【文档说明】江苏省苏州市常熟中学2019-2020学年高一下学期六月质量检测数学试题【精准解析】.doc，共(25)页，2.396 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省常熟中学2019-2020学年度第二学期六月质量检测高一年级数学试题一、单项选择题1.角的终边在直线3yx=上，则sin=（）A.31010B.31010C.1010D.3【答案】B【解析】【分析】利用tank=，求出正切值，再

利用同角三角函数的基本关系即可得到结论.【详解】由角的终边在直线3yx=上得tan3=，又22sincos1sintancos+==，当在第一象限时，sin=31010，当在第三象限时，sin=31010−.故选：B.【

点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系.属于较易题.2.已知m，n为两条不重合直线，，为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出//的是（）A.//mn，m，nB.//mn，m⊥，n⊥C.mn⊥，//m，//n

D.mn⊥，m⊥，n⊥【答案】B【解析】【分析】根据面面平行的判定定理、线面垂直的性质判定．【详解】只有一对直线平行，不能得出两平面平行，A错，由//mn，m⊥可得n⊥，再由线面垂直的性质可得//，B正确；C中两平面,

，没有任何关系，不能得出平行，C错；由mn⊥，m⊥，n⊥可以得出⊥，不能得出平行，D错．故选：B．【点睛】本题考查面面平行的判定，掌握面面平行的判定定理是解题关键．3.若直线1:60lxay++=与()2:2320laxya−++=平行，则1l与2l间的距离为

（）A.2B.823C.3D.833【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行求出a的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离.【详解】由题：直线1:60lxay++=与()2:2320laxya−++=平行，则()32aa=−，即223

0aa−−=，解得3a=或1a=−，当3a=时，直线1:360lxy++=与2:360lxy++=重合；当1a=−时，直线1:60lxy−+=与22:03lxy−+=平行，两直线之间的距离为2682332−=.故选：B【点睛】此题考查根据两直线平行求参数的取值，需要注意讨论直线重

合的情况，根据距离公式求平行线之间的距离.4.已知集合1,3M=，1,3,5,7,9N=，若从集合M、N中各取一个数x、y，则()3logxy为整数的概率为（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】【分析】基本事件总数2510n=?，利用列举法求出()3logxy为整

数包含的基本事件有6个，再利用古典概率模型的概率计算公式即可求解.【详解】已知集合1,3M=，1,3,5,7,9N=，若从集合M、N中各取一个数x、y，基本事件总数2510n=?，()3logxy为整数包含的基本事件有()()(

)()()()1,1,1,3,1,9,3,1,3,3,3,9，共有6个，故()3logxy为整数的概率为63105p==.故选：C.【点睛】本题主要考查了古典概率模型的概率计算公式以及列举法求基本事件个数.属于较易题.5.一个底面半径为

2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，且内接圆柱的体积为3，则该圆锥的体积为（）A.83B.233C.833D.43【答案】C【解析】【分析】在旋转体的轴截面中讨论两个几何体的高之间的关系，求出圆锥的高后可求圆锥的体积.【详解】圆锥与内

接圆柱的轴截面如图所示：其中S为圆锥的顶点，O为底面的圆心，H为内接圆柱的上底面的圆心.设内接圆柱的高为1h，则2113h=，故13h=，设圆锥的高为h，则112hhEHhBO−==，故23h=，所以圆锥的体积为18342333V==.故选：C.

