【文档说明】河北省秦皇岛市部分学校2023届高三二模联考数学试题 含解析.docx，共(29)页，3.715 MB，由小赞的店铺上传

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河北省2023届高三第二次高考模拟演练数学一、单项选择题∶本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数2i1iz+=−，则z=（）A.1B.102C.104D.10【答案】B【解析】【分析】由复数除法几何意义求复数

的模.【详解】由|2i|510|1i|22z+===−.故选：B2.若集合1Axyx==−，220Bxxx=−，则AB=（）A.(,0−B.(0,1C.(),0−D.0,1【答案】A【解析】

【分析】求函数定义域、解一元二次方程求集合，由集合交运算求AB.【详解】由题设，{|10}{|1}Axxxx=−=，{|(2)0}{|0Bxxxxx=−=或2}x，所以AB=(,0−.故选：A3.已知数列na满足122nnnaaa++=+，

其前n项和为nS，若918S=，则5a=（）A.2−B.0C.2D.4【答案】C【解析】【分析】先利用等差中项判定数列na为等差数列，再利用等差数列前n项和公式、等差数列的性质即可求解.【详解】根据题意122nnnaaa++=+，可得数列na为等差数列，所以()1999182aaS+=

=，所以194aa+=，所以524a=，所以52a=故选：C．4.已知0w，函数()π3sin24fxwx=+−在区间π,π2上单调递减，则w的取值范围是（）A.10,2B.(0,2C.13,24D.15,24【答案】D【解析】【分析

】根据正弦函数的单调性求出函数()fx的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.【详解】由ππ3π2π2π,Z242kwxkk+++，得2ππ2π5π44kkxwwww+

+，Zk即函数的单调递减区间为2ππ2π5π,,Z44kkkwwww++，令0k=，则函数()fx其中一个的单调递减区间为：π5π,,44ww函数()fx在区间π,π2内单调递减，

则满足5ππ4ππ42ww，得1245ww，所以w的取值范围是15,24.故选：D.5.某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法

社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为（）A.14B.15C.16D.1

8.【答案】C【解析】【分析】先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】4名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有44A24=种，其

中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有1222CA4=种，由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为41246P==，故选：C.6.已知正三棱锥SABC−的底面边长为3，侧棱长为23，点P为此三棱锥各顶点所在球面

上的一点，则点P到平面SAB的距离的最大值为（）A.3132613+B.2132613+C.3132413+D.2132413+【答案】B【解析】【分析】画图分析，构造三角形求出相应的量，利用正弦定理和余弦定理求相应的量

，分析点P到平面SAB的距离的最大值即可.【详解】如图1，设正三棱锥SABC−的底面外接圆的圆心为1O，外接球的球心为O，D为BC的中点，SAB△的外接圆的圆心为2O，所以在正三棱锥SABC−中有：1SO⊥平

面ABC，2OO⊥平面SAB，因为ABC为等边三角形，所以1O为ABC的重心，且ABC边长为3，所以112223sin603333332AOBOAD=====，因为1SO⊥平面ABC，1BO平面ABC，所以11SOBO⊥，所以在1RtSBO中，()(

)2222112333SOSBBO=−=−=，设113BOSOROOSOSOR===−=−，所以在1RtBOO△中，()()2222221133BOOOBORR=+=−+，所以2R=，在SAB△中，()()222222232335co

s2822323ASBSABASBASBS+−+−===，所以22539sin1cos188ASBASB=−=−=，由正弦定理得：22134392sin213398ABSOSOASB===，又2OO⊥平面SAB，2SO平面SAB，所以22OOSO⊥，所以在2

RtSOO中，22222243921321313OOSOSO=−=−=，由图2：当2,,POO共线时，点P到平面SAB的距离有最大值为：22132132621313ROO++=+=，故选：B.7.若0.111.1

ln1.1,0.1e,9abc===，则,,abc的大小关系为（）A.abcB.cabC.bacD.acb【答案】A【解析】【分析】设()()()e1,0,1xfxxx=−根据单调性可得0.1e0.91，再利用不等式的性质可得bc，设()(1)ln(1)exhxxxx

=++−，确定其的单调性，即可得ab，从而可得答案．【详解】设()()()e1,0,1xfxxx=−，则()()()e1e1e0xxxfxxx=−+−=−恒成立，所以函数()fx在()0,1上单调递减

