【文档说明】2023届高考数学一轮复习单元双优测评卷——第八单元 立体几何初步A卷含解析【高考】.docx，共(30)页，1.206 MB，由小赞的店铺上传

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12023届高考数学一轮复习单元双优测评卷第八单元立体几何初步A卷基础过关必刷卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于直线m、n与平面、，有以

下四个命题：①若//m，n//且//，则//mn；②若m⊥，n⊥且⊥，则mn⊥；③若m⊥，n//且//，则mn⊥；④若//m，n⊥且⊥，则//mn.其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③2．某几何体的

三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（）A．32+B．42+C．33+D．43+3．已知点,,,ABCD在球O的表面上，AB⊥平面,BCDBCCD⊥，若2,4,ABBCAC==与平面ABD所成角的正弦值为105，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大

值为（）A．2B．3C．4D．54．菱形ABCD中，2AB=，120DAB=，将CBD沿BD折起，C点变为E点，当2四面体EABD−的体积最大时，四面体EABD−的外接球的面积为（）A．20B．40C．60D．

805．如图，已知等边ABC与等边ABD△所在平面成锐二面角3，E，F分别为AB，AD中点，则异面直线EF与CD所成角的余弦值为（）A．233B．32C．34D．4336．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，

小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A．22323−B．4812−C．4283−D．13203−7．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，//ABCD，3AB=，1CD=，

侧棱14AA=，若侧面11AABB水平放置时，水面恰好过1111,,,ADBCBCAD的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（）A．2B．52C．3D．728．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然

后按虚线处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）3A．144B．72C．36D．24二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选

对的得2分，有选错的得0分．9．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为98D．点C与点G到平面AEF的距离相等

10．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆

锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）4A．沙漏中的细沙体积为31024cm81B．沙

漏的体积是3128cmC．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1565秒()3.1411．如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于,AB的一点，则下列结论中正确的是（）A．AECE⊥B．BEDE⊥C．

DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCE12．如图,在棱长均相等的四棱锥PABCD−中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有：A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直

线MN所成角的大小为90D．ONPB⊥5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知球O的半径为4,3点,,,ABCD均在球面上，若ABC为等边三角形，且其面积为3,则三棱锥DABC−的最大体积是___________.

14．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30

条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________．15．如图，过球的一条半径OP的中点1O，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．16．

从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为___

_____．6四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，△AOC通过△AOB以OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120°）．点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且CM＝OM．（1）证明：OM⊥平

面AOB；（2）当D为线段AB中点时，求多面体OACMD的体积．18．如图：直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF//AB，AD=2AE=2AB=4FC

=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE.（1）求证：BC//平面DAE；（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；7（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值.19．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M

是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD，说明理由．20．如图，在四棱锥MABCD−中，四边形ABCD为梯形，90ABCBAD==，//BCAD，22ADABBC==（1）若E为MA中点，证明：BE

//面MCD（2）若点M在面ABCD上投影在线段AC上，1AB=，证明：CD⊥面MAC.821．如图，四棱锥PABCD−的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，,EF分别为,ABPC的中点.（1）求证

：EF//平面PAD；（2）若2PA=，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角QAPD−−的余弦值为55？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.22．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23.9（1）求圆锥的底面积；（2）在该

圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于直线m、n与平面、，有以下四个命题：①若//m

，n//且//，则//mn；②若m⊥，n⊥且⊥，则mn⊥；③若m⊥，n//且//，则mn⊥；④若//m，n⊥且⊥，则//mn.其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③【答案】D【解析】对于①，若/

/m，n//且//，则m与n平行、相交或异面，①错误；对于②，如下图所示：10设a=，因为⊥，在平面内作直线la⊥，由面面垂直的性质定理可知l⊥，m⊥，//ml，n⊥，l，nl⊥，因此，mn⊥，②正

确；对于③，若m⊥，//，则m⊥，因为n//，过直线n作平面使得a=，由线面平行的性质定理可得//na，m⊥，a，则ma⊥，因此mn⊥，③正确；对于④，若//m，n⊥且⊥，则m与n平行、相交或异面，④错误.故选

：D.2．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为（）A．32+B．42+C．33+D．43+【答案】A【解析】11这个几何体是由一个底面半径为1且高为1的半圆柱，和一个半径为1的半球的前半部分组成，所以它的下底面为半圆，面积为2

，后表面为一个矩形加半圆，面积为212+，前表面为半个圆柱侧面加14个球面，面积为1114124+=，所以其表面积为32+，故选：A.3．已知点,,,ABCD在球O的表面上，AB⊥平面,BCDBCCD⊥，若2,4,ABBCAC==与平面ABD所成角的正弦值为105，

