【文档说明】重庆市荣昌中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(20)页，940.674 KB，由小赞的店铺上传

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荣昌中学2022—2023学年度第二学期第一次月考高二数学试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.

答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.第I卷（选择题共60分）一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上.1.已知等差数列{}na中，68a=，32a=，则1a=（）A.0B.-2C.-4D.-6【答案】B【解析】【分析】应用等差数列的基本量运算即可.【详解】等差数列{}na，设公差为d，32a=，36,

283aadd==+=，则1322aad=−=−.故选：B2.已知3，x，27三个数成等比数列，则x=（）A.9B.-9C.9或-9D.0【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的知识列方程，从而求得x.【详

解】由于3,,27x成等比数列，所以232781x==，解得9x=或9−.故选：C3.函数3()31fxxx=−+在点(1,1)P−处切线的斜率为（）A.-1B.-3C.1D.0【答案】D【解析】【分析】利用导数求得正确答案.【详解】由

于()233fxx¢=-，所以()1330f=−=.故选：D4.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至起，接下来依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏,小满、芒种共十二个节气，其日影

长依次成等差数列，其中大寒、惊蛰、谷雨三个节气的日影长之和为25.5尺，且前九个节气日影长之和为85.5尺，则立春的日影长为（）A.10.5尺B.11尺C.11.5尺D.12尺【答案】A【解析】【分析】结合等差数列的知识求得正确答案.【详解】设等差数列na的首项为1

a，公差为d，依题意，369925.585.5aaaS++==，即111131525.558.593685.549.5adadadad+=+=+=+=，解得1113.5da=−=，所以

41313.5310.5aad=+=−=尺.故选：A5.记正项等比数列na的前n项和为nS，若34a=，425SS=，则6S=（）A.2B.－21C.32D.63【答案】D【解析】【分析】先设正项等比数列na公比为q，根据题中条件，列出方程求出首项和公比，

再由求和公式，即可得出结果.【详解】设正项等比数列na的公比为()0qq，因为34a=，425SS=，所以()()212311111145aqaaqaqaqaaq=+++=+，即()2123441aqqqq=+=+

，解得121qa==，所以()666112216312S−==−=−.的故选：D.6.设数列{}na满足12a=，1211nnaa+=−+，则2023a=（）A.2B.13C.12−D.-3【答案】C【解析】【分析】利用周期性求得2023a【详解】21221111123aa=−=−=++，

322211111213aa=−=−=−++，43221131112aa=−=−=−+−，51422112113aaa=−=−==+−，所以数列na是周期为4的周期数列，202350543=+，所以2023312aa==−.故选：C7.已知公差不为0的等差数列

na的前23项的和等于前8项的和．若80kaa+=，则k等于（）A.22B.23C.24D.25【答案】C【解析】【分析】根据题意可得115ad=−，代入80kaa+=即可求出.【详解】设等差数列na公差为d，0d，则由题可得238SS=，

即1123228723822adad+=+，整理得115ad=−，80kaa+=，()11710adakd+++−=，即()1260akd++=，()3060dkd−++=，0d，24k=.的故选：C.8.已知F1，F2分别为双曲线C:()2222

10,0xyabab−=的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为85c，若22AFBF=，则双曲线的离心率为（）A.153B.253C.263D.423【答案】A【解析】【分析】根据

22AFBF=得到21MFF为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求.【详解】设()()1122,,,AxyBxy,120,0yy，设AB的中点为00(,)Mxy，由于22AFBF=，故2⊥MFAB,因此21MFF为直角三角形，故OMc=，由于1285cyy+=，所以12

0425yycy+==，进而可得2204355ccxc=−=，故34,55ccM或34,55ccM−，由()()1122,,,AxyBxy在双曲线渐近线上，所以()()()()221122222221212012122222212120112202020

ABxyyyyyyxxyybabkabaxxxxxxyab−=+−−−−===+−−=，进而2221OMABOMMFbkkkak==−，当34,55ccM

时，43OMk=,245235MFckcc==−−，所以222241151323bcbeaaa===+=，当34,55ccM−时，43OMk=−,2415325MFckcc==−−−，所以2283ba=−不符合题意，舍去，综上：故离心率为153.故选：A二、多选题：本小题

共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.设等差数列na的前n项和为nS．若30S=，46a=，则（）A.23nSnn=

−B.2392−=nnnSC.36nan=−D.2nan=【答案】BC【解析】【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n项和公式【详解】解：设等差数列na的公差为d，因为30S=，46a=，所以113230236a

dad+=+=，解得133ad=−=，所以1(1)33(1)36naandnn=+−=−+−=−，21(1)3(1)393222nnnnnnnSnadn−−−=+=−+=，故选：BC10.等差数列n

a中，前n项和为nS，若12131314,SSSS，则下列命题中真命题的是（）A.公差0dB.1512SSC.13a是各项中最大的项D.13S是nS中最大的值【答案】ABD【解析】【分析】由1213

