【文档说明】安徽省滁州市九校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 含解析.docx，共(22)页，1.758 MB，由小赞的店铺上传

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安徽省20232024学年第一学期高二期中考试数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3

．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版选择

性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线1l，2l，3l，4l的图象如图所示，则斜率最小的直线是（）A.1lB.2lC.3lD.4l【答案】B【解析】【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即

可.【详解】由图知：34120llllkkkk，故斜率最小的直线是2l.故选：B2.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左，右焦点分别是1(13,0)F−，2(13,0)F，点P在双

曲线C上，且1210PFPF−=，则双曲线C的方程是（）A.221512xy−=B.221125xy−=C.22114425xy−=D.22125144xy−=【答案】D【解析】【分析】根据双曲线定义求解即可.【详解】由题意可知210a=，2213cab=+=，解得5a=

，12b=，所以双曲线C的方程是22125144xy−=．故选：D．3.如图所示，在平行六面体1111ABCDABCD−中，N为11AC与11BD的交点，M为1DD的中点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则MN=（）A.111222abc++B.111222abc−+C.111222

abc+−D.111222abc−−【答案】B【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为N为11AC与i1BD的交点，所以11111111111222222DNDADCADABba=+=−+=−+，故111111111

112222222MNDNDMDNDbacabcD=−=−=−+−−=−+.故选：B.4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为()6,1,4A−，()3,0,2B，()1,4,5C−，则点D的坐标为（）A.()2,3,7B.()4,5,3−

C.()10,5,1−D.()4,5,3−−【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【详解】设(),,Dxyz，因为AC与BD的中点相同，所以613140452,,222222xyz−+−++

++===，解得2,3,7xyz===，所以()2,3,7D.故选：A.5.已知直线1l：0axya++=与2l：()()6440axay−+−−=，则“3a=”是“12ll//”的（）A.充分不必要条件B.

必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合情况，结合充分、必要性定义判断条件间的关系》【详解】由12ll//，则(4)6aaa−=−，即256(3)(2)0aaaa−+=−−=，故3

a=或2a=，2a=时，1:220lxy++=，2:4240lxy−−−=，即2:220lxy++=，显然两线重合；3a=时，则1:330lxy++=，2:340lxy−−−=，即2:340lxy++=，故12ll//.综上，“3a=”是“12ll//”的充要条件.

故选：C6.已知12,FF分别是双曲线22:197xyC−=的左、右焦点，点A是双曲线C上一点，且12FAFA⊥，则点A到x轴的距离为（）A.20716B.3234C.74D.4916【答案】C【解析】【分析】利用勾股定理和双曲线定义可求得12FAF

A，采用面积桥可求得结果.【详解】由双曲线方程可知：3a=，7b=，974c=+=；不妨设()00,Axy位于第一象限，如图所示，12FAFA⊥，2221212FAFAFF+=，即()221212122FAFAFAFAFF−+=，由双曲线定义知：1226FAFAa−==，又1228FF

c==，1214FAFA=，12121200114722FAFSFAFAFFyy====，解得：074y=，即点A到x轴的距离为74.故选：C.7.当直线:10lmxym+−−=被圆22:40Cxyx+

−=截得的弦长最短时，实数m=（）A.2−B.1−C.2D.1【答案】B【解析】【分析】根据直线方程可得直线l经过定点()1,1A，再由圆心到直线距离最大时弦长最短，由斜率关系即可求得1m=−.【详解】将直线l的方程变形为()110mxy−+−=，由1010xy−=−

=可导11xy==，所以直线l经过定点()1,1A，圆C的标准方程为22(2)4xy−+=，圆心为()2,0C，因为224(12)1−+<，所以点A在圆C内，故当ACl⊥时，圆心C到直线l的距离取最大值，此时直线l被圆C截得的弦长最短，因为10112ACk−=

=−−，直线l的斜率为m−，所以()11m−−=−，解得1m=−.故选：B.8.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的焦距为2，A为椭圆的右焦点，过点A在x轴上方作两条斜率分别为1和1−的射线，与E分别交于B，C两点，且ABC的面积为13

，则2a=（）A.23或2B.2或3C.2D.23【答案】C【解析】【分析】已知焦距和过A的两个相互垂直的射线，通过AB的反向延长得到D点，则ADAC=，根据面积得到线段的关系，通过方程的联立，代入线段关系即可求解.【详解】由焦距为2知(1,0)A，221ab−=，设直线AB与E的另外一个交点为D