【点睛】本题考查几何体的内接圆柱以及圆锥的体积的计算，注意旋转体的侧面积、表面积、体积等计算问题，一般需要考虑几何体的轴截面，因为轴截面包含了几何体的几何量.6.已知直线:22lymxm=+−和圆22:9Cx

y+=关于A、B两点，则使得弦长AB为整数的直线l的条数为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先计算出弦长AB的最大值和最小值，从而可得弦长AB可取哪些整数值，从而可得所求的条数.【详解】直线:22lymxm=+−过定点()2,2Q，该点在圆22:9Cxy+=内，则弦

长AB的最大值为6，满足弦长AB为6的直线有1条.当CQl⊥时，弦长AB最小，且最小值为2982−=，满足弦长AB为2的直线有1条.若弦长AB为整数，则整数为2,3,4,5,6，其中满足弦长AB为3,4,5各有两条直线.故使得弦长AB为整数的直线l的条数为23118++=.故

选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，解题中注意含参数的直线一般经过定点，本题属于基础题.7.已知函数()πsin03yx=+在区间ππ,63−上单调递增，则的取值范围是（）A.1

0,2B.1,12C.12,33D.2,23【答案】A【解析】【分析】根据正弦函数的单调性，结合在区间,63−上单调递增，建立不等式关系，即可求解．【详解】函数()s

in()(0)3fxx=+在区间ππ,63−上单调递增，当63x−时，63333x−+++，当0x=时，33x+=，由于函数()sin03yx=+在区间,63−上单调递增，所以，632332

−+−+，解得12，0，所以，102≤，因此，的取值范围是10,2.故选：A．【点睛】本题考查了正弦函数的图象及性质、单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中等题．8.如图，某景区欲在两山

顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高1()ABkm=，3()CDkm=，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，120BED=，则两山顶A、C之间的距离为()A.22()kmB.10()kmC.13()kmD.33(km)【答案】

C【解析】【分析】根据题意可得1,AB=3CD=，30,AEB=60,CED=120BED=，利用正切函数的定义求得BE，DE；在BED中，利用余弦定理求得BD，然后利用勾股定理求解.【详解】1,AB=3CD=，30,AEB=60,CED=120BED=

，13,tan3033ABBE===33tan603CDDE===；在BED中，由余弦定理得：2222cosBDBEDEBEDEBED=+−1332332=+−−9=，所以3BD=；所以222()9(31)13ACBDCDAB=+

−=+−=，即两山顶A，C之间的距离为13km.故选：C.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、多项选择题9.下列说法错误的是（）A.sinyx=在第一象限是增函数B.cosyx=的最小正周期为2C.tanyx=是增函数D.

tanyx=的所有对称中心坐标为(),0k，kZ【答案】ACD【解析】【分析】通过举反例可得A不正确．根据余弦函数的性质判断B,根据正切函数的性质判断CD；【详解】由于39030，且都是第一象限角，1sin390s

in302==，故函数sinyx=在第一象限不是增函数，故A不正确．coscosyxx==其最小正周期为2，故B正确；tanyx=的单调递增区间为,22kk−++，kZ，故C错误；由于函数tanyx=的图

象的对称中心是,02k，kZ，故D不正确．故选：ACD【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，属于基础题.10.已知圆O：224xy+=和圆M：224240xyxy+−++=相交于A、B两点，下列说法正确的是（）A.两圆有两条

公切线B.直线AB的方程为24yx=+C.线段AB的长为455D.所有过点A、B的圆系的方程可以记为()()()222244240,1xyxyxyR+−++−++=−【答案】ABC【解析】【分析】A.根据圆O与圆M的位置关系判断；B.圆O：224xy+=和圆M：

224240xyxy+−++=的方程相减判断；C.先求得圆心O到直线AB的距离，再利用弦长公式求解判断；D.根据,1R−判断方程是否过AB两点，再判断方程是否表示过A、B的所有圆.【详解】A.因为圆O：224xy+=和圆M：224240xyxy

+−++=相交于A、B两点，所以两圆有两条公切线，故正确；B.圆O：224xy+=和圆M：224240xyxy+−++=的方程相减得：24yx=+，所以直线AB的方程为24yx=+，故正确；C.圆心O到直线AB的距离为：445514d==+，所以线段AB的长为22

