【文档说明】江苏省响水中学2022-2023学年高二上学期10月学情分析考试 数学试题 含解析.doc，共(24)页，2.972 MB，由envi的店铺上传

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江苏省响水中学2022-2023学年秋学期高二年级学情分析考试数学试题（创新班）考生注意：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页；2.满分150分，考试时间为120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列导数运算正确的是（）A.()22343xx+=+B.ππsincos66=C.2ln1lnxxxx+=D.(3cos)=3sinxx−【答案

】D【解析】【分析】根据导数运算性质判断各选项即可.【详解】因为()2234xx+=,所以A错误；因为1sin062==,所以B错误；因为22ln(ln)ln1lnxxxxxx

xxx−−==,所以C错误；因为(3cos)=3sinxx−,所以D正确.故选:D.2.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦距为4，其右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A.2yx=B.3y

x=C.2yx=D.yx=【答案】D【解析】【分析】由焦距可得2c=，写出右焦点坐标，结合点线距离公式列方程求a、b关系，即可得渐近线方程.【详解】由题设24c=则2c=，可知：右焦点为(2,0)，又双曲线C的渐近线为byxa=，由题意2222bab=+，整

理得ab=，所以双曲线C的渐近线方程为yx=.故选：D3.已知曲线elnxyaxx=+在点()1,ea处的切线方程为3yxb=+，则（）A.ea=，2b=−B.ea=，2b=C.1ea−=，2b=−D.1ea−=，2b=【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函

数，依题意可得1|3xy==，即可求出a，再将切点代入切线方程，即可求出b；【详解】解：1eexxyaaxx=++，1|ee12e13xkyaaa===++=+=，∴1ea=，∴1e1ea−==．将()1,1代入3yxb=

+得31b+=，∴2b=−．故选：C．4.在抛物线28yx=上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则AFBFCF++＝（）A.6B.8C.9D.12【答案】D【解析】【分析】根据重心的性质可得1()

3AFABAC=+，然后根据抛物线的定义可知1236AFxxxFBFC+++++＝即可求解.【详解】解：由题意得：F为ABC的重心故211()()323AFABACABAC=+=+设点A，B，C的坐标分别为11(,)xy，2

2(,)xy，33(,)xy抛物线28yx=，F为其焦点(2,0)F1121213131(2,),(,),(,)AFxyABxxyyACxxyy=−−=−−=−−1()3AFABAC=+1213112()3xxxxx−=−+−1236xxx++=123612AFxBFFx

xC+++=++＝故选：D5.已知点()0,1,0P，()2,0,1Q−，则直线PQ的一个方向向量可以为（）A.()2,1,1−−−B.()1,2,1−C.()4,2,2−D.()4,2,2−【答案】C【解析】【分析】利用空间向量中直线的方向向量的坐标运算求解即可.【详解】

解：由题意得：()2,1,1PQ=−−，则直线PQ的方向向量为()()2,,0PQ=−−逐项分析即可知只有C符合要求.故选：C6.四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长均为1，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，则线段

A1C的长度是（）A.6B.342C.3D.11【答案】A【解析】【分析】根据空间向量运算法则得到11CACDCBCC=++，再利用模长公式进行求解.【详解】因为1160CCBCCDBCD===，11CDCBCC===，所以1=cos60=2CDCBCDCB

，11=2CDCC，11=2CBCC，因为1111CACAAACACCCDCBCC=+=+=++，所以()2211CACDCBCC=++2221112+2+2CDCBCCCDCBCDCCCBCC=+++1111112

226222=+++++=，所以16CA=，即线段1AC的长度是6.故选：A.7.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的上顶点()0,Ab，左右焦点分别为1F，2F连接1AF，并延长交椭圆于另一点P，若

2PAPF=，则椭圆C的离心率为（）A.13B.16C.33D.66【答案】C【解析】【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得1PF、2PF的长，根据三角函数定义，求得1coscAFOa=根据余弦定理，可求得12cosPFF

