【文档说明】湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(28)页，2.450 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师范大学附属学校2020届高三5月模拟理科数学试题卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合()()2,2,,Axyxy

Bxyyx=+===，则AB=（）A.()1,1B.()2,4−C.()()1,1,2,4−D.【答案】C【解析】【分析】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立22xyyx+==，解得方程组的解，从而得到结果.【详解】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立2

2xyyx+==，解得11xy==，或24xy=−=，从而集合{(1,1),(2,4)}AB=−，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2.已知2(1)iz−

=1i+（i为虚数单位），则复数z=（）A.1i+B.1i−C.1i−+D.1i−−【答案】D【解析】试题分析：由2(1)1iiz−=+，得2(1)22(1)111(1)(1)iiiiziiiii−−====−−+++−，故选D.考点：复数的运算.3.现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞

赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况

，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不

合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.4.已知直线,ab表示不同的直线，则//ab的充要条件是（）A.存在平面，使//,//abB.存在平面，使,ab

⊥⊥C.存在直线c，使,acbc⊥⊥D.存在直线c，使,ab与直线c所成角都是60【答案】B【解析】【分析】根据充要条件的定义，逐项判断//ab是否能推出选项成立，和选项是否能得出//ab成立，即可得出结果.【详解】A选

项，//ab存在平面，使//,//ab；反之，a与b可以平行、相交或者异面.故A错误.B选项，//ab存在平面，使,ab⊥⊥；反之，也成立.故B正确.C选项，//ab存在直线c，使,acbc⊥⊥；反之，a与b可以平行、相交或

者异面.故C错误.D选项，//ab存在直线c，使,ab与直线c所成角都是60；反之，a与b可以平行、相交或者异面.故D错误.故选：B【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，充要条件等基本知识，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于一般题目.5.函数()24sinfxxx=−，,

22x−的图象大致是()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数

，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选D．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性

得出函数图象的对称性，是解决函数图象选择题常用的方法．6.()6321xxx−+的展开式中的常数项为()A.－60B.240C.－80D.180【答案】D【解析】【分析】求()6321xxx−+的展开式中的常数项，可转

化为求62xx+展开式中的常数项和31x项，再求和即可得出答案.【详解】由题意，62xx+中常数项为()2426260Cxx=，62xx+中31x项为()4246321240Cxxx=，所以()6321xxx−+

的展开式中的常数项为：3x31240160180x−=.故选：D【点睛】本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.7.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公

元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）

所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设AFFA2=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A.21313B.413C.277D.47【答案】D【解析】【分析】设A

Fa=，则2AFa=，小正六边形的边长为2AFa=，利用余弦定理可得大正六边形的边长为7ABa=，再利用面积之比可得结论.【详解】由题意，设AFa=，则2AFa=，即小正六边形的边长为2AFa=，所以，3FFa=，3AFF=，在AFF中，由余弦定理

得2222cosAFAFFFAFFFAFF=+−，即()222323cos3AFaaaa=+−，解得7AFa=，所以，大正六边形的边长为7AFa=，所以，小正六边形的面积为21132222236322Saaaaa=+=，大正六边形的面积为221

3213772721222Saaaaa=+=，所以，此点取自小正六边形的概率1247SPS==.故选：D.【点睛】本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8.关于函数()sinc

os22xxfx=+有下述三个结论：①函数()fx的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称；②函数()fx的最小正周期为；③0xR，()021fx=−.其中正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根

据偶函数的定义可得()fx为偶函数,故①错误;根据()()fxfx+=对任意的x都成立,知②正确;在一个周期[0,)内任取一个x,都有()[1,2]fx,可知③错误.【详解】依题意，()()()sincossincos()2222xxxx

fxfx−−−=+=+=，故函数fx（）的图象关于y轴对称，故①错误；因为()sincoscossin()222222xxxxfxfx+=+++==+=故x=是函数fx（）的一个周期，且当[0,)x时()sincos2sin[

1,2]2224xxxfx=+=+，故②正确，③错误.故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,属中档题.9.设a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，已知()()()()sinsinsinbc

