【文档说明】福建省莆田一中、龙岩一中、三明二中三校2022-2023学年高三上学期12月联考数学试题解析.pdf，共(13)页，760.169 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-94726cf3aea33673afbed2be7552624a.html

以下为本文档部分文字说明：

2022-2023学年莆田一中、龙岩一中、三明二中三校联考数学试卷(考试时间：2022年12月5日下午3：55-5:55)出卷人：莆田一中审卷人：龙岩一中一、单选题(本大题共1小题，共5.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.若集合A={x∣x2≤4},B={y∣y=

2x},则A∩B=()A.[-2,2]B.[0,2]C.(0,2]D.[-2,+∞)【答案】C【解析】因为A=[-2,2],B=(0,+∞),所以A∩B=(0,2].故选：C.2.z=2+i,则z(z+i)=()A.6+2iB.6-2iC.-2

-6iD.-2+6i【答案】A【解析】z(z+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.故选：A.3.在△ABC中，点D在边AB上，AD=3DB.记CA=a，CD=b，则CB=()A.43a+13bB.-13a+43bC.43

a-13bD.13a+43b【答案】B【解析】因为点D在边AB上，AD=3DB，所以BD=13DA，即CD-CB=13CA-CD，所以CB=-13a+43b.故选：B.4.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭

窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略

不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时大约是(π≈3.14)()A.1895秒B.1896秒C.1985秒D.2528秒【答案】C【解析】本题主要考查的是圆锥的体积及其应用，属于基础题.结合圆锥的体积公式依次判断即可.·1·【解答】解：沙漏中的

细沙对应的圆锥底面半径为23×4=83，高为163，所以细沙体积为13π×649×163=1024π81(cm)3，所以该沙漏的一个沙时为1024π810.02≈1985秒，故C正确.故选C.5.某学习小组八名学生在一次物理测验中的得分(单位：分

)如下：83，84，86，87，88，90，93，96，这八人成绩的第60百分位数是n.若在该小组随机选取两名学生，则得分都比n低的概率为()A.37B.1528C.314D.914【答案】C【解析】8×60%=4.8，故这八人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，

即n=88，在该小组随机选取两名学生共有C28=28种情况，其中得分都比n低的有6种，所以所求概率P=628=314故选C.6.若tanθ=-2，则sinθ1-sin2θ2sinθ-π4=()A.25B.-25C.-

65D.65【答案】D【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，一步步化简为只含tanθ的式子再代入即可解出答案.【详解】sinθ1-sin2θ2sinθ-π4=sinθ1-2sinθcosθsinθ-cosθ=sinθsin2θ+cos2θ-2sinθcosθsi

nθ-cosθ=sinθsinθ-cosθ2sinθ-cosθ=sinθsinθ-cosθ=sin2θ-sinθcosθ=sin2θ-sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ-tanθta

n2θ+1，∵tanθ=-2，∴sinθ1-sin2θ2sinθ-π4=tan2θ-tanθtan2θ+1=-22--2-22+1=65，故选：D.7.已知a=e0.1-1，b=ln

1.1，c=tan0.1，则()A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c【答案】B【解答】令f(x)=ex-1-tanx=cosxex-cosx-sinxcosx，0<x<π4，令g(x)=cosxex-cosx-sinx，g′(x)=(-sinx+cosx)ex+

sinx-cosx=(ex-1)⋅(cosx-sinx)，当0<x<π4时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又g(0)=1-1=0，所以g(x)>0，又cosx>0，所以f(x)>0在0,π4成立，

所以f(0.1)>0即a>c；令h(x)=ln(x+1)-x，h′(x)=1x+1-1=-xx+1，易得h(x)在x∈0,π2为减函数，·2·所以h(x)<h(0)=0，即ln(x+1)<x，令m(x)=x-tanx，m′(x)=1-1cos2x，易

得m(x)在x∈0,π2为减函数，所以m(x)<m(0)=0，即x<tanx，所以ln(x+1)<x<tanx，x∈0,π2成立，令x=0.1，则上式变为ln(0.1+1)<0.1<tan0.1，所以b<