1314,SSSS得：13140,0aa，进而结合等差数列的性质逐个判断即可【详解】因12131314,SSSS，所以13140,0aa，所以公差0d成立，所以A正确，因为公差0d，所以等差数列na为递减数列

，所以各项中1a是最大的项，C错误，因为15121514131430SSaaaa−=++=，所以1512SS，B成立.设等差数列na的前k项的和最大，则11kkkkSSSS+−，故100kkaa+，又等差数列na为递减数列，且1

3140,0aa，所以13k=，即13S是nS中最大的值，D正确.故选：ABD.11.已知等比数列na公比为q，前n项和为nS，且满足638aa=，则下列说法正确的是（）A.na为单调递增数列B.639SS=C.3S，6

S，9S成等比数列D.12nnSaa=−【答案】BD【解析】【分析】根据638aa=利用等比数列的性质建立关系求出2q=，然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案．【详解】由638aa=，可得33

38qaa=，则2q=，当首项10a时，可得{}na为单调递减数列，故A错误；由663312912SS−==−，故B正确；假设3S，6S，9S成等比数列，可得2693SSS=，即6239(12)(

12)(12)−=−−不成立，显然3S，6S，9S不成等比数列，故C错误；由{}na公比为q等比数列，可得11122121nnnnaaqaaSaaq−−===−−−12nnSaa=−，故D正确；故选：BD．【点睛】关键点睛

：解答本题的关键是利用638aa=求得2q=，同时需要熟练掌握等比数列的求和公式.12.数列na依次为：1，13，13，13，15，15，15，15，15，17，17，17，17，17，17，17，19，19，…，其中第一项为11，接下来三项均为

13，再接下来五项均为15，依此类推.记na的前n项和为nS，则（）A.100119a=B.存在正整数k，使得121kak−C.nSnD.数列nSn是递减数列【答案】ACD【解析】【分析】根据数列的规律即可求出100a，即可判断A选项；求出数列的通项公式，做差法推出矛盾即可说

明B选项；求出数列的前n项和公式，做差法即可说明C选项；根据数列单调性的概念，比较1,1nnSSnn++即可判断D选项.【详解】A：由数列可知121n−占了数列的21n−项，且相对应的21n−项的和为1，213521nn+

+++−=，2100n=，所以10n=，故10011210119a==−，故A正确；B：若()()221,nknknN−，则121kan=−，故112121nk−−，即kn，与()()221,nknknN−矛盾，故B错误；的C：若()221,,knkknN

+，则2,02121kmnmSSkmkk+==+++，而21mknk+−+，若2nk=，则0m=，故021mknknk+−=−=+；若()221,,knkknN+，则021mk+，故()2222222212121mmkmkkmkkmkkk+−+=+

+−−+++()()221021mmkk−+=+，即()22221mkkmk+++，因为20,021mkkmk+++，故221mkkmk+++，即0nSn−，即nSn，综上：nSn，故C正确；D：因为()221,,kn

kknN+，则2,02121kmnmSSkmkk+==+++，所以()()2222222121mnkmkSSkkmknkmkmkkm+++++===++++，则()()()()2212222112

1211nnSSkkmkkmnnkkmkkm++++++−=−++++++()()()()()()()2222222121211kkmkmkkmkmkkmkm++++−++++=++++()()()()()()()()()22222222222211kk

mkmkkmkkmkmkmkkmkm++++++−+++−+=++++()()()2220211kkkkmkm+=++++，所以11nnSSnn++，故数列nSn是递减数列，故D正确.故选：ACD.【点睛】数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相

关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和，或者奇偶项通项公式不同的数列，或者周期性数列．（4）裂项相消.第II卷（非选择题共90分）三、填空题：本小题共4小题，每小题5

分，共20分.把答案填写在题中的横线上.13.在公比为q的等比数列{}na中，已知6512a=，364a=，则q=__________.【答案】2【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】3635128264aqqa====.故答案为：214.已知函数()()22

1xfxxf¢=+，则(2)f=____________.【答案】8ln24-+【解析】【分析】根据()()221xfxxf¢=+，可以先将原函数求导，此时得到的导函数中有(1)f，故将1x=代入可以求出(1)f，求出函数解析式后，求函数值.【详解】因为()()221xfxxf¢=+

，所以()()2ln221xfxfⅱ=+，当1x=时，()(1)2ln221ffⅱ=+，解得(1)2ln2f¢=-，所以()()222ln224ln2xxfxxx=+?=-?，所以(2)48ln2f=−.故答案为：48ln2−1

5.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，第四层比第三层多5个，以此类推，则第20层货物的个数为_