，()11,Bxy，()22,Dxy，则C，D关于x轴对称，即ADAC=，由ABC的面积为13，得1123ABAC=，即23ABAD=，将直线:1BDyx=−代入E的方程整理，得()()2222421220axax

aa−−+−=，显然判别式大于0，2122221axxa+=−，24122221aaxxa−=−，因为23ABAD=，所以()()12221213xx−−=，即12xx−+()12113xx+−=，所以24222221121213aaaaa−−+−=−−，解得22a=或223a=（

舍去），所以22a=．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知椭圆C以坐标轴为对称轴，经过点(4,0)，且长轴长是短轴长的2倍

，则椭圆C的标准方程可以是（）A.221164yx+=B.221164xy+=C.2216416yx+=D.2216416xy+=【答案】BC【解析】【分析】分椭圆C焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况，结合椭圆的几何性质求解即可.【详解】

当椭圆C焦点在x轴上时，已知椭圆C过点(4,0)，故4a=，因为长轴长是短轴长的2倍，所以222ab=，即2b=，所以椭圆C的方程为221164xy+=；当椭圆C的焦点在y轴上时，已知椭圆C过点(4,0)，故4b=，因为长轴长是短轴长的2倍，所以222a

b=，即8a=，所以椭圆C的方程为2216416yx+=．综上所述，椭圆C的方程为221164xy+=或2216416yx+=．故选：BC．10.已知直线1l与直线:2lyx=+平行，且l与1l间的距离为22，则1l的方程可以是（）A.6

0xy−+=B.30xy−+=C.10xy−+=D.20xy−−=【答案】AD【解析】【分析】根据平行线间的距离公式求解即可.【详解】直线:2lyx=+，即20xy−+=，设所求直线的方程为0xya−+=，由题意可得|2|222a−=，解得6a=或2−．故所求直线的方程为60xy−

+=或20xy−−=．的故选：AD．11.已知圆22:40Mxyx++=和圆22:4120Nxyy+−−=相交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A.ABMN⊥B.直线AB的方程为30xy++=C.线段AB的长为14D.M到直线AB的距

离与N到直线AB的距离之比为1:4【答案】ABC【解析】【分析】利用圆的性质可判定A项，利用两圆的公共弦方程公式计算可判定B项，利用弦长公式可判定C项，利用点到直线的距离公式可判定D项.【详解】对于A项，因为两个圆相交，所以圆心M，N所在直线垂直平分两圆的公共弦，故A

正确；对于B项，因为圆22:40Mxyx++=和圆22:4120Nxyy+−−=相交于A，B两点，所以两圆方程相减得到44120xy++=，即:30ABxy++=，故B正确；对于C项，圆22:40Mxyx++=化为标准方程是2

2(2)4xy++=，圆心(2,0)M−到直线:30ABxy++=的距离为23222d−+==，所以2222224142ABRd=−=−=，故C正确；对于D项，因为圆22:4120Nxyy+−−=化为标准方程是22(2)16xy+−=，圆心(0,2)N

到直线:30ABxy++=的距离为235222d==+，所以M到直线AB的距离与N到直线AB的距离之比为252::1:522dd==，故D错误．故选：ABC．12.在平行六面体1111ABCDABCD−中，12ABADAA===，1160DABAABAAD

===，若1AQmABnADpAA=++，其中m，n，[0,1]p，则下列结论正确的为（）A.若点Q在平面1111DCBA内，则1p=B.若CQDB⊥，则mn=C.当12p=时，三棱锥QABD−的体积为928D.当1mn+=时，CQ长

度的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得1ABADAAAQ++=，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得112ABADABAAADAA===，1(1)(1)CQmABnADpAA=−+−+，进而结合CQDB⊥即可

求解判断B；由题易知四面体1AABD为正四面体，设1A在平面ABCD内的射影为点H，进而可得当12p=时，Q到平面ABCD的距离为12AH，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算

律可得224444CQmnpp=−+−，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D.【详解】对于选项A，若点Q在平面1111DCBA内，易知有11111AQABADABAD=+=+，所以111AAAAQABADAAQ+=+=+，又1AQmABnADpAA=++，则1

p=，故A正确；对于选项B，由题意易得1122cos602ABADABAAADAA====，1()(1)(1)CQAQACAQABADmABnADpAA=−=−+=−+−+，且DBABAD=−，又CQDB⊥，即0CQD

