【文档说明】湖南师范大学附属中学2020届高三下学期5月模拟考试数学（文）试题【精准解析】.doc，共(29)页，3.255 MB，由小赞的店铺上传

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湖南师范大学附属学校2020届高三5月模拟文科数学试题卷本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.1.设集合()()2,2,,AxyxyBxyyx=+===，则AB=（）A.()1,1B.()2,4−C.()()1,1,2,4−D.【答案】C【解析】【分析】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立22xyyx+==，解得方程组的解，从而得

到结果.【详解】首先注意到集合A与集合B均为点集，联立22xyyx+==，解得11xy==，或24xy=−=，从而集合{(1,1),(2,4)}AB=−，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2.已知2(1)iz−=1i+（i为虚数单位）

，则复数z=（）A.1i+B.1i−C.1i−+D.1i−−【答案】D【解析】试题分析：由2(1)1iiz−=+，得2(1)22(1)111(1)(1)iiiiziiiii−−====−−+++−，故选D.考点：复数的运算.3.现有甲、乙、

丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲

乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意；若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意；若丙获奖，则说真话的人为：

甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意；若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意；综上可得，获奖人为乙.故选B.【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.4.已知直线,ab表示不同的直线，则//a

b的充要条件是（）A.存在平面，使//,//abB.存在平面，使,ab⊥⊥C.存在直线c，使,acbc⊥⊥D.存在直线c，使,ab与直线c所成角都是60【答案】B【解析】【分析】根据充要条件的定义，逐项判断//ab是否能推出选项成立，和选项是

否能得出//ab成立，即可得出结果.【详解】A选项，//ab存在平面，使//,//ab；反之，a与b可以平行、相交或者异面.故A错误.B选项，//ab存在平面，使,ab⊥⊥；反之，也成立.故B正确.C选项，//ab存在直线c，使,acbc⊥⊥；反之，a与b可以平行、相交或者异面.

故C错误.D选项，//ab存在直线c，使,ab与直线c所成角都是60；反之，a与b可以平行、相交或者异面.故D错误.故选：B【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，充要条件等基本知识，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于一般题目.5.函数()24sin

fxxx=−，,22x−的图象大致是()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵函数f（x）=2x﹣4sinx，∴f（﹣x）=﹣2x﹣4sin（﹣x）=﹣（2x﹣4sinx）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）=2x﹣4sinx的图象关于原点对称，排

除AB，函数f′（x）=2﹣4cosx，由f′（x）=0得cosx=，故x=2k（k∈Z），所以x=±时函数取极值，排除C，故选D．点睛：本题主要考查函数的性质，结合函数的奇偶性得出函数图象的对称性，是解

决函数图象选择题常用的方法．6.某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A.4B.43C.83D.2【答案】B【解析】【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图表示图中的棱锥PABC−，其中C点为中点，该几何体的体积为：ABC11142223323VS

h===.本题选择B选项.7.“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求.当时刘微就是利用这种方法，把的近似值

计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割

，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是（）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588o）A.3.05B.3.10C

.3.11D.3.14【答案】C【解析】【分析】假设圆的半径为r，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，顶角为36024，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.【详解】设圆的半径为r，

以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形且顶角为3601524=所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152=rrr所以2212sin1512sin153.11==rr故选：C【点睛】本题考查分割法的使用，考验计

算能力与想象能力，属基础题.8.关于函数()sincos22xxfx=+有下述三个结论：①函数()fx的图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称；②函数()fx的最小正周期为；③0xR，()021fx=−.其中

正确结论的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据偶函数的定义可得()fx为偶函数,故①错误;根据()()fxfx+=对任意的x都成立,知②正确;在一个周期[0,)内任取一个x

,都有()[1,2]fx,可知③错误.【详解】依题意，()()()sincossincos()2222xxxxfxfx−−−=+=+=，故函数fx（）的图象关于y轴对称，故①错误；因为()sincoscossin()22

2222xxxxfxfx+=+++==+=故x=是函数fx（）的一个周期，且当[0,)x时()sincos2sin[1,2]2224xxxfx=+=+，故②正确，③错误.故选B.【点睛】本题考

查了三角函数的图象和性质,属中档题.9.设,,(0,)2ABC,且coscoscos,sinsinsinABCABC+=−=,则CA−=（）A.6−B.3−C.3D.-33或【答案】B【解析】【分析】把题设中

