【文档说明】【精准解析】江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题.doc，共(18)页，1.250 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省如皋中学2019-2020学年度高一年级第二学期数学期初考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知ABC中4,43,30abA===，则B等于（）

A.60°或120°B.30°C.60°D.30°或150°【答案】A【解析】试题分析：由正弦定理sinsinabAB=得4433sinsin30sin2BB==60,120B=考点：正弦定理2.已知0ab，则下列不等式成立的是（）A.22abB.2aabC.11abD.1ba

【答案】D【解析】【分析】直接利用作差比较法比较即得正确选项.【详解】22ab−=22)()0,,ababab+−（所以A选项是错误的.2aab−=2()0,.aabaab−所以B选项是错误的.11ab−=110,.baab

ab−所以C选项是错误的.1ba−=0,1.babaa−所以D选项是正确的.D故选：.【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(

2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数

都是正数，一般用比商，其它一般用比差.3.等差数列na中，若34567450aaaaa++++=，则前9项和9S=（）A.1620B.810C.900D.675【答案】B【解析】【分析】由345674

50aaaaa++++=得55450a=，然后利用959Sa=算出答案【详解】由34567450aaaaa++++=得55450a=，所以590a=所以959810Sa==故选：B【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简单.4.已知不等式210axbx−−的解集

是11,23−−，则不等式20xbxa−−的解集是（）A.()(),32,−−−+B.()3,2−−C.()(),23,−+D.()2,3【答案】D【解析】【分析】由条件求出6,

5ab=−=即可【详解】因为不等式210axbx−−的解集是11,23−−所以11,23−−是方程210axbx−−=的两个根所以由韦达定理得：1123ba−−=，11123a−−=−解得6,5ab=−=所以

不等式20xbxa−−即为2560xx−+解得23x故选：D【点睛】本题考查的是一元二次不等式与一元二次方程的关系及一元二次不等式的解法，较简单.5.已知△ABC三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若caabbc+++=1，则B的大小为（）A.30B.60C.120D.15

0【答案】B【解析】【分析】将条件1caabbc+=++化简整理得222cabac+=+，再通过余弦定理便可求得角B的大小．【详解】解：ca1abbc+=++()()()()cbcaab1abbc+++=++()()()()cbcaa

babbc+++=++222cbcaababbbcac+++=+++222cabac+−=两边同时除以2ac得cos222cabac1B2ac2ac2+−===(0,)B3B=，故选B【点睛】本题考查了余弦定理的知识，解题的关键是要将题中的条件进行转化变形，变成余弦定理的形式，

进而解决问题．6.若0,0xy且191xy+=，则xy+的最小值是（）A.6B.12C.24D.16【答案】D【解析】试题分析：()19910102916yxxyxyxyxy+=++=+++=，当且仅当9yxxy=时等号成立

，所以最小值为16考点：均值不等式求最值7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层

灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯：A.281盏B.9盏C.6盏D.3盏【答案】D【解析】【分析】设塔的顶层共有1a盏灯，得到数列na的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n项公式，即可求解．【详解】设塔的顶层共有1a盏灯，则数列

na的公比为2的等比数列，所以717(12)38112aS−==−，解得13a=，即塔的顶层共有3盏灯，故选D．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．8.已知命题：“在等差数列na中，若()210424aaa++=

，则11S为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为（）A.17B.18C.19D.20【答案】B【解析】【分析】设括号里的数为x，则()()()210111144+91612xaaaadadaxdaxd++=++++−=++，因为

()116111115Saad==+所以要使得题目中的命题成立，则有1230x+=，然后算出即可.【详解】设括号里的数为x则()()()210111144+91612xaaaadadaxdaxd++=++++−=++因为()116111115Saad==+所以要使得

题目中的命题成立，则有1230x+=解得18x=故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和的性质，较简单.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知na是等差数列，其前n项和为nS，满足1263aaS+=，则下列四个选项中正确的有（）A.70a=B.130S=C.7S最小D.58SS=【

答案】ABD【解析】【分析】由条件可得70a=，然后逐一判断每个选项即可【详解】因为na是等差数列，1263aaS+=所以()1115361dadaa+=++，所以12120ad+=即160ad+=，即70a=所以137130Sa==67878530aaSSaa−=++==所以正确的