B=，故2(1)2(1)0CQDBmn=−−−=，解得mn=，故B正确；对于选项C，由题易知四面体1AABD为正四面体，设1A在平面ABCD内的射影为点H，则H为ABD△的中心，易得233AH=，1263

AH=．当12p=时，Q到平面ABCD的距离为12AH，所以1112323QABDABDVSAH−==△，故C错误；对于选项D，由B知，221(1)(1)CQmABnADpAA=−+−+222222

111(1)(1)2(1)(1)2(1)2(1)mABnADpAAmnABADpmABAApnADAA=−+−++−−+−+−24444mnpp=−+−，又2214444434342mnpppmnmn−+−=−+−−

，由基本不等式可知2124mnmn+=，所以22CQ，即2CQ，当且仅当12mnp===时等号成立，所以CQ长度的最小值为2，故D正确．故选：ABD．【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决.三

、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.以点()2,1A为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程为__________.【答案】22(2)(1)1xy−+−=【解析】【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.【详解】以点()2,1

A为圆心，且与x轴相切的圆的半径为1，故圆的标准方程是22(2)(1)1xy−+−=.故答案为：22(2)(1)1xy−+−=14.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，()0,Ppy是抛物线C上的一点，若9PF=，则p=______．【答案】6【解析】【分析】直

接使用抛物线的焦半径定义，即可求解.【详解】由题意，知抛物线C的准线为2px=−，由焦半径的定义可得92pPFp=+=，解得6p=．故答案为：615.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点分别为A、B，若E上存在点P满足：2π3APB=，则E的

离心率的最小值是______．【答案】32##132【解析】【分析】由余弦定理结合基本不等式分析可知，当P为椭圆短轴顶点时，APB最大，求出cosAPB的最小值为2221ba−，结合余弦函数的单调性可得出2222π1cos3ba−，求出22ba的取值范围，

可得出椭圆E的离心率的取值范围，即可得解.【详解】由椭圆的定义可得2PAPBa+=，由余弦定理可得()222222cos22PAPBABPAPBPAPBABAPBPAPBPAPB+−−+−==222222224444211112222acbbbPAPBaaPAPB−=

−−=−=−+，当且仅当2PAPBPAPBa=+=时，即当PAPBa==时，等号成立，又因为余弦函数cosyx=在0,π上单调递减，故当PAPBa==时，即当P为椭圆短轴顶点时，APB最大，因

为椭圆E上存在点P满足：2π3APB=，则2222π11cos32ba−=−，可得2214ba，所以，22131142cbeaa==−−=，故椭圆E的离心率的最小值为32.故答案为：32.16.某公园有一个坐

落在地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图．已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，ABC是该石雕与地面的接触面，其中A是该石雕所在正方体的一个顶点．某兴趣小组通过测量ABC的三边长，来计算该正方体石雕的相关

数据．已知测得213mAB=，25mBC=，210mAC=，则该石雕所在正方体的棱长为______m；该石雕最高点P到地面的距离为______m．【答案】①.6②.547##577【解析】【分析】补齐为正方体，设ADa=，BDb=，CDc=，结合勾

股定理列出方程组即可解得,,abc，进而求得该石雕所在正方体的棱长；以D为原点，以,,DADBDC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点P到平面ABC的距离，进而求解.【详解】如图，补齐为正方体，设ADa=，BDb=，CDc=，则222222222524020ABabA

CacBCbc=+==+==+=，解得6a=，4b=，2c=，即该石雕所在正方体的棱长为6m.以D为原点，以,,DADBDC所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，所以(0,0,0)D，(6,0,0)A，(0,4,0)B，(0,0,2)C，(6,6,6

)P，(0,6,6)AP=，()6,4,0AB=−，()6,0,2AC=−，设平面ABC的一个法向量为(),,mxyz=，则00mABmAC==，即640620xyxz−+=−+=，令2x=，可得()2,3,6m=，所以点P到平面ABC的距

离为2221836547236APmdm+===++，即该石雕最高点P到地面的距离为54m7.故答案为：6；547.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC的

三个顶点分别为()2,3A，()0,5B，()6,1C−.（1）求边AB上的高CD所在直线的方程；（2）求边AB上的中线CE所在直线的方程.【答案】（1）7yx=+（2）32577yx=+【解析】【分析】（1）先求得直线AB的斜率，利用点斜式求得边AB上的高CD所在直线的方程.（2）