_______.【答案】230【解析】【分析】由题意可得11nnaan−−=+，，利用累加法即可求.【详解】解：由题意可知12a=，213aa−=，324aa−=，L，2019201aa−=+，累加可得()2020(203)2342012302a+=+++++==.故

答案为：23016.已知数列na的各项均为正数，其前n项和为nS，且12nnnSaa+=，nN，则4a＝_______；若1a＝2，则20S＝_______．【答案】①.4②.220【解析】分析】当2n时，利用1nnnaSS−=−，即可

得到na，取4n=即可.利用已知递推公式，结合首项可以求得22a=，进一步做差可以得出na的奇数项和偶数项分别成等差数列，分组后利用等差数列求和公式即可.【详解】根据12nnnSaa+=①，得112

nnnSaa−−=②，①﹣②得112nnaa+−−=，()2n又1n=时，1122aaa=，可得22a=故4224aa=+=；当1a＝2，22a=，可得,1nnnann=+为偶数，为奇数，即可求得201351924620=(++++)+(++++)SaaaaaaaaLL(220)10

(2+20)10=22022+=+．故答案为：4；220【点睛】本题主要考查了na与nS的关系，数列的递推关系式，以及等差数列的定义和通项，属于中档题.四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已

知数列na满足()*164N2nnnaana+−=+，且13a=.（1）求234,,aaa；（2）证明：数列12na−是等差数列，并求na.【【答案】（1）23414818,,537aaa===（2）证明见解析；2103nnan+=+【解析】【分析】（1）根据递推关系式求得

234,,aaa.（2）根据等差数列的定义进行证明，进而求得na.【小问1详解】因为()164N2nnnaana+−=+，13a=所以31213224364646414818,,252327aaaaaaaaa−−−=+=+====+.

【小问2详解】因为()164N2nnnaana+−=+，所以16464244822222nnnnnnnnaaaaaaaa+−−−−−=−+−==++，则()11122224148424nnnnnnaaaaaa+−+−+===+−−−，故1111224nnaa+−=−−，又13a=，所

以1112a=−，所以数列12na−是首项为1，公差为14的等差数列.所以()113411,22443nnnnaan+=+−=−=−+，则2103nnan+=+.18.已知等差数列na的前n项和为

nS，其中317a=，7147S=；等比数列nb的前n项和为nT，其中329b=，62243b=．（1）求数列na，nb的通公式；（2）记nnncaT=+，求数列nc的前n项和nQ．【答案】（1）45nan=+，123nnb−=（2）2113210232nnQ

nn−=++−【解析】【分析】(1)根据条件分别求出等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，再利用数列的通项公式即可求解；(2)利用等比数列和等差数列的前n项和公式进行分组求和即可得出结果.【小问1详解

】记等差数列na公差为d，等比数列nb的公比为q，由题意得，747147Sa==，解得421a=，∴434daa=−=，∴3(3)174(3)45naandnn=+−=+−=+．∵336212432279bqb===，∴

13q=，∴3331212933nnnnbbq−−−===．【小问2详解】由（1）得，12b=，11213131313nnnT−−==−−，∴11114534833nnncnn−−=++−=−+

，∴121114(12)1(888)333nnQn=+++−++++++++的∴2111(1)133482101223213nnnnnnn−−+=−

+=++−−．19.已知数列na的前n项和为nS，且21nnaS−=.（1）求na与nS；（2）记21nnnba−=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）12nna−=，21nnS=−（2）12362nnnT−+=−【解析】【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn−

==−求得na，进而求得nS.（2）利用错位相减求和法求得正确答案.【小问1详解】由21nnaS−=，得21nnSa=−，当1n=时，11121aSa==−，得110a=；当2n时，()()112121nnn

nnaSSaa−−=−=−−−，得12nnaa−=，所以数列na是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12nna−=.所以2121nnnSa=−=−.【小问2详解】由（1）可得1212nnnb−−=，则()

2121135211111135211222222nnnnTn−−−=++++=++++−LL，()23111111352122222nnTn=++++−，两式相减得()231111111122122222

2nnnTn−=+++++−−L，所以()31111111242122222nnnTn−−=+++++−−L()1111123222421612212nnnnn−−−+=+−−=−−.20.如图，在正

六边形ABCDEF中，将ABF△沿直线BF翻折至ABF△，使得平面ABF⊥平面BCDEF，O，H分别为BF和AC的中点.（1）证明：//OH平面AEF；（2）求平面ABC与平面ADE¢所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）43131

.【解析】【分析】(1)要证OH平面AEF.，用线面平行的判定定理，在面AEF内找一条直线与OH平行；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）如图，取AE的中点G，连结,,FGHGCE.又因为H是AC的中点，所以HGCE∥，12HGCE=.又因为正六边