的两个等式移项后平方再相加，则有()1cos2CA−=，再根据,0,2CA及sinsinAC可得CA−的大小.【详解】因为coscoscosABC+=，故coscoscosBCA=−，222cos2coscoscoscosCCAAB−+=，同理222sin2s

insinsinsinCCAAB−+=，所以()12coscossinsin0ACAC−+=即()1cos2CA−=.因为,0,2CA，故,22CA−−，3CA−=，根据sinsinsinABC=+得到sinsinAC，因,0,2CA，故

CA，故3CA−=−，故选B.【点睛】三角函数的求值问题，需要观察给定的三角函数式的结构形式，再根据已有的公式的结构特点对原有的三角函数式变形化简.知道角的三角函数值，应该根据题设条件去挖掘隐含的角

与角的大小关系，从而可对所得结果进行取舍.10.已知椭圆222:1(02)4xyCbb+=,作倾斜角为34的直线交椭圆C于,AB两点,线段AB的中点为,MO为坐标原点OM与MA的夹角为,且|tan|3=，则b=()A.1B.2C.3D.62【答案】B【解析】分析：设()()()

112200,,,,,AxyBxyMxy，利用“点差法”可得2004ybx=，设直线OM的倾斜角为，则4=+或3tan1,tan41tan+=−=−，又200tan4ybx==，由

2214314bb+=−，从而可得结果.详解：设()()()112200,,,,,AxyBxyMxy，则22112222221414xybxyb+=+=，两式作差得()()()()12121212204xxxxyyyyb−+−++=，00122121

,04xyyyxxb−=−−=−，即2004ybx=，设直线OM的倾斜角为，则4=+或3tan1,tan41tan+=−=−，又200tan4ybx==，由2214314bb+=−，解得22b=，即2b=，故选B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解能力.

对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.11.在四面体ABCD中，23ABAC==，6BC=，AD⊥底面ABC，G为DBC△

的重心，且直线DG与平面ABC所成的角是30°，若该四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（）A.24B.32C.46D.49【答案】D【解析】【分析】四面体ABCD与球O的位置关系如图所示，设F为BC的中点，O为ABC外接圆

的圆心.由条件可得3AF=，又直线DG与平面ABC所成的角等于直线DF与平面ABC所成的角即DFA，求出球O的半径，即可得答案；【详解】四面体ABCD与球O的位置关系如图所示，设E为BC的中点，O为ABC外接圆的圆心.由条件可得3AE=，又直线DG与

平面ABC所成的角等于直线DE与平面ABC所成的角即DEA.则由3tan3ADDEAAE==，∴1AD=.由2221cos22ABACBCBACABAC+−==−，120BAC=所以232sin==BCACBAO在四边形OOAD中，//OOAD，90=OAO，

23=AO，OAOD=.所以()2221492324OA=+=，所以球O的表面积为49.故选：D.【点睛】本题考查四面体与球的切接问题、球的表面积，考查空间想象能力、运算求解能力.12.已知函数()1lnmfxnxx=−−（0m，0en）

在区间[1,e]内有唯一零点，则21nm++的取值范围为（）A.22,112eeee++++B.22,11eeee++++C.2,11ee++D.1,12e+

【答案】A【解析】【分析】由函数在区间[1,e]内有唯一零点，根据零点存在性定理即函数单调性可得(1)0,(e)0,ff或(1)0,(e)0,ff化简可得关于.mn的约束条件，利用线性规划求解即可.【详解】22()mnmnxf

xxxx+=−−=−，当0n=时，2()0mfxx=−，当0en时，令()0fx=，则0mxn=−，所以函数()fx在[1,e]上单调递减，由函数()fx在区间1,e内有唯一零点，得(1)0

,(e)0,ff,即10,10,emmn−−−即10,ee0,mmn−−−或(1)0,(e)0,ff,即10,ee0,mmn−−−,又0m，0ne，所以10,ee0,

0,0e,mmnmn−−−（1）或10,ee0,0,0e,mmnmn−−−（2）所以m，n满足的可行域如图（1）或图（2）中的阴影部分所示，则2(2)1(1)nnmm+−−=+−−表示点（m，n）与点（－1，－2）

所在直线的斜率，综上可得21nm++的最小值在A点处取得，根据ee0,e,mnn−−==得A点坐标满足2ee,e,mn=+=，所以最小值为2e2ee1+++，故选A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的