，则()()0.101ff=，即0.1e0.91，所以0.11e0.9，于是有0.10.110.1e0.99=，即bc；设()(1)ln(1)exhxxxx=++−，()ln(1)1e(1)xhxxx+−=++，0x=

时，(0)0h=，设()()sxhx=，则1()e(2)1xsxxx=−++，0x时，()0sx，所以()hx是减函数，所以()0hx恒成立，所以()hx在0x时是减函数，并且(0)0h=，所以0.1

x=时，0.1(10.1)ln(10.1)0.1e0++−，所以ab．综上，abc．故选：A．8.已知F1，F2分别是双曲线C：22221(00)yxabab−=，左、右焦点，点P在双曲线上，1

2PFPF⊥，圆O：22229()4xyab+=+，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为29b，则C的离心率为（）A.54B.85C.52D.2105【

答案】D【解析】【分析】设1PFn=，2PFm=，有2nma−=，2224nmc+=，22mnb=，由弦长公式可得223222cnMN=−，223222cmAB=−，四边形A

MBN的面积为12ABMN，解得2283cb=，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，圆O：22229()4xyab+=+，圆心为()0,0O，半径为32c，设1PFn=，2PFm

=，点P在双曲线上，12PFPF⊥，则有2nma−=，2224nmc+=，可得22mnb=，过O作MN的垂线，垂足为D，O为12FF的中点，则11=22nODPF=，223222cnMN=−，

同理，223222cmAB=−，由ABMN⊥，四边形AMBN的面积为222221133222222229cmcnABMNb=−−=，的422222444481981944811644

161644cmncmnccbb+−+=−+=，化简得2283cb=，则有222253acbb=−=，则C的离心率821055cea===.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项

符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.数据64，91，72，75，85，76，78，86，79，92的第60百分位数为79B.若随机变量服从二项分

布14,2B，则()134P==C.若随机变量服从正态分布()25,N，()20.1P=，则()280.8P=D.某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20

人，则应从高三抽取19人【答案】BCD【解析】【分析】根据百分位数的定义判断A，根据二项分布的定义判断B，根据正态分布的性质判断C，根据分层抽样的性质判断D.【详解】对于A，将样本数据按从小到大排列可得64,72,75,76,78,79,85,86,91,92，因为1060

%6=，所以样本数据的第60百分位数为7985822+=，A错误；对于B，因为服从二项分布14,2B，所以()3341113C1224P==−=，B正确；对于C，服从正态分布()25,N，因为()20.1P=，所以()8

0.1P=，所以()280.8P=，C正确；对于D，设从高二抽取x人，由分层抽样性质可得20360400x=，所以18x=，所以高三应抽取的人数为57182019−−=（人），D正确；故选：BCD.10.已

知a，b为实数，且11ab，则下列不等式正确的是（）A.22abB.22122baabb−++C.11bbaa++D.4441aa++【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的性质可判断A错误；由基本不等式的应用计算可得B正确；利用作差法可知选项C正确；根据基

本不等式计算可得当0a=时，4441aa++成立，但显然0a，即D正确.【详解】对于A，由11ab，可知0a，0b，且11ab，由不等式性质可得0ab，所以22ab，即A错误．对于B

，112212222222bababbababbabbabb++−+=+−−=+++，当且仅当()222bab=+，即222baab=+时取等号，B正确．对于C，作差可得()()()()1110111abbabbabaaaaaa+

−++−−==+++，所以11bbaa++，C正确．对于D，()()444441424144111aaaaaa+=++−+−=+++，当且仅当()4411aa+=+，即0a=时取等号，显然取不到等号，D正确．故选：BCD．11.函数()fx与()gx的定义域为R，且()()()24

,()4fxgxfxgx+=−=.若()fx的图像关于点()0,2对称.则（）A.()fx的图像关于直线=1x−对称B.()412022048ifk==C.()gx的一个周期为4D.()gx的图像关于点()0,2对称【答案】AC【解析】【分