有ABD故选：ABD【点睛】本题考查的是等差数列的性质及其前n项和的性质，属于典型题.10.下列选项中，值为14的是（）A.cos72cos36B.5sinsin1212C.13sin50cos50+D.212cos153

3−【答案】AB【解析】【分析】把每个选项中的式子的值算出来即可【详解】2cos72cos36sin36cos72sin722cos72sin72sin1441cos72cos362sin362sin364sin364sin364===

==，故A满足sin2sincos511212sinsinsincos121212122246====，故B满足13cos503sin502sin8041sin50cos50sin50cos50sin1002++===，故C不满足()2212113cos151

2cos15cos3033336−=−=−=−，故D不满足故选：AB【点睛】本题考查的是三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握三角函数的相关公式.11.下列函数中，最小值为4的函数是（）A.4xxyee−=+B.(

)4sin0sinyxxx=+C.2295xyx+=+D.()3loglog811xyxx=+【答案】AD【解析】【分析】运用基本不等式和双勾函数的知识，把每个选项中的式子的最小值算出来即可.【详解

】2444xxxxyeeee−−+==当且仅当4xxee−=，即ln2x=时等号成立，故A满足因为(sin0,1x，所以根据双勾函数的知识可知当sin1x=时()4sin0sinyxxx=+取得最小值5，故B不满足2222544555xyxxx++==+++

+，因为255x+所以根据双勾函数的知识可知当0x=时2295xyx+=+取得最小值955故C不满足333loglog81log4log32log4log34xxxyxxx=+=+=当且仅当3log4log3xx=即9x=时等号成立，故D满足故选：AD【点睛】运用基本不等式求最值时要满

足条件“一正二定三相等”12.在三角形ABC中，下列命题正确的有（）A.若30A=，4b=，5a=，则三角形ABC有两解B.若0tantan1AB，则ABC一定是钝角三角形C.若()()()coscoscos1ABBCCA−−−=，则ABC一定是等边三

角形D.若coscosabcBcA−=−，则ABC的形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A错误，由0tantan1AB可推出coscossinsin0ABAB−，然后可得B正确，由()()()coscoscos1ABBCCA−−

−=得()()()coscoscos1ABBCCA−=−=−=，然后可推出C正确，由coscosabcBcA−=−可得sinsinsincossincosABCBCA−=−，然后可推出D正确.【详解】因为30A=，4b=，5a=所以由正弦定理得

sin2sin5bABa==，ba所以B角只有一个解，故A错误由0tantan1AB，即sinsin01coscosABAB所以coscossinsin0ABAB−，即cos()0AB+所以2A

B+，所以2CAB=−−，故ABC一定是钝角三角形故B正确因为()()()coscoscos1ABBCCA−−−=所以()()()coscoscos1ABBCCA−=−=−=所以60ABC===，故C正确因为coscosabcBc

A−=−所以sinsinsincossincosABCBCA−=−所以sinsincossinsincosACBBCA−=−因为sinsin()sincoscossinABCBCBC=+=+sinsin()sincoscossinBACAC+AC=+=所以sincos

sincosBCAC=，所以cos0C=或sinsinAB=所以2C=或AB=，所以ABC的形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分.13.若实数x满足4x−,则函数()9

4fxxx=++最小值为_________.【答案】2【解析】分析：由题意可得x+4＞0，变形可得f（x）=x+94x+=x+4+94x+﹣4，由基本不等式可得．详解：∵x＞﹣4，∴x+4＞0，∴f（x）=x+94x+=x+4+94x+﹣4≥2()944xx++

﹣4=2当且仅当x+4=94x+即x=﹣1时取等号，故答案为2．点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14.

