【文档说明】重庆市杨家坪中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，1.944 MB，由小赞的店铺上传

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重庆市杨家坪中学高2025届2023年5月月考数学试卷考试时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量()2

,0a=r，()1,1b=−，则2ab−=（）A.3B.4C.26D.25【答案】D【解析】【详解】求出2ab−的坐标，再计算模．【分析】因为()2,0a=r，()1,1b=−，所以()24,2ab−=−，所以22025ab−==，故选：D．2.在ABC中，若2a=，23b=，30A=，则B等

于（）A.30B.30或150C.60D.60或120【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，求得sinsinbBAa=，再由ab，且0180B，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理

可得sinsinabAB=，即233sinsinsin3022bBAa===，又由ab，且0180B，所以60B=或120B=，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运

算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.设函数()πcos,(0)4fxx=−的最小正周期为π5，则它的一条对称轴方程为（）A.π8x=B.π8x=−C.π12x=D.π12x=−【

答案】A【解析】【分析】由()fx最小正周期为π5求得10=，再令104πxkπ−=，Zk，求出对称轴，即可得出答案．【详解】因为的()fx最小正周期为π5，所以2π10T==，所以()πcos104fxx=−，令1

04πxkπ−=，Zk，解得()1040kππxkZ=+，所以()fx的对称轴为直线()1040kππxkZ=+，当1k=时，π8x=，其它各项均不符合，所以π8x=是函数()fx的对称轴，故选：A．4.已知四边形ABCD是矩形，||4AB=，||3BC=，则CADB=（）A.25B.-

7C.7D.-25【答案】B【解析】【详解】利用平面向量数量积的运算律计算求值即可．【分析】()()()()CADBABBCABADABADABAD=−+−=−+−229167ADAB==−−=−.故选：B5.设复数1z，2z满足121z

z==，1212zzzz−=+，则122zz+=（）A1B.2C.5D.21+【答案】C【解析】【分析】设111izab=+，()2221212i,,,zabaabb=+R，根据复数的模长公式以及复数相等可得出2211

22221212110ababaabb+=+=+=，通过计算可得出1225zz+=，即可得解.【详解】设111izab=+，()2221212i,,,zabaabb=+R，因为121zz==，所以2221111zab=+=，2222221za

b=+=，因为()()121212izzaabb+=+++，()()121212izzaabb−=−+−，因为1212zzzz−=+，所以()()()()222212121212aabbaabb=+++−+−，即22222222121212121

21212122222aaaabbbbaaaabbbb+++++=+−++−即12120aabb+=，所以()()()12112212122i22i22izzababaabb+=+++=+++，所以()()222222121212112211222224

444zzaabbaaaabbbb+=+++=+++++，()()2222112212124441405ababaabb=+++++=++=因此，1225zz+=.故选：C..6.设a、b是不同的两条直线，、是不同的两个平面

，下列说法正确的有（）A.a⊥，b，,⊥ab则⊥B.//，a⊥，b//，则ab⊥rrC.,,ab且//,//,ab则//D.//,//,aba则b//【答案】B【解析】【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断.【详

解】对于A，a⊥，b，ab⊥rr，则,相交或平行，故A错误；对于B，因为//，a⊥，所以a⊥，又因为b//，所以可在内作一条直线c，使得//cb，又因为a⊥，c，所以ac⊥，因为//cb，所以ab⊥rr，故B正确；对于C，,,ab

且//,//,ab则,相交或平行，故C错误；对于D,//,//,aba则b//或b，故D错误.故选：B.7.已知四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图为直角梯形ABCD，如图所示，1,2,3,ABADBCABBC==⊥

=，ADBC∥，则四边形ABCD的周长为（）A.823+B.62+C.723+D.6223++【答案】A【解析】【分析】根据图形把斜二测图形转化为实际图形，再计算周长即可.【详解】由题意可知22OAAB==，如图所示，过点D作DHBC⊥，垂足为H，则四边形ABCD的高

为22222,1,2,3,3,OADHOAOBOBADADBCBCABOAOB==========+=2223DCDHHC=+=，故四边形ABCD的周长为823+.故选：A.8.如图，正三棱柱111ABCABC-底面边长是2，侧棱长是25，M为11AC的中点，N是侧