析】根据条件可得()()2fxfx−−=，即可判断A，然后可得()()4fxfx=−，即可判断B，由条件可得()()4gxgx−=−−，即可判断C，举特例可判断D.【详解】A选项：由()()4fxgx−=，得()()224fxgx−−+=，又()()24f

xgx+=，所以()()()2,fxfxfx−−=的图像关于=1x−对称，A选项正确；B选项：由()fx的图像关于点()0,2对称，得()()4fxfx−+=，由A选项结论知()()2fxfx−=−，所以()()24fxfx−+=，从而()

()424fxfx−+−=，故()()4fxfx=−，即()fx的一个周期为4，因为()()()()()()()()02,13114,242402ffffffff=+=+−==−−=−=，所以20241()506[(0)(1)(2

)(3)]4048,kfkffff==+++=B选项错误；C选项：由()()4fxfx=+，及()()4fxgx−=，则()()444fxgx+−−=，得()()4gxgx−=−−，函数()gx的周期为4,C选项正确；D选项：取()()π4sin2,π2sin22fxxgxx=+−=

+，又()()16113gg−+=，与()gx的图像关于点()0,2对称矛盾，D选项错误，故选：AC.12.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得//MN平面11ABC，则（

）A.三棱锥11NABC−的体积为定值23B.当MN最大时，MN与BC所成的角为π3C.正方体的每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等D.若2DN=，则点N的轨迹长度为2π【答案】ACD【解析】【分析】首先利用平面的基本性质确定N点所在平面

MEFGHI，且面//MEFGHI面11ABC，构建空间直角坐标系，求面11ABC的一个法向量，应用向量法求N到面11ABC的距离，进而求三棱锥11NABC−的体积判断A；找到MN最大时MN与BC所成角的平面角即可判断B；判断(2,0,0)DA=，(0,2,0)DC

=，1(0,0,2)DD=与(1,1,1)m=的夹角余弦值的绝对值是否相等即可判断C；N的轨迹是以N为球心的球体被面MEFGHI所截的圆，进而求周长判断D.【详解】过AB中点M作1//MEAB与1AA交E，作//EF1BC与11AD交F，重复上述

步骤，依次作1111,,ACABBC的平行线与111,,DCCCBC分别交于,,GHI（注意各交点均为各棱上的中点），最后依次连接各交点，得到如下图示的正六边形MEFGHI，因为1//MEAB，ME面11ABC，1AB面11ABC，所以//ME面11ABC，同理可得//

EF面11ABC，因为=MEEFE，,MEEF面11ABC，所以面//MEFGHI面11ABC，所以面MEFGHI中直线都平行于面11ABC，又M面MEFGHI，且//MN平面11ABC，所以MN面MEF

GHI，即N面MEFGHI，根据正方体性质，可构建如下图示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A，1(2,0,2)A，(2,2,0)B，1(0,2,2)C，且(2,1,0)M，(2,0,1)E，(1,0,2)F，(0,1,2)G，(0,2,1)H，(1,

2,0)I，A：由上分析知：面MEFGHI任意一点到面11ABC的距离，即为N到面11ABC的距离，而1(0,2,2)AB=−，1(2,0,2)CB=−，若(,,)mxyz=为面11ABC的一个法向量，所

以11220220mAByzmCBxz=−==−=，令1z=，则(1,1,1)m=，而(0,1,0)MB=，所以M到面11ABC的距离，即N到面11ABC的距离为33mMBdm==，又△11ABC为等边三角形，则11213(22)2322ABCS==

，所以三棱锥11NABC−的体积为定值111233ABCdS=，正确；B：由图知：当N与G重合时MN最大为22，且1//MGBC，所以MN与BC所成的角，即为14πCBC=，错误；C：由正方体性质，只需

判断各侧面的法向量(2,0,0)DA=，(0,2,0)DC=，1(0,0,2)DD=与(1,1,1)m=的夹角余弦值的绝对值是否相等即可，又1cos,3mDAmDAmDA==，同理可得11cos,cos,3mDCmDD==，所以正方体的每个面与点N的轨迹

所在平面夹角都相等，正确；D：若2DN=，则点N的轨迹是以N为球心的球体被面MEFGHI所截的圆，因为面//MEFGHI面11ABC，故(1,1,1)m=也是面MEFGHI的法向量，而(1,0,2)DF=，所以D到面MEFGHI的距离为3mD