，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案.【详解】由题意得1,OFcOAb==，所以1AFa=，则111APAFPFaPF=+=+，由椭圆的定义可得122PFPFa+=，所以212PFaPF=−，因为2PAPF=，所以112a

PFaPF+=−，解得12aPF=，232aPF=，在1RtAOF中，1coscAFOa=，在12PFF△中，()2222222211221211232222cos2222aacPFFFPFcaPFFaPFFFacc+−+−−

===，因为112AFOPFF+=，所以112coscosAFOPFF=−，即222ccaaac−=−，所以223ac=所以2233cceaa===.故选：C8.已知12a且122eaa−=，13b

且133ebb−=，14c且144ecc−=，则（）A.lnlnlnabcbcacabB.lnlnlnacbbcabacC.lnlnlncbaabacbcD.lnlnlnbacacbcab【答案】A【解析】【分析】对已知的等式进行变形，转化成

结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a、b、c的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于122eaa−=，两边同取对数，则有1ln2ln2aa+=−，即111lnln2ln222aa−=+=−，同理：11lnln33bb−=−；11lnl

n44cc−=−构造函数()lnfxxx=−，则()12faf=，()13fbf=，()14fcf=对其求导得：()()10xfxxx−=当01x时，()0fx，()fx单调递减；当1x时，()0fx，()fx单调递增；又

12a，13b，14c1abc再构造函数()lngxxx=，对其求导得：()()ln10gxxx=+当10xe时，()0gx，()gx单调递减；当1xe时，()0gx，()gx单调递增；()()()gagbgc即：

lnlnlnaabbcc又0abclnlnlnabcbcacab故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得

2分，有选错的得0分．9.已知函数3()1fxxx=−+，则（）A.()fx有两个极值点B.直线2yx=是曲线()yfx=的切线C.()fx有一个零点D.过点()1,0与曲线()yfx=相切的直线有且只有1条【答案】AC【解析】【分析】对

函数()fx求导,判断其单调性和极值情况,即可判断选项AC；假设2yx=是曲线()yfx=的切线,设切点为(,)ab,求出,ab的值,验证点(,)ab是否在曲线()yfx=上即可；过点()1,0与曲线()yfx=相

切的直线，而点()1,0不一定为切点，可设切点(,)mn，并求出m有两个值，从而可判断D选项.【详解】2()31xfx=−,令()0fx,解得33x−或33x,令()0fx,解得3333x−

；()fx在33,,,33−−+上单调递增,在33,33−上单调递减,且3239039f+−=,33f92309−=.()fx有两个极值点,有且仅有一个零点,故选项A，C正确，假设2yx=是曲

线()yfx=的切线,设切点为(,)ab,则23122aab−==，解得12ab==或12ab=−=−，显然(1,2)和(1,2)−−均不在曲线()yfx=，上,故选项B错误.对于选项D，设切点为(,)mn,可得切线的斜率为231m−

,切线方程为()()3231()ymmmxm−−=−−,代入点(1,0),可得()()3231(1)mmmm−−=−−,化为322310mm−+=,即2(1)20(1)mm−+=,解得1m=或12m=−,可得切线的斜率为2或14−,则切线方程为22yx=−或1

144yx=−+.故过点()1,0与曲线()yfx=相切的直线有2条.故选项D错误；故选：AC.10.如图所示，用一个与圆柱底面成(0)2角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半径为2，3=，则（）A.椭圆的长轴长等于4B.椭圆的离心率为32C.椭圆的标准方程可以是22

1164yx+=D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为423−【答案】BCD【解析】【分析】根据给定图形，求出椭圆长短半轴长a，b，再逐项计算、判断作答.【详解】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为

c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角3=得：428cosa==，解得4a=，A不正确；显然2b=，则2223cab=−=，离心率32cea==，B正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程221164

yx+=，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为423ac−=−，D正确.故选：BCD11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点M为线段1BD上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）A.存在点M，使得1CM⊥平面1ADBB.存在点M，使得直线AM与直线1

