配律，求得所求2x项的系数.【详解】依题意()1313134fxxxxxxx=++−=++−++−=，当且仅当13x−时等号成立，所以4n=.所以多项式21(2)nxx−+即241(2)xx−+，也即2222

1111(2)(2)(2)(2)xxxxxxxx−+−+−+−+，要使乘法的结果包含2x项，则()2222024126Cxxx−=或0123241232Cxxx−=

，所以2x项的系数为63238+=.故选：D【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，考查多项式展开式指定项的系数，属于中档题.8.若()()()()525012512111xaaxaxax−=+−+−++

−，则135aaa++=（）.A.121−B.122−C.243−D.1−【答案】B【解析】【分析】利用赋值法求出50123453aaaaaa+++++=−，0123451aaaaaa−+−+−=，再两式相减即可得解；【详解】解：因为()

()()()525012512111xaaxaxax−=+−+−++−令2x=，则50123453aaaaaa+++++=−①，令0x=，则0123451aaaaaa−+−+−=②，则①减②得：51353112

22aaa−−++==−故选：B【点睛】本题考查赋值法求二项式部分项的系数和，属于中档题.9.已知2()cos2xfxxe=+，则'()fx=（）A.22sin22xxe−+B.2sin2xxe+C.22sin22xxe+D.2sin2xxe−+【答案】A【解析】【分析】根据复合函

数求导法则计算．【详解】由题意22()sin2222sin22xxfxxexe=−+=−+，故选：A．【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础．10.函数()2lnxfxxx=−的图象大致为（）A.B

.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数()fx的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.【详解】因为()()fxfx−=，所以()fx是偶函数，排除C和D.当0x时，()2lnxxfxx=−，()3

32ln1'xxfxx=+−，令()'0fx，得01x，即()fx在()0,1上递减；令()'0fx，得1x，即()fx在()1,+上递增.所以()fx在1x=处取得极小值，排除B.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档

题.11.6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A.35B.13C.415D.15【答案】C【解析】【分析】题目包含两种情况

：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案.【详解】题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，2314615CpC==；第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，44246115CpC==；

故12415ppp=+=.故选：C.【点睛】本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.12.设()fx是定义在R上的函数，其导函数为()fx，若()()1fxfx+，(0)2018f=，则不等式e(

)e2017xxfx+（其中e为自然对数的底数）的解集为()A.(,0)(0,)−+B.(,0)(2017,)−+C.(2017,)+D.(0,)+【答案】D【解析】【分析】构造函数()()xxg

xefxe=−，通过求导及已知不等式可得出()gx为递增函数，再将原不等式化为()()0gxg可解得．【详解】令()()xxgxefxe=−，则()()()()()()'''1xxxxgxefxefxeefxfx=+−=+−，()()'1fxfx

+，()()'10fxfx+−，()'0gx，()gx在R上为单调递增函数，()()001201812017gf=−=−=原不等式可化为()()0gxg，根据()gx的单调性得0x故选D．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用，

由不等式构造函数是关键，属于难题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若()21,XN，()120.2PX=，()300.25PX−=，则()()015PXPX−=_____.【答案】0.15【解析】由题意可得：()()120.2,300.25P

XPX=−=，则：()()50.50.20.250.05PX=−+=，()()()()0151250.20.050.15PXPXPXPX−=−=−=.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ

－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.14.已知()()'1lnffxxxx=+，则()'1f=__________．【答案】12.【解析】【分析】首先求得导函

数，利用赋值法，令1x=求解()'1f即可.【详解】由函数的解析式可得()()2'11lnffxxx=+−，利用赋值法，令1x=，得()()11'1ff=−，解得()1'12f=．【点睛】本题主要考查导数的运

算法则，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知随机变量～(,)Bnp，若3E=，32D=，则(12)En−=_____．【答案】6【解析】【分析】根据二项分布的期望与方差的计算公式，列出方程组求解，得到,np，再由期

望的性质，即可求出结果.【详解】因为随机变量～(,)Bnp，3E=，32D=，所以33(1)2EnpDnpp===−=，解得：612np==，因此(12)(612)6126EnEE−=−=−=.故答案为：6.【点睛】本题主要考查二

项分布的期望与方差，熟记计算公式，以及期望的性质即可，属于常考题型.16.函数2()lnfxxaxx=−在2(,2)e上不单调，则实数a的取值范围是_____．【答案】4(2,)ln21+【解析】【分析】求得函数()fx的导函数()'fx，根据()f

x在区间2(,2)e上有极值，求得a的取值范围.【详解】()()'21ln2lnfxxaxxaxa=−+=−−，令()'0fx=得2ln0xaxa−−=，由于222,lnlnln2,ln2ln1ln2xxxeee+，分离常数a得