ACacAC++=+−，设D是BC边的中点，且ABC的面积为3，则()ABDADB+等于()A.2B.4C.4−D.2−【答案】A【解析】【分析】利用三角形内角和定理可得()()()sinBsinsinbcacAC+=+−．由正弦定理可得b2+c2﹣a2

=bc，由余弦定理可得cosA=12，结合范围A∈（0，π）可得A的值，结合ABC的面积求得bc,将()•ABDADB+利用向量加减法运算转化为•ABAC,即可求得结果.【详解】∵()()()()si

nsinsinbcACacAC++=+−，，∴由正弦定理可得：()()bacbcac+=+−（），整理可得：b2+c2﹣a2=-bc，∴由余弦定理可得：cosA=12−，∴由A∈（0，π），可得：A=23，又

ABC的面积为3，即12323bcsin=,∴bc=4,又()()()••ABDADBDBDADADB+=−+=2DB-2DA=24CB-()24ABAC+=()24ABAC−-()24ABAC+=4?4ABAC−=•ABAC−=-bcc

osA=2.故选A.【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．10.已知椭圆222:1(02)4xyCbb+=,作倾斜角为34的直

线交椭圆C于,AB两点,线段AB的中点为,MO为坐标原点OM与MA的夹角为,且|tan|3=，则b=()A.1B.2C.3D.62【答案】B【解析】分析：设()()()112200,,,,,AxyBxyMxy，利用“点差法”可得2004ybx

=，设直线OM的倾斜角为，则4=+或3tan1,tan41tan+=−=−，又200tan4ybx==，由2214314bb+=−，从而可得结果.详解：设()()()112200,,,,,AxyBxyMxy

，则22112222221414xybxyb+=+=，两式作差得()()()()12121212204xxxxyyyyb−+−++=，00122121,04xyyyxxb−=−−=−，即2004ybx=，设直线OM的倾斜角为，则4=+或3tan1,tan41

tan+=−=−，又200tan4ybx==，由2214314bb+=−，解得22b=，即2b=，故选B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解能力.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的

两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.11.在四面体ABCD中，23ABAC==，6BC=，AD⊥底面ABC，G为DBC的重心，且直线DG与平面ABC所成的角是3

0，若该四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A.24B.32C.46D.49【答案】D【解析】【详解】分析：求出△ABC外接圆的直径，利用勾股定理求出球O的半径，即可求出球O的表面积．详解：∵23ABAC==，BC＝6，∴cos∠BAC12123612

22323+−==−，即∠BAC＝120°，延长DG交BC于M，则M为BC的中点，连结AM，∵DA⊥平面ABC，∴∠DMA为直线DG与平面ABC所成的角，即∠DMA＝30°，∵AM12=AB3=，∴AD＝1，设N为△ABC的外心，则ON⊥平面ABC，∵O

A＝OD，∴O在AD的中垂线上，故而ON12=DA12=，由正弦定理可知2NCBCsinBAC==43，∴NC＝23，∴外接球的半径OC2272ONNC=+=，∴球O的表面积S＝4π•494=49π．故选

：D．点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上

四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12.已知函数()1lnmfxnxx=−−（0m，0en）在区间[1,e]内有唯一零点，则2

1nm++的取值范围为（）A.22,112eeee++++B.22,11eeee++++C.2,11ee++D.1,12e+【答案】A【解析】【分析】由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性

可得(1)0,(e)0,ff或(1)0,(e)0,ff化简可得关于.mn的约束条件，利用线性规划求解即可.【详解】22()mnmnxfxxxx+=−−=−，当0n=时，2()0mfxx=−，当0en时，令()0fx=，则

0mxn=−，所以函数()fx在[1,e]上单调递减，由函数()fx在区间1,e内有唯一零点，得(1)0,(e)0,ff,即10,10,emmn−−−即10,ee0,mmn−−−或(

1)0,(e)0,ff,即10,ee0,mmn−−−,又0m，0ne，所以10,ee0,0,0e,mmnmn−−−（1）或10,ee0,0,0e,mmnmn−−−（2）所以

m，n满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，则2(2)1(1)nnmm+−−=+−−表示点（m，n）与点（－1，－2）所在直线的斜率，综上可得21nm++的最小值在A点处取得，根据ee0,e,mn

n−−==得A点坐标满足2ee,e,mn=+=，所以最小值为2e2ee1+++，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数零点，线性规划，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.执行如图所示的程序框图，输出S的值是____