BC所成的角为60C.存在点M，使得三棱锥11DCDM−的体积为18D.不存在点M，使得，其中为二面角1MAAB−−的大小，为直线1MA与AB所成的角【答案】ACD【解析】【分析】以点B为坐

标原点，BC、BA、1BB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】以点B为坐标原点，BC、BA、1BB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则()0,

1,0A、()0,0,0B、()1,0,0C、()1,1,0D、()10,1,1A、()10,0,1B、()11,0,1C、()11,1,1D，设()1,,BMtBDttt==，即点(),,Mttt，其中01t.对于A：假设存在点M，使得1CM⊥平面1ADB，因为(

)11,,1CMttt=−−，()1,1,0BD=，()10,1,1BA=，则111210210CMBDtCMBAt=−==−=，解得12t=，故当点M为线段1BD的中点时，1CM⊥平面1ABD，即选项A正确；对于

B：假设存在点M，使得直线AM与直线1BC所成的角为60，(),1,AMttt=−，()11,0,1BC=−，因为10AMBCtt=−=，即1AMBC⊥，所以不存在点M，使得直线AM与直线1BC所成的角为60，即选项B错误；对于C：假设存在点M，使得三棱锥11DCDM−的体积为18，

11211122CDDS==，且点M到平面11CDDC的距离为1t−，则()11111111328DCDMMCDDVVt−−==−=，解得14t=，所以当点M为线段1BD的靠近B的四等分点时，三棱锥11DCDM−的体积为18，即选项C正确；对于D：(),1,AMttt

=−，()10,0,1AA=，设平面1AAM的法向量为(),,mxyz=，则()1010mAAzmAMtxtytz===+−+=，取1xt=−，可得()1,,0mtt=−，易知平面1AAB的一个法向量为()1,0,0n=，则(

)221coscos,1mntmnmntt−===−+，()1,1,1AMttt=−−，()0,1,0BA=，()112211coscos,21AMBAtAMBAAMBAtt−===+−，因为()()22220121tttt+−+−，10,1t−，则()

()222211coscos121tttttt−−==+−+−，因为、π[0,]2，且余弦函数cosyx=在π0,2上单调递减，则a，即不存在点M，使得，即选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方

法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.12

.已知函数()2lnfxxx=+，则下列判断正确的是（）A.存在()0x+，，使得()0fxB.函数()yfxx=−有且只有一个零点C.存在正数k，使得()0fxkx−恒成立D.对任意两个正实数12,xx，且21xx，若()()12fxfx=，

则124xx+【答案】BD【解析】【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系分析函数的单调性及最值可检验选项A；求得()yfxx=−的导数可得单调性,计算1,2xx==的函数值，可判断选项B；由参数分离和构造函数求得导数判断单调性，可判断选项C；构造函数()(2)(2)gtftft=+−−，结合

导数分析()gt的性质，结合已知可分析12xx+的范围即可判断选项D.【详解】22122()xfxxxx−=−=，易得，当02x时，()0fx，函数单调递减，当2x时，()0fx，函数单调递增，

故函数在2x=处取得极小值也是最小值(2)1ln20f=+，不存在,()0x+，使得()0fx,故选项A错误；()yfxx=−的导数为22222191222410xxxyxxxx−+−−=−−==−恒成立,所

以()yfxx=−递减，且(1)110f−=，(2)21ln22ln210f−=+−=−，可得()yfxx=−有且只有一个零点，介于(1,2),故选项B正确；()fxkx等价为22lnxkxx+，由22

ln()xgxxx=+的导数为3(1ln)4()xxgxx−−=，由ln4yxxx=−−的导数为1(1ln)lnyxx=−+=−，当1x时，ln4yxxx=−−递减；01x时，ln4yxxx=−−递增，可得ln4yxxx=−−的最大值为10430−−=−，即()0gx，

可得()gx在(0,)+递减，则()gx无最小值，所以()kgx不恒成立，故选项C错误；设(0,2)t，则2(0,2),2(2,4)tt−+，令22242()(2)(2)ln(2)ln(2)ln2242ttgtftft

tttttt+=+−−=+−−+−=++−−−，则()()222222241648()0444ttgtttt−−=+=−−−−，故()gt在(0,2)上单调递减，()(0)0gtg=，不妨设12xt=−，因为()()12fxfx=，所以22xt+，则12224xxtt+