21lnxax=+.构造函数()21lnxhxx=+，()()'22ln1lnxhxx=+，所以()hx在2,1e上递减，在()1,2上递增，()()()424444,12,22ln2ln2ln21ln21lneehhh

eeee======++.下证22ee：构造函数()22xgxx=−，()'2ln22xgx=−，当2x时，22ln222ln22x−−①，而1lnln4ln2ln2ee==，即1ln212，所以222ln24，所以由①可得22ln222

ln220x−−.所以当2x时，()gx单调递增.由于()20g=，所以当2x时，()()20gxg=，故()0ge，也即22022eeee−.由于()22ln2ln2eeee，所以()22hhe.所

以a的取值范围是4(2,)ln21+故答案为：4(2,)ln21+【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.三、解答题（共70分）17.选修4-5：不等式选讲已知函数()2|2||1|

fxxx=−++.（1）解不等式()6fx；（2）[1,2]x，使得不等式2()fxxa−+成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）[1,3]−；（2）(7),−.【解析】【分析】（1）利用分段讨论去绝对值

解不等式即可；（2）去绝对值得25axx−+，对于[1,2]x恒成立，设2()5gxxx=−+，只需max()agx即可得解.【详解】（1）()6fx可化为2|2||1|6xx−++，∴2336xx−或1256xx−−或1336xx−−+

，分别解得23x或12x−或无解.所以不等式的解集为[1,3]−.（2）由题意：22()5fxxaaxx−+−+，[1,2]x.设2()5gxxx=−+，要想[1,2]x，2()fxxa−+成立，只需max()agx，∵2119()24gxx

=−+，∴()gx在[1,2]上单调递增，∴max()(2)7gxg==，∴7a，∴a的取值范围为(7),−.【点睛】本题主要考查了分类讨论去绝对值的思想及恒成立问题参变分离的方法，属于基础题.18.已知点()1,0P，圆22:6440Cxyxy+−++=

.（1）若直线l过点P且到圆心C的距离为2，求直线l的方程；（2）设过点()0,1Q−的直线m与圆C交于A、B两点（m的斜率为负），当||4AB=时，求以线段AB为直径的圆的方程.【答案】（1）1x=或0y=；（2）()()22134xy−++=.【解析】【分析】（1）对

直线l的斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线l的距离等于2可求得直线l的方程；（2）先通过点到直线的距离及勾股定理可解得直线m的斜率，然后将直线m的方程与圆的方程联立，求出线段AB的中点，作为圆心，并求出所求圆的半径，进而可得出

所求圆的方程.【详解】（1）由题意知，圆C的标准方程为()()22329xy−++=，圆心()3,2C−，半径3r=，①当直线l的斜率k存在时，设直线的方程为()01ykx−=−，即kxyk0−−=，则圆心到直线l的距离为23221kkdk+−==+，0k=.直

线l的方程为0y=；②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=，此时圆心C到直线l的距离为2，符合题意.综上所述，直线l的方程为1x=或0y=；（2）依题意可设直线m的方程为1ykx=−，即()100kxyk−−=

，则圆心()3,2C−到直线m的距离222321521kABdrk+−==−=+，22320kk+−=，解得12k=或2k=−，又0k，2k=−，直线m的方程为210xy−−−=即210xy++=，设点()11,Axy、()22,Bxy，联立直线m与圆C的方程得()()222

10329xyxy++=−++=，消去y得251010xx−+=，122xx+=，则线段AB的中点的横坐标为1212xx+=，把1x=代入直线m中得3y=−，所以，线段AB的中点的坐标为()1,3−，由题意知，所求圆的半径为：1

22AB=，以线段AB为直径的圆的方程为：()()22134xy−++=.【点睛】本题考查利用圆心到直线的距离求直线方程，同时也考查了圆的方程的求解，涉及利用直线截圆所得弦长求参数，考查计算能力，属于中

等题.19.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为224442xttytt=+−=−（t为参数，且0t），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cossin10−−=.（1）写出曲线C和直线l的

直角坐标方程；（2）若直线l与y轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，Q在x轴下方，求11QMPM−.【答案】(1)2:4Cyx=，:210lxy−−=；(2)4155【解析】【分析】（1）消参得到曲线C的直角坐标方程；利用极坐标化直角坐标的公式得到直线

l的直角坐标方程.（2）先写出直线的参数方程，再代入曲线C的直角坐标方程，再利用韦达定理解答即可.【详解】（1）由题得222222244(1644+164(4)xtttytttt=+−=−=+−为参数，且0)t，所

以曲线C的直角坐标方程为24yx=．直线l的极坐标方程为2cossin10−−=，转换为直角坐标方程为210xy−−=．（2）直线l与y轴交点记为M，即(0,1)−，转换为参数方程为15(215xttyt==−+为参数）与曲线C交于P，Q两

点，把直线的参数方程代入方程24yx=．得到248550tt−+=，所以1225tt+=，1254tt=，则221212112121232080()4111144155||||54ttttttQMPMtttttt−+−−−=−====．【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标

方程和直角坐标方程之间的转换，考查直线参数方程t的几何意义和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平20.如图，ABC是边长为2的正三角形，ABD△是以AB为斜边的等腰直角三角形.已知2CD=.（1）求证：平面ABC⊥平面

