【文档说明】《精准解析》上海市交通大学附属中学2022届高三上学期期末数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.015 MB，由小赞的店铺上传

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上海市交通大学附属中学2021-2022学年高三上期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.设(1i)(12i)3z=+−−，则z的虚部为________【答案】1−【解析】【分析】经计算后再由虚部定义

，可得答案·.【详解】因为()()1i12i312ii23iz=+−−=−++−=−，所以z的虚部为1−.故答案为：1−.2.sinlimnnn→=__________．【答案】0【解析】【分析】根据分子的有界性，分

母的极限性即可求解．【详解】解：因为sin1,1yx=−，而x→+时，yx=→+，∴sinlim0nnn→=．故答案为：0．【点睛】本题考查极限求解，属于基础题目．3.已知3cos5x=，,02x−，则2sincos1sinxxx=_____【答案】725【解

析】【详解】解：因为2222sincos187sincoscos212cos125251sinxxxxxxx=−=−=−=−=4.712xx−的二项展开式中，x项的系数是__________．（用数字作

答）【答案】560−【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令x的指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x项的系数.的【详解】51xx−的二项展开式的通项为()()()5153225511rrrr

rrrTxCxCx−−+−=−=−，531122rr−==，展开式x项的系数为()11515C−=−.故答案为：-5.5.已知圆锥的体积为33，母线与底面所成角为3，则该圆锥的表面积为_______．【答案】3【解析】【分析】设圆锥底面半径

AOOBr==，则母线长2lSAr==，高3SOr=，则213333Vrr==，求出1r=，2lSA==，该圆锥的表面积为2Srlr=+，由此能求出结果．【详解】解：圆锥的体积为33，母线与底面所成角为3，如图，设圆锥底面半径AOOBr==，则母线长2lSAr

==，高3SOr=，213333Vrr==，解得1r=，2lSA==，3SO=，该圆锥的表面积为223Srlr=+=+=．【点睛】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥的性质、体积、表面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6.已知向量,ab满足||2,(1,22),||19,abab==+=，则,ab的夹角为___________.【答案】3【解析】【分析】根据||19ab+=，两边平方求得ab，从而可求得,ab夹角的余弦值，即可得解.【详解】解：由(1,22)b=，得3b=r，又||19a

b+=，所以()222219ababab+=++=，所以3ab=，即cos,3abab=，所以1cos,2ab=，又因,0,ab，所以,3ab=rr.即,ab的夹角为3.故答案为：3.7.若实数xy，满足2+3xyx≤≤，则xy+的最

小值为_____．【答案】6−.【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，令zxy=+，得到z表示直线yxz=−+在y轴的截距，结合图像，即可得出结果.【详解】画出实数xy，满足2+3xyx≤≤的平面

区域，如图示：令zxy=+得：yxz=−+，因此z表示直线yxz=−+在y轴的截距，由图像可得，当直线yxz=−+过点A时，截距最小，即z最小，由23xyyx==+得(3,3)A−−，所以min336=−−=−z.故答案为6−【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，由约束条件作出可行域，根

据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.8.设数列na的前n项和为nS，若na与nS的等差中项为常数2，则数列na的各项和是________【答案】242n−−【解析】【分析】由题得4nnSa=−，则114(2)nnSan−−=−，作差有11(2)2nnaa

n−=，求出首项即可得到22nna−=，再利用等比数列求和公式即可.【详解】naQ与nS的等差中项为常数2，4nnaS+=，即4nnSa=−①114(2)nnSan−−=−②①−②得11nnnnnSSaaa−−−==−+，即11(2)2nn

aan−=，当1n=时，114aa=−，解得12a=，故na是以2为首项，公比为12的等比数列，故121222nnna−−==，故()221242112nnnS−−−==−−.故答案为：242n−−.9.学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组

中选出3位同学分别到,,ABC三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有________种.【答案】420【解析】【分析】分步相乘计数，第一步求男女均有的选法，第二步求到,,ABC三地的分法.【详

解】满足条件的事件是选出的3位同学中男女都有，包括两种情况，一是一男两女，二是一女两男，共有55122144CCCC70+=，分别到,,ABC三地进行社会调查，有33A6=，故共有706420=种．故答案为：42010.已