−++=，故选项D正确.故选：BD.【点睛】本题考查导数的运用，求单调性和极值、最值，以及函数的零点和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()()21lnfxfxx

=+（()fx是()fx的导函数），则()1f=______．【答案】1−【解析】【分析】注意()1f是一个常数，对()fx求导，代入1x=求得()1f的值，从而得到()fx的解析式，故()1f易得.【详解】因为()1f是一个常数，()()21lnfxfxx=+，所以

()()121fxfxx=+，故()()112111ff=+，得()11f=−，所以()2lnfxxx=−+，故()211ln11f=−+=−.故答案为：1−.14.空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2

,)abcm===，若三个向量,,abc共面，则实数m的值为______．【答案】1【解析】【分析】利用空间向量共面定理即得.【详解】因为三个向量,,abc共面，可设abc=+，即(1,1,1)(1,0,1)(1,2,)m=+，∴1121m

=+==+，解得1,12m===.故答案为：1.15.已知抛物线C：24xy=，焦点为F，过点()4,2P向抛物线C作两条切线，切点分别为A，B，则AFBF=______．【答案】1【解

析】【分析】设出点A、B的坐标，求出抛物线C在点A、B处的切线方程，得出直线AB的方程，再与抛物线方程联立，即可求出AFBF的值．【详解】设点A，B的坐标分别为1(x，1)y，2(x，2)y．又12yx=，所以抛物线C在点A处的切线方程为111(

)2xyyxx−=−，将(4,2)代入并结合2114xy=，得11220xy−−=，同理得抛物线C在点B处的切线方程为22220xy−−=，于是直线AB的方程为220xy−−=．将220xy−−=代入24xy=，整理得2

880xx−+=，所以128xx+=，128xx=，()()()()11221212,1,111AFBFxyxyxxyy=−−−−=+−−()()()1212121223235691xxxxxxxx

=+−−=−++=故答案为：116.若关于x的不等式()21e0xaxx−−有且只有3个正整数解，则实数a的取值范围是______．【答案】43169,3e2e【解析】【分析】由原不等式变形为不等

式2(1)exxax−，引入新函数2()exxfx=，由导数研究函数的单调性做出函数大致图象，数形结合求解即可．【详解】由2(1)e0xaxx−−，不等式可化为2(1)exxax−，设2()exxfx=，则(2)()exxxfx−=，当02x时，()0fx，()fx递增，当0

x或2x时，()0fx，()fx递减，当x→+时，0y→，当x→−时，y→+，(1)yax=−为过定点(1,0)的动直线，在同一坐标系内做出函数的大致图象，如图，不等式2(1)exxax−有且只有3个正整数解，结合图象可知，只需满足(

3)(31)(4)(41)fafa−−，解得431693e2ea.即当431693e2ea时，()21e0xaxx−−有且只有3个正整数解1,2,3.故答案为:43169,3e2e．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过

程或演算步骤．17.已知函数2()lnfxaxx=+.（1）当2a=−，求函数()fx的极值；（2）若函数2()()xgfxx=+在2,4上是单调增函数，求实数a的取值范围．【答案】（1）极小值是1，无极大值（2）)7,−+【解析】【分析】（1）根据导

数直接求解函数的极值即可；（2）由题知222axx−在2,4恒成立，进而求函数()222hxxx=−的最大值即可得答案.【小问1详解】解：函数()fx的定义域为()0,+，当2a=−时，()()()21122xxf

xxxx−+=−=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下：x()0,11()1,+()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增∴极小值是()11f=，无极大值【小问2详解】解：()22lngxxaxx=++，0x，()222agxxxx

=+−，∵函数()gx在2,4上是单调增函数，∴()0gx在2,4上恒成立，即222axx−在2,4恒成立，令()222hxxx=−，()2240hxxx=−−在2,4上恒成立，∴()hx在2,4单调递减，∴()

