【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修二）专题8.4 立体图形的直观图（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(17)页，642.312 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-9481c76fbf3f794534a4c4ea4cde39c5.html

以下为本文档部分文字说明：

专题8.4立体图形的直观图（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（）A．平行直线的直观图仍然是平行直线B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线C

．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的D．线段的中点在直观图中仍然是中点【解题思路】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变

，A正确；对于B，平行于𝑥轴和𝑦轴的两条直线，在直观图中夹角为45∘，B错误；对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的𝑥,𝑦轴重合，实际位置互相垂直，C正确；对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确

.故选：B.2．（3分）（2022秋·陕西咸阳·高一阶段练习）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A．三角形的直观图是三角形B．长方形的直观图是长方形C．正方形的直观图是正方形D．

菱形的直观图是菱形【解题思路】根据斜二测直观图的画法规则，对选项逐一判断，即可得到结果.【解答过程】由斜二测直观图的画法规则，平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，可知三角形的直观图还是三角形，故A正确；长方形跟正方

形的直观图是平行四边形，故BC错误；菱形的直观图是平行四边形，故D错误.故选：A.3．（3分）（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形𝐴1𝐵1𝐶1的直观图，则正确的图形是（）A．B．C．D．【解题思路】由斜二侧画法的规则分析判断即可【解答过程】先作出一个

正三角形𝐴1𝐵1𝐶1，然后以𝐵1𝐶1所在直线为𝑥轴，以𝐵1𝐶1边上的高所在的直线为𝑦轴建立平面直角坐标系，画对应的𝑥′,𝑦′轴，使夹角为45°，画直观图时与𝑥轴平行的直线的线段

长度保持不变，与𝑦轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A.4．（3分）（2022·高一课时练习）下列空间图形画法错误的是（）A．B．C．D．【解题

思路】根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案.【解答过程】D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.5．（3分）（2022春·湖南·高一期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形𝑂𝐴𝐵𝐶如图所示.已知𝑂为坐标原点，𝐴(2√2,0),𝐵

(2√2,2),𝐶(0,6).在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′的周长为（）A．8B．10C．5+2√2D．6+2√2【解题思路】根据原图作出它的直观图，再计算周长.【解

答过程】如图，画出直观图，过点𝐴′作𝐴′𝐷⊥𝑂′𝐶′，垂足为𝐷.因为𝑂′𝐶′=12𝑂𝐶=3，∠𝐶′𝑂′𝐴′=∠𝐵′𝐴′𝑥=45°，所以𝑂′𝐶′∥𝐴′𝐵′，𝑂′𝐷=𝐴′𝐷=

2，𝐶′𝐷=1=𝐴′𝐵′，则𝐴′𝐷=𝐵′𝐶′=2，故四边形𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′的周长为𝑂′𝐴′+𝐴′𝐵′+𝐵′𝐶′+𝑂′𝐶′=6+2√2，所以D正确.故选：D.6．（3分）（2022春·河

南平顶山·高一期末）如图所示，在四边形OABC中，OA=2，𝐴𝐵=2√2，BC=3，𝑂𝐴⊥𝐴𝐵且𝑂𝐴∥𝐵𝐶，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（）A．5√2B．5C．52D．5√22【解题思

路】根据斜二测画法得到直观图，计算可得.【解答过程】如图所示，𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′为𝑂𝐴𝐵𝐶的直观图，根据斜二测画法的规则可知𝑂′𝐴′=2，𝐴′𝐵′=√2，𝐵′𝐶′=3，𝐴′𝐵′平行于𝑦′轴，∴该图形的面积为𝑆=12×(3+2)×√2×√22

=52．故选：C.7．（3分）（2022秋·云南红河·高二开学考试）如图，已知△𝐴𝐵𝐶通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则△𝐴𝐵𝐶为（）A．面积为2√2的等腰三角形B．面积为4√2的等腰三角形C．面积

为2√2的直角三角形D．面积为4√2的直角三角形【解题思路】将直观图还原即可求解.【解答过程】解：如图因为斜二测画法得到的直观图△𝐴′𝐵′𝐶′是面积为2的等腰直角三角形，故𝐴′𝐶′=𝐴′𝐵′=2,𝐶′𝐵′=2√2，∠𝐴′𝐶′𝐵′=45°,将