面11BCCB上一点，且//MN平面1ABC，则线段MN的最大值为（）的A.22B.2C.23D.3【答案】A【解析】【分析】取11BC的中点D，取1BB的中点E，可得//DM平面1ABC，由1//DEBC得//DE平面1ABC，从而平面//DEM平面1ABC，所以N在线段DE上

，求出MD，ME，即可得出答案．【详解】如图，取11BC的中点D，取1BB的中点E，连接MD，DE，ME，∵11//DMAB，11//ABAB，∴//DMAB，∵DM平面1ABC，AB平面1ABC，∴//DM平面1ABC，∵1//DE

BC，DE平面1ABC，1BC平面1ABC，∴//DE平面1ABC，又,,DMDEMDMDE=平面DEM，∴平面//DEM平面1ABC，又平面DEM平面11BCCBDE=，//MN平面1ABC，所以N在线段DE上．因为1

MD=，()()223522ME=+=，所以线段MN的最大值为22．故选：A二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分．）9.已知复数4zz=+，其中z为虚数，则下列结论中正确的是（）A.当1iz=+时，的虚部为1−B.当1iz=+时，||10=C.当1iz=−时，3i=−D.当R时，||4z=【答案】ABC【解析】【详解】由4zz=+，

利用复数的运算转化为复数的代数形式判断ABC；举反例排除D.【分析】对于A，当1iz=+时，()()()41i41i1i3i1i1i1i+=++=++=−++−，则的虚部为1−，故A正确；对于B，当1

iz=+时，()()()41i41i1i3i1i1i1i−=++=++=−++−，则||10=，故B正确；对于C，当1zi=−时，()()()41i41i1i3i1i1i1i−=−+=−+=+−+−，则3i=−，故C正确对于D，不妨取13=+zi，则()

()()()413i413i413i13i13i2R413i13i13i−−=++=++=++=++−，但||2z=，故D不正确.故选：ABC.10.已知平面向量()0,1a=，()33,2b=，则下列说法正确的有（）A.7ab+=B.()()30abab+−=−C.向量ab+在

a上的投影向量为33aD.向量ab+与a的夹角为3【答案】BD【解析】【分析】求出向量的模判断A；利用数量积的坐标表示判断B；求出向量ab+在a上的投影向量判断C；求出向量夹角判断D.【详解】对于A，(3

3,3)ab+=，则2796ab+=+=，A错误；对于B，(33,1)ab−=−−，则()()27330abab+−=−−=−，B正确；对于C，向量ab+在a上的投影向量为()3||||abaaaaa

+=，C错误；对于D，()31cos,62||||abaabaaba++===+，又0,aba+，因此向量ab+与a夹角为π3，D正确.故选：BD11.锐角ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆O的半径3R=，点D在边BC上，且3BC=，D是靠近C的

三等分点，则下列判断正确的是（）A.π3BAC=B.BOOD⊥C.ABC周长的取值范围是(3,9]D.AD的最大值为13+【答案】ABD【解析】【分析】由正弦定理可判断A；由同弧所对的圆心角为圆周角的两倍求得BOC，进而得出OBC，在OBD中，由余弦定理得OD，

然后由勾股定理可判断B；利用正弦定理将ABC周长转化为三角函数，然后求值域可判断C；数形结合可判断D．的【详解】对于A：由题知，3BC=，由正弦定理可得33sin2223BCBACR===，又ABC为锐角三角形，所以π3BAC=，故A正确；对于B

：因为3BC=，且D是靠近C的三等分点，所以2BD=，1CD=，连接OC，由（1）得π3BAC=，则2π3BOC=，所以π6OBC=，在OBD中，由余弦定理得222π2cos34223cos16ODOB

BDOBBDOBD=+−=+−=，所以2224OBODBD+==，即OBOD⊥，故B正确；对于C：因为23sinsinABACACBABC==，所以23sinABACB=，23sinACABC=，则ABC周长LBCABAC=++323sin23sinABCACB=+

+2π323sin23sin()3ABCABC=++−33323(sincos)22ABCABC=++π36sin()6ABC=++，因为ABC为锐角三角形，故2ππ032π02ABCABC−，解得62ππABC，所以ππ2π363

ABC+，所以3πsin(126ABC+)，所以33336sin()96ABC+++，故C错误；对于D：易知，当A、O、D三点共线时取得最大值，所以AD的最大值为31ROD+=+，故D正确，故选：ABD．12.在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E，F，M分别为B