()max27hxh==−，∴7a−所以，实数a的取值范围是)7,−+18.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为13−．（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线1yx=+与椭圆C相交于A、B两点，且AOB的面积为34（O为坐标原点），

求椭圆C的标准方程．【答案】（1）63（2）2213xy+=【解析】【分析】（1）由题意可得出a、b的等量关系，由此可求得椭圆C的离心率的值；（2）设()11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，计算出AB以及原点到直线AB的距离

，利用三角形的面积公式可得出关于b的等式，解出b的值，即可得出椭圆C的方程.【小问1详解】解：由题知椭圆上顶点的坐标为()0,b，左、右顶点的坐标分别为(),0a−、(),0a−，所以13bbaa−=−，即223ab=，又222

abc=+，所以2223ca=，所以椭圆C的离心率63cea==.【小问2详解】解：设()11,Axy、()22,Bxy，联立2222131xybbyx+==+得2246330xxb++−=，所以248120b=−，可得12b，1232xx+=−，212334bxx−

=，所以()22212121231124234ABxxxxxxb=+−=+−=−，又原点O到直线AB的距离22d=，所以2113332244AOBSABdb==−=△，解得1b=，因此，椭圆C的方程为2213xy+=．19.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC

＝120°，对角线AC与BD交于点G，点E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2，DF＝22（1）求证：EG⊥平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）利用余弦

定理和勾股定理得到EG⊥AC和EG⊥FG，进而可证明EG⊥平面AFC（2）建立空间直角坐标系，根据公式cos,=AECFAECFAECF，即可求解.【小问1详解】由∠ABC＝120°，AB＝BC＝2由余弦定理=23AC，可得3AG

GC==，BG＝DG＝1由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC．2BE=，1BG=所以3EG=，且EG⊥AC．在RtFDG中，22DF=，DG＝1，可得62FG=．在直角梯形BDFE中，由BD＝2，2BE=，22DF=，可得322EF

=．从而222EGFGEF+=，所以EG⊥FG．又=ACFGG，所以EG⊥平面AFC．【小问2详解】以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，GB为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标

系Gxyz−．由（1）可得()0,3,0A−，()1,0,2E，21,0,2F−，()0,3,0C，所以()1,3,2AE=，2=1,3,2CF−−故3cos,==3AECFAECFAECF−，所以

直线AE与直线CF所成角的余弦值为33．20.如图，在各棱长均为2的三棱柱111ABCABC−中，侧面11AACC⊥底面ABC，°1=60AAC．（1）求侧棱1BA与平面ABC所成的角；（2）P为棱1AA上的点（P不与A重合），若

二面角BCPA−−的余弦值为24时，求AP的长．【答案】（1）45（2）43AP=【解析】【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，进而由几何法可找到线面角，利用三角形的边关系即可求解，（2）建立空间直角坐标系，根据向量的夹角确定点P的位置

，进而可求解长度.【小问1详解】作1AOAC⊥于点O，∵侧面11AACC⊥底面ABC，侧面11AACC底面=ABCAC，1AO平面11AACC∴1AO⊥平面ABC．∴1ABO为所求角，又1==60?ABCAAC，且各棱长都相等，∴1AO=，13OAOB==，∴1=45?AB

O【小问2详解】以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，则()0,1,0A−，()3,0,0B，()10,0,3A，()0,1,0C，()10,1,3AA=设1=APAA，(01，，则()=0,,3AP()

=+=0,2,3CPCAAP−，()=3,1,0BC−设面BCP的法向量为(),,mxyz=，则=0=0mBCmCP，即()3+=02+3=0xyyz−−，取=3y，得()=,3,2m

−，易得面ACP的法向量()3,0,0nOB==ruuur设二面角为232cos=cos,==43?54+4mn−且(01，∴2=3∴43AP=21.设F为椭圆C：2212xy+=的右焦点，过点F且与x轴不重合的直线

l交椭圆C于A，B两点．（1）当3BFFA=uuuruuur时，求A点的横坐标；（2）在x轴上是否存在异于F的定点Q，使得QAQBkk为定值(其中QAQBkk，分别为直线QA，QB的斜率)?若存在，求出Q的坐标；若不