______．【答案】0【解析】【分析】模拟运行程序，得出该程序框图S的值会以3为周期循环出现，根据20193673=，即可得出答案.【详解】1,0tan33nS==+=22,3tan03nS==+=33,0tan03nS==+

=44,0tan33nS==+=55,3tan03nS==+=6,0tan603nS==+=由于()tan3fnn=的周期33T==，则tan3n的值以3为周期循环出现即该程序框图S的值会以3为周期循环出现因为20193673=，所

以2019n=时，0S=，此时循环终止，输出的0S=故答案为：0【点睛】本题主要考查了由程序框图计算输出值，属于中档题.14.在锐角三角形ABC中，sin23cos23CC=+，coscos22cBbC+=，则ABC的面积的取值范围为______．【答案】()3,43【解析】【分析】利用辅

助角公式，结合锐角三角形特点可求得C；利用余弦定理化简已知等式可求得a；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sincB的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.【详解】由sin23cos23CC=+得：sin23cos22sin23

3CCC−=−=，3sin232C−=，ABC为锐角三角形，0,2C，22,333C−−，3C=，由余弦定理知：222222co

scos2222acbabccBbCaaa+−+−+=+==，ABC为锐角三角形且3C=，,62A，,62B，1sin,12A，1sin,12B，由正弦定

理知：()sin66,26sinsinaCcAA==，()1sin2sin3,432ABCSacBcB==．故答案为：()3,43.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形面积取值范围的问题，关

键是能够熟练应用正余弦定理进行边角转化，从而求得所需的边和角的取值范围，代入三角形面积公式求得结果.15.已知双曲线C：()222210,0xyabab−=，O是坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为A，B，且O

AB为直角，记OAF△和OBF的面积分别为OAFS，OBFSV，若35OAFOBFSS=△△，则双曲线C的离心率为______．【答案】52或5【解析】【分析】不妨设点A在渐近线byxa=上，点B在渐近线byxa=−

上，先求出点,AB的纵坐标，再根据35AOAFOBFBySSy==△△求出离心率.【详解】不妨设点A在渐近线byxa=上，点B在渐近线byxa=−上，因为OAB为直角，所以直线AB的方程为()ayxcb=−−，由()ayxcbbyxa=−−=得

点A的纵坐标22Aabcyab=+，由()ayxcbbyxa=−−=−得点B的纵坐标22Babcyba=−，所以222235AOAFOBFBbaySSyab−===+△△，解得2214ba=或4，又离心率21b

ea=+，所以双曲线C的离心率52或5．故答案为：52或5【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知数列na的

前n项和122nnnSa+=−，若不等式223(5)nnna−−−，对nN+恒成立，则整数的最大值为______．【答案】4【解析】【详解】当1n=时，21122Sa=−，得14a=，当2n时，122nnnSa−=−，又122nnnSa+=−，两式相减得1222nnnnaaa−=

−−，得122nnnaa−=+，所以11122nnnnaa−−−=．又1122a=，所以数列2nna是以2为首项，1为公差的等差数列，12nnan=+，即(1)2nnan=+．因为0na，所以不等式2

23(5)nnna−−−，等价于2352nn−−．记122311,,224nnnbbb−==−=，2n时，112121223462nnnnnbnnbn++−−==−−．所以3n时，11,nnbb+综上，max33()8nbb==，所以33375,5888−−=，所以整数

的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17.已知数列na的前n项和为nS，()*10,

Naaaa=，1nnSpa+=（0p且1p−，*Nn）．（1）求数列na的通项公式；（2）在①1ka+，3ka+，2ka+，②2ka+，1ka+，3ka+这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k，若将1ka+，2ka+，3ka+按

______的顺序排列后构成等差数列，且公差为kd，求p的值及对应的kd．【答案】（1）()()2112nnanaapnpp−==+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由1nn