0.1<c，所以b<c，所以b<c<a.故选B.8.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为a(a>0)，则该正四棱锥体积的最大值为()A.239a3B.439a3C.2327a3D.4327a3【答案】D【解析】设正四棱锥P-ABCD的高为PO=h，记∠APO=θ0<θ<π2，则底面边长为

2asinθ，h=acosθ所以V=13s□ABCDh=23a3sin2θcosθ，所以V=23a3(1-cos2θ)cosθ=23a3(cosθ-cos3θ)令t=cosθ，则t∈[-1,1]，V=23a3(t-t3)求导V′=23a3(1-3t2)，所以V=23a3(t-t3)在0

,33上单调递增，在33,1上单调递减，所以Vmax=V33=4327a3，故该正四棱锥体积的最大值为4327a3.二、选择题(4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目

要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9.已知数列an为等差数列，其前n项和为Sn，且a5=-1，a2+a7=-4，下列选项正确的是()A.a11=11B.an是递减数列C.Sn取得最小值时，n=5或6D.S7=-21【答案】

AD【解析】本题考查基本量法以及等差数列前n项和性质，不妨设an=a1+n-1da2+a7=a1+d+a1+6d=2a1+7d=-4，与a5=a1+4d=-1联立解得d=2，a1=-9，即通项an=2n-11.对

于选项A，a11=2×11-11=11，故正确;对于选项B，d>0,an是递增数列，故错误;对于选项C，Sn存在最小值，且有两个最小值，即S6-S5=0，即a6=0，与an不符;对于选项D，S7=7a4=7a2+a7-a5=-21，故

正确.综上，答案为AD10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点,OF=1,过点F的直线与抛物线交于M、N两点，过点M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M1，N1，则()A.抛物线的方程为y2=4xB.MM1+NN1=2MNC.

MN的最小值为4D.1|MF|+1|NF|=12·3·【答案】AC【解析】依题意得p=2，y2=4x，故A正确；由抛物线定义MF=MM1,NF=NN1∴MN=MF+NF=MM1+NN1,故B错误.MNmin=2p=4，故C正确，由1MF+

1NF=2p=1,故D错误.综上,选AC11.如图，在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC的中点,将△ADE,△BEF,△DCF分别沿DE、EF、DF折起，使A,B,C三点重合于点P,下列说法正确的是()A.PE

⊥DFB.三棱锥P-DEF的体积为13C.点P在平面DEF的投影是△DEF的内心D.设PD、PE、PF与平面DEF所成角分别为α、β、γ,则sin2α+sin2β+sin2γ=1第11题图第15题图【答

案】ABD12.已知y=f(x)是定义域为R的奇函数，若y=f(2x+1)的最小正周期为2，则下列说法正确的是()A.2是f(x)的一个周期B.f(4)=0C.f(3)=f(-5)D.f12+f72=0【答案】BC

D【解答】y=f(2x+1)的最小正周期为2，则f(2(x+2)+1)=f(2x+1)，即f(2x+5)=f(2x+1)，所以y=f(x)的最小正周期为4，故A错误；y=f(x)是定义域为R的奇函数，且4是f(x)的一个周期，所以f(0

)=f(4)=0，f(1)=-f(-1)，所以f(5)=-f(3)，从而f(3)=f(-5)，故B，C正确；同理f12+f72=f12+f-12=0，故D正确.故选BCD.三、填空题(本题共

4小题,每小题5分,共20分)13.已知(x+m)(2x+1)6的展开式中x的系数是13，则实数m=.【答案】1【解析】(2x+1)6的展开式为：Tr+1=Cr626-rx6-r，则x的系数为1+C56×2m=1+12m=

13，解得m=1.·4·14.已知圆C：x2+y2+2y-1=0,若直线l:ax-y+3a=0与C相切，则实数a的值是.【答案】-1或17【详解】圆C：x2+(y+1)2=2,动点M的轨迹是以C(0,-1)为圆心，以2为半径的圆，因为l与C相切，所以|1+3

a|1+a2=2，即7a2+6a-1=0,解得a=-1或1715.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则满足图象的一个解析式为.【答案】如f(x)=2cos2x+π6或f(x)=2sin2x+2π316.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0与圆C2：x2+y2