单调性，函数零点，线性规划，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.执行如图所示的程序框图，输出S的值是______.【答案】0【解析】【分析】模拟运行程序，得出该程序框图S的值

会以3为周期循环出现，根据20193673=，即可得出答案.【详解】1,0tan33nS==+=22,3tan03nS==+=33,0tan03nS==+=44,0tan33nS==+=55,3tan03nS==+=6,0tan603nS==+=由于()tan3fnn=的周期

33T==，则tan3n的值以3为周期循环出现即该程序框图S的值会以3为周期循环出现因为20193673=，所以2019n=时，0S=，此时循环终止，输出的0S=故答案为：0【点睛】本题主要考查了循环结构框图计算输出值，属于中档题.14.在

锐角三角形ABC中，sin23cos23CC=+，coscos22cBbC+=，则ABC的面积的取值范围为______．【答案】()3,43【解析】【分析】利用辅助角公式，结合锐角三角形特点可求得C；利用

余弦定理化简已知等式可求得a；利用正弦定理和锐角三角形角的大小可确定,sincB的取值范围，代入三角形面积公式可得结果.【详解】由sin23cos23CC=+得：sin23cos22sin233CCC−=−=，3sin232C−=，ABC为锐角三角形，0,2C

，22,333C−−，3C=，由余弦定理知：222222coscos2222acbabccBbCaaa+−+−+=+==，ABC为锐角三角形且3C=，,62A

，,62B，1sin,12A，1sin,12B，由正弦定理知：()sin66,26sinsinaCcAA==，()1sin2sin3,432ABCSacBcB==．故答案为：()3,43.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角

形面积取值范围的问题，关键是能够熟练应用正余弦定理进行边角转化，从而求得所需的边和角的取值范围，代入三角形面积公式求得结果.15.已知P为椭圆22221(0)xyabab+=上任意一点，点M，N分别在直线11:3lyx=与21:3lyx=−上，且2//PMl，1//PNl，若22PMPN+

为定值，则椭圆的离心率为______.【答案】223【解析】【分析】设00(,)Pxy，求出M，N的坐标，得出22PMPN+关于00,xy的式子，根据P在椭圆上得到,ab的关系，进而求出离心率.【详解】设00(

,)Pxy，则直线PM的方程为00133xyxy=−++，直线PN的方程为00133xyxy=−+，联立方程组0013313xyxyyx=−++=，解得00003(,)2262xxyMy++，联立方程组0013313xyxyyx=−+=−，解得00003(,)2262x

xyNy−−+，则222222220000000000335()()()()5226222629xyxyxxyPMPNyxy+=−++−++++=+又点P在椭圆上，则有22222200bxayab+=，因为2200559xy+为定值，则2251959ba==，222289

abea−==，233e=.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，有一定的难度.16.已知数列na的前n项和122nnnSa+=−，若不等式223(5)nnna−−−，对nN+恒成立，则整数的最大值为______．【答

案】4【解析】【详解】当1n=时，21122Sa=−，得14a=，当2n时，122nnnSa−=−，又122nnnSa+=−，两式相减得1222nnnnaaa−=−−，得122nnnaa−=+，所以11122nnnnaa−−−=．又1122a

=，所以数列2nna是以2为首项，1为公差的等差数列，12nnan=+，即(1)2nnan=+．因为0na，所以不等式223(5)nnna−−−，等价于2352nn−−．记122311,,224nnnbb

b−==−=，2n时，112121223462nnnnnbnnbn++−−==−−．所以3n时，11,nnbb+综上，max33()8nbb==，所以33375,5888−−=，所以整数的最大值为4．考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答

题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.已知数列na的前n项和为nS，()*10,Naaaa=，1nnSpa+=（0p且1p−，*Nn）．（1）求

数列na的通项公式；（2）在①1ka+，3ka+，2ka+，②2ka+，1ka+，3ka+这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，要使问题成立：对任意的正整数k，若将1ka+，2ka+，3ka+按______的顺序排列后构成等差数列，且公差为kd，求p的值及对应的kd．【答案】（1）()(