ABD；（2）求平面ACD与平面BCD所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）17−【解析】【分析】（1）由ABD△是等腰直角三角形，可得DOAB⊥和DO长度，再由ABC是边长为2的正三角形和勾股定理可证DOCO⊥，最后由面面垂直的判定定理得证；

（2）利用空间向量的方式求平面ACD与平面BCD的法向量，进而求二面角的余弦值.【详解】（1）取线段AB中点为O，链接CO与DO，因为ABD△是以AB为斜边的等腰直角三角形，所以DOAB⊥,且DO=12AB=,又因为ABC是边长为2的正三角形，则33COAO==，则在CDO中有2224CDCO

DO==+，则DOCO⊥，又因为COABO=，则DO⊥面ABC，且DO面ABD，故平面ABC⊥平面ABD；（2）由（1）可建立以O为坐标原点，OA为x轴，OC为y轴，OD为z轴的空间直角坐标系，则点A(1

,0,0)，点B(-1,0,0),点C()0,3,0,点D()0,0,1，则向量()()()1,3,0,1,3,0,0,3,1ACBCCD=−==−,设平面ACD和平面BCD的法向量分别为()()111

222,,,,,mxyznxyz==，由1111300030xymACmCDyz−+===−+=，令13y=，则113,3xz==，即()3,3,3m=，同理可得，()3,3,3=−n，

所以平面ACD与平面BCD所成角的余弦值1cos7mnmn==，观察可知该二面角的平面角应为钝角，故余弦值为17−.【点睛】本题考查空间中面面垂直的证明方法，还考查了利用空间向量求二面角的余弦值，属于简单题.21.为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了12

0株测量高度（单位：cm），经统计，树苗的高度均在区间[19,31]内，将其按[19,21)，[21,23)，[23,25)，[25,27)，[27,29)，29,31分成6组，制成如图所示的频率分布直

方图.据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗.（1）求图中a的值；（2）用样本估计总体，频率代替概率，若从这批树苗中随机抽取4株，其中优质树苗的株数为X，求X的分布列和数学期望EX.【答案】（1）0.025a=；（

2）分布列见解析，()1EX=【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积和为1进行求解即可；（2）先求出优质树苗的株数，再求出批树苗为优质树苗的概率，可以判断X服从二项分布，根据二项分布的性质求出X的每种可能取值的概率，列出分布列，根

据二项分布的数学期望公式直接求出EX.【详解】（1）根据频率分布直方图数据，有2(22aa++0.1020.20)1+=，解得：0.025a=；（2)由题意，这批树苗为优质树苗共有(0.10.025)212030+=株，所以这批树苗为优质树苗的概率为3011204=，X的可能取值为0，

1，2，3，4，由题意知：X服从二项分布，即1~4,4XB4413()44kkkPXkC−==(0,1,2,3,4)k=即：04041381(0)44256PXC===；1

3141327(1)4464PXC===；22241327(2)44128PXC===；3134133(3)4464PXC===；4044131(4)44256PXC===

.X的分布列为：X01234P812562764271283641256数学期望为1()414EX==（或812727()01225664128EX=++3134164256++=）.【点睛】本题考查了补全频率分布直方图，考查了离散型随机

变量分布列和数学期望的计算，考查了二项分布的定义和性质，考查了数学运算能力.22.已知函数()()2xfxeexaxaR=−+.（1）若()fx在()0,1上单调，求a的取值范围.（2）若()lnyfx

exx=+的图像恒在x轴上方，求a的取值范围.【答案】（1）(),1,e−−+（2）()0,+【解析】【分析】(1)求出()2xfxeexa=−+，()fx在()0,1上单调，则()0fx或()0fx在()0,1上恒成立，只需要讨论出函数()fx在()0,1上的单

调性，求出其最值即可.(2)()lnyfxexx=+的图像恒在x轴上方,即lnxeaexexx−−在()0,x+上恒成立，设()lnxehxexexx=−−，再对函数()hx求导讨论出在()0,+的单调性，求出其最大值即可.【详解】（1）由题意得xR，()()2xfxee

xaaR=−+.()fx在()0,1上单调，即()()2xfxeexaaR=−+在()0,1上大于等于0或者小于等于0恒成立.令()()2xgxeexaaR=−+，则()2xgxee=−.(

)0gx=时，ln2xe=.当01ln2xe时，()0gx，∴()gx在()0,1上单调递减，∴由题意得()10g，或()00g.∴a的取值范围是(),1,e−−+.（2）2lnxyeexaxexx=−++的图像恒在x轴上方，也即当()0,x

+时，0y恒成立.也即lnxeaexexx−−在()0,x+上恒成立.令()lnxehxexexx=−−，()()()()22211xxexexexexexxhxx−−−−−==，由()10h=可

得：x()0,11()1,+()hx+0-()hx单调递增0单调递减当1x时，()0hx，()hx单调递减；当01x时，()0hx，()hx单调递增；∴()10h=为极大值.所以()(1)0hxh=.∴a的取值范围是()0,+.

【点睛】本题考查已知函数单调性求参数的范围和不等式恒成立求参数的范围问题，用分离参数的方法是常用方法,属于中档题.