【文档说明】江苏省如皋市2020-2021学年高二下学期第一次月考数学试题含答案.docx，共(11)页，713.773 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

如皋市2020-2021学年度高二年级下学期第一次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若i34iz=+（i为虚数单位），则复数z的实部是（）A.

4B.-4C.-3D.32.对于函数()22lnfxxx=−，若()03fx=，则（）A.1B.14−C.1和14−D.43.下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是（）A.若关于x的方程()()21i14i0Rxaxa+++−=有实

根，则52a=−B.复数z满足()20201iiz+=，则z在复平面对应的点位于第二象限C.()214123izaaa=−+++，()222izaaa=++（i为虚数单位，Ra），若12a−，则12zz

D.12i+是关于x的方程20xpxq++=的一个根，其中p、q为实数，则5q=4.已知过点()1,0−的直线与()yfx=图象切于点()()2,2f（如图所示），且()21f=−，则()2f=（）A.-

1B.-2C.-3D.-45.函数()lnfxxx=在221,ee上的最大值是（）A.1e−B.22e−C.22eD.22e6.若13i22=−+（i为虚数单位），则23101+++++=（

）A.1B.13i22−+C.13i22+D.13i22−−7.已知圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（）A.33B.63C.233D.238.已知()33ln,0e,6ln,e,xxfxxx

=−若()()()fafbfc==且abc，则6e16bac+的取值范围是（）A.631617,ee+B.)12,17C.631612,ee+D.331617,ee+

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分.9.已知曲线sincosyxx=+的一条切线的斜率是2，则切点横坐标可能是（）A.4−B.4

C.34D.7410.在复平面内，若复数z满足11zz−++=，其中为正实数，则对应点的集合组成的图形可能是（）A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线11.定义在()0,+上的函数()fx，满足()2e

xfxx=，则下列说法正确的有（）A.若0x，则()21xfxx+B.()fx在2x=处取得极小值2e4C.()fx只有一个零点D.若对任意的()0,x+，()21fxkx+恒成立，则e1k−12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做

出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果。若12,,,nxxx为(),ab上任意n个实数，满足()()()12121nnxxxffxfxfxnn++++++，则称函数()fx在(),ab上为“上凸函数”.设可导函数()fx在(),ab

上的导函数为()fx，()fx在(),ab上的导函数为()fx，当()0fx时，函数()fx在(),ab上为“上凸函数”.下列结论成立的是（）A.sinyx=在()0,上为“上凸函数”B.cosyx=在()

0,上为“上凸函数”C.在ABC△中，33sinsinsin2ABC++D.在ABC△中，33coscoscos2222ABC++三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把箐案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．

．．.13.已知函数()43111432fxxx=−+，则()fx的极值是▲.14.如图，在复平面内，复数1z，2z对应的向量分别是1OZ，2OZ，若2213zzz+=，则z的共轭复数z=▲.15.函数()sin26fxxx=−−在0,2

上单调递增，则实数a的最小值是▲.16.已知定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，满足()()0fxfx−，若()()2211xxefaxefx−+−恒成立，则实数a的取值范围为▲.四、解答题：本题共6小题，共70

分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①()22100zza=；②复平面上表示12zz的点在直线20xy+=上；③()1i0za−三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复

数11iz=+，()23iRzaa=+；（i为虚数单位），满足_____________________.若1211zzz=+，求：（1）复数z，以及z；（2）复数2z，以及2z.（注：如果选择多个条件分别

解答，按第一个解答计分）18.已知函数()ln,Rfxxaxa=−.（1）求()fx的单调区间；（2）对于给定的正数a，若存在0x，使得()00fx，求正数a的取值范围.19.若函数()2tan,

0,2xxxfx=−.（1）求()fx的极值；（2）判断()fx的零点个数，并说明理由.20.“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，

我是...除了我”.《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将AC连结，经测量2ADDC==，1AB=，3

BC=.霍尔顿发现无论AC多长，3cos4cosBD−是定值1.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方的权重相关，记ABC△和ADC△的面积分别为1S和2S，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出22128cos3cosBSBS−的最大值.（1）记cosBx=，用

x表示22128cos3cosBSBS−；（2）求22128cos3cosBSBS−的最大值，21.直线l为函数()yx=图象上任意一点()00,Pxy处的切线（P为切点），若函数()yx=图象上除P点外的所有点都在直线l的同侧，

则称函数()yx=为“单侧函数”.（1）若()33xxx=−.（ⅰ）求()yx=在0x=处的切线方程；（ⅱ）证明()yx=不是“单侧函数”；（2）函数()1e2xfxx=−，判断()yfx=是否是“单侧函数”.若是，写出证明过程；若不是，请说明理由，22.（本

小题满分12分）定义在()0,+上的函数()2lnfxxax=−在2x=处取到极小值，（1）若对任意的(0,1x，不等式()1fxbx=恒成立，求实数b的取值范围；（2）令()()gxcxfx=−，若函数()g

x的图象与x轴有两个不同的交点()1,0Ax，()2,0Bx，且120xx，求证：1202xxg+（其中()gx是()gx的导函数）高二数学参考答案1-5．AADCD6-8．CDC9．AD10．AC11．AB12．ACD13．51214．6+2i15．216．1,+4

17．【解答】（1）若选①，22222==910zzza+=，又0a，所以=1a.若选②，()()()12221+i3i33i1+i+3i99aaazzaaa−++−===++，又复平面上表示12zz的点在直线20xy+=上，所以22332099aa

aa+−+=++，所以=1a.若选③，()()()()()1i1+ii11i0zaaaa−=−=++−得1010aa+−=，所以=1a.所以2=13iz+.（1）1211111i13i34+i1i13i21055

zzz−−==+=+=−++，2234155z=+−=.（2）223491624724ii=i552525252525z=−=−−−−，22272412525z=−+−=.18．【解答】（1）