直观图还原，则𝐶𝐵=𝐶′𝐵′=2√2,𝐴𝐶=2𝐴′𝐶′=4,∠𝐴𝐶𝐵=2∠𝐴′𝐶′𝐵′=90°故所得三角形为直角三角形，面积为12×2√2×4=4√2.故选：D.8．（3分）（2022·全国·高三专题练习）

某组合体的正视图和侧视用如图（1）所示，它的俯视图的直观图是图（2）中粗线所表示的平面图形，其中四边形𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′为平行四边形，𝐷′为𝐶′𝐵′的中点，则图（2）中平行四边形𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′的面积为

（）A．12B．3√2C．6√2D．6【解题思路】由已知可得正视图,根据斜二测知识点可知图(2)中对应的边长,即可求出面积.【解答过程】由正视图和侧视图可得俯视图如下：∴|𝑂′𝐴′|=4，|𝑂′𝐶′|=32，∵

∠𝐴′𝑂′𝐶′=45°，∴𝑆𝛥𝐴′𝑂′𝐶′=12|𝑂′𝐴′|⋅|𝑂′𝐶′|⋅sin∠𝐴′𝑂′𝐶′=3√22，∴𝑆△𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′=2𝑆△𝐴′𝑂′𝐶′=3√2，故选:𝐵.二．多选题（共4小

题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022春·吉林长春·高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A．相等的线段在直观图中仍然相等B．平行的线段在直观图中仍然平行C．一个角的直观图仍是一个角D．相等的角在直观图中仍然相等【

解题思路】根据斜二测画法分析各选项说法的正误即可.【解答过程】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，平行于x轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A错误；平行线段在直观图中仍然平行，B正确；一个

角在直观图中也是一个角的形式出现，C正确；如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D错误.故选：BC.10．（4分）（2022·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（）A．B．C．D．【解题思路】根据直观图，画出原图形，即可得出答案.【解答过

程】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于𝑦′轴的边与底边垂直，原图形如图所示：即可判断不可能的为A，B，D.故选：ABD.11．（4分）（2022春·浙江温州·高一期末）已知△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2，用斜二测画法画出它的直观

图△𝐴′𝐵′𝐶′，则𝐵′𝐶′的长可能是（）A．2√2B．2√6C．√5−2√2D．12【解题思路】通过斜二测画法的定义可知BC为𝑥′轴时，𝐵′𝐶′=2√2为最大值，以BC为𝑦′轴，则此时𝐵′𝐶′=12𝐵𝐶=√2为最小值，故𝐵

′𝐶′的长度范围是[√2,2√2]，C选项可以以AB为𝑥′轴进行求解出，从而求出正确结果.【解答过程】以BC为𝑥′轴，画出直观图，如图2，此时𝐵′𝐶′=𝐵𝐶=√4+4=2√2，A正确，以BC为𝑦′轴，则此时𝐵′𝐶′=

12𝐵𝐶=√2，则𝐵′𝐶′的长度范围是[√2,2√2]，若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为𝑥′轴，则𝐴′𝐵′=2,𝐴′𝐶′=1，此时过点𝐶′作𝐶′𝐷⊥𝑥′于点D，则∠𝐶′�

�′𝐵′=45°，则𝐴′𝐷=𝐶′𝐷=√22，𝐵′𝐷=2−√22，由勾股定理得：𝐵′𝐶′=√(2−√22)2+(√22)2=√5−2√2，C正确；故选：AC.12．（4分）（2022秋·辽宁朝阳·高二阶段练习）如

图所示，△𝐴′𝐵′𝐶′是水平放置的△𝐴𝐵𝐶的斜二测直观图，其中𝑂′𝐶′=𝑂′𝐴′=2𝑂′𝐵′=2，则以下说法正确的是（）A．△𝐴𝐵𝐶是钝角三角形B．△𝐴𝐵𝐶的面积是△𝐴′𝐵′𝐶

′的面积的2倍C．△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形D．△𝐴𝐵𝐶的周长是4+4√2【解题思路】根据已知，结合图形，利用斜二测画法的方法进行求解判断.【解答过程】根据斜二测画法可知，在原图形中，O为𝐶𝐴的中点，𝐴𝐶⊥𝑂𝐵，因为𝑂′𝐶′=𝑂

′𝐴′=2𝑂′𝐵′=2，所以𝐶𝑂=𝐴𝑂=2,𝐴𝐶=4,𝑂𝐵=2，则△𝐴𝐵𝐶是斜边为4的等腰直角三角形，如图所示：所以△𝐴𝐵𝐶的周长是4+4√2，面积是4，故A错误，C，D正确.由斜二测