先求得E点坐标，再根据两点式求得边AB上的中线CE所在直线的方程.【小问1详解】53102ABk−==−−，所以直线CD的斜率为1，所以直线CD的方程为()116,7yxyx−=+=+【小问2详解】线段AB的中点()1,4E，所以直线CE所在直线方程为()163325,

16,4116777yxyxyx−+=−=+=+−+.18.在空间直角坐标系中，已知点(2,1,2)A−，(1,2,2)B−，(3,1,4)C−，设aAB=，bAC=．（1）若ab+与3ab−互相垂直，求的值；（2）求点C到直线AB的距离．【答

案】（1）165=（2）322【解析】【分析】（1）分别求得ab+与3ab−的坐标，再根据ab+与3ab−互相垂直求解；（2）由22(cos,)dACACABAC=−求解.【小问1详解】由题意知(1,1,0)aAB==，(

1,0,2)bAC==−，所以(1,1,0)(1,0,2)(1,,2)ab+=+−=−，3(1,1,0)3(1,0,2)(4,1,6)ab−=−−=−．又ab+与3ab−互相垂直，所以()(3)(1,,2)(4

,1,6)4(1)120abab+−=−−=−+−=，解得165=．【小问2详解】由（1）知(1,1,0)AB=，(1,0,2)AC=−，所以110cos,101114ABACABAC

ABAC−===−++，所以点C到直线AB的距离2232(cos,)2dACACABAC=−=．19.已知圆2221:(0)Cxyrr+=，圆222:(3)16Cxy−+=．（1）讨论圆1C与圆2C的位置关

系；（2）当2r=时，求圆1C与圆2C公切线的方程．【答案】（1）答案见解析（2）2560xy−+=，或2560xy++=.【解析】【分析】（1）求两圆圆心距及半径，利用几何法判断两圆位置关系；（2）先判断两圆位置关系，法一，设出公

切线方程，由切线分别与两圆相切建立等量关系待定系数即可；法二，由相似性质与半径比，可得到公切线与x轴交点坐标，再由交点设出点斜式方程待定斜率即可.【小问1详解】由题意知12:(0,0),:(3,0)CC，123CC=，两圆的半径分别为r和4，①当124CCr−，即34r−，解得01r

或7r时，圆1C与圆2C内含；②当124CCr=−，即34r=−，解得1r=或7r=时，圆1C与圆2C内切；③当1244rCCr−+，即434rr−+，解得17r时，圆1C与圆2C相交

；④当124CCr+时，34r+，无解，即圆1C与圆2C不可能外切也不可能外离．的综上所述，当01r或7r时，圆1C与圆2C内含；当1r=或7r=时，圆1C与圆2C内切；当17r时，圆1C与圆2C相交.【小问2详解】当2r=时，由（1）得圆1C与圆2C相交，由图可知公切线的斜率存在，

法一：设圆1C，圆2C的公切线的方程为ykxm=+，即0kxym−+=，则由直线与两圆都相切可得，2221341mkkmk=++=+，所以23mkm=+，则23mkm=+，或230mkm++=即3mk=或mk=−，分别代入221mk=+，得2

321kk=+或221kk−=+（无解），解得255k=，所以255655km==，或255655km=−=−.则公切线方程为256555yx=+或256555yx=−−，即为2560xy−+=，或2560xy++=.法二：因为两圆圆心都在x轴上，则由对称性

可知，两公切线关于x轴对称，且交点在x轴上，设为点P，如图，12//CMCN，则1PCM与2PCN相似，则有11222142PCCMPCCN===，又由123CC=,得211213PCPCCCPC=+=+，所以有11132PCPC=+，解得13PC=，即(3,0)

P−，设公切线方程为(3)ykx=+，即30kxyk−+=，则圆心1(0,0)C到切线的距离2321kk=+，解得255k=，则公切线方程为25(3)5yx=+或25(3)5yx=−+，即为2560xy−+=，或2560xy++=.20.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=

的左､右焦点分别为1F，2F.（1）若点A的坐标是()0,b，且12AFF△的面积为22a，求双曲线C的渐近线方程；（2）若以12FF为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，且13=FPOP（O为原点），求双曲线