22454522255ABrd=−=−=，故正确；D.因为,1R−，所以2222404240xyxyxy+−=+−++=恒成立，即过AB两点，方程可化为2242440111

xyxy−+−++=+++，而()22224244416401111−+−+−=++++恒成立，所以方程()()()222244240,1xyxyxyR+−++−++=−表示圆，但此圆系不包括圆M，故不正确.故答案为

：ABC【点睛】本题主要考查两圆的位置关系，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.11.在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin3cosaBbA=，3a=.若点D在边BC上，且2BDDC=，O是ABC的外心.则下列

判断正确的是（）A.30A=B.ABC的外接圆半径为3C.1OD=D.AD的最大值为2【答案】BC【解析】【分析】先利用正弦定理求出tan3,3AA==，判定出选项A错误；再利用2sinaRA=，求出外接圆半径

，选项B正确；画出图像，在RtBOM中，计算出OD，选项C正确；再由由ADAOOD+得出选项D错误.【详解】在ABC中，0,,ABC,sin3cosaBbA=，sinsin3sincosABBA=，又sin0B，tan3,3AA

==，故选项A错误；又3a=，所以3223sin32aRA===，故3R=，选项B正确.取BC的中点M，如图所示：在RtBOM中，()22221333,32222BMBCOMOBBM===−=−=，在RtDOM中，2222131,1222DMB

DBMODOMDM=−==+=+=，故选项C正确；由31ADAOODROD+=+=+，当且仅当圆心O在AD上时取等号，所以AD的最大值为31+，故选项D错误.故选：BC.【点睛】本题主

要考查了正弦定理的应用以及在外接圆内求最值问题.属于中档题.12.四边形ABCD中，1ABADCD===，2BD=，BDCD⊥，将四边形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC−−，则下列结论正确的是（）A.ACBD⊥B.90BAC=C.CA和平面ABD所成的

角为45D.四面体ABCD−的体积为12【答案】BC【解析】【分析】先证明CD⊥平面ABD、AB⊥平面CAD，再逐项判断即可.【详解】因为二面角ABDC−−是直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD，而平

面ABD平面BCDBD=，CDBD⊥，CD平面BCD，所以CD⊥平面ABD.因为BA平面ABD，所以CD⊥BA.因为1ABAD==，2BD=，所以222BDABAD=+，所以ABAD⊥，因为CDADD=，所以AB⊥平面CAD.因为

CA平面CAD，故ABAC⊥即90BAC=，故B正确.若ACBD⊥，因为ABAC⊥，ABBDB=，故AC⊥平面ABD，但CD⊥平面ABD，故//DACC，矛盾，故A错误.因为CD⊥平面ABD，故CAD为直线CA和平面ABD所成的角，在RtACD△中，1

ADDC==，故45CAD=，故C正确.又111111326ABCDCBADVV−−===，故D错.故选：BC.【点睛】本题考查线面垂直的证明、线面角的计算以及三棱锥体积的计算，在垂直关系的证明过程中，注意线线垂直与线面垂直关系的转化，而体积的计算，注意

选择合适的顶点和底面.三、填空题13.为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在50,150中，其频率分布直方图如图所示，已知在)50,100中的频数为160，则n的值为_____．【答案】400【解析】【分析】由频率分布直方图求出)50

,100的频率，再由在)50,100的频数，能求出n．【详解】由频率分布直方图得：)50,100的频率为：()0.0040.012250.4+=，在)50,100中的频数为160，1604000.4n==．故答案为：400．【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、总数的问题

，属于基础题.14.已知棱锥PABC−的侧棱PA、PB、PC两两垂直，2PA=，3PB=，4PC=，则它的外接球的表面积为______.【答案】29【解析】【分析】根据棱锥PABC−的结构特征，可补成一个相邻三边为2，3，4的长方体，再根据棱锥PABC−的外