=4b25，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线所成的角为π3，则椭圆C1的离心率的取值范围是.【答案】e∈114,1【分析】设过点P的两条直线与圆C2分别切于点M,N，由两条切线所成的角为π3，可知OP=455b，由题知OP

≤a，解得ba≤54，又e=1-ba2即可得出结果.【详解】设过P的两条直线与圆C2分别切于点M,N，由两条切线相互垂直，知：OP=2×255b=455b，又在椭圆C1上存在点P，使得由P所作的圆C2的两条切线所

成的角为π3，所以OP≤a，即得455b≤a，所以ba≤54，所以椭圆C1的离心率e=ca=a2-b2a2=1-ba2≥1-542=114，又1>e>0，所以e∈114,1.四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.设数列

{an}的前n项和为Sn,a1=1且2Snn+1=an.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn=2an-13an,求数列{bn}的前n项和Tn解：(1)法一：∵2Sn=(n+1)an·5·当n≥2时2Sn-1=nan-1∴2an=(n+1)an-nan-1(n-1)an=na

n-1,1分ann=an-1n-1=a11=1



3分∴an=n

4分法二：∵2Sn=(n+1)an当n≥2时2Sn-1=nan-1∴2an=(n+1)an-nan-1(n-1)an=nan-1,

1分an=anan-1⋅an-1an-2⋯a2a1⋅a1=nn-1⋅n-1n-2⋯21⋅1=n

2分当n=1时a1=1

3分∴an=n

4分(2)bn=2n-13n

5分Tn=1

3+332+533+⋯+2n-33n-1+2n-13n13Tn=132+333+⋯+2n-33n+2n-13n+1

6分23Tn=13+232+233+⋯+23n-1+23n-2n-13n+1

7分23Tn=13+2132-13n⋅131-13-2n-13n+19分23Tn=

13+13-13n-2n-13n+1Tn=1-n+13n

10分18.已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，S△ABC=34(a2-b2

-c2).(1)求角A的大小；(2)若b=2，D为BC边上一点，DA⊥BA，且BD=3DC，求cosC.解：因为S△ABC=34(a2-b2-c2)所以12bcsinA=-34(2bccosA)

1分即sinA=-3cosA，

2分所以tanA=-3.

3分又A∈(0，π)

4分所以A=2π3.



5分(2)法一：由(1)可知A=2π3，所以∠CAD=2π3-π2=π6，6分根

据正弦定理，在△CAD中，CDsinπ6=2sin∠ADC，7分在△BA

D中，BDsinπ2=csin∠ADB，.

8分又∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠ADB=sin∠ADC，9分又BD=3DC，所以c=3，



10分所以由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×2×3×-12=19.11分则a=19，所以cosC=a2+b2-c22ab=71938.

12分·6·法二：∵BD=3DC,∴S△ABD=3S△ACD,

7分∴12AB∙AD=3×12×

2×AD×30°sin,故AD=3,8分又ABCsin=ABB

sin,∴2(π3-C)sin=3Csin,9分解得tanC=337,



11分∴C为锐角，从而Ccos=71938.

12分法三：由BD=3DC得AD=14AB+34AC.

7分因为AD⊥AB,所以AD.AB=14AB2+34AC.AB=0.

8分即14c2+34×c×2×cos2π3=0.

9分解得c2-3c=0即c=3.

10分所以由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×2×3×-12=19.

11分则a=19，所以cosC=a2+b2-c22ab=71938.

12分19.2022年12月6日中国职业篮球联赛将开始第二阶段比赛，某队为了考察甲球员对篮球队的贡献，通过对甲参加的50场比赛和未参加的50场比赛调查，得到如下等高堆积条形图：(1)根据等高堆积条形

图，填写列联表，并依据α=0.001的独立性检验，分析该球队胜利与甲球员参赛是否有关甲参加比赛甲未参加比赛合计球队胜球队负合计(2)在训练过程中，甲乙丙三人相互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为34，传给丙的概率为1

4；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为12；丙控制球时，传给甲的概率为23，传给乙的概率为13.若先·7·由甲控制球，经过3次传球后，球员乙控制球的次数为X，求X的分布列与期望EX.附表及公式：α0.150.100.050.0250.0100.0

050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).解：(1)2×2列联表如下：甲参加比赛甲未参加

比赛合计球队胜453075球队负52025合计5050100

2分零假设为H0:球队胜利与甲球员参赛无关.根据表中数据，计算得到χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(45×20

-5×30)250×50×75×25=12>10.828，4分依据α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即该球队胜利与甲球员参赛有关.