Spa+=再写式子12nnSpan−=（），两式作差得到11nnapap++=（n≥2），所以数列{an}从第二项起是公比为1pp+的等比数列，又当n＝1时2aap=，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1ka+，2ka+，3ka+，若选①，则1232kk

kaaa++++=，解出p值，即可求得kd；同理若选②，则2312kkkaaa++++=，解出p值，求得kd.【详解】（1）因为1nnSpa+=，当2n时，1nnSpa−=，两式相减，得()112nnapnap++=，故数列na从第二项起是公比为1pp+的等比数列，又当1n=时，

120apa−=，1aa=，所以2aap=，从而()()2112nnanaapnpp−==+．（2）由（1）得111kkapapp−++=，21kkapapp++=，131kkapapp+++=，若选①，则1232kkkaaa+

+++=，11pp+=或112pp+=−，得23p=−，所以113122kkaa−+=−−，133122kkaa++=−−，所以1319182kkkkadaa−++=−=−．若选②，则231

2kkkaaa++++=，11pp+=或12pp+=−，得13p=−，所以()1132kkaa−+=−−，()232kkaa+=−−，所以()11292kkkkdaaa−++=−=−−．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，考查等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．18.如图，在四棱锥

PABCD-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ABAC⊥，且3PAAB==，2AC=，E是棱PD的中点.（1）求证：//PB平面AEC；（2）求直线PC与平面AEC所成角的正弦值；（3）在线段PB上(不含端点)是否存在一点M，使得

二面角MACE−−的余弦值为1010？若存在，确定M的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析.（2）32626.（3）存在，13PMPB=【解析】【分析】（1）连接BD交AC于点F，连接

EF，可证//EFPB，从而得线面平行；（2）由题意以A为坐标原点，分别以AC，ABAP，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可用向量法求出线面角；（3）在（2）基础上，设(01)PMPB=，求出平面MAC和平面EAC（（2）中已有）法向量，由法向量夹

角与二面角的关系可求得．【详解】（1）连接BD交AC于点F，连接EF.∵ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点.又E是PD的中点，∴//EFPB又PB平面AEC，EF平面AEC，∴//PB平面AEC；（2）以A为坐标原点，分别以AC，ABAP，所

在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)A，，，(030)B，，，(200)C，，，(230)D−，，，(003)P，，，33(1)22E−，，.设平面AEC的法向量为()xyzn=，，.∵33(1)(200)22AEAC=−=，，，，，，∴00nAEnAC

==，，即3302220.xyzx−+==，不妨取1y=，得(011)n=，，又(203)PC=−，，.设直线PC与平面AEC所成的角为，则326sincos26PCαPCPCnnn===，，即直线PC与平面AEC所成角的正弦值为32626．（3）假设在线段P

B上(不含端点)存在一点M，使得二面角MACE−−的余弦值为1010.连接AMMC，.设(01)PMPB=，得(0333)Mλλ−，，.设平面MAC的法向量为()xyzm=，，.∵(0333)(

200)AMλλAC=−=，，，，，，∴00mAMmAC==，，即3(33)020.yzx+−==，不妨取1z=，得1(011)λm=−，，设二面角MACE−−的平面角为，则21210coscos

1012(1)1λθλmnmnmn−====−+，.化简得29920−+=，解得13=，或23=.∵二面角MACE−−的余弦值为1010，∴13=.∴在线段PB上存在一点M，且13PMPB=，使得二面角MACE−

−的余弦值为1010.【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求线面角和二面角，用线面平行的判定定理证线面平行是证明线面平行的掌握方法．在图形中有两两相互垂直的三条直线时，常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法研究空间角．这种方法化证明为计算，减少学生的逻辑思维量

，但增加了计算量．19.已知圆221:2Cxy+=，圆222:4Cxy+=，如图，12,CC分别交x轴正半轴于点,EA.射线OD分别交12,CC于点,BD，动点P满足直线BP与y轴垂直，直线DP与x轴垂直.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点E作直线l交曲线C与点,MN，射线OHl⊥与点H，且

交曲线C于点Q.问：211MNOQ+的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.【答案】（1）22142xy+=（2）是定值，为34.【解析】【分析】(1)设BOE=,再根据三角函数的关系可得2co

sPx=,2sinPy=,进而消参求得轨迹C的方程即可.(2)设直线l的方程为2xmy=+,再联立直线与(1)中椭圆的方程,根据弦长公式化简211MNOQ+,代入韦达定理求解即可.【详解】解：方法一：（1）如图设BOE=,则()2cos,