存在，请说明理由．【答案】（1）43；（2）存在定点()2,0Q，使得QAQBkk为定值.【解析】【分析】（1）设()11,Axy，()22,Bxy，根据向量坐标关系结合条件可得()()221122111234

312xyxy+=−+=，即得；（2）设存在(),0Qt，设直线方程AB的方程为1xmy=+，联立椭圆方程利用韦达定理法，结合条件可得QAQBkk，进而即得.【小问1详解】设()11,Axy，()22,Bxy，由3BFFA=uuuruuur，得(

)21211313xxyy−=−−=，即2121343xxyy−=−−=，因为()11,Axy，()22,Bxy在椭圆上，所以()()221122111234312xyxy+=−+=，解得143x=，所以A的横坐标为43；【小问2详解】假设在x

轴上存在异于点F的定点(),0Qt()1t¹．使得QAQBkk为定值．设直线AB的方程为1xmy=+，联立直线与椭圆的方程22121xyxmy+==+得()222210mymy++−=，由韦达定理，得12222myym−+=+，12212yym−=+，

所以12122yymyy+=，所以()()()()()()121212121211221111QAQBkyxtymytmyytykyxtymytmyyty−+−+−===−+−+−()()()()12112122122213222132myy

tytyymyytyyty+−−+==+−+−，要使QAQBkk为定值，则321132tt−=−，解得t＝2或t＝1（舍去），此时1QAQBkk=−，故在x轴上存在异于F的定点()2,0Q，使得QAQBkk为定值．22.已知函数ln(1)()exxfx+=．（1）求函数()fx在区间0,

1上的最小值；（2）若()fxkx对)0,x+恒成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）0（2）1k³【解析】【分析】（1）先对函数求导得()()()1ln111exxxfxx−++=−，令()()()1ln111pxxxx=−+−+，求导后判断其单调性，结合零

点存在性定理可求出原函数的单调性，从而可求出其最小值，（2）问题转化为0x，()eln10xkxx−+，构造函数()()eln1xqxkxx=−+，求导后，分0k，01k，1k³三种情况求函数的最

小值，使其最小值非负即可.【小问1详解】因为()()eln1xfxx−=+，所以()()()1ln111exxxfxx−++=−．记()()()1ln111pxxxx=−+−+．则()()211011pxxx=−−++，所以()px为01，上的单调减函数．又()010p=，()11

ln202p=−，所以存在唯一的实数()0001xx，使得()00px=．所以当00xx时，()0fx；当01xx时，()0fx，所以函数()fx在()00,x单调递增，在()0,1x单调递减，因为()00f=，()ln210ef=，所以()min0fx=，【小

问2详解】因为()()fxkxxR恒成立，所以0x，()eln10xkxx−+．记()()eln1xqxkxx=−+，则()()()21e111e11xxkxqxkxxx+−=+−=++．记()()21e1xrxkx=+−．(*)若0k，()

21e10xkx+−，即()0qx，所以()qx为)0,+上的单调减函数，所以当0x时，()()00qxq=，不符合题意，故舍去．若0k，当0x时，则()()()13e0xrxkxx=++，所以()rx为)0,+上的单

调增函数．若01k，()010rk=−，211lnln110rkk=+−，结合(*)知，存在实数c，使得()0rc=．当0xc时，()0rx，即()0qx，所以()qx为()0,c上的单调减函数，

所以()()00qxq=，不符题意，故舍去；若1k³，()010rk=−，()()00rxr即()0qx，所以()qx为)0,+上的单调增函数，所以()()00qxq=，符合题意综上，1k³．【点睛】关键点点

睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是问题转化为0x，()eln10xkxx−+，然后构造函数求导后，合理分类求函数的单调性，从而可求出函数的最小值，考查数学转化思想，属于较难题.