C，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把AEB△，AFD△和EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥PAEF−，如图2所示，则下列结论中正确的是（）A.PAEF⊥B.三棱锥PAEF−外接球的表面积为18C.三棱锥MAEF−的体积为43D.过点M的平

面截三棱锥PAEF−的外接球所得截面的面积的最小值为π【答案】ACD【解析】【详解】根据线面垂直可判断A；根据三棱锥的等体积法结合体积公式可判断B；求得三棱锥PAEF−外接球的半径，即可求得外接球的表面积，判断C；将三棱锥PAEF−补成长方体，确定最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，求得截

面圆半径，即可得截面的面积，判断D.【分析】对于A：由题意知,,,,APPEAPPFPEPFPPEPF⊥⊥=平面PEF，所以AP⊥平面PEF，EF平面PEF，所以PAEF⊥，故A正确；对于B：因为,,PAPEPF两两垂直，故三棱锥PAEF−的外接球半径和长宽高分别为2,2

,4的长方体的外接球半径相等，故其外接球半径22242262R++==，故外接球表面积24π24πSR==，故B错误；对于C：4,2,PAPEPFPEPF===⊥，因为M为BE的中点，所以111114224222323MAEFPAEFAPEFVVV−−−====，故C正确；对于D：将三棱

锥PAEF−补成如图所示长方体，4,2PAPEPF===，设长方体外接球球心为O，即为三棱锥PAEF−的外接球球心过点M的平面截三棱锥PAEF−的外接球所得截面为圆，最小截面为过点M垂直于球心O与M连线的圆，22215OM=+=，此时截面圆半径为22651,rROM=−=−=此时截面圆

的面积为2ππr=，所以过点M的平面截三棱锥PAEF−的外接球所得截面的面积的最小值为π，故D正确.故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知向量a与b不共线，若向量2kab+与向量2ab−共线，则实数k=__________.【答案】4

−【解析】【分析】根据平面向量共线定理可构造方程组求得结果.【详解】向量2kab+与向量2ab−共线，()()222kababab+=−=−R，22k==−，解得：4k=−.故答案为：4−.14.已知,42

，且4sin45+=，则tan=______.【答案】7【解析】【分析】利用正弦和角公式，结合同角三角函数关系，将已知条件转化为tan的方程，即可求得结果.【详解】因为4sin45

+=()2sincos2=+，故可得4sincos25+=将上式两边平方整理可得7sincos50=，即22sincos7sincos50=+，故2tan7tan150=+，即()()7tan1tan70

−−=，解得1tan7=或tan7=，又因为,42，故可得tan1，故tan7=.故答案为：7.15.中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该

几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA垂直于底面，13AA=，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD长度是弧BC长度的3倍，2CD=，则该曲池的体积为___________【答案】6π【解析】【详解】根据弧长与半径的关

系，将两个弧所对应的半径求出，再根据圆柱的体积公式求出曲池的体积.【分析】不妨设弧AD所在圆的半径为R，弧BC所在圆的半径为r，由弧AD长度为弧BC长度的3倍，底面扇环所对的圆心角为π2，所以ππ322Rr=，即3

Rr=，22CDRrr=−==，所以1r=，3R=.故该曲池体积22221πππ()36π444VRrAARr=−=−=.的故答案为：6π.16.如图所示，已知点D是BC边的中点，点G是AD上一点，且2AGGD=uuuruuur，过点G作直线

分别交,ABAC两边于,MN两点，且AMxAB=uuuruuur，ANyAC=uuuruuur，则()2221xyyxyxy+++的最小值为___________.【答案】2243+【解析】【详解】以,ANAM为基底表示出AG，根据,,MGN三点共线可得1113

3xy+=，根据基本不等式中“1”的巧用可求得结果.【分析】D为BC中点，1122ADABAC=+，又2AGGD=uuuruuur，211333AGADABAC==+，又AMxAB=uuuruuur，ANyAC=uuuruuur，

1133AGAMAxyN=+uuuruuuuruuur，,,MGN三点共线，11133xy+=，即113xy+=，()()222111223xyyxyxyxyxyxy+++=+++=++；()1112122222332133333xyxyxyxyxyyxyx

+=++=+++=+（当且仅当2xyyx=，即226x+=，213y+=时取等号），()22min212243xyyxyxy+++=+.故答案为：2243+.四、解答题