知空间一点M到正方体1111ABCDABCD−六个表面距离分别为5、6、7、8、9、10，则正方体的体积为______【答案】1或27或3375【解析】【分析】根据空间任意一点到正方体六个面的距离，存在3对距离之差或和等于棱长，结合已知求棱长

，即可求正方体的体积.【详解】由正方体的性质，空间中一点到平行两个平面的距离之差或和为棱长，所以，已知距离中存在3对距离之差或和为定值，即为正方体棱长.由题设，棱长为10796853−=−=−=，10987651−=−=−=，105968715

+=+=+=所以正方体的体积为1或27或3153375=.故答案为：1或27或3375.11.已知半径为3和5的两个圆1O和2O内切于点M，点,AB分别在两个圆1O和2O上，则MAMB的范围是_____

___【答案】15,602−【解析】【分析】不妨设切点(0,0)M，221:(3)9Oxy−+=，222:(5)25xyO−+=，则可得(33cos,3sin),(55cos,5sin)AB++，即可结合三角恒

等变换化简求MAMB的范围.的【详解】不妨设切点(0,0)M，221:(3)9Oxy−+=，222:(5)25xyO−+=，因为点,AB分别在两个圆1O和2O，所以设(33cos,3sin),(55cos,5sin)AB++，所以(33cos)(55cos)3si

n5sinMAMB+++=1515(coscos)15(coscossinsin)=++++1515sinsin(cos1)coscos=++++221515sin(cos1)sin()cos=+++++15

152cos2sin()cos=++++，其中2222sincos1cos,sinsin(cos1)sin(cos1)ββφφββββ+==++++.令2cos2[0,2]t+=，则22cos2t−=，所以22

222cos2sin()cossin()22tttt−−+++=+++213(1)322t=+−，且22222cos2sin()cossin()22tttt−−+++=++−+2133(1)222t=−−−，所以22sin()2151515,

602MAMttB−++=+−.故答案为：15,602−12.已知抛物线2:2Cypx=过点(1,1)A.直线MN与拋物线C交于,MN两个不同点(均与点A不重合)，设直线,AMAN的斜率分别为12,kk

且123kk+=，则直线MN过定点________（请写出定点的坐标）.【答案】12(,)33−【解析】【分析】代入点(1,1)A可求得抛物线的方程为2yx=，设直线MN的方程为xtym=+与2yx=联立消x，用韦达定理表示出123kk+=，可求出,mt的关系式，再化为点

斜式方程即可得出定点.【详解】依题意，抛物线2:2Cypx=，过点(1,1)A，得12p=，即12p=，得抛物线的方程为2yx=，设211(),Myy，222(),Nyy，直线MN的方程为xtym=+，联立抛物线方程2yx=，得20ytym−−=，240tm=+，12y

yt+=，12yym=−，又(1,1)A，112111111ykyy−==−+，2211ky=+，1212121212211231111yytkkyyyyyymt++++=+===+++++−+，得123

tm+=，则MN的方程为123txty+=+，即21()33xty=++，令23y=−，则13x=，得直线MN恒过定点12(,)33−．故答案为：12(,)33−.二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）13.函数()yfx=的反函数为()()1,yfxyfx−

==的图象与直线yx=有且仅有一个交点，则()1yfx−=与()yfx=的交点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.不确定【答案】D【解析】【分析】举特例(2,(),0fxxx=−和24(),[0,)2xyfxx−==+−即可求解.详解】不确定，例如(21()

,0,(,)fxxxfxx−=−=−，令(2,,0xxx=−−，可得0x=，故()1yfx−=与()yfx=有1个交点.214(),[0,),()242xyfxxyfxx−−==+==−+−，令24242xx−=−+−，可得42880xxx−+=，故0x=或3880x

x−+=.对于3880xx−+=，可得388160xx−−+=,即()()()()()22224822240xxxxxxx−++−−=−+−=，【解得2x=或2240xx+−=.对于2240xx+−=，可得()222414152x

−−−==−.因为0x且240x−+,解得02x,故51x=−（舍去15x=−−）.故()()1−=fxfx的根为0x=或2x=或51x=−，故()1yfx−=与()yfx=有3个交点.故()1y

fx−=与()yfx=的交点个数不确定.故选:D.14.设02x＜＜，则“2sin1xx＜”是“sin1xx＜”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由x的范围得到0sin1

x＜，则由sin1xx能得到2sinsin1xxxx，反之不成立，从而可求得结果.【详解】02x＜＜，0sin1x＜，故2sinsinxxxx，若“sin1xx”，则“2sin1xx＜”，若“2sin1xx＜”，则11sin,1sinsinxxxx，此时sin1xx可能不成