2sinB()2cos,2sinD,所以2cosPx=,2sinPy=.所以动点P的轨迹C的方程为22142xy+=.方法二：（1）当射线OD的斜率存在时,设斜率为k,OD方程为ykx=,由222ykxxy=+=得2221P

yk=+,同理得2241Pxk=+,所以2224PPxy+=即有动点P的轨迹C的方程为22142xy+=.当射线OD的斜率不存在时,点()0,2也满足.（2）由（1）可知E为C的焦点,设直线l的方程为2xmy=+（斜率不为0时）且设点()11,Mxy

,()22,Nxy,由22224xmyxy=++=得()2222220mymy++−=所以12212222222myymyym+=−+=−+,所以()22212112411mMNmmyy+==++−又射线OQ方程为ymx=−,带入椭圆C的方程得()2224xmy

+=,即22412Qxm=+222412Qmym=+,()22211241mmOQ+=+所以()()2222211212344141mmMNmmOQ+++=+=++又当直线l的斜率为0时,也符合条件.综上,211MNOQ+为定值,且为34.【点睛】本题主要考查了轨迹

方程的求解以及联立直线与椭圆的方程求解线段弦长与证明定值的问题,属于难题.20.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，

统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图：（1）根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；（2）治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A项目或乙地区的B项目投

入研发资金，经过评估，对于A项目，每投资十万元，一年后利润是l.38万元、1.18万元、l.14万元的概率分别为16、12、13；对于B项目，利润与产品价格的调整有关，已知B项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价

格调整中，产品价格下调的概率都是()01pp，记B项目一年内产品价格的下调次数为，每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A项目投资十万元，一年

后利润的随机变量为1，记对B项目投资十万元，一年后利润的随机变量为2．(i)求1，2的概率分布列和数学期望1E，2E；(ii)如果你是投资决策者，将做出怎样的决策?请写出决策理由．【答案】（1）

①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低；②甲地区比乙地区的方差大；（2）(i)分布列见解析，1E=1.2，2E20.50.31.4pp=−−+；(ii)当205p时，投资B项目；当25p=时，两个项目都可以；当215p时，投资A项目．理由见解析【解析】【分析】（1）由图表可知甲地区的数

据比较分散，所以甲地区比乙地区的方差大；也可求出两地区的平均数，比较平增多数；（2）（i）由题可知1分别取l.38、1.18、l.14时，其对应的概率分别为16、12、13，从而可列出1的分布列，由题意得~(2

,)Bp，从而可列出的分布列，而取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元，由此可列出2的分布列，并可求出期望；（ii）对（i）得到的数学期望1E，2E比较大小，

进行决策.【详解】（1）①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低；②甲地区比乙地区的方差大；（2）（i）由题意得1的概率分布列为11.381.181.14P161213所以11111.381.181.141.2623E=++=．由题意得~(2,

)Bp，即的概率分布列为012P2(1)p−2(1)pp−2p由题意得下调次数和利润2的关系为01221.41.250.6所以2的概率分布列为21.41.250.6P2(1)p−2(1)pp−2p所以2221.4(1)1.252(1)0.6Epppp=−+−+(

)()2221.4122.50.6ppppp=−++−+20.50.31.4pp=−−+（ii）当12EE，得21.20.50.31.4pp−−+，即25320pp+−，整理得(52)(1)0pp−+，解得205p；当12EE=时，25p=；当12EE

时，215p；所以，当205p时，投资B项目；当25p=时，两个项目都可以；当215p时，投资A项目．【点睛】此题考查离散型随机变量分布列和数学期望，二项分布，考查计算能力，属于中档题.21.设函数()lnxfxxxae=−，()

212xmxx=+，其中aR，e是自然对数的底数．（1）若()fx在()0,+上存在两个极值点，求a的取值范围；（2）当10fe=，设()()()Fxfxx=−，mR，若()Fx在()0,+上存在两个极

