【文档说明】山东省济南市历城第二中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 含答案.docx，共(7)页，1013.904 KB，由小赞的店铺上传

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历城第二中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题一、单选题（每题5分，共40分）1．已知数列na的通项公式为21=+nna，则257是这个数列的()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项2．已知数列na中，112a=，()1111nnnaan

a++=−，则2020a=（）A.3B.2−C.13−D.123．若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（）A．B．C．D．4．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，2

1，…，在数学上，斐波那契数列{}na定义如下：121aa==，12nnnaaa−−=+（3n，nN），随着n的增大，1nnaa+越来越逼近黄金分割510.6182−，故此数列也称黄金分割数列，而以1na+

、na为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（）A.20厘米B.19厘米C.18厘米D.17厘米5．中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的.它

的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为（）A.83B.23C.43D.46．已知圆22:(1)(2)25Cxy−+−=，直线:

(21)(1)740lmxmym+++−−=，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（）A．25B．45C．63D．837.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(0k且1k)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆

.若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P与A、B距离之比为2，当P、A、B不共线时，PAB面积的最大值是()A．32B．322C．2D．228.如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是

（）A．313,B．2213,C．62233,D．613,二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．设na是等差数列，nS是其前项的和，且56SS,678SSS=，则下列结论正确的是（）A．0dB．70a

=C．95SSD．6S与7S均为nS的最大值10.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设椭圆的长

轴长、短轴长、焦距分别为222、、abc，则（）()yfx=sinyx=lnyx=exy=3yx=1111ABCDABCD−OBDP1CCOP1ABDsinA.−=+acmRB.+=+acnRC.2=+amnD.()(n)=++bmRR11.双曲线221916xy−=的

左右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线上，下列结论正确的是（）A.该双曲线的离心率为54B.该双曲线的渐近线方程为43yx=C.点P到两渐近线的距离的乘积为14425D.若12PFPF⊥，则12PFF的面积为3212.泰戈尔说过一

句话:世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点(1,0)M，直线:2lx=−，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线

为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A．点P的轨迹曲线是一条线段B．点P的轨迹与直线':1lx=−是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）C．26yx=+是“最远距离直线”D．112yx=+是“最远距离直线”三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P（1

，2）是直线l被22148xy+=所截线段的中点，则直线l的方程是________．14．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱11,AABB的中点，G为棱11AB上的一点，且1(02)AG=，则点G到平面1DEF的距离为_________．15．设等差数列{

}na的前n项和为nS，若20212020220212020−=SS，则数列{}na公差为______．16．已知半径为5的动圆C的圆心在直线:100lxy−+=上.存在正实数r=___________，使得动圆C中满足

与圆222:Oxyr+=相外切的圆有且仅有一个.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（10分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点()30A−,，()1,2B−．（1）求圆C的标准方程；（2）过点()0,2P

的直线l与圆C相交于M，N两点，且23MN=，求直线l的方程．18．（12分）如图1，菱形ABCD中，60A=，4AB=，DEAB⊥于E．将AED沿DE翻折到AED，使AEBE⊥，如图2．（1）求证：平面AED⊥平面BCDE；（2）

求直线AE与平面ABC所成角的正弦值；（3）设F为线段AD上一点，若//EF平面ABC，求DFFA的值．19．（12分）张先生2018年年底购买了一辆1.6L轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被

或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.（1）若张先

生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸

收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.13.7975，151.14.1772，161.14.5950）?20．（12分）设数列{}na的前n项和为nS，已知233.nnS=+（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}nb

满足3lognnnaba=，求数列{}nb的前n项和nT.21．（12分）如图，已知椭圆221:14+=xCy，抛物线()22:20=Cypxp，过椭圆1C的左顶点A的直线1l交抛物线2C于B，C两点，且=ACC

B.(1)求证：点C在定直线上；(2)若直线2l过点C，交椭圆1C于M，N两点，交x轴于点Q，且=CACQ，当△BMN的面积最大时，求抛物线2C的方程.22．（12分）已知点()1,0A，()4,0B，曲线C任意一点P满足2PBPA=.(1)求曲线C的方程；(2)设点()3,0D，问是