Fdm==，故轨迹圆的半径222(3)1r=−=，故点N的轨迹长度为2π2πr=，正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏

的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为______cm.【答案】278【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，设抛物线的

标准方程为()220xpyp=，根据题意得到点的坐标，代入求出参数p的值，即可得解.【详解】如图，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，依题意可得A的坐标为9,32，设抛物线的标准方程为()220xpy

p=，则8164p=，解得278p=.故该抛物线的焦点到准线的距离为278cm.故答案为：27814.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边

长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知,AB两点间的距离为2，点P为AB上的一点，则()PAPBPC+的最小值为______．【答案】1047−【解析】【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为2322PE−，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解

】设D为BC的中点，E为AD的中点，如图所示，则()()22()PAPBPCPAPDPEEAPEED+=+=+()()()2222PEEAPEEAPEEA=−=−+，在正三角形ABC中，2222213ADABBD=−=−=，所以32AEDE==，所以()

222()3222PAPBPCPEEAPE−==+−，因为222237122CECDDE=+=+=，所以min7222PECE=−=−，所以()PAPBPC+的最小值为：223732221047222PE−=−−=−

.故答案为：1047−.15.2022年12月7日为该年第21个节气“大雪”．“大雪”标志着仲冬时节正式开始，该节气的特点是气温显著下降，降水量增多，天气变得更加寒冷．“大雪”节气的民俗活动有打雪仗、赏雪景等．东北

某学生小张滚了一个半径为2分米的雪球，准备对它进行切割，制作一个正六棱柱模型111111ABCDEFABCDEF−，设M为11BE的中点，当削去的雪最少时，平面ACM截该正六棱柱所得的截面面积为______平方分米．【答案】43【解析】【分析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，表示出球的内

接正六棱柱体积,利用导数求体积最大值,求得h，a，利用图形找到截面，求截面面积.【详解】设正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−底面边长为a，高为h．若要使该正六棱柱的体积最大，正六棱柱应为球的内接正六棱柱

中体积最大者，所以22224ha+=，即2244ha=−，又2364ABCDEFSa=，所以该正六棱柱的体积为()2233361648ABCDEFVShahhh===−．设()()216fhhh=−，04h，则()2163fhh=

−，令()0fh=，得433h=．()0fh，解得4303h，()0fh，解得4343h，()fh在430,3上单调递增，在43,43上单调递减，所以()max433fhf

=，即433h=，263a=时V取得最大值．过M作11//PQAC，交11AF于点P，交11CD于点Q，则P，Q分别是11AF，11CD的中点，又11//ACAC，所以//PQAC，则矩形ACQP即为平面ACM截该正六棱柱所得的截面．因为11322PQACa===，且22221

1164APCQAAAPha==+=+=，所以矩形ACQP的面积为22643ACAP==．故答案为：4316.已知定义在R上的偶函数()fx满足()()4fxfx=−+，()212024ef=，若()()0fxfx−，则不等式()2exfx+的解集为

______.的【答案】(),2−−【解析】【分析】根据题设条件可得()fx为周期为4的偶函数，进而有21(2024)(0)eff==，目标不等式化为20(2)(0)eexfxf++，构造()()exfxgx=并利用导数研究其

单调性，即可求解集.【详解】由()fx为偶函数知：()()fxfx=−，又()()4fxfx=−+，所以()(4)fxfx−=−+，即()(4)fxfx=+，故()fx为周期为4的偶函数，所以21(2024)(5064)(0)efff===，由()2exfx+可化为220(

2)1(0)eeexfxf++=，令()()exfxgx=，则()()()0xfxfxgxe−=，故()gx在R上递减，又即(2)(0)gxg+，所以<2x−，可得解集为(),2−−.故答案为：(),2−−【点睛】关键点点睛：首先要推出()fx为周期为4的偶函数，再将不等

式化为20(2)(0)eexfxf++，构造函数研究单调性为关键.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，已知7b=，且sinsinsinsi

nabACcAB+−=−.（1）求ABC的外接圆半径R；（2）求ABC内切圆半径r的取值范围.【答案】（1）733（2）730,6r【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得π3B=，由2sinbRB=求R；（2）由正弦定理求ac+的范围，再用()11sin22AB