接球即为长方体的外接球求解.【详解】因为棱锥PABC−的侧棱PA、PB、PC两两垂直，2PA=，3PB=，4PC=，所以可补成一个相邻三边为2，3，4的长方体，如图所示：所以棱锥PABC−的外接球即为长方体的外接球，长方体的体对角线的长为222223429lR==++=,解得292R

=，所以外接球的表面积为2429SR==，故答案为：29【点睛】本题主要考查三棱锥外接球的表面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.15.函数()223sincos2cos1fxxxx=−+的振幅

为______；将函数()fx的图象右移()0个单位长度后，得到函数()gx的图象，若函数()gx为偶函数，则的最小正值为______.【答案】(1).2(2).6【解析】【分析】先利用二倍角和辅助角公式整理()fx得到振幅，再利用左加右减得到()gx，又利用()gx

为偶函数得出k=-23−，对k取值即可得结论.【详解】()223sincos2cos1=3sin2cos22sin26=−+−=−fxxxxxxx，故振幅为2；函数()fx的图象右移()0个单

位长度，()()2sin2=2sin2266=−−−−gxxx，又函数()gx为偶函数，所以()-2-=k62kZ+，k=-23−，当1k=−时，=6即为的最小正值.故答案为：2；6.【点睛】本题主要考查利用二倍角和辅助角公式化简

三角函数，求振幅和的问题.属于较易题.16.已知圆()()2200:8Mxxyy−+−=，点(2,4)T−，从坐标原点O向圆M作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若切线OP，OQ的斜率分别为1k，2k，121kk=−，则||TM的取值范围为________．【答案】[25

4,254]−+【解析】【分析】先根据题意得到直线OP，OQ的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12kk，结合121kk=−，即可求得圆心M的轨迹方程，最后数形结合可得||TM的取值范围．【详解】由题意可知，直线1:OPyxk=，2:OQykx=，因为直线OP，OQ与圆

M相切，所以10021221kxyk−=+，20022221kxyk−=+，两边同时平方整理可得()2221010008280kxkxyy−++−=，()2222020008280kxkxyy−++−=，所以1k，2k是方程()22200008280(0)kxkxyyk−++

−=的两个不相等的实数根，所以20122088ykkx−=−．又121kk=−，所以2020818yx−=−−，即220016xy+=．又||416TO=+25=，所以||4||||4TOTMTO−

+，即254||254TM−+．故答案为：[254,254]−+【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.四、解答题17.一机器可以按各种不同的速度运转，其生产的产品会有一定的次品率

，每小时生产的次品数随机器运转速度而变化.用x（单位：转/秒）表示转速，用y表示每小时生产的次品数.现试验得到(,)xy的4组观测值分别为()()(8,512,814,9161()1),，，，（1）假定y和x具有线性相关关系，求y和x之间的回归直线方程；（2）若实际生产中所允许的每

小时次品数不超过10，则机器的速度不得超过多少转/秒？（精确到1）()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$【答案】（1）0.730.875yx=−，（2）15【解析】【

分析】（1）先求样本中心点(,)xy，再代入系数公式求b和a可得线性回归方程；（2）回归直线方程看作一次函数，10y=代入回测可得机器运转速度.【详解】（1）8+12+14+16255+8+9+1133,4244xy====.22222148121416660,iix==+++=4185+

128+149+1611=438iiixy==设回归直线方程为ybxa=+$$$于是可得：12214253344384240.7325256604422iiiiiixyxybxx==−−==−−；33250.730.875

42aybx=−=−=−.因此，所求线性回归方程为：0.730.875yx=−.（2）根据上面求得的线性回归方程，当每小时次品数不超过10时，100.730.875x−，14.89x，即机器的速度不得超过15转/秒.【点睛】本题考查求回归直线方程及利用回归方程进行预

测.回归直线方程中系数的两种求法:(1)公式法：利用公式，求出回归系数,ba(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(,)xy求系数．回归分析的两种策略:(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是