)2112nnanaapnpp−==+；（2）见解析【解析】【分析】（1）由1nnSpa+=再写式子12nnSpan−=（），两式作差得到11nnapap++=（n≥2），所以数列{an}从第二项起是公比为1pp+的等比数列，又当

n＝1时2aap=，从而可得通项公式；（2）由（1）分别写出1ka+，2ka+，3ka+，若选①，则1232kkkaaa++++=，解出p值，即可求得kd；同理若选②，则2312kkkaaa++++=，解出p值，求得kd.【详解】（1）因为1nnSpa+=，当2n时，1nnSpa−=，两式相减，

得()112nnapnap++=，故数列na从第二项起是公比为1pp+的等比数列，又当1n=时，120apa−=，1aa=，所以2aap=，从而()()2112nnanaapnpp−==+．（2）由（1）得111kka

papp−++=，21kkapapp++=，131kkapapp+++=，若选①，则1232kkkaaa++++=，11pp+=或112pp+=−，得23p=−，所以1131

22kkaa−+=−−，133122kkaa++=−−，所以1319182kkkkadaa−++=−=−．若选②，则2312kkkaaa++++=，11pp+=或12pp+=−，得13p=−，所以()1132kkaa−+=−−，()232kkaa+=−−，所以

()11292kkkkdaaa−++=−=−−．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，考查等差数列的性质，考查计算能力，属于中档题．18.如图，在三棱锥ABCD−中，ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，BCCD⊥，2BCCD==，E为三棱锥ABCD−外一点，且CDE为等边

三角形.（1）证明：ACBD⊥；（2）若AE⊥平面CDE，求点E到平面BCD的距离.【答案】（1）证明见解析（2）6337+【解析】【分析】（1）要证ACBD⊥，只需证BD⊥平面AOC，即可求得答案；（2）因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面CBDCD=，所

以AO⊥平面BCD，且2BD=，3AO=，取CD的中点F，连接OF，EF，同理可证CD⊥平面EOF，CD⊥平面AOF，结合已知，即可求得答案.【详解】（1）取BD的中点O，连接OC，OA，ABD是等边三角形，AOBD

⊥，又BCCD=，COBD⊥，COAOO=，BD⊥平面AOC，AC平面AOC，故ACBD⊥.（2）平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面CBDCD=，AO⊥平面BCD，且2BD=，3AO=，取CD

的中点F，连接OF，EF，同理可证CD⊥平面EOF，CD⊥平面AOF，A，O，F，E共面，平面BCD⊥平面OFE，作EH垂直OF于点H，则EH⊥平面BCD，故点E到平面BCD的距离即为EH，又AE⊥平面CDE，所以AEEF⊥，AEEC⊥，22OF=，62EF=，142AF=，2

AE=.由sinsin()EFOAFOAFE=+sincoscossinAFOAFEAFOAFE=+6232633277EH++==.【点睛】本题主要考查了求证异面直线垂直和求点到面距离，

解题关键是掌握将求证线线垂直转化为线面垂直的证法和点到面距离的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.19.已知M过点()30A，，且与()22316Nxy++=：内切，设M的圆心M的轨迹为C，（1）求轨迹C的方程；（2）设直线l不经过点()20B，且与曲线C交于点PQ，两点，若

直线PB与直线QB的斜率之积为12−，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2214xy+=；（2）l过定点203，．【解析】【分析】（1）由题意结合圆

的性质可得4MAMN+=，利用椭圆的定义即可得解；（2）当直线l斜率不存在时，求出各点坐标后即可得l与x轴的交点为203，；当l的斜率存在时，设l的方程为ykxb=+，联立方程可得122814kbxxk−+=+，21224414bxxk−=+，进而可转化条件()242PBQ

Bbkkkbk−=+，得出23bk=−后即可得解.【详解】（1）由题意M过点()3,0A，且与()22316Nxy++=：内切，易知点()3,0N−，Ne半径为4，设两圆切点为D，所以4MDMNND+==，在M中，MDMA=，所以4MAMNMA+=，所以M的轨迹为椭圆，由椭圆定义可

知243ac==，所以2221bac=−=，所以轨迹C的方程为2214xy+=；（2）①当l的斜率不存在的时，设()00Pxy，，所以()00Qxy−，，所以00002200122214PBQByykkxxxy−==−−−+=，解得0023223xy=

=或0020xy==（舍），所以l与x轴的交点为203，；②当l的斜率存在时，设l的方程为ykxb=+，联立2214ykxbxy=++=消元可得()222148440kxkbxb+++−=，()()()222228414446416160kbkbkb=−+−=−