立，例如,sin1,sin12xxxx→→，由此可知，“2sin1xx＜”是“sin1xx”必要不充分条件，故选B.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件p和结论q分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,pqq

p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.的15.直线4x=与双曲线C：2

214xy−=的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若OPaOAbOB=+(a、bR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是A.2212ab+B.2218ab+C.2212ab+D.2218ab+【答案】B【解析】【分析】先求出A、B两点坐标，利用OPaOAbO

B=+可以得到P点的坐标，代入双曲线方程可得116ab=，然后利用基本不等式可选出答案．【详解】双曲线C：2214xy−=的渐近线为2xy=，与直线4x=交于()4,2A，()4,2B−，设(),Pxy，则(),OPxy=，()4,2OA=，

()4,2OB=−，因为OPaOAbOB=+，所以44xab=+，22yab=−，由于点(),Pxy在双曲线上，故()()22442214abab+−−=，解得116ab=，则2222128abab+=

（当且仅当22ab=时取“=”）．故答案为B.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了向量的坐标表示，考查了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，属于中档题．16.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2,M为1DD的中点，N为ABCD所在平面

上一动点，1N为1111DCBA所在平面上一动点，且1NN⊥平面ABCD，则下列命题正确的个数为（）（1）若MN与平面ABCD所成的角为4，则动点N所在的轨迹为圆；（2）若三棱柱111NADNAD−的侧面积为定值，则动点N所在的轨迹为椭圆；（3）若1D

N与AB所成的角为3，则动点N所在的轨迹为双曲线；（4）若点N到直线1BB与直线DC的距离相等，则动点N所在的轨迹为抛物线A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【分析】对于(1)，利用圆的定义判断；对于(2)，利用椭

圆的定义判断；对于(3)，易得1DN运动成圆锥面判断；对于(4)，利用抛物线的定义判断.【详解】如图所示：对于(1)，因为MN与平面ABCD所成的角为π4，所以1DNMD==，所以点N的轨迹为圆，所以正确；对于(2)，当

三棱柱111NADNAD−的侧面积为定值时，因为高为2，则NAND+为定值，且大于AD，所以点N的轨迹为椭圆，正确；对于(3)，因为//ABCD、11//CDCD，所以11//ABCD，于是满足条件的1DN运动成圆锥面，又11//CD平面ABCD，所以圆锥面被平面ABC

D所截的交线为双曲线，所以正确；对于(4)，因为点N到直线1BB与直线DC距离相等，所以点N的轨迹为点N到点B与直线DC的距离相等的轨迹，即抛物线，所以正确；故选：D．三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.1.如

图，在正三棱柱111ABCABC-中，1=3AA，AB=2，D，E分别是AC，1BB的中点.（1）证明：BD//平面1ACE；（2）求二面角1AEAC−−的余弦值.【答案】（1）具体见解析；（2）33926.【解析】【分析】（1）连接1AC交1AC于

F，进而证明四边形DBEF是平行四边形，然后结合线面平行的判定定理证明问题；（2）建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角运算求得答案.【小问1详解】连接1AC交1AC于F，则F为1AC的中点，连接,DFEF，而D为AC的中点，所以111

//,2DFCCDFCC=，又因为E为1BB的中点，所以111//,2BECCBECC=，所以//,DFBEDFBE=，则四边形DBEF是平行四边形，所以//BDEF，而BD平面1ACE，EF平面1ACE，于是

//BD平面1ACE.【小问2详解】因为底面ABC是边长为2的正三角形，D为AC的中点，则,3ACBDBD⊥=，而1CC⊥平面ABC.于是，以C为坐标原点，1,CACC→→所在方向分别为,xz轴的正方向建立空间直角坐标系，则(