CSacBabcr==++求得()1723rac=+−后即可求r的取值范围.【小问1详解】由正弦定理，sinsinsinsinabACaccABab+−−==−−，可得222,bacac=+−再由余弦定理，1cos2B=，又()0,πB，所以π3B=.因为71432sin332bR

B===，所以733R=.【小问2详解】由（1）可知：2249acac+−=，则2()493acac+=+.()11sin22ABCSacBabcr==++则()231()49172772323acacracacac+−===+−++++.在ABC中，由正弦定理，143

sinsinsin3acbACB===，所以143143sin,sin33aAcC==，则()1431432πsinsinsinsin333acACAA+=+=+−14331sincossin322AAA=++

1433331πsincos14sincos14sin322226AAAAA=+=+=+，又ππ2π0,,333A，所以ππππ5π,,66226A

+，所以π1sin,162A+，()π14sin7,146A+，所以730,6r.18.如图，在三棱锥−PABC中，H为ABC的内心，直线AH与BC交于M，PABPAC=，PCAPCB=.（1）证明：

平面PAM⊥平面ABC；（2）若ABBC⊥，3PAAB==，4BC=，求二面角MPAC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）45【解析】【分析】（1）设PN^平面ABC，垂足为N，作NEAB⊥于E，NFAC⊥于F，连接,PEPF，先证明PAEPAF△△，从而可

证得NENF=，从而可得点N为ABC的内心，即,NH两点重合，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）如图，以点B为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得ABC内切圆的半径，再利用勾股定理求得PH，即可得

,PH的坐标，再利用向量法求解即可.【小问1详解】设PN^平面ABC，垂足为N，作NEAB⊥于E，NFAC⊥于F，连接,PEPF，因为PN^平面ABC，,ABAC平面ABC，所以,PNABPNAC⊥⊥，又,,,NEABNEPNNNEP

N⊥=平面PNE，所以AB⊥平面PNE，又PE平面PNE，所以ABPE⊥，因为,,,NFACNFPNNNFPN⊥=平面PNF，所以AC⊥平面PNF，又PF平面PNF，所以ACPF⊥，在RtPAE和RtPAF△中，因

为,PABPACPAPA==，所以PAEPAF△△，所以AEAF=，在RtNAE和RtNAF中，,AFAEANAN==，所以NAENAF，所以NENF=，即点N到,ABAC的距离相等，同理点N到,BCAC的距离相等，所以点N为ABC的内心，所以,NH两点重合，所以PH⊥平面A

BC，又因PH平面PAM，所以平面PAM⊥平面ABC；【小问2详解】如图，以点B为原点建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,4,0,0,0,3,0BCA，设ABC内切圆的半径为r，则ABCABHAHCHBCSSSS=++即()113434522ABCSr==++，解得1r=

，故()222222215,2AHrAErABPHPAAH=+=+−==−=，则()()1,1,0,1,1,2HP，则()()()()0,0,2,1,2,0,1,2,2,4,3,0HPHAAPAC==−=−=−，设平面AHP的法向量()111,,xnyz=，则1112020nHPznHAxy

===−+=，可取()2,1,0n=，设平面ACP的法向量()222,,mxyz=，则22222220430mAPxyzmACxy=−+==−=，可取()6,8,5m=，则4cos,5mnmnmn==，由图可得二面角MPAC−−为锐角，所以二面角MPAC−

−的余弦值为45.19.随着国民旅游消费能力的提升，选择在春节假期放松出行的消费者数量越来越多．伴随着我国疫情防控形势趋向平稳，被“压抑”已久的出行需求持续释放，“周边游”、“乡村游”等新旅游业态火爆，为旅游行业发展注入新活力，旅游预订

人数也开始增多，为了调查游客预订与年龄是否有关，调查组对400名不同年龄段的游客进行了问卷调查，其中有200名游客预定了，这200名游客中各年龄段所占百分比见图：已知在所有调查游客中随机抽取1人，抽到不预订的且在19~35岁年龄段的游客概率为316．（1）请将下列2×2

列联表补充完整．预订旅游不预订旅游合计19-35岁18岁以下及36岁以上合计能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游预订与年龄有关？请说明理由．（2）将上述调查中的频率视为概率，按照分层抽样的方法，从预订旅游客群中选取5人，在从这5人中任意取2人，求2人中恰有1人是19-35岁年龄