负相关的是回归系数b.18.已知sincost+=.（1）13t=，0，求sincos−的值；（2）0，求函数sin2sincosy=++的值域.【答案】（1）173；（2）5,124−+【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数关系式得82s

incos9=−，sin0，cos0，由此能求出sincos−．（2）首先求出t的取值范围，将函数sin2sincosy=++转化为关于t的函数，利用二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）1sincos3+=，0，112sincos9+=，82

sincos9=−，sin0，cos0，217(sincos)12sincos9−=−=，17sincos3−=．（2）因为sincos2sin4t=+=+，因为

0，所以5444+，所以2sin,142+−，即(1,2t−因为()22sincos12sincost=+=+所以22sincos1t=

−所以2215sin2sincos124yttt=++=−+=+−，(1,2t−所以5,124y−+【点睛】本题考查三角函数值的求法，解题时要认真审题，注意同角三角函数性质的合理运用，换元法的应用，属于中档题．1

9.在直三棱柱111ABCABC−中，90ABC=，12ABBCAA===，D、E分别为1BB和1AC的中点.（1）证明：//DE平面111ABC；（2）求点E到平面ACD的距离.【答案】（1）见解析；（2）63【解析】【分析】（1）取11AC的中点

为F，连接1,EFFB，可证1//FBED，从而可得//DE平面111ABC；（2）可证ED⊥平面11ACCA且2ED=，从而可求DEACV−，利用等积法可求点E到平面ACD的距离.【详解】（1）取11AC的中点为

F，连接1,EFFB.因为111,AEECAFFC==，故1//EFCC，112EFCC=.因为D为1BB的中点，故1112BDBB=.又由直三棱柱111ABCABC−可得1111//,,BBCCBBCC=，故

//,EFBDEFBD=，所以四边形1EFBD为平行四边形，故1//FBED，因为1FB平面111ABC，DE平面111ABC，所以//DE平面111ABC.（2）设点E到平面ACD的距离为d.2ABBC==且90ABC=，所以ABC为等腰直角三角形，故111ABC△也为等腰

直角三角形，因为F为11AC的中点，所以111BFAC⊥，且12BF=.因为111ABCABC−为直棱柱，故1CC⊥平面111ABC，而1BF平面111ABC，故11BFCC⊥，因为1111ACCCC=，故1BF⊥平面11ACCA，因四边形1EFBD为平行四边

形，故11//,FBEDFBED=，所以ED⊥平面11ACCA且2ED=，故112221112222332323AACDEACEACSVDES−====△，又直角三角形DBC中，1,2DBBC==，故5DC=，同理

5DA=，而22AC=，故1225262ACDS=−=△，因为EACDDEACVV−−=，故12633d=，故63d=.【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影

，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.点到平面的距离的计算，可利用题设中的线面垂直，也可以利用已知的面面垂直构建线面垂直，还可以利用等积转换来计算.20.已知四边形ABCD是由ABC和ACD△拼接而成的，且

在ABC中，2222ACABBCABBCAB+−−=.（1）求角B的大小；（2）若3BAD=，56ADC=，1AD=，2BC=，求AC的长.【答案】（1）3；（2）7.【解析】【分析】（1）题设中的边的关系可化为

222ABBCACABBC+−=，从而可用余弦定理求得角B的大小.（2）设DCA=，则在ACB△和ACD△中分别利用正弦定理构建关于,AC的方程组，解方程后可得AC的长.【详解】（1）因为2222ACABBCABBCAB+−−=，故222ABBCACABBC+−=，故22

21cos22ABBCACBABBC+−==，而()0,B，故3B=.（2）因为3BAD=，56ADC=，3B=，故2DCB=.设DCA=，则2ACB=−，所以6CAB=+.在ACD△中，由正弦定理可得125sinsin6ACAC==，在A

CB△中，由正弦定理可得2233sinsin36ACAC==+，所以sin632sin+=，整理得到3tan9=，因为锐角，故37sin1484==，故7AC=.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理在