画法可知，△𝐴𝐵𝐶的面积是△𝐴′𝐵′𝐶′的面积的2√2倍，故B错误.故选：CD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不

正确的是③．（填序号）①原图形中平行于𝑥轴的线段，其对应线段平行于𝑥′轴，长度不变；②原图形中平行于𝑦轴的线段，其对应线段平行于𝑦′轴，长度变为原来的12；③画与直角坐标系𝑥𝑂𝑦对应的𝑥′𝑂′𝑦′时，∠𝑥′𝑂′𝑦′必须是45∘；④在画直观图时，由

于选轴的不同，所得的直观图可能不同．【解题思路】由“斜二测画法”规则：坐标轴夹角为45∘（或135∘），平行𝑥轴的线段长度不变，平行𝑦轴的线段长度减半，并且线段的平行性不改变，以上即可作为判断依据.【解答过程】原

图形中平行于𝑥轴的线段，其对应线段平行于𝑥′轴，长度不变，故①正确；原图形中平行于𝑦轴的线段，其对应线段平行于𝑦′轴，长度变为原来的12，故②正确；画与直角坐标系𝑥𝑂𝑦对应的坐标系𝑥′

𝑂′𝑦′时，∠𝑥′𝑂′𝑦′也可以是135°，故③错误；在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同，故④正确.故答案为：③.14．（4分）（2023·高一课时练习）直角梯形ABCD，𝐴𝐷⊥𝐴𝐵，𝐷𝐶∥𝐴𝐵，𝐶𝐷=2cm，𝐴𝐵=4c

m，𝐴𝐷=4cm，则ABCD水平放置的直观图中△𝐴𝐶𝐷的形状是等腰三角形.【解题思路】根据斜二测画法的原则，“横不变，纵减半”画出平面图形，即可得出结果.【解答过程】在直角坐标系中，如图1所示，以A为坐标原点O，作出直角梯形ABCD，如图2所示，再作出坐标系𝑥′

𝑂′𝑦′，使∠𝑥′𝑂′𝑦′=45∘，以𝐴′为坐标原点𝑂′，在𝑥轴上作𝐴′𝐵′=𝐴𝐵=4，在𝑦轴上作𝐴′𝐷′=12𝐴𝐷=2，作𝐷′𝐶′//𝐴′𝐵′，且𝐷′𝐶′=𝐷𝐶=2，连结𝐵′𝐶′，则𝐴′𝐷′=𝐷′𝐶′，△𝐴′

𝐶′𝐷′为等腰三角形.则ABCD水平放置的直观图中△𝐴𝐶𝐷的形状是等腰三角形.故答案为：等腰三角形.15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）如图所示，△𝐴′𝐵′𝑂′是利用斜二测画法画出的△𝐴𝐵𝑂的直观图，已知𝐴′𝐵′∥�

�′轴，𝑂′𝐵′=4，且△𝐴𝐵𝑂的面积为16，过𝐴′作𝐴′𝐶′⊥𝑥′轴，则𝐴′𝐶′的长为2√2．【解题思路】结合已知条件利用直观图与原图之间的面积关系得到△𝐴′𝐵′𝑂′的面积，进而得到𝐴′𝐶′.【解答过程】因为𝑆△𝐴𝐵𝑂=16，𝑆△𝐴′𝐵′

𝑂′𝑆△𝐴𝐵𝑂=√24，𝑂′𝐵′=4所以𝑆△𝐴′𝐵′𝑂′=4√2=12×𝑂′𝐵′×𝐴′𝐶′，即𝐴′𝐶′=2√2.故答案为：2√2.16．（4分）（2022春·上海闵行·高一期末）如下图所示，梯形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是水平放置的平面图形𝐴𝐵𝐶𝐷的直观图（

斜二测画法），若𝐴1𝐷1//𝑂′𝑦′,𝐴1𝐵1//𝐶1𝐷1,𝐴1𝐵1=23𝐶1𝐷1=4，𝐴1𝐷1=1，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是10．【解题思路】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长以及高，然后求出面积．