+，所以2241kb−，由韦达定理122814kbxxk−+=+，21224414bxxk−=+，则()()()()()222121212112121212()222224PBQBkxbkxxkbxxbyykxbkkxxxxxxxx+++++=

==−−−−−++()()()()2222222222222244822414144484242241414bkbkbbkbkbkkkbkbkbkbkk−−+−+−++===−−++−+++，又因为20kb+，所以()21422bkbk

−=−+，即23bk=−，所以22221143bkk−=−−，所以23bk=−成立，所以2233ykxkkx=−=−，当23x=时，0y=，所以l过203，，综上所述，

l过定点203，.【点睛】本题考查了椭圆定义的应用和直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于中档题.20.2019年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到约100万亿元人民币，位居世界第二，这其中

实体经济的贡献功不可没实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y（元）与生产该产品的数量x（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了如下的散点图.

现考虑用反比例函数模型byax=+和指数函数模型dxyce=分别对两个变量的关系进行拟合.为此变换如下：令1x=，则yab=+，即y与满足线性关系；令ln=，则lncdx=+，即与x也满足线性

关系.这样就可以使用最小二乘法求得非线性的回归方程.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为96.54dxye=$，与x的相关系数10.94r=−，其他参考数据如表（其中1lniiiiyx==）.81iiiy=μ2821i

i=81iiy=821iiy=0.616185.52e−ln96.54183.40.340.1151.5336022385.561.40.1354.63.7（1）求指数函数模型和反比例函数模型中y关于x的回归方程；（2）试计算y与的相关系数2r，并用相关系数判断：

选择反比例函数和指数函数两个模型中的哪一个拟合效果更好（计算精确到0.01）？（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采取订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出）.根据市场调研数据，该产品单价定

为100元时得到签订订单的情况如表：订单数1234567891011（千件）概率1012912812712612512412312

212121012已知每件产品的原料成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）参考公式：对于一组数据()11,，()22,，，(),nn，其回归直线=

+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221niiiniinn==−=−，=−，相关系数1222211niiinniiiinrnn===−=−−.【答案】（1）指数模型回归方程为0.296.54xye−=，反比例函数回归

方程为10011yx=+；（2）20.99r；用反比例函数模型拟合效果更好；（3）612（千元）.【解析】【分析】（1）由96.54dxye=$，得lnln96.544.6ydxdx=+=+，将

3.7=，4.5x=代入可得指数模型回归方程.令1x=，则yba=+，代入y，求得b，a，可得反比例函数回归方程.（2）求得y与u的相关系数为2r，由12rr，可得结论.（3）设该企业的订单期望为S（千件），则109811011111123101122222S=

+++++，可求得订单的期望，从而求得该企业的利润约.【详解】解：（1）因为96.54dxye=$，所以lnln96.544.6ydxdx=+=+，

将3.7=，4.5x=代入上式，得0.2d=−，所以0.296.54xye−=.令1x=，则yba=+，因为360458y==，所以182218183.480.34451001.5380.1158niiiiiuyuybuu==−−===−−，则451000.3411aybu=−

=−=，所以11100yu=+，所以y关于x的回归方程为10011yx=+.综上，指数模型回归方程为0.296.54xye−=，反比例函数回归方程为10011yx=+.（2）y与u的相关系数为81288222211861610.9961.40.6

16185.588iiiiiiiuyuyruuyy===−===−−，因为12rr，所以用反比例函数模型拟合效果更好.（3）设该企业的订单期望为S（千件），则10981101111112

3101122222S=+++++，令109811111123102222T=++++①，则111092111111231022222T=+

+++②，②−①，得11109211111522222T−=++++−，化简得10192T=+，所以

101391292256S=+=+，所以该企业的利润约为：3310091009101161232562569256+−++++（千元）.【点睛】本题考查线性回归方程的求得，相关

系数的比较，以及运用数学期望求利润，属于中档题.21.已知函数()()lnfxxaxaR=−.（1）讨论()fx的单调性；（2）当1a=时，设()()1fxgxxex−=−−（e为自然对数的底）.若正实数1、2满足121+=，1x、()()2120,xxx+，证明：()()()1

1221122gxxgxgx++.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()yfx=的定义域与导数，对实数a进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数()yfx=的单调递增区间和递减

区间；（2）由题意得出()1xgxex=−−，构造函数()()()()()()211121gxgxHxgxgxxxxx−=−−−−，证明出存在()12,xx，使得()()()()2121gxgxgxx−=−，可推