段的概率．附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．()2PKk0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案

】（1）表格见解析，能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关（2）35【解析】【分析】（1）根据题意完善22列联表，根据表中数据求2K，并与临界值比较分析；（2）根据分层抽样求每层抽取人数，再结合古典概型运算求解.【小

问1详解】预定旅游中，19－35岁年龄段的人数为：200(38%20%)120+=人，18岁以下及36岁以上人数为20012080−=人．在所有调查对象中随机抽取1人，抽到不预订的旅游客群在19~35岁年龄段的人的概率为316，故不预订旅游客群19~35岁年龄段的人为：340

07516=人，18岁以下及36岁以上人数为20075125−=人．所以22列联表中的数据为：预订旅游不预订旅游合计19~35岁1207519518岁以下及36岁以上80125205合计200200400222()400(1201258075)20.2610.828()()()()200

200195205nadbcKabcdacbd−−==++++，则能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为旅游顸订与年龄有关．的【小问2详解】按分层抽样，从预定旅游客群中选取5人，其中在19－35岁年龄段的人数为12053200=，分别记为：A，B，C；1

8岁以下及36岁以上人数为2人，分别记为：a，b．从5人中任取2人，则有：()()()()()()()()()(,),,,,,,,,,,,,,,,,,,ABACBCAaAbBaBbCaCbab，共有1

0种情况其中恰有1人是19－35岁年龄段的有：()()()()()(),,,,,,,,,,,AaAbBaBbCaCb，共6种情况，故2人中恰有1人是19-35岁年龄段的概率为：63105P==．20.已知数列na的首项132a=，前n项和为nS，且满足()*123nnaSnN++=

．（1）求2a及na；（2）若nS满足26463nnSS，求n的最大值．【答案】（1）234a=；()*132nnanN=（2）5【解析】【分析】（1）利用退位相减法，求得数列na的递推关系，进而判断出数列na为等比数列，从而求得通项公式（2）利

用（1）的结论，可求得nS以及2nS，化简26463nnSS，即可求解【小问1详解】由123nnaS++=，得2123aa+=．因为132a=，所以234a=．又123nnaS++=①，()1232nnaSn−+=②，①−②得120nnaa+−=即

()1122nnana+=．又2112aa=，所以数列na是以32为首项，12为公比的等比数列．故()1*3113222nnnanN−==．【小问2详解】由（1）可得

311221311212nnnS−==−−，所以221312nnS=−．因此2112nnnSS=+．令1641263n+，得11263n，即2

63n，所以5n且*nN，故n的最大值为5．21.已知函数()eln2xfxaxa=−+−．（1）若0x=是()fx的一个极值点，求()fx的最小值；（2）若函数()()()ln2gxfxxx=+−+有两个零点，求a的取值范围

．【答案】（1）1−（2）()0,e【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()00f=，即可求出参数a的值，从而求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值；（2）方法一：求出()gx的解析式，即可求出导

函数，即可求出函数的单调区间，依题意可得()()000eln2ln20xgxaxa=−++−，()02,x−+，即可得到()001e2xax=+，再利用导数求出函数的值域，即可求出a的取值范围；方法二：依题意可得()()l

n2lnelnln2exxaaxx++=++++有两个解，利用同构式，设函数()exhxx=+，问题等价于方程()()()lnln2hxahx+=+有两个解，由导数说明函数的单调性，即可得到方程()ln

ln2xax+=+有两个解，设2tx=+，2lnam−=，即ln0ttm−+=有两个解，再构造函数，利用导数求出参数m的取值范围，从而求出a的取值范围.【小问1详解】因为()eln2xfxaxa=−+−，所以()e1

xfxa=−，因为0x=是函数()fx的一个极值点，所以()00e110faa=−=−=，解得1a=，经检验符合题意，所以()e1xfx=−，所以当0x时()0fx，当0x时()0fx¢>，因此()fx在()0−，上单调递减，在()0+，上单调递增，所以当0x=