如图所示，ABCD为圆内接四边形，若45DBC=，30ABD=，6CD=，则线段AD=______.【答案】32【解析】【分析】由30ABDACD==，45DBCDAC==，6CD=及正弦定理即可解出答案【详解】因为30ABDACD==

，45DBCDAC==，6CD=所以在ADC中由正弦定理得：sinsinADCDACDDAC=即6sin30sin45AD=，解得AD=32故答案为：32【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单.15.设等比数列na前n项和为nS，若3692SSS+=.则数

列的公比q=______.【答案】312−【解析】【分析】分1q=和1q两种情况讨论，当1q时，可得()()()3691111121111aqaqaqqqq−−−+=−−−，然后化简解出来即可.【详解】若1q=，则3161913,6,9SaSaSa===，不满足3692SSS+=所以1q所

以()()()3691111121111aqaqaqqqq−−−+=−−−整理得：()363210qqq−−=由0q得63210qq−−=即()()332110qq+−=，所以3210q+=解得312q=−故答案为：312−【点睛】本题考查的是等比数列的基本运算，较简单，但要注意讨论

1q=的情况不成立.16.若△ABC的内角,,ABC满足sin2sin2sinABC+=，则cosC的最小值是．【答案】624−【解析】试题分析：由正弦定理有22abc+=,所以22abc+=,22222312422cos22aba

babcCabab+−+−==,由于222231316242422ababab+=,故62cos4C−,所以cosC的最小值是624−.考点：1.正弦定理；2.余弦定理的推论；3.均值不等式.【思路

点晴】本题主要考查了余弦定理的推论及均值不等式求最值，属于中档题.在本题中，由正弦定理把sin2sin2sinABC+=化为22abc+=，再由余弦定理推论求出cosC的表达式，还用到用均值不等式求出222231316242422ababab+=，再算出结果来.四、解答题：本大题共6小题

，共70分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知,,abc分别是ABC的三个内角,,ABC所对的边．(1)若ABC的面积32602ABCScA===，，，求,ab的值；(2)若=cosacB，且sinb

cA=，试判断ABC的形状．【答案】（1）3,1ab==；（2）等腰直角三角形．【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，13sin22ABCSbcA==132sin6022b=得1b=，再由由余弦定理得：222222cos1221

2cos603abcbcA=+−=+−=，所以3a=，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观.因为cosacB=，所以由余弦定理得：2222222acbacabcac+−=+=，所以90C=，在RtABC中，

sinaAc=，所以abcac==，所以ABC是等腰直角三角形.解：（1）13sin22ABCSbcA==，2分132sin6022b=，得1b=3分由余弦定理得：222222cos12212cos603abcbcA=+−=+−=，5分所以3a=6分（2）由余弦定理得：

2222222acbacabcac+−=+=，所以90C=9分在RtABC中，sinaAc=，所以abcac==11分所以ABC是等腰直角三角形；12分考点：正余弦定理18.已知等差数列na的前n项和nS满足356,15SS==.（1）求na的通项公式；（2）设,2nn

naab=求数列nb的前n项和nT.【答案】（Ⅰ）nan=；（Ⅱ）11222nnnnT−=−−．【解析】【详解】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，首项为1a，∵356,15SS==∴11133(31)62{155(51)152adad+−=+−=即1

12{23adad+=+=，解得111ad==∴na的通项公式为1(1)1(1)1naandnn=+−=+−=（Ⅱ）由（Ⅰ）得22nnnananb==∴231123122222nnnnnT−−=+++++①①式两边同乘以12，得234111231222222nnnnnT+−=++

+++②①-②得23111111222222nnnnT+=++++−111111221122212nnnnnn++−=−=−−−∴11222nnnnT−=−−考点：等差数列的通项公式，前n项和公式，错位相减法19.解关于x的不等式：220axx

++.【答案】见解析【解析】【分析】分0a=、108a、18a=、18a、0a五种情况讨论即可.【详解】当0a=时，原不等式等价于20x+，所以解为2x−≤，当0a时，18a=−，当0a时，令180a=−得108a，所以当108a时，，不等式所对应方程的根为1

1182axa−−−=或21182axa−+−=，此时不等式的解为12xxx；当18a=时，0=，不等式的解为12xa=−；当18a时，，不等式的解集为；当0a时，180a=−，原不等式

等价于2120xxaa++，不等式所对应方程的根11182axa−−−=或21182axa−+−=（且12xx），所以不等式的解为2xx或1xx.综上可知：当0a=时，解集为|2xx−；当108a时，不等式的解集为11811822aaxxaa−−−−+−