导出()()()()21121gxgxgxxx−−，设()31122121xxx=++=，可得()()()()132312gxgxgxxx+−，()()()()231321gxgxgxxx+−，利用待定系数法可证得不等式成立.【详解】（1）函数()yfx=

的定义域为()0,+，()11axfxaxx−=−=.①当0a时，()0fx，函数()yfx=在()0,+上单调递增；②当0a时，令()0fx，解得10xa；令()0fx解得1xa

.故此时函数()yfx=在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减；（2）当1a=时，()()lnln111xxxxxgxxexxexex−−−=−−=−−=−−，()()100xg

xex=−，不妨设120xx，先证：存在()12,xx，使得()()()()2121gxgxgxx−=−，构造函数()()()()()()211121gxgxHxgxgxxxxx−=−−−−，显然()()12HxHx=，

且()()()()2121gxgxHxgxxx−=−−，()()()21212111121121212111111xxxxxxxxxexexeeeHxeeexxxxxx−−−−−−−−=−−=−=−

−−−()22121211xxxexxexx−=−−+−，210xx，则210xx−，()()22212110xxgxxexx−−=−−−，()10Hx，同理可证()()21221221221

2110xxxxxxeeeHxeexxxxxx−−=−=−−−−−，由零点存在定理可知，存在()12,xx，使得()()()()21210gxgxHgxx−=−=−，即存在()12,xx，使得()()()()

2121gxgxgxx−=−，又()1xgxe=−为增函数，()()()()()()2121121gxgxgxxgxxx−=−−，即()()()()21121gxgxgxxx+−，设()31122121xxx=++

=，则()1311221xxxx−=−−，()2322111xxxx−=−−，()()()()()()()133133311221gxgxgxxxgxgxxx+−=+−−()()()32312

gxgxxx=+−，①()()()()()()()233233322111gxgxgxxxgxgxxx+−=+−−()()()31321gxgxxx=+−，②由①1+②2得：()(

)()()112231122gxgxgxgxx+=+，即()()()11221122gxxgxgx++.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，构造新函数是解答的关键，考查计算能力

与推理能力，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系.xOy中，曲线C1的参数方程为22cos.2sinxy=+=（为参数），以原点O为极点，

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为()0π,R=，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于

原点O，且|AB|=42，求α的值.【答案】（1）()2224xy−+=，()2224xy+−=,；（2）34=【解析】【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数求出曲线的普通方程；曲线C2的极坐标方程左右同乘ρ，即可求出直角坐标方程；（2）曲线C1化为极坐标

方程4cos=，设1122(,),(,)AB，从而12||||AB=−计算即得解.【详解】（1）曲线C1的参数方程为22cos.2sinxy=+=,消去参数得到普通方程：22(2)4xy−+=曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，两边同乘ρ得到

24sin=故C2的直角坐标方程为：22(2)4xy+−=.（2）曲线C122(2)4xy−+=化为极坐标方程4cos=,设1122(,),(,)AB因为曲线C3的极坐标方程为：(0),R=点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C

3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4212|||||4sin4cos|42|sin()|424AB=−=−=−=sin()1,04−=3424−==【点睛】本题考查

了极坐标，参数方程综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2fxxaxa=−−−，aR．（Ⅰ）若(1)1f，求a的取值范围；（Ⅱ）若0a，对x，(,ya−，都有不等式(

)(2020)fxyya++−恒成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）(,1)(1,)−−+；（Ⅱ）)1010,0−.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意不等式化为1211aa−−−，利用分类讨论法去

掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为()minmax2020fxyya++−，分别求出()maxfx和min2020yya++−，列出不等式求解即可．【详解】（Ⅰ）由题意知，()11211faa=−−−，若12a，则不等式化为1

211aa−−+，解得1a−；若112a，则不等式化为()2111aa−−−，解得1a，即不等式无解；若1a，则不等式化为2111aa−+−，解得1a，综上所述，a的取值范围是()(),11,−−+；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式()(20

20)fxyya++−恒成立，只需()minmax2020fxyya++−，当(,]xa−时，2xaxaa−−−−，()maxfxa=−，因为20202020yyaa++−+，所以当()()20200yya+−时，min20202020yyaa+

+−=+，即2020aa−+，解得1010a−，结合0a，所以a的取值范围是)1010,0−.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应

用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.