因为()ln,Rfxxaxa=−，所以()1fxax=−．①当0a时，()10fxax=−，所以()fx的增区间为()0,+．②当0a时，若10xa，()10fxax=−；若1xa，()10fxax=−．所以()fx的增区间为1

0,a，减区间为1,a+．综上，当0a时，()fx的增区间为()0,+；当0a时，()fx的增区间为10,a，减区间为1,a+．（2）法一：由（1）得，当1xa=时，

()fx取最大值1ln1a−．因为若存在0x，使得()00fx，所以1ln10a−，解得10ae．所以正数a的取值范围为10,e．法二：若存在0x，使得()00fx，即若存在0x，使得00lnxax．令()lnxg

xx=，则()21lnxgxx−=，由()0gx=，解得xe=．当()0,ex时，()0gx，()gx单调递增，当()e,+x时，()0gx，()gx单调递减，所以()gx在xe=处取到极大值，也即是最大值，最大值是1e.所以正数a的取值范围为10,e

．19．【解答】（1）因为()2tanfxxx=−，所以()()()222cos12cos112coscosxxfxxx+−=−=．令()π0,0,2fxx=，解得π4x=．列表如下．x0π0,4π4ππ,42

()fx+0−()fx0极大值π4f所以，当π4x=时，有极大值ππ142f=−．（说明：列表时0x=未列出或者列成π0,4扣1分）（2）①由（1）得，0是()fx的零

点.②当π0,4x时，()0fx；当ππ,42x时，ππ1042f=−，()5π5π310126f=−+，所以连续函数()fx在ππ,42上有零点．因为()fx在ππ,42

上单调递减，所以()fx在ππ,42上有一个零点．所以()fx在π0,2上有两个零点．（赋值方法：0ππ,42x，使得0tanπx，则()00002tanπtan0fxxxx=−−）20．【解答】（1）在ABC△中，

()2222211199sin13sinsin1cos2244SABBCBBBB====−，同理可得，在ADC△中，()()222221344cos43cos152cos3cos

44SDBBB=−=−−=+−．因为()4cos3cos11,1DB=−−，所以2cos0,3B．令2cos,0,3Bxx=，则()()()222232129998co

s3cos81523523444BSBSxxxxxxxx−=−−+−=−+−．令()322523,0,3fxxxxx=+−，则()21543fxxx=+−，由()0fx=且20,3x

，解得13x=．当10,3x时，()0fx；当12,33x时，()0fx．所以当13x=时，()fx取得极小值且是最小值，最小值为1627−，所以，当1cos3B=时，2

2128cos3cosBSBS−的最大值为43．（说明：cosB的范围错且结果对扣3分）20．【解答】（1）（ⅰ）若()33xxx=−，则()233xx=−，所以()03=−．所以()yx=

在0x=处的切线方程是30xy+=．（ⅱ）令()()()3333hxxxxx=−−−=，当0x时，()30hxx=；当0x时，()30hxx=，所以()yx=不是“单侧函数”．（2）当12a=−时，()yfx=是“单侧函数”．函数()yfx=图象

上任意一点()00,Pxy处的切线为()00001122xxyexexx−−=−−，即()000112xxyexxe=−+−．令()()00011122xxxhxexexxe=−−−−−，则()0xxhxee=−．当0xx时，()

0hx，()hx在()0,x−上单调递减；当0xx时，()0hx，()hx在()0,x+上单调递增，所以()()00hxhx=，所以()00011122xxxexexxe−−+−

，当且仅当0xx=时取等号，所以()yfx=是“单侧函数”．22．【解答】（1）因为()2lnfxxax=−，所以()222axafxxxx−=−=．因为函数()fx在2x=处取到极小值，所以(2)0f=，解得8a=

．此时，()()()222xxfxx+−=，当()0,2x时，()0fx，()fx单调递减，当()2,+x时，()0fx，()fx单调递增，所以()fx在2x=处取到极小值.所以8a=符合题意，即()28lnfxxx=−.（说明：不检验扣1分）若对任意的(0,1x，不等

式()1fxbx−恒成立，即18lnxbxxx+−恒成立.令()(18ln,0,1xhxxxxx=+−，则()2222188ln8ln91xxxhxxxx−+−=−−=，令()28ln9xxx=+−，则()820xxx=+恒成立，所以()x在(0,1上单调递

增，()()180x=−，即()0hx在(0,1上恒成立所以()hx在(0,1上为减函数，()()min12hxh==，故实数b的取值范围为(,2−.（说明：本小题含参讨论酌情给分，可以先取特值1x=将b参数的范围缩成(,2−再讨论）（2）由（1）得(

)28lngxxxcx=−+，因为函数()gx的图象与x轴有两个不同的交点()1,0Ax，()2,0Bx所以方程28ln0xxcx−+=的两个根为1x，2x，则211122228ln08ln0xxxx

xcx−+=−+=，两式相减得()()1212128lnlnxxcxxxx−=+−−，又()82gxxcx=−+，则()()1212121212128lnln16162xxxxgxxcxxxxxx−+=−++=−++−.下证：()

1212128lnln160xxxxxx−−+−（*），即证明()211112222ln0,xxxxtxxxx−+=+，∵120xx，∴01t，即证明()()21ln01tFttt−=++在01t时恒成立.因为()()()()()()

()222221211114111tttFttttttt−+−−−=+=−=+++又01t，所以()0Ft.所以，()Ft在()0,1上是增函数，则()()10FtF=，从而()2111222ln0xxxxxx−++.故()1212128lnln160xxxxxx−−+−

，即成立1202xxg+.（说明：本小题利用其他方法证明酌情评分）