C的离心率.【答案】（1）0xy=（2）2【解析】【分析】（1）利用已知条件得21222cba=，结合双曲线中222cab=+化简整体求出ba，即可得双曲线C的渐近线方程（2）根据题意作图，根据图形，

利用余弦定理求出1POF，从而得2POF，即渐近线的倾斜角，则可以得出bka=的值，结合222cab=+得到关于离心率的齐次方程，解出即可【小问1详解】因为()0,Ab，12AFF△的面积为22a，所以21222

cba=，即()22242abba+=，所以242bbaa+=，解得21ba=或22ba=−（舍去），所以1ba=，所以双曲线C的渐近线方程是0xy=.【小问

2详解】因为以12FF为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为P，如图，1FOOPc==，所以133FPOPc==，在1POF△中，由余弦定理可得：2221111cos2OPOFPFPOFOPOF+−

=()2223122ccccc+−==−，所以12π3POF=，则2π3POF=，所以3ba=，3ba=，22223abca==−，所以224ca=，2cea==，所以双曲线C的离心率为2.21.如图，在

四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，23PD=，4DC=，点E，F分别为AD，PC的中点，且PBEF⊥.（1）求AD长；（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值.【答案】（1）2AD=（2）5829【解析】分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到EF

和BP，根据垂直关系列出方程，即可求出AD；（2）根据线面角的向量公式即可求解.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD，,ADDC平面ABCD，所以PDAD⊥，PDDC⊥，又底面ABCD是矩形，所以ADDC⊥，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为

x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设()0ADaa=，所以,0,02aE，(),4,0Ba，()0,4,0C，()0,0,23P，()0,0,0D，的【所以()0,2,3F，所以,2,32aEF=−，(),4,23BPa

=−−，又PBEF⊥，所以()2,2,3,4,232022aaEFBPa=−−−=−=，因为0a，解得2a=，即2AD=；【小问2详解】由（1）知()1,2,3EF=−，()1,4,0EB=，设平面BEF的一个法向量(

),,nxyz=，所以23040nEFxyznEBxy=−++==+=，令1y=，解得4x=−，23z=−，所以平面BEF的一个法向量()4,1,23n=−−，又()2,4,23BP=−−，设直线PB与平面BEF所成角的大小为，所以841258sin291611

241612nBPnBP−−===++++，即直线PB与平面BEF所成角的正弦值为5829.22.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，长轴的左、右端点分别为1A，2A，短轴的上、下端点分别为1B，2B，设四

边形1122BFBF的面积为S，且1212423FFSAA==．（1）求a，b值；（2）过点(1,0)作直线l与E交于C，D两点（点C在x轴上方），求证：直线2AC与直线1AD的交点G在一条定直线上．【答案】

（1）2a=，1b=（2）证明见解析【解析】的【分析】（1）根据题意结合椭圆性质列式求,ab即可；（2）设直线CD的方程为1xmy=+，设()()1122,,,CxyDxy，由直线2AC与直线1AD的方程整理

可得()1212123462yyxmyyyy+=+−，再联立椭圆与直线l的方程，结合韦达定理运算求解.【小问1详解】由已知，得122AAa=，122BBb=，22122FFab=−，因为1212423FFSAA==，所以

22228222322abbaba−−==，解得2,1ab==．【小问2详解】由（1）可知：椭圆E的方程为2214xy+=，因为(1,0)在椭圆内部，则直线l与E必相交，由题意可知：直线l的斜率不为0，设直线CD的方程为1xmy=+，与E的方程联立得22114xmyxy=++=，消

去x可得()224230mymy++−=，设()()1122,,,CxyDxy，则12224myym+=−+，12234yym=−+，即()121223myyyy=+，直线121:(2)2yACyxx=−−，直线212:(2)2yADyxx=++，联立

上述两方程消去y可得1212(2)(2)22yyxxxx−=+−+，整理得()()()()12211221222222yxyxxyxyx+−−=++−，即()()()()12211221312321ymyymyxymyymy+−−=++−，可得()

1212123462yyxmyyyy+=+−，由()121246myyyy=+，得()()1212123662yyxyyyy+=++−，即()12123124yyxyy+=+，若1230yy+=，则由12224myym+=−+，可得得124mym=+，2234

mym−=+，又因为12234yym−=+，则()22234mm−=+234m−+，即224mm=+，不成立；故1230yy+，由()12123124yyxyy+=+，解得4x=，综上所述，动点G在定直线4x=上．【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（

1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.x

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