5分(2)由题知X的所有可能取值为0，1，2，

6分P(X=0)=14×23×14=124；

7分P(X=1)=34×12×14+34×12×23+14×23×34+14×13=5396；8分P(X=2)=34×12×3

4+34×12×13=1332；9分所以X的分布列为：X012P12453961332



10分E(X)=0×124+1×5396+2×1332=13196.

12分20.四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,PA=AB,平面PAB⊥平面PBC.(1)证明:AB⊥BC;(2)设M为PC上的点，求PC与平面ABM所成角

的正弦值的最大值.解：(1)如图，过点A作AE⊥PB,垂足为E.1分·8·∵平面PAB⊥平面PBC,平面

PAB∩平面PBC=PB,∴AE⊥平面PBC.

2分∵BC⊂平面PBC.∴AE⊥BC.

3分∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC.∴P

A⊥BC.

4分又PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB

5分(2)由已知及(1)得四边形ABCD是正方形，从而AB,AD,AP两两垂直，以AB

,AD,AP为x,y,z轴正方向如图建立空间直角坐标系.设AB=1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),AB=(1,0,0),CP=(-1,-1,1)设CM=λCP，则A

M=AC+CM=AC+λCP=(1,1,0)+λ(-1,-1,1)=(1-λ,1-λ,λ),

7分

设平面ABM的法向量n=(x,y,z),则n⋅AB=0,n⋅AM=0即x=0,(1-λ)y+λz=0，取y=λ,则z=λ-1.即n=(0,λ,λ-1)

8分|cos<CP,n>|=|CP⋅n||CP||n|=13λ2+(λ-1)2=132λ2-2λ+1

10分当λ=12时，上式最大为63，

11分所有PC与平面ABM所成角的正弦值的最大值为63.

12分21.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a,b>0)的左顶点为A(-2,0)，点P(2,1)在渐近线上，过点P的直线交双曲线E的右支于B,C两点,直线AB,AC

分别交直线OP于点M,N.(1)求双曲线E的方程；(2)求证:O为MN的中点.解：(1)依题意得a=2ba=12解得b=1,所以双曲线E的方程为x24-y2=1.4分·9·(2)法1.

设直线BC:x=my+t,B(x1,y1),C(x2,y2),则2=m+t由x=my+tx2-4y2-4=0得(m2-4)y2+2mty+t2-4=0所以y1+y2=-2mtm2-4y1y2=t2-4m2-4

且Δ>0

6分直线AB:x=x1+2y1y-2，直线AC:x=x2+2y2y-27分由x=x1+2y1y-2y=1

2x得yM=2x1+2y1-2，同理可得yN=2x2+2y2-28分要证O为MN的中点，只需证x1+2y1-2+x2+2y2-2=0即

证x1+2y1+x2+2y2=49分x1+2y1+x2+2y2=my1+t+2y1+my2+t+2y2=2m+(t+2)1y1+1y2

10分=2m+(t+2)y1+y2y1y2=2m+(t+2)-2mtt2-4=2m-2mtt-2=-4mt-2=4即证12分法2.设直线BC:y=kx+n,B(x1,y1),C(x2,y2),则1=2k+n由y=k

x+nx2-4y2-4=0得(1-4k2)x2-8knx-4(n2+1)=0所以x1+x2=8kn1-4k2x1x2=-4(n2+1)1-4k2且Δ>0

6分直线AB:y=y1x1+2(x+2)，直线AC:x=x2+2y2y-2

7分由由y=y1x1+2(x+2)y=12x得xM=4x1+2y1-2，同理可得xN=4x2+2y2-2

8分要证O为MN的中点，只需证x1+2y1-2+x2+2y2-2=0即证x1+2y1+x2+2y2=49分⇔(x1+2)(kx2+n)+(x2+

2)(kx1+n)=(kx2+n)(kx1+n)⇔2k(1-2k)x1x2+(2k+n-4kn)(x1+x2)+4n(1-n)=010分⇔2knx

1x2+(1-4nk)(x1+x2)+8kn=0⇔2kn-4(n2+1)1-4k2+(1-4kn)8kn1-4k2+8kn=0⇔-(n2+1)+(1-4kn)+1-4k2=0⇔1-(n+2k)2=0显然成立