则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】如图，因为AB⊥平面BCD，BCCD⊥，所以AD为球的直径由2,4ABBC==得25AC=作CEBD⊥，则CA

E即为AC与平面ABD所成角所以105n25siCECEACCAE===，得22CE=设CDx=由等面积法得242216xx=+，解得4x=所以22224161636ADABBCCD=++=++=，即26R=，3R=又平面ACD过球心，所以P到平面ACD距离即为

半径的长所以P到平面ACD距离的最大值为3.故选：B.4．菱形ABCD中，2AB=，120DAB=，将CBD沿BD折起，C点变为E点，当12四面体EABD−的体积最大时，四面体EABD−的外接球的面积为（）A．20B．40C．60D．80【答案】A【解析】由题意，三棱锥EABD−的底面

ABD△的面积为定值，当平面EBD⊥平面ABD时，此时点E到底面ABD的距离最大，此时三棱锥EABD−的体积取得最大值，因为四边形ABCD为菱形，且120DAB=，连接AC交BD与点M，可得CDCACB==，所以C为ABD△的外心，过点C作平面ABD的垂线l，可得

l上点到,,ABD三点的距离相等，设l存在点O点，使得OEOAOBOD===，即点O为三棱锥EABD−的外接球的球心，设OCx=，可得2222()ACOCCMEMOC+=++，即2241(1)xx+=++，解得1x=，所以外接球的半径为222

2215rACOC=+=+=，所以外接球的表面积为2244(5)20Sr===.故选：A.5．如图，已知等边ABC与等边ABD△所在平面成锐二面角3，E，F分别为AB，AD中点，则异面直线EF与CD所成角的余弦值为（）13

A．233B．32C．34D．433【答案】C【解析】连接CE，DE，等边ABC与等边ABD△所在平面成锐二面角3，可得3DEC=，设等边ABC与等边ABD△的边长为a，则32DECEa==，即DEC为等边三角形，所以32DCa=，因为E，F分别为AB，AD中点，所

以//EFBD，异面直线EF与CD所成角即为,BDCD所成的角，在BCD△中，222323cos4322aaaBDCaa+−==.故选：C146．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A．

22323−B．4812−C．4283−D．13203−【答案】A【解析】由题可得小球在八个角不能到达的空间相当于边长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，其体积为334421833−=−，小球在12条边活动不到的空间相当于高为2，底面积为4的正四棱柱中间挖掉底面积为，

高为2的圆柱剩下的部分，且有3个，则其体积为()4223246−=−，则小球不能到达的空间的体积为()4228+2463233−−=−.故选：A.7．如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，//ABCD，3AB=，1CD=，侧棱14AA=，若

侧面11AABB水平放置时，水面恰好过1111,,,ADBCBCAD的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为（）A．2B．52C．3D．72【答案】B【解析】设四棱柱的底面梯形的高为2a，,ADBC的中点分别为,FE，所求的水面高为h，则水的体积1(

23)(13)2422ABEFABCDaaVSAAShh++====，所以52h=，故选：B．158．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线

处折成高为3的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）A．144B．72C．36D．24【答案】B【解析】如图：由正六边形的每个内角为23，按虚线处折成高为3的正六棱柱，即3BF=，所以1tan60BFBE

==可得正六棱柱底边边长6214AB=−=，所以正六棱柱体积：1364437222V==.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．正方体

ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）16A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为98D．点C与点G到平面AEF的

距离相等【答案】BC【解析】根据题意，假设直线D1D与直线AF垂直，又1DDAE⊥,,,AEAFAAEAF=平面AEF，所以1DD⊥平面AEF,所以1DDEF⊥,又11//DDCC,所以1CCEF⊥,与4EFC=矛盾，所以直线D1D与直线AF不垂直，所以选项A错误

；因为A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，1DF平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故选项B正确．平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，由题得该等腰梯形的上底2,2EF=下底12AD=,腰长为52，所以梯形面积为98，故选项C正确

；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故选项D错误．故选：BC．10．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始

时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时问称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全17部在上部时，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙

漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A．沙漏中的细沙体积为31024cm81B．沙漏的体积是3128cmC．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1565秒()3.14【答案】AC【解析】A.根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时

，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径28433rcm==，所以体积23121641610243339381hVrcm===B.沙漏的体积2231125622483233hVhcm===