（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若6,2,3bacB===.（1）求a，c的值；（2）求△ABC的面积【答案】（1）43,23ac==;（2）63.【解析】【分析】（1

）由已知条件，利用余弦定理即可求出c的值,进而求得a；（2）利用三角形面积公式计算．【详解】（1）6,2,3bacB===，22222212cos543362bacacBccc=+−=−==,23c

=,43a=;（2）△ABC的面积2113sin263222SacBc===.18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面是棱长为1的菱形，ADC60=，2PA=，M是PD的中点．（1）求证：//PB平面ACM；（

2）求直线CM与平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点O，根据三角形中位线性质可得//OMPB，由线面平行判定可证得结论；（2）取AD中点E，根

据CEAD⊥，PACE⊥，结合线面垂直判定可证得CE⊥平面PAD，由线面角定义可知所求角为CME，由长度关系可得结果.【小问1详解】连接BD，交AC于点O，连接OM，四边形ABCD为菱形，O为BD中点，又M为PD中点，//OMPB，OM平面ACM，PB平面ACM，//PB平面

ACM.【小问2详解】取AD中点E，连接,CEME，ADCD=，ADC60=，ADC为等边三角形，又E为AD中点，CEAD⊥；PA⊥平面ABCD，CE平面ABCD，PACE⊥，PAADA=，,PAAD平面PAD，CE⊥平面P

AD，CME即为直线CM与平面PAD所成角，112MEPA==，2213142CECDDE=−=−=，又CEME⊥，37142CM=+=，3212sin772CECMECM===，即直线CM与平面PAD所成角的正弦值为217.19.已知在ABC中，角A，B，C的

对边分别为a，b，c，___________．①33cossin0acBbC−+=；②222ababc++=．请在以上二个条件中任选一个补充在横线处，并解答：（1）求角C的值；（2）若232CACBcCD

+==，且2CD=，求CACB的值．【答案】（1）2π3C=（2）1CACB=−【解析】【分析】（1）若选①，由正弦定理及正弦的两角和的正弦公式可得，若选②余弦定理可得.（2）由平面向量的数量积、模长公式、三角形的性质及余弦定理可求解.【

小问1详解】若选①，由已知有3sin3sincossinsin0ACBBC−+=，又因为，在ABC中，有sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+，所以有sincoscossi3()3sincossinsinn0BCBCCB

BC−+=+，化简得3sincossinsin0BCBC+=，由于0πB，所以sin0B，所以有3cossin0CC+=，于是有tan3C=−，因0πC，所以得2π3C=.若选②，得222abcab+−=−，由余弦定理有：2221co

s22abcCab+−==−，因0πC，所以2π3C=.【小问2详解】由2CACBCD+=，可得点D为AB的中点，且有2CDCACB=+，2CD=两边平方得222248CACBCACBCD++==，因

为23c=，则3ADBD==，又πADCBDC+=，所以2255coscos02626CACBADCBDC−−+=+=，从而可得2210CACB+=，所以有1028CACB+=，可得1CACB=−.20.已知平面向量π2sin2,26mx=−+−，()21,si

nnx=，()fxmn=．（1）求函数()fx的单调增区间及对称中心坐标；（2）将函数()fx的图象所有的点向右平移π12个单位，再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），再向下平移1个单位得到()gx的图象，若()gxm=在π5π,82

4x−上仅有1个解，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调增区间为()2πππ,π36kkk−+−+Z；对称中心为()ππ,1122kk+Z（2）11,12−【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，结

合余弦函数的性质，采用整体代换法可求得结果；（2）根据三角函数平移和伸缩变换原则可得()gx解析式，再根据x的取值范围求出π46x+的取值范围，结合余弦函数的性质及图象可得到结果.【小问1详解】()2π312sin22

sin1cos2sin2cos2622fxmnxxxxx==−+−=+−−13πcos2sin21cos21223xxx=−+=++；令()ππ2π22π3kxkk−++Z，解得：()2ππππ36kxkk−+−+Z，()fx\

的单调增区间为()2πππ,π36kkk−+−+Z；令()ππ2π32xkk+=+Z，解得：()ππ122kxk=+Z，此时()1fx=，()fx\的对称中心为()ππ,1122kk+Z.【