【解答过程】根据直观图画法的规则，直观图中𝐴1𝐷1平行于𝑦轴，𝐴1𝐷1=1，所以原图中𝐴𝐷//𝑂𝑦，从而得出AD⊥DC，且𝐴𝐷=2𝐴1𝐷1=2，直观图中𝐴1𝐵1//𝐶1𝐷1，𝐴1𝐵1=23𝐶1𝐷1=4，所以原图中𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=23𝐶

𝐷=4，即四边形ABCD上底和下底边长分别为4，6，高为2，故其面积𝑆=12×(4+6)×2=10.故答案为：10.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2023·全国·高三专题练习）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.（1）三角形的直观图

还是三角形；（2）平行四边形的直观图还是平行四边形；（3）正方形的直观图还是正方形；（4）菱形的直观图还是菱形.【解题思路】根据三角形、平行四边形、正方形、菱形的直观图的性质，判断出命题的真假性.【解答过程】（1）

三角形的直观图还是三角形，为真命题.（2）平行四边形的直观图还是平行四边形，为真命题.（3）正方形的直观图，边长不全相等，不是正方形，所以命题为假命题.（4）菱形的直观图，边长不全相等，不是菱形，所以命题为假命题.18．（6分）（2022·全国·高一专题练习）如图，已知点𝐴(−1,1)，𝐵

(1,3)，𝐶(3,1),用斜二测画法作出该水平放置的四边形𝐴𝐵𝐶𝑂的直观图，并求出面积.【解题思路】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.【解答过程】由斜二测画法可知，在直观图中

，𝐴2𝑂′=1，𝑂′𝐵2=1，𝐶2𝑂′=3，𝐵2𝐶2=2，𝐴2𝐴1=12，𝐵2𝐵1=32，𝐶2𝐶1=12，𝐴1𝐴2∥𝐵1𝐵2∥𝐶1𝐶2，∠𝐴1𝐴2𝑂′=∠𝐵1𝐵2𝐶2=45°，所以𝑆𝐴1

𝐵1𝐶1𝑂′=𝑆𝐴1𝐴2𝐵2𝐵1+𝑆𝐶1𝐶2𝐵2𝐵1−𝑆△𝐴1𝐴2𝑂′−𝑆△𝑂′𝐶2𝐶1=(𝐴1𝐴2+𝐵1𝐵2)⋅𝐴2𝐵2⋅sin45°2+(𝐶1𝐶2+𝐵1𝐵2)⋅𝐶2𝐵2⋅sin45°2−𝐴1𝐴2⋅𝐴2𝑂

′⋅sin45°2−𝐶1𝐶2⋅𝐶2𝑂′⋅sin45°2=(12+32)×2×√222+(12+32)×2×√222−12×1×√222−12×3×√222=3√22.19．（8分）（2022·高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观

图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形【解题思路】（1）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系；（2）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形

的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系；（3）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系；（4）根据斜二测画法的规则，即可得到平面图形的直观图，再探究可得出直观图与原图形面积之间的等量关系.【解答过程】(1)解：根

据斜二测画法的规则，可得：设𝑂𝐷=𝑎，𝑂𝐵=𝑏，则𝑂′𝐵′=12𝑏，直观图中边𝑂′𝐷′边上的高为12𝑏sin45∘=√24𝑏，因此，设直观图和原图形的面积分别为𝑆′、𝑆，则𝑆′=𝑎×√24𝑏

=√24𝑎𝑏=√24𝑆.(2)解：根据斜二测画法的规则，可得：设𝑂𝐵=𝑎，𝑂𝐸=𝑏，则𝑂′𝐸′=12𝑏，直观图中边𝑂′𝐵′边上的高为12𝑏sin45∘=√24𝑏，因此，设直观图和原图形

的面积分别为𝑆′、𝑆，则𝑆′=𝑎×√24𝑏=√24𝑎𝑏=√24𝑆.(3)解：根据斜二测画法的规则，可得：设𝐵𝐶=𝑎，𝑂𝐴=𝑏，则𝑂′𝐴′=12𝑏，直观图中边𝐵′𝐶′边上的高为12𝑏sin45∘=√24𝑏，因此，设直观图和原图形

的面积分别为𝑆′、𝑆，则𝑆′=12𝑎×√24𝑏=√24×12𝑎𝑏=√24𝑆.(4)解：根据斜二测画法的规则，可得：设𝐶𝐷=𝑎，𝑂𝐹=𝑏，则𝑂′𝐹′=12𝑏，△𝑂′𝐶′𝐷′的