；C.设细沙流入下部后的高度为1h，根据细沙体积不变可知：21102418132hh=，所以11102416,2.4813hhcm=所以；D.因为细沙的体积为3102481cm，沙漏每秒钟漏下30.02cm的沙，

18所以一个沙时为：1024810.0210243.1450198581=秒.故选：AC.11．如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于,AB的一点，则下列结论中正确的是（）A．AECE⊥B．BEDE⊥C．DE⊥平面CEBD．平面ADE⊥平面BCE【答案】ABD【解析

】由AB是底面圆的直径，得90AEB=，即AEEB⊥，∵圆柱的轴截面是四边形ABCD，BC⊥底面AEB，BCAE⊥，又EBBCB=，BC，BE平面BCE，AE⊥平面BCE，AECE⊥，故A正确；同理可得，BEDE⊥，故B正确；若DE⊥平面CEB，则DEBC⊥,

//BCAD，DEAD⊥,在ADE中ADAE⊥，DEAD⊥不成立，DE⊥平面CEB不正确，故C不成立，由A的证明可知AE⊥平面BCE，AE平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE.可得,,ABD正确.故选：ABD.12．如

图,在棱长均相等的四棱锥PABCD−中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有：19A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角的大小为90D．ONPB⊥【答案】ABD【解析】选项A,连接BD

，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN；选项B,由M,N分别为侧棱PA,PB的中点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，C

D∥平面OMN,又选项A得PD∥平面OMN，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN；选项C,因为MN∥CD，所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC=60，故直线PD与直线

MN所成角的大小为60；选项D，因底面为正方形，所以222ABADBD+=,又所有棱长都相等，所以222PBPDBD+=,故PBPD⊥,又PD∥ON，所以ONPB⊥，故ABD均正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知球O的半径为4,3点,,,ABCD均在球面上，若AB

C为等边三角形，且其面积为3,则三棱锥DABC−的最大体积是___________.【答案】23314．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二

十面体是由20个等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把sin36按35计算，则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于___________

．【答案】5533620【解析】由图知正二十面体的外接球即为上方正五棱锥的外接球，设外接球半径为R，正五边形的外接圆半径为r，正二十面体的棱长为l，则3sin3652lr==，得56lr=，所以正五棱锥的顶点到底面的距离是222251166lhlrll=

−=−=，所以222()RrRh=+−，即22251166lRRl=+−，解得31111Rl=．所以该正二十面体的外接球表面积为22231136441111SRll===

球，而该正二十面体的表面积是2120sin60532Slll==正二十面体，所以该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于55336．故答案为：55336.15．如图，过球的一条半

径OP的中点1O，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．【答案】316【解析】截面圆半径为r，球半径为R，则由题意得221322rRRR=−=，所以截面圆面积与球表面积比为221223344416RSrSRR

===．21故答案为：316．16．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每

个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．【答案】4【解析】（1）如图所示：四边形ABCD为矩

形，故（1）满足条件；（2）四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故（2）满足条件；（3）四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件；（4）四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个

面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件；故正确的结论有4个．故答案为：4．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在Rt△AOB中，AO＝OB＝2，△AOC通过△AOB以OA为轴顺时针旋转120°得到（∠BOC＝120

°）．点D为斜边AB上一点，点M为线段BC上一点，且CM＝OM．（1）证明：OM⊥平面AOB；22（2）当D为线段AB中点时，求多面体OACMD的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）439．【解析】（1）证明：在△OBC中，由题意可得OB＝OC，∠O

CB＝30°，∵CM＝OM，∴∠COM＝∠OCM＝30°，又∵∠BOC＝120°，∴OMOB⊥，根据题意，OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC，而OM⊂平面OBC，∴OAOM⊥，又OA∩OB＝O，∴OM⊥平面AOB；（2）解：由（1）得，2

33OM=，∵D为线段AB的中点，∴113232223223ABOCV−==,112323213239DOMBV−=＝．∴多面体OACMD的体积为：---232343399OACMDABOCDOBMVVV=−=−=．18．如图：直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=

90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF//AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起成如图的位置，使AD=AE.（1）求证：BC//平面DAE；（2）求四棱锥D﹣AEFB的体积；（3）求面CBD与面DAE所成锐二面角的余

弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）433；（3）55.23【解析】（1）证明：∵直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，E，F分别为边AD和BC上的点，且EF//AB，∴CF//DE，CF⊂面CBF，DE面CBF，则DE//面CBF；FB//AE，FB⊂面CBF，AE面CBF