12分其他做法按得分点酌情给分.22.已知函数f(x)=(ex-a)lnx,其中a<e,曲线f(x)在x=1处的切线l与坐标轴围成的面积为e-12.(1)求实数a的值；(2)当x≥1时,求证：f(x)≥x22+x2-

1.·10·(1)解：∵f'(x)=exlnx+(ex-a)∙1x,

1分∴f'(1)=e-a,

2分∵f(1)=0,∴切点为1,0,∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y=(e-a)(x-1)

3分∴切线l与坐标轴的两个交点分别为A(1,0),B(0,a-e),∴S△AOB=12|OA|∙|OB|=12(e-a),

4分∴a=1



5分(2)证一：f(x)≥x22+x2-1即(ex-1)lnx≥x22+x2-1,x≥1成立，令g(x)=(ex-1)lnx-x22-x2+1,x≥1g'(x)=exxln+ex-1x-x-12,

6分g''(x)=ex(xln+1x)+ex(1x-1x2)+1x2-1=ex(xln+1x)+(x-1)(ex-x+1)x2,

8分令h(x)=ex-x+1,x≥1,则h'(x)=e

x-1≥e-1>0,∴h(x)在[1,+∞)单调递增,从而h(x)=ex-x+1>e>0,9分∴g''(x)>0,从而g'(x)在[1,+∞)单调递增,∴g'(x)

≥g'(1)=e-52>0,10分

∴g(x)在[1,+∞)单调递增,

11分∴g(x)≥g(1)=0,即f(x)≥x22+x2-1.

12分证二：由(1)知：f(x)=(ex-1)lnx,先证lnx≥1-1x令g(x)=lnx-1+1x，∴g'(x)=1x-1x2=x-1x2

6分∴当x≥1时，g'(x)≥0即g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴gx≥g1=0,

∴当x≥1时，lnx≥1-1x≥0成立7分∵当x≥1时，ex-1≥e-

1>0,∴f(x)=(ex-1)lnx≥(ex-1)1-1x

8分再证ex≥x22+x+1设h(x)=ex-x22-x-1,则h'(x)=ex-x-1令m(x)=ex-x-1

9分∵当x≥1时，m'(x)=ex-1≥e-1>0,∴m(x)在[1,+∞)上单调递增，

10分∴m(x)≥m(1)=e-2>0,即h'(x)>0,∴h(x)在[

1,+∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)=e-52>0,即ex≥x22+x+1

11分·11·∴ex-1≥x22+x，∵x≥1，∴1-1x≥0，∴f(x)≥(ex-1)1-1x≥x22+x1-1x=x22+x2-1.原式得证

12分.证三：由(1)知：f(x)=(ex-1)lnx,先证lnx≥1-1x令g(x)=lnx-1+1x，∴g'(x)=1x-1x2=x-1x2

6分∴当x≥1时，g'(x)≥0即g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴gx≥g1=0,∴当x≥1时，lnx≥1-1x≥0成立

7分∴f(x)≥(ex-1)1-1x=(ex-1)∙x-1x

8分又x22+x2-1=12(x-1)(x+2),x≥

1,∴欲证f(x)≥x22+x2-1，只须证(ex-1)∙1x≥12(x+2),即ex≥x22+x+1,9分设h(x)=ex-x22-x-1,则h'(x)=ex-x-1令m(x)=ex-x-1

10分∵当x≥1时，

m'(x)=ex-1≥e-1>0,∴m(x)在[1,+∞)上单调递增，

11分∴m(x)≥m(1)=e-2>0,即h'(x)>0,∴h(x)在[1,+∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)=e-52>0,即ex≥x22+x

+1,即x≥1时,f(x)≥x22+x2-112分·12·获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com