解三角形中的应用，注意当题设条件分散在不同的三角形中时，我们应利用两个三角形共有的边、相关的角来沟通不同三角形中的边角关系.21.如图，四棱锥PABCD−中，面PAD⊥面ABCD，PAD△是以AD为斜边的等腰直角三角形，//ABCD，ABBC⊥，12PD

CDBCAB===，E为AB的中点.（1）求证：ADPE⊥；（2）求直线PE和平面PBD所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】【分析】（1）取AD中点O，连接OP，OE，再证明ADOE⊥，POAD⊥得AD⊥平面OPE，进而得ADPE⊥

；（2）先根据平面PAD⊥平面ABCD得PO⊥平面ABCD，结合（1）建立空间直角坐标系，利用法向量求解线面角即可.【详解】（1）如图，取AD中点O，连接OP，OE，∵PAPD=，∴POAD⊥，又∵OE是ABD△的中位线，∴//OEBD，设112PDCDBCAB=

===，则2ADBD==，∴222ADBDAB+=，即：ADBD⊥∴ADOE⊥，又∵OPOEO=，OP，OE平面OPE，∴AD⊥平面OPE，又∵PE平面OPE，∴ADPE⊥（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平

面ABCDAD=，PO平面PAD∴PO⊥平面ABCD，故如图，建立空间直角坐标系20,,02E，20,0,2P，2,0,02D−，2,2,02B−220,,22PE=−，()0,2

,0DB=，22,0,22DP=设平面PBD的一个法向量为(),,nxyz=则00nDBnDP==，即：00yxz=+=，得()1,0,1n=−直线PE和平面PBD所成角的正弦值为：212sincos,22nPEnPEnP

E====【点睛】本题考查线面垂直的判定与线面所成角的求解，考查学生空间想象能力，运算能力，逻辑推理能力，是中档题.22.已知点(3,4),(9,0)AB−，,CD分别为线段,OAOB上的动点，且满足ACBD=（1）若4,AC=求直线CD的方程；（2）证明：OCD的外接圆恒过定点（

异于原点）．【答案】（1）750xy+−=（2）详见解析【解析】试题分析：（1）求直线CD的方程，只需确定C，D坐标即可：34(,)55C−，(5,0)D，直线CD的斜率40153755−=−−−，直线CD的方程为750xy+−=．（2）证明动圆过定点

，关键在于表示出圆的方程，本题适宜设圆的一般式：22+0xyDxEyF+++=设(3,4)(01)Cmmm−，则D(5+4,0)m，从而()()2220,{916340,54540.FmmmDmEFmmDF=+−++=++++=解之得(54),

0DmF=−+=,103Em=−−,整理得22435(2)0xyxymxy+−−−+=，所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,1)−．试题解析：（1）因为(3,4)A−，所以22(3)45OA=−+=，1分又因为4AC=，所

以1OC=，所以34(,)55C−，3分由4BD=，得(5,0)D，4分所以直线CD的斜率40153755−=−−−，5分所以直线CD的方程为1(5)7yx=−−，即750xy+−=．6分（2）设(3,4)(01)Cmmm−，则5O

Cm=．7分则55ACOAOCm=−=−，因为ACBD=，所以5+4ODOBBDm=−=，所以D点的坐标为(5+4,0)m8分又设OCD的外接圆的方程为22+0xyDxEyF+++=，则有()()2220,{916340,54540.FmmmDmEFmmDF=+−++=++++=10分解之得(5

4),0DmF=−+=,103Em=−−,所以OCD的外接圆的方程为22(54)(103)0xymxmy+−+−+=，12分整理得22435(2)0xyxymxy+−−−+=，令2243=0,{+2=0xyxyxy+−−，所以

0,{0.xy==（舍）或2,{1.xy==−所以△OCD的外接圆恒过定点为(2,1)−．14分考点：直线与圆方程