)()()130,0,0,2,0,0,2,0,3,1,3,2CAAE，所以()()11130,0,3,1,3,,2,0,32AAEACA→→→==−=，设平面1AEA和平面1CEA的法向量分别为()(),,,,,nxyzmabc→→==，则1130033002znAAxy

znEA==−+==，令1y=，则()3,1,0n→=，11230033002acnCAabcnEA+==−+==，令2c=，则()3,0,2m→=−，所以33339cos,26213||||nmnmnm→→→→→→−==

=−，由图可知，二面角1AEAC−−的余弦值为33926.18.设,xy均为非零实数，且满足sincos955tan20cossin55xyxy+=−.（1）求yx的值；（2）在锐角ABC中，若tanyCx=，求sin22cosAB+的取值范围.【答案】（

1）1（2）31,2【解析】【分析】（1）令tanyx=，结合弦化切及正切和差公式可得9tan()tan520+=，即可求得4k=+，tan1yx==；（2）由（1）可在锐角ABC中得4C=，34AB+=，,42B，si

n22cosAB+由三角恒等变换化简得2132(cos)22B−−+，即可根据B的范围求值.【小问1详解】因为,xy均为非零实数，且满足sincostan9555tan20cossin1tan555yxyxyxyx++==−−，令

tanyx=，则tantan95tan201tantan5+=−，即9tan()tan520+=，所以9520k+=+，kZ，即4k=+，所以tan1yx==．【小问2详解】在锐角ABC中，若tan1yCx==，则4C=

，34AB+=，3sin22cossin2()2coscos22cos4ABBBBB+=−+=−+22132cos2cos12(cos)22BBB=−++=−−+，在锐角ABC中，,42B，所以2cos0,2B，故sin22co

sAB+取值范围为31,2．19.如图，三个校区分别位于扇形OAB的三个顶点上，点Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P（不与点O，Q重合），为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知O

A＝2千米，∠AOB＝3，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为y千米．（1）将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；（2）请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．【答案】（1）7,612（2）P与O的距离为233时，地下电缆管线的总长度最小【解析】【分析】（1）

首先根据Q为弧AB的中点，得到知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝6，利用正弦定理得到()sinsinsin66PAOAOP==−−，根据OA＝2，得到PA＝1sin，OP＝2s

in6sin−，从而得到y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝22sin6sin+−＝3sincos2sin−+，根据题意确定出7,612；（2）对函数求导，令导数

等于零，求得3=，确定出函数的单调区间，从而求得函数的最值.【详解】（1）因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝6，又∠APO＝−，∠OAP＝6−，由正弦定理，得：()sinsinsin66PAOAOP==−−，又OA＝2，所以，

PA＝1sin，OP＝2sin6sin−，所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝22sin6sin+−＝3sincos2sin−+，∠APQ＞∠AOP，所以，6，∠OAQ＝∠OQA＝152612−=，所以，7,612

；（2）令()3sincos2sinf−+=，7,612()212cos'0sinf−==，得：3=，()f在,63上递减，在7,312上

递增所以，当3=，即OP＝233时，()f有唯一的极小值，即是最小值：()minf＝23，答：当工作坑P与O的距离为233时，地下电缆管线的总长度最小．【点睛】该题考查的是应用题，涉及到的知识点有圆的相关性质，正弦定理，应用导数研究

函数的最值问题，属于较难题目.20.已知点12FF、为双曲线()222210,0xyabab−=的左右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且121230,MFFMFF=△的面积为43.圆O的方程是222xyr+=.（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任

意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为12PP、，求12PPPP的值；（3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于AB、两点，AB中点为N，若||2||ABON=恒成立，试确定圆O半径r.【答案】（1）22124xy−=；（2）49；

（3）2r=.【解析】【分析】（1）由面积可求6c=，再根据双曲线的定义可求a，从而可求双曲线的方程；（2）求出双曲线的渐近线方程，设两渐近线的夹角为，根据到角公式可求tan与cos，根据点到直线

的距离公式可求12,PPPP，根据平面向量的数量积运算结合00(,)Pxy在双曲线22124xy−=上即可求解；（3）由题意可得OAOB⊥，设11(,)Axy，22(,)Bxy，当l的斜率存在时，设直线:lykxb=+，与双曲线方程联立，根据韦达定理及0OAOB=可得2244b

k=+，根据点到直线的距离公式可求2r=，当l的斜率不存在时亦可求得.【小问1详解】因为121230,MFFMFF=△的面积为43，所以223cMF=，所以1224323cc=，解得6c=，此时2626222233a=−=，所以2222,4abca==−=，故双曲线的方程为