否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点,EF，无论直线l如何运动，x轴都平分EDF，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.开学考试数学答案一、单选题1-4BCAC5-8CBDD3.【答案】A6．【解析】圆22:(1)(2)25Cxy−+−=的圆心坐标为(1,2)C，半

径为5，由直线:(21)(1)740lmxmym+++−−=，得()2740mxyxy+−++−=，联立27040xyxy+−=+−=，解得31xy==，∴直线l过定点(3,1)P，点(3,1)P在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时22(13)

(21)5PC=−+−=，此时弦长45，选B．.二、多项选择题9．ABD10.ABD11.BC12.BD11.解：221916xy−=3,4,5abc===53cea==，故A错误；双曲线的渐近线方程为43

yx=即430xy=，故B正确；设双曲线上一点()00,Pxy，22001916xy−=即2200169144xy−=则P到两渐近线的距离的乘积为220000001694343144552525xyxyxy−+−==，C正确；若12PFPF⊥，则1290

FPF=由焦点三角形面积公式122121616tan45tan2PFFFPSFb===，故D错误.综上，正确的有BC.三、填空题（每题5分，共20分）13．30+−=xy14．【解析】以D为原点，1

,,DADCDD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则()2,,2G，1(0,0,2),(2,0,1),(2,2,1)DEF，所以1(2,0,1)DE=−，1(2,2,1)DF=−，()0,,1GE=−−，设平面1DEF的法向量为(,,)n

xyz=，则20,220,xzxyz−=+−=令1x=，则0,2yz==，所以平面1DEF的一个法向量(1,0,2)n=．点G到平面1DEF的距离为12255||5GEnn−==.15.416．【解析】当满足5rd+=时，即525r=−时，动圆C中有且仅有1个圆与圆222:Ox

yr+=相外切.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．【详解】（1）设AB的中点为D，则()2,1D−，由圆的性质得CDAB⊥，所以1CDABKK=−，得1CDK=−，所以线段AB的垂直平分线方

程是1yx=−−，设圆C的标准方程为()222xayr−+=，其中(),0Ca，半径为r（0r），由圆的性质，圆心(),0Ca在直线CD上，化简得1a=−，所以圆心()1,0C−，2rCA==，所以圆C的标准方程为()2214xy++=．…………4分（2）由（1）设F为MN中点，

则CFl⊥，得3FMFN==，圆心C到直线l的距离()2431dCF==−=，当直线l的斜率不存在时，l的方程0x=，此时1CF=，符合题意；………………6分当直线l的斜率存在时，设l的方程2ykx=+，即20kxy−+=，由题意2121k

dk+=+，解得34k=；故直线l的方程为324yx=+，即3480xy−+=；…………………9分综上直线l的方程为0x=或3480xy+−=．…………………10分18.证明：(1）在菱形ABCD中，因为DEAB⊥，所以DEAE⊥，DEEB⊥．所以AEDE⊥．因为AEBE⊥，DEB

EE=，DEÌ平面BCDE，BE平面BCDE，所以AE⊥平面BCDE．因为AE平面AED，所以平面AED⊥平面BCDE．……………………3分（2）由（1）知AEDE⊥，AEBE⊥，DEBE⊥，

如图建立空间直角坐标系Exyz−，则()0,0,0E，()2,0,0B，()0,23,0D,()4,23,0C,()0,0,2A，所以()0,0,2AE=−，()2,0,2BA=−,()2,23,0BC=．…………………3分设平面ABC的法向量(

),,nxyz=，由00nBAnBC==得2202230xzxy−+=+=所以3xzxy==−令1y=−，则3,3xz==.所以()3,1,3n=−．所以()()()2223

137n=+−+=，又2AE=,23AEn=−，所以2321cos,727AEnAEnAEn−===−.所以直线AE与平面ABC所成角的正弦值为217．……………………7分（3）由（2）