，则AE//面CBF；又∵AE∩DE=E，DE､AE⊂面DAE∴面CBF//面DAE又BC⊂面CBF，所以BC//平面DAE（2）取AE的中点H，连接DH∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH∴AE=ED=DA=2，∴DH⊥AE，DH=3，又A

E∩EF=E∴DH⊥面AEFB…所以四棱锥D﹣AEFB的体积14332233V==（3）如图以AE中点为原点，AE为x轴建立空间直角坐标系24则A(﹣1，0，0)，D(0，0，3)，B(﹣1，﹣2，0)，E(1

，0，0)，F(1，﹣2，0)因为12CFDE=，所以C(12，﹣2，32)易知BA是平面ADE的一个法向量，BA=1nur=(0，2，0)设平面BCD的一个法向量为2nuur=(x，y，z)由33022230xzxyz+=

++=令x=2，则y=2，z=﹣23，∴2nuur=(2，2，﹣23)，∴cos<1nur，2nuur>=55所以面CBD与面DAE所成锐二面角的余弦值为5519．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在线段AM上是否存在点P，使得//MC平面PBD，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析．25【解析】（1）∵平面CMD⊥平面ABCD，平面MDC平面ABCDCD=，BCCD⊥，BC平面ABCD，∴BC⊥平面CMD，D

M平面CMD，∴BCDM⊥，∵CD为直径，∴CMDM⊥，BCCMC=I，,BCCM平面BMC，∴DM⊥平面BMC，DM平面AMD，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）存在．当P为AM中点时，//MC平面PBD，证明如下：连AC，BD，ACBDO=，

∵ABCD为正方形，∴O为AC中点，连接OP，P为AM中点，∴//MCOP，∵MC平面PBD，OP平面PBD，∴//MC平面PBD．20．如图，在四棱锥MABCD−中，四边形ABCD为梯形，90ABCBAD==，

//BCAD，22ADABBC==（1）若E为MA中点，证明：BE//面MCD（2）若点M在面ABCD上投影在线段AC上，1AB=，证明：CD⊥面MAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.26【解析】（1）取MD中点为F，连接EF，CF，则EF为△MAD中位线，1//

2EFAD且1=2EFAD，又四边形ABCD是直角梯形，22ADABBC==1//2BCAD，1=2BCAD//BCEF且=BCEF，四边形BCFE为平行四边形，所以//BECF，因为BE面MCD，CF面MCD，所以//BE面MCD.（2）在四棱锥M

ABCD−中，四边形ABCD是直角梯形，222ADABBC===，90ABCBAD==，22112ACCD==+=222ACCDAD+=，ACCD⊥，设点M在面ABCD上投影在线段AC上，设

为点H，MH⊥面ABCD，CD面ABCD，MHCD⊥，又ACCD⊥Q，ACMHH=，CD\^面MAC.21．如图，四棱锥PABCD−的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，,EF分别为,ABPC的中点.（1）求证：EF//平面PAD；（2）若2PA=，试问在线段EF上是否存在点

Q，使得二面角QAPD−−的余弦值为55？27若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明详见解析；（2）满足条件的Q存在，是EF中点.【解析】证明：（1）取PD中点M，连接MF、MA，在△P

CD中，F为PC的中点，∴1//2MFDC=，正方形ABCD中E为AB中点，∴1//2AEDC=，∴=//AEMF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（2

）结论：满足条件的Q存在，是EF中点．理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，28则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，12，0），F（12，12，1），由题易知平面PAD的法向量为n=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设

EQEF=，∵1(,0,1)2EF=，∴1(,,)22Q=，1(,,)22AQ=，λ∈[0,1]，设平面PAQ的法向量为(,,)xyz=，由10{220xyzz++==，可得(1,,0)

=−，∴2cos,1mnmnmn−==+，由已知：2551−=+，解得：12=，所以满足条件的Q存在，是EF中点．22．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为23.29（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时

，求圆柱的体积.【答案】（1）3；（2）98.【解析】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设OBR=，在半圆⊙A中，23AB=，弧长'23BB=，这是圆锥的底面周长，所以223R=，所以3R=，故圆锥的底面积为

23SR==圆锥；（2）设圆柱的高1OOh=，ODr=，在RtAOB中，223AOABOB=−=，11AOD△AOB，所以111AOODAOOB=，即333hr−=，33hr=−，30222(33)23(3)Srhrrrr==−=−−圆柱侧面积，23

332322r=−−+，所以，当32r=，32h=时，圆柱的侧面积最大，此时298Vrh==圆柱