值点1x，2x，且12xx，求证：212xxe．【答案】（1）1(0,)e；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）()fx在(0,)+上存在两个极值点，则()0fx=有两根，再分离参数，借助导数研究即可；（2）要证212xxe即证12lnln2xx+，()F

x在()0,+上存在两个极值点1x，2x，且12xx，即()lnFxxmx=−有两个零点1x，2x，可得()()12121212lnlnlnlnxxxxxxxx−++=−，设21xtx=，则()121lnlnln1ttxxt++

=−，1t，即证()1ln21ttt+−，1t，即当1t时，()21ln1ttt−+，设函数()()21ln1thttt−=−+，1t，利用导数求其单调性及函数的最值，即可得证.【详解】解：（1）()1xfxlnxae=+−，由题意可知，10xl

nxae+−=在(0,)+上有两个不同的实数根，即1xlnxae+=，只需函数1()xlnxgxe+=和ya=图象有两个交点，211(1)1()()xxxxelnxelnxxxgxee−+−−==

，易知1()1hxlnxx=−−在(0,)+上为减函数，且()10h=，当(0,1)x时，()0gx，()gx为增函数；当(1,)x+时，()0gx，()gx为减函数；所以1()(1)maxg

xge==，所以1ae，又当0x→，()gx→−，x→+，()0gx，要使()fx在(0,)+上存在两个极值点，则10ae．故a的取值范围为1(0,)e．（2）10fe=易得0a=，()()()21ln2Fxfxxxxmxx

=−=−−()Fx在()0,+上存在两个极值点1x，2x，且12xx()lnFxxmx=−有两个零点1x，2x，则1122ln0ln0xmxxmx−=−=，解得12121212lnlnlnlnxxxxmxxxx+−==+−于是()()221212111

221211lnlnlnlnln1xxxxxxxxxxxxxx+−++==−−又120xx，设21xtx=则1t，因此()121lnlnln1ttxxt++=−，1t要证12lnln2xx+，即证()1ln21ttt+−，1t

即当1t时，()21ln1ttt−+，设函数()()21ln1thttt−=−+，1t，则()()()()()()222212111011ttthttttt+−−−=−=++所以，()ht为()1

,+上的增函数，又()10h=，因此()()10hth=于是，当1t时，有()21ln1ttt−+，所以，有12lnln2xx+成立，即212xxe，得证【点睛】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能

力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系.xOy中，

曲线C1的参数方程为22cos.2sinxy=+=（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐

标方程为()0π,R=，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=42，求α的值.【答案】（1）()2224xy−+=，()2224xy+−=,；（2）34

=【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C1化为极坐标方程4cos=，设1122(,),(,)AB，从而12||||AB=−计算即得解.【详解】（1）曲线C1

的参数方程为22cos.2sinxy=+=,消去参数得到普通方程：22(2)4xy−+=曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到24sin=故C2的直角坐标方程为：22(2)4xy+−=.（2）曲线C122(2)4xy−+=化为极坐标方程4cos

=,设1122(,),(,)AB因为曲线C3的极坐标方程为：(0),R=点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4212||||

|4sin4cos|42|sin()|424AB=−=−=−=sin()1,04−=3424−==【点睛】本题考查了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.23

.已知函数()2fxxaxa=−−−，aR．（Ⅰ）若(1)1f，求a的取值范围；（Ⅱ）若0a，对x，(,ya−，都有不等式()(2020)fxyya++−恒成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）(,1)(1,)−−

+；（Ⅱ）)1010,0−.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意不等式化为1211aa−−−，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为()minmax2020fxyya++−，分别求出()maxfx

和min2020yya++−，列出不等式求解即可．【详解】（Ⅰ）由题意知，()11211faa=−−−，若12a，则不等式化为1211aa−−+，解得1a−；若112a，则不等式化为()2111aa−−−

，解得1a，即不等式无解；若1a，则不等式化为2111aa−+−，解得1a，综上所述，a的取值范围是()(),11,−−+；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式()(2020)fxyya++−恒成立，只需()minmax2020fxyya++−，当(,]x

a−时，2xaxaa−−−−，()maxfxa=−，因为20202020yyaa++−+，所以当()()20200yya+−时，min20202020yyaa++−=+，即2020aa−+，解得1010a−，结合0a，所以a的取值范围是)

1010,0−.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值

三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.