边𝐶′𝐷′边上的高为12𝑏sin45∘=√24𝑏，所以，𝑆△𝑂′𝐶′𝐷′=12𝑎×√24𝑏=√24×12𝑎𝑏=√24𝑆△𝑂𝐶𝐷，同理可得𝑆△𝑂′𝐴′𝐵′=√24𝑆△𝑂𝐴𝐵

，𝑆△𝑂′𝐵′𝐶′=√24𝑆△𝑂𝐵𝐶，𝑆△𝑂′𝐷′𝐸′=√24𝑆△𝑂𝐷𝐸，𝑆△𝑂′𝐴′𝐸′=√24𝑆△𝑂𝐴𝐸，设五边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸的面积为𝑆，直观图五边形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′的面积为𝑆′，则𝑆

′=𝑆△𝑂′𝐴′𝐵′+𝑆△𝑂′𝐵′𝐶′+𝑆△𝑂′𝐶′𝐷′+𝑆△𝑂′𝐷′𝐸′+𝑆△𝑂′𝐴′𝐸′=√24(𝑆△𝑂𝐴𝐵+𝑆△𝑂𝐵𝐶+𝑆△𝑂𝐶𝐷+𝑆△𝑂𝐷𝐸+𝑆△𝑂𝐴𝐸)

=√24𝑆.20．（8分）（2022·高二课时练习）如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD//AB，CD＝AO＝1，△AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试画出梯形ABCD水平放置的直观图，并求直观图的面积．【解题思路】由

斜二测画法规则作直观图，在直观图中求得梯形的高可得面积．【解答过程】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，在直观图中，O′D′＝12OD，梯形的高D′

E′＝12×√22=√24，于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝12×(1＋2)×√24＝3√28.21．（8分）（2022·高一课时练习）如图分别为直观图与水平放置的平面图形,梯形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1是平面图形ABCD的直观图.若�

�1𝐷1//𝑂′𝑦′,𝐴1𝐵1//𝐶1𝐷1,𝐴1𝐵1=23𝐶1𝐷1=2,𝐴1𝐷1=𝑂′𝐷1=1.如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?【解题思路】根据直观图与原图之间的边角关系

求解即可.【解答过程】由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上､下底边长度分别为𝐴𝐵=2,𝐶𝐷=3,直角腰的长度𝐴𝐷=2,所以面积为𝑆=2+32×2=5.直观图中梯形的高为√22,因此其面积为𝑆′=12×(2+3)×√22=5√24.22．（8分）（2022春·福建宁德·高

一期中）如图所示，𝑂′𝐴′𝐵′𝐶′为四边形OABC的斜二测直观图，其中𝑂′𝐴′=3，𝑂′𝐶′=1，𝐵′𝐶′=1．(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求

旋转形成的几何体的体积及表面积．【解题思路】（1）根据斜二测画法还原直观图，求出𝑂𝐴𝐵𝐶的边长，即可求出四边形𝑂𝐴𝐵𝐶的面积；（2）由（1）可知旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的

圆锥，且几何体底面圆半径为𝑟=2，圆柱母线长和高都为1，即ℎ1=𝑙1=1，圆锥的高为ℎ2=2，母线长为𝑙2=2√2，再根据锥体、柱体的体积与表面积公式计算可得；【解答过程】（1）解：在直观图中𝑂′𝐴′=3，𝑂′𝐶′=1，𝐵′𝐶

′=1．所以在平面图形中𝑂𝐴=3，𝑂𝐶=2𝑂′𝐶′=2，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′=1，所以𝐴𝐵=√22+22=2√2，所以平面四边形𝑂𝐴𝐵𝐶的平面图形如下图所示：由上图可知，平面四边形𝑂𝐴𝐵𝐶为直角梯形，所以面积为(1+3)×22=4．（

2）旋转而成的几何体可以看成圆柱加上一个同底的圆锥，由（1）可知几何体底面圆半径为𝑟=2，圆柱母线长和高都为1，即ℎ1=𝑙1=1；圆锥的高为ℎ2=2，母线长为𝑙2=2√2所以体积𝑉=𝑉柱+𝑉锥=𝜋𝑟2ℎ1+13𝜋𝑟2ℎ2=4𝜋+83𝜋=203𝜋；所

以表面积𝑆=𝜋𝑟2+2𝜋𝑟𝑙1+𝜋𝑟𝑙2=4𝜋+4𝜋+4√2𝜋=(8+4√2)𝜋．