小问2详解】由题意得：()ππππ21cos22cos4121236gxfxxx=−−=−+=+；当π5π,824x−时，ππ4,π63x+−；令π46tx=+，()

coshtt=，若()gxm=在π5π,824x−上仅有1个解，则()ht与ym=在π,π3t−上有且仅有一个交点，作出()ht在π,π3−上的图象如下图所示，由图象可知：当112m−或1m=时，()ht与

ym=有且仅有一个交点，即若()gxm=在π5π,824x−上仅有1个解，则m的取值范围为11,12−.21.如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD

是边长为3的等边三角形，球心O到底面的距离为1．（1）求球O的表面积；（2）求异面直线AD和BC成角的余弦值．【答案】（1）8π（2）1510【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得底面BCD△外接圆的半径，由勾股定理可得球O的半径，代入球的表面积公式可求得结果；（2）根据平行关系可知OMN

或其补角即为所求角，根据长度关系，利用余弦定理可求得结果.【小问1详解】设BCD△外接圆圆心为G，底面BCD△外接圆的半径31π2sin3rBG===，又球心O到底面的距离为1OG=，球O的半径22112R=+=，球O的表面积为24π8πSR==.【小问2详解

】AB为球的直径，BCAC⊥，BDAD⊥，取BD的中点M，CD的中点N，连接,OMMN，则//OMAD，//MNBC，两异面直线AD和BC所成的角为OMN或其补角；在OMN中，22115222OMADABBD==−=，1322MNBC==，22221532ONOGGNOGBN=+=+=

，22215cos210OMMNONOMNOMMN+−==，即两异面直线所成角的余弦值为1510.22.若函数()yfx=满足()3π2fxfx=+且ππ44fxfx+=−

（xR），则称函数()yfx=为“M函数”．（1）试判断4sin3yx=是否为“M函数”，并说明理由；（2）函数()fx为“M函数”，且当,ππ4x时，sinyx=，求()yfx=的解析式，并写出在30,π2

上的单调增区间；（3）在（2）条件下，当π52π,2x−，关于x的方程()fxa=（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．【答案】（1）4sin3yx=不是“M函数”，理由见解析（2）()33π3πcosπ,π,π,Z2222433π3sinπ,π

,ππ,Z2242xkxkkkfxxkxkkk−−+=−++，单调递增区间为ππ,42，3ππ,2；（3）24π,0,1226π,22

8π,,12aSaa==【解析】【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到ππ44fxfx+−，故4sin3yx=不是“M函数”；（2）求出函数的周期3π2T=，由ππ44fxfx+=−得

到()π2fxfx=−，结合当,ππ4x时，sinyx=，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；（3）画出()fx在π5π,22−上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到S.【

小问1详解】4sin3yx=不是“M函数”，理由如下：()3π43π44sinsin2πsin23233fxxxxfx+=+=+==，44sinsin3ππ334π4fxxx+=+=+

，44sinsin3ππ334π4fxxx−=−=−，则ππ44fxfx+−，故4sin3yx=不“M函数”；【小问2详解】函数()fx满足()3π2fxfx=+，

故()fx的周期为3π2T=，因为ππ44fxfx+=−，是所以()π2fxfx=−，当3π3π,ππ242xkk++时，()33πsinπ22fxfxkxk=−=−，Z

k，当3π3ππ,π2224xkk−+时，()π3π33πsinπcosπ22222fxfxkxkxk=−−=−−=−，Zk，综上：()33π3πcosπ,π,π

,Z2222433π3sinπ,π,ππ,Z2242xkxkkkfxxkxkkk−−+=−++，()33π3sinπ,π,ππ,Z2242fxxkxkkk=−++

中，当0k=时，π,π4x，()sinfxx=，此时单调递增区间为ππ,42，()3cosπ2fxxk=−，3π3ππ,π,Z2224xkkk−+中，当1k=时，7ππ,4x

，()3cosπ2fxx=−，则31πππ,224x−−，当31ππ,022x−−，即3π,π2x时，函数单调递增，经检验，其他范围不是单调递增区

间，所以在3π0,2上的单调递增区间为ππ,42，3ππ,2；【小问3详解】由（2）知：函数()fx在π5π,22−上图象为：当202a或1时，()fxa=有4个解，

由对称性可知：其和为π7π224π44+=，当22a=时，()fxa=有6个解，由对称性可知：其和为π7ππ7π226π4444+++=，当212a时，()fxa=有8个解，其和为π3π02222π28π22++

+=，所以24π,0,1226π,228π,,12aSaa==.【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内

容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书

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