22124xy−=.【小问2详解】由题意得两条渐近线分别为12:20;:20lxylxy−=+=，设双曲线C上的点00(,)Pxy，设两渐近线的夹角为，则22tan2212==−，得211cos31tan==+．则点P到两条渐近线的距离分别为00001222,33x

yxyPPPP−+==，因为00(,)Pxy在双曲线22124xy−=上，所以220024xy−=，又1cos3=，所以22000000122221cos339343xyxyxyPPPP−+−===.【小问3详解】AB中点为N，若||2||A

BON=，则OAOB⊥．设11(,)Axy，22(,)Bxy，当l的斜率存在时，设直线:lykxb=+，由22124xyykxb−==+得()2222240kxkbxb−−−−=，所以212122224,22kbbxxxxkk−−+==−−，所以()()12121212OAOBx

xyyxxkxbkxb==++++()()22121201kxxkbxxb=++++=，所以()22222421022bkbkkbbkk−−+++=−−，所以()()()22222214220kbk

bkb+−−++−=，所以2224420bkb−−−+=，所以2244bk=+,所以圆心到直线的距离2||21bk=+.当l的斜率不存在时，直线2x=，得2y=，也满足OAOB⊥，综上，圆O半径2r=．【点睛】解

决直线与双曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、双曲线的条件；(2)强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知数列na为等差数列，公差为d，前n项和为nS.（1）若1

0,2ad==，求100S的值；（2）若首项11naa=−,中恰有6项在区间1,82内，求d的范围；（3）若首项11a=，公差1d=，集合N,1|nAann=，是否存在一个新数列nb，满足①此新数列nb不是常数列；②此新数列nb中任意一项nb

A；③此新数列nb从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数.若能，请举例说明；若不能，请说明理由.(注:数211ab+叫做数a和数b的调和平均数).【答案】（1）9900（2）99,)87[d（3）{}nb不

存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由等差数列前n项和公式可得答案；（2）由题可得na为递增等差数列，设在1,82中的6项为15，，，mmmaaa++，则156121288mmmmaaaa−++，据此可得答案；（3）由题可得nan=，N

n.由所给信息可得，可得若nb存在，则nb为无穷数列，且1nb为等差数列，后讨论12121111，bbbb=两种情况下nb的存在性即可.【小问1详解】因为10a=，2d=，又因为1(1)2nnnSnad−

=+，所以1001100010099299002S=+=；【小问2详解】由题可得na为递增等差数列，设na在1,82中的6项为15，，，mmmaaa++，则()()()()15611122211112214881588mmmmmdamdamd

amda−++−+−−+−−++−++.若2m=，则112112168178ddd−−+−+−+，得d不存.若2m，则()()3321229954dmmdmm−−++，则()()3921493

522mmmm−++−，解得17(2,]5m，因Nm，则3m=，得339942,998787ddd.【小问3详解】由题可得nan=，Nn.假设nb存在，因nb从第二项开始，每

一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数，则nb为无穷数列，又由③，当2，Nnn，1111112211111111nnnnnnnnnnbbbbbbbbbb+−−+−+==+−=−+，得1nb为

等差数列，又nbA，则(101,nb.若12111bbm==，其中Nm，则此时1nb为常数列，得nb是常数列.这与nb不是常数列矛盾，则1211bb=时，不存在这样的数列nb.若121111，bmbt==，11mt，其中，Nmt.则

()()1111111nmtnnbmtmmmt−=+−−=+−.若11mt，可得mt，又，Nmt，则1mt−.在则1111mtmtbm+=+−，这与(101,nb矛盾，故11mt时，不存在这样的数列nb；若11mt，可得mt

，又，Nmt，则1mt−−.则1110mtmtbm+=+−，这与(101,nb矛盾，故11mt时，不存在这样的数列nb.综上，不存在这样的数列nb.【点睛】关键点点睛：本题涉及等差数列与数列新定

义，难度较大.（1）问较为基础；（2）问关键在于由题目条件找到关于m与d的不等式；（3）问首先由题目定义确定nb为无穷数列及1nb为等差数列，再结合nb不是常数列与(101,nb导出矛盾·.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www

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