可知，()0,23,2DA=−,()0,23,0ED=设()0,23,2DFmDAmm==−，则()0,2323,2EFEDDFmm=+=−．因为//EF平面ABC，所以0EFn=uuurr，即()

()0323231230mm+−−+=．所以12m=，即12DFDA=．所以1DFFA=．……………………12分19.设第n年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*nanN，则11200043000a==，2130001330003a==，3140001430003a=

=，…，显然其构成首项为14a=，公差为2113daa=−=的等差数列，---------------------3分记其前n项和为nS，则1010911045523S=+=，所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.------------------------------------

------------------6分（2）记第n年林木吸收二氧化碳的吨数为()*nbnN，则111.8b=，21(110%)1.8b=+，231(110%)1.8b=+，…，显然其构成首项为11.8b=，公比为1.1q=的等比数列。-------

---------------9分记其前n项和为nT，由题意，有()()1.811.1181.115511.1nnnT−==−−，解得15n.所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用

10年排出的二氧化碳的量.--------------------------------------------------------------------------------------------------------12分20

.解：（1）由233nnS=+可得111(33)32aS==+=，11111(33)(33)3(2)22nnnnnnaSSn−−−=−=+−+=而11133a−=，则13,1,3,1.nnnan−==…………………5分（2）由3lognnnaba=及13

,1,3,1.nnnan−==可得311,1,log31,1.3nnnnnabnan−===−…………………7分2311123133333nnnT−−=+++++.2234111123213333333n

nnnnT−−−=++++++2231223121111111333333331111111()33333331121213133193922331313211823nnnnnnnnnnnTnnnn−−−=+−+

+++−−=−+++++−−−−=+−=+−−−+=−113211243nnnT−+=−…………………12分21.【解析】(1)证明：因为过点()2,0−A的直线1l交抛物线于B，C两点，则直线1l的斜率存在且不为0，设1:2=−lxmy，

()11,Bxy，()22,Cxy，由222=−=xmyypx，有2240−+=ypmxp，0，且122+=yypm，124=yyp，因=ACCB，则点C是AB的中点，有122=yy，可得223=pmy，229=pm，进而可得22

222213=−=−=pmxmy，即点C在定直线1=x上.………………5分(2)由=CACQ，知1l的倾斜角和直线2l的倾斜角互补，则1l与2l的斜率满足12=−kk，可设2l的方程为213=−−+pmxmy，……………5分即4=−+xmy，设()33,M

xy，()44,Nxy，由22414=−++=xmyxy，有()2248120+−+=mymy，()22(8)44120=−−+mm，212m，34284+=+myym，342124=+yym

，……………5分因点C是AB的中点，则=△△BMNAMNSS，点A到2l的距离261=+dm，222342411214+−=+−=+mmMNmyym，()2221121224−==+△AMNmSMNdm，令2120−=m

t，()213121225621632==+++△AMNtSttt，当且仅当16=t，228=m时等号成立，此时956=p，抛物线方程为2928=yx.…………………12分22。解：(1)设(),Pxy,因为2PBPA=,故()()2222421xyxy−+=+−,即()()2222

4441xyxy−+=+−,整理可得224xy+=.………………4分(2)当直线l与x轴垂直,且Q在圆内时,易得,EF关于x轴对称,故必有x轴平分EDF.当直线l斜率存在时,设过定点Q的直线l方程为ykxm=+

.设()()1122,,,ExyFxy.联立()2222212404ykxmkxkmxmxy=++++−=+=,2121222240,,11kmmxxxxkk−−+==++.………………6分因为无论直线l如何运动,x轴都平分E

DF,故0DEDFkk+=,………………7分即1212033yyxx+=−−,所以1212033kxmkxmxx+++=−−,()()()()1221330kxmxkxmx+−++−=.所以()()12122360kxxmkxxm+−+−=………………9分代入韦达

定理有()22242236011mkmkmkmkk−−−−=++,化简得430km+=.……………11分故4433ykxmkxkkx=+=−=−,恒过定点4,03.即4,03Q………………12分