，当18a=时，不等式的解集为12xxa=−；当18a时，不等式的解集为；当0a时，不等式的解集为11811822aaxxxaa−+−−−−或.【点睛】解含参

的一元二次不等式常从以下几个方面讨论：开口方向、根的个数、根的大小.20.根据下列条件，求数列na的通项公式.（1）11a=，12nnnaa+=+；（2）112a=，()1121nnnaann−−=+.（3）1899

9a=，1101nnaa+=+.【答案】（1）21nna=−；（2）()11nann=+；（3）11109nna+=−【解析】【分析】（1）用累加法求出na即可（2）用累乘法求出na即可（3）由1101nnaa+=+得1110110109

99nnnaaa++=+=+，然后可得数列19na+是等比数列，其中首项为111009a+=，公比为10【详解】（1）由题意知12nnnaa+−=，()()()112211nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+121222212112nnnn

−−−=++++==−−.（2）因为()1121nnnaann−−=+，所以当2n时，111nnanan−−=+，所以111nnanan−−=+，122nnanan−−−=，…，3224aa=，2113aa=，以上1n−个式子

相乘得13212211221......143nnnnaaaannaaaann−−−−−=+，即111211naann=+，所以()11nann=+.当1n=时，111122a==，也与已知112a=相符，所以数列na的通项公式为()11nan

n=+.（3）由1101nnaa+=+，得111011010999nnnaaa++=+=+，即1191019nnaa++=+.所以数列19na+是等比数列，其中首项为111009a+=，公比为10，所以11110010109nnna−++==，即11109

nna+=−.【点睛】本题考查的是三个常见的求通项公式的方法，较简单.21.某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占

了一半.学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备.（1）如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？（2）依照（1）的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？

下列数据提供计算时参考：91.12.36=91.00491.04=101.12.6=101.00491.05=111.12.85=111.00491.06=【答案】（1）a32套；（2）16年【解析】【分析】（1）10年后学生人数为()1014.91.05bb+=‰，设今年起学校的合格实验

设备为数列na，然后可得数列10nax−是首项为1.111ax−，公比为1.1的等比数列，然后求出10a即可算出答案.（2）根据（1）中的结果，直接算出即可【详解】（1）今年学生人数为b人，则10年后学生人数为()1014.91.05bb+=‰，

设今年起学校的合格实验设备为数列na则11.1aax=−，11.1nnaax+=−令()11.1nnaa++=+，则11.10.1nnaa+=+所以0.1x=−，即10x=−所以数列10nax−是首项为1.111ax−，公比为1.1的等比数列所以()110

1.1111.1nnaxax−−=−，即()1101.1111.1nnaxax−=+−所以()910101.1111.12.616axaxax=+−−由题意得2.61621.05axabb−=，解得32ax=.∴每年应更换的旧设备为a32套.（2）全部更

换旧设备共需116232aa=年.答：（1）每年应更换的旧设备为a32套.（2）按此速度全部更换旧设备共需16年.【点睛】本题考查数列模型的建立，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题.22.已知nS为正项数列na的前n项和，且满足()2*1122nnnSaanN=+

.（1）求数列na的通项公式；（2）数列nb满足1nnba=+，nT为数列21nnbb+的前n项和，若nmT对任意n+N恒成立，求m范围.【答案】（1）nan=；（2）512m【解析】【分析】（1）当2n时，21111122nnnSaa−−−=+，然后可得11n

naa−−=，即数列na是首项为1，公差为1的等差数列（2）()()21111113213nnbbnnnn+==−++++，然后算出其前n项和即可【详解】解：（1）21122nnnSaa=+，①当2n时，2111

1122nnnSaa−−−=+，②①－②得()()1101nnnnaaaa−−+−−=.由于10nnaa−+，所以11nnaa−−=，又当1n=时，21111122aaa=+，所以11a=，故数列na是首项为1，公差为1的等差数列，故

nan=.（2）由（1）知1nbn=+，即()()21111113213nnbbnnnn+==−++++.所以1111111111111224354611213nTnnnnnn=−+−+−++−+−+−−++++1511526231

2nn=−−++.因为nmT对任意n+N恒成立，所以512m.【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法