形ABCDEF中，BFCE，BFCE=，所以HGBF∥同，12HGBF=.又O为BF的中点，所以HGOF∥，HGOF=，所以四边形OFGH为平行四边形，所以OHFG∥.因为FG平面AEF，OH平面AEF，所以OH平面AEF.（2）由条件可知,,OAOBOA

ODODOB⊥⊥⊥.分别以OB为x轴正方向､OD为y轴正方向､OA为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−.设正六边形ABCDEF的边长为2，则(3,0,0)B，(3,2,0)C，(0,3,0)D，(3,2,0)E−，(0,0,1)A，所以(0,2,0)BC=，(

3,2,1)AC=−，(3,1,0)ED=，(0,3,1)AD=−.设平面ABC的法向量为()1111,,xnyz=，由110,0,nBCnAC==得111120,320.yxyz=+−=取11x=，可得1(1,0,3)n=.设平面ADE¢的法向量为()1222

,,nxyz=，由220,0,nEDnAD==得222130,30.xyyz+=−=取21x=，可得2(1,3,33)n=−−.设平面ABC与平面ADE¢所成锐二面角的大小为，则121212|110(3)3(33)|431coscos,311031327

nnnnnn+−+−====++++，所以平面ABC与平面ADE¢所成锐二面角的余弦值为43131.【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；

(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．21.已知数列{na}满足()23212333332nnnnnNaaaa++++=+（1）求数列{na}的通项公式；（2）设1213nnnn

aab++=，数列{nb}的前n项和为Tn，若113mT=，求m.【答案】（1）341nnan=−（2）9m=【解析】【分析】（1）由前n项和与通项的关系，当2n时，得()231212313333211nnnnaaaa−−+

+++=−+−，两式作差得341nnan=−,再验证首项是否满足上式；（2）将341nnan=−代入得()()1111()414344143nbnnnn==−−+−+，裂项相消法可得129nnTn=+，再解方程得9m=.【小问1详解】因为()23212333332nnnn

nNaaaa++++=+①，则当1n=时，133,a=则11a=，当2n时，得()231212313333211nnnnaaaa−−++++=−+−②，则①−②得341nnna=−，则341nnan=−，又11a=满足上式，所以数列{na}的通项公式为

3,41nnanNn=−【小问2详解】()()111213311114143()33414344143nnnnnnnaannbnnnn++++−+====−−+−+所以121111111()()()4377114143nnTbbbnn=+++=−+−++−−+

化简得：111()4343129nnTnn=−=++112913mmTm==+，解得9m=.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=与直线2=−xb有且只有一个交点，点P为椭圆C上任一点，()11,0P−，()2

1,0P，若12PPPP的最小值为2a.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线:lykxm=+与椭圆C交于不同两点,AB，点O为坐标原点，且()12OMOAOB+=，当AOB的面积S最大时，求22112=−TMPMP的取值范围.【答案】（1）2

2142xy+=；（2）)342,1−.【解析】【分析】（1）设点(),Pxy，根据题意，得到2ab=，根据向量数量积的坐标表示，得到22121PPPPya=−+−，根据其最小值，求出2,2ab==，即可得出椭圆方程；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，()0

0,Mxy，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出AOB的面积S的最值，得到2221mk=+；得出点M的轨迹为椭圆()221:102xCyy+=，且点12,PP为椭圆1C的左、右焦点，记1=tMP，则()21,21t−+，得到2221112242TM

PttMP=−=+−，根据导数的方法求出最值.【详解】（1）设点(),Pxy，由题意知2ab=，222:2+=Cxya，则22221211PPPPxyya=+−=−+−，当yb=时，12PPPP取得最小值，即2212

−−=aab，212,222−===aaab故椭圆C的标准方程为22142xy+=；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Mxy，则由2224xyykxm+==+得()222214240kxmkxm+++−=122421+=−+mkxxk，2

1222421−=+mxxk，则点O到直线:lykxm=+的距离21mdk=+，22222211424142221211mmkmSdABkkkk−==+−−+++()()2222222242422222

2121mkmmkmkk++−+−==++S取得最大值2，当且仅当22242=+−mkm即2221mk=+，①此时120222221+==−=−+xxmkkxkm，20021=+=−+=kykxmmmm，即01=my，00022

=−=−mxkxy代入①式整理得()22000102xyy+=，即点M的轨迹为椭圆()221:102xCyy+=，且点12,PP为椭圆1C的左、右焦点，即1222+=MPMP，记1=tMP，则()21,21t−+，从而()222211112222242TMPttttMP=−

=−−=+−，则322=−Tt，令0T可得1t，即在T在()21,1−单调递减，在()1,21+单调递增，且()()()1342,21121542TTT=−−=+=−，故T的取值范围为)342,1−.获得更多资源

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