时，()fx有极小值即最小值()00e21f=−=−；【小问2详解】方法一：因为()()eln2ln2,0xgxaxaa=−++−，所以()1e2xgxax=−+，则()gx在()2,−+上单调递增，记11max

ln,02xa=，当1ln02a时，()11ln21111ee122ln2xagxaaxa=−=−++1ln2111e00222aa−=−=+，当1ln02a时，()101111ee202xgxaax=−=−++1ln2111

e00222aa−=−=+，记21min20xa=−，，当120a−时，()202211ee202xgxaax=−=−++01e0122aa−=−+；当120a−时，()2122211ee1222xagxaaxa−=−=−+−+01e0122aa−

=−+；所以存在唯一的()02,x−+，使得()00gx=，当02xx−时，()00gx，当0xx时，()00gx，所以函数()gx在()02,x−上单调递减，在()0,x+上单调递增，若函数()gx有两个零点，只需()00g

x，即()()000eln2ln20xgxaxa=−++−，又001e02xax−=+，即()001e2xax=+，则()000122ln202xxx+++−+，设()12lnhtttt=+−，则()ht

为增函数，()10h=，所以当1t时，()0ht，则021x+，即01x−，令()()e2(1)xxxx=+−，()()e30xxx=+，则()x在()1−+，上单增，由01x−得()()0

11ex−=，所以()()0010,ee2xax=+，所以a的取值范围是()0,e．方法二：若()()()ln2gxfxxx=+−+有两个零点，即()lnelnln22xaaxxx++=++++有两个解，

即()()ln2lnelnln2exxaaxx++=++++有两个解，利用同构式，设函数()exhxx=+，问题等价于方程()()()lnln2hxahx+=+有两个解，()e10xhx=+恒成立，即(

)exhxx=+单调递增，所以()lnln2xax+=+，问题等价于方程()lnln2xax+=+有两个解，即()()ln222ln0xxa+−++−=有两个解，设2tx=+，2lnam−=，即ln0ttm−+=有两个解，令()lntttm=−+，问题转化为函数()t有两个

零点，因为()11tt=−，当()0,1t时，()0t，当()1,t+时，()0t，则()t在()0,1上递增，在()1,+上递减，为了使()t有两个零点，只需()10，解

得1m，即2ln1a−，解得0ea，由于()e2e0mmm−−=−，所以()t在()0,1和()1,+内各有一个零点．综上知a的取值范围是()0,e．【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题

．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，三点1233(2,2),(2,2),2,2MMM−−

中恰有两个点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线40xy−−=于P，Q两点，求EPQ△面积的最

小值．【答案】（1）22184xy+=（2）365【解析】【分析】（1）根据对称性得到1M和2M在C上，得到22421ab+=，再根据离心率得到答案；（2）设直线():201ABxmym−−=，联立方程根据韦达定理得到根与系数的关系，计算,PQ的横坐标，得到22417mPQm+=

−，设7mt−=，7mt=+，2171362505050EPQSt=++，计算最值即可.【小问1详解】由椭圆的对称性可知点1M和2M在C上，代入方程得22421ab+=．设C的半焦距为(0)cc，则离心率为22ca=，所以2,acbc==，所

以2ab=，解得22,2ab==，以椭圆C的方程为22184xy+=．【小问2详解】设()()1122,,,AxyBxy，()2,0F，()0,2E，设直线():201ABxmym−−=．由2218

420xyxmy+=−−=消去x得()222440mymy++−=，所以12122244,22myyyymm−−+==++，设点()(),,,PPQQPxyQxy，直线EA方程为1122yyxx−−=，由1122yyxx−−=与40xy−−=联立得()()11

111626214pmyxxxymy+==−+−+，同理可得()()226214Qmyxmy+=−+．所以()()()()12126262221414PQmymyPQxxmymy++=−=−−+−+()()()()()1221

212112214116myymyymyy+−=−+−++()()()()()21212212121412214116myyyymyymyy++−=−+−++()()()222222412212244141162216mmmmmmmmm−+

++=−−−+−++++．整理得22417mPQm+=−，因为点(0,2)E到直线40xy−−=的距离024322d−−==，的所以221241362132277EPQmmSmm++==−−△．设7mt−=，则7mt=+，所以()()22223627171171362

362505050EPQttSttt++++===++，当1750t=−，即17m=−时，()min365EPQS=．【点睛】关键点睛：本题考查了求椭圆方程，椭圆中的面积的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与

系数的关系，利用换元法求最值是解题的关键.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com