【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题含答案.docx，共(13)页，743.814 KB，由小赞的店铺上传

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哈尔滨市第六中学2018级高三上学期期中考试文科数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合22,,60AxxxZBxxx==−−∣，则AB=（）A．{2,1,0,1,2,3}−−B．{2,1,0,1,2}−−C．{1,0,1,2}−D．{2,1,0,1}−−2．已知

复数z满足22zii=+，i是虚数单位，则z=（）A．2B．3C．22D．53．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．4．已知()2,3OA=，()3,OBy=−，若OAOB⊥，则AB等于（）A．2B．26C．52D．51525．已知

直线a，b分别在两个不同的平面，内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．为了得到3sin23yx=+函数的图象，只需把3sinyx=上所有的点（）A．先把横坐标

变为原来的12倍，然后向左平移6个单位B．先把横坐标变为原来的2倍，然后向左平移6个单位C．先把横坐标变为原来的2倍，然后向左移3个单位D．先把横坐标变为原来的12倍，然后向右平移3个单位7．已知函数3

,0(){ln(1),0xxfxxx=+，若2(2)()fxfx−,则实数x的取值范围是()A．(-∞,-1)∪(2,+∞)B．(-∞,-2)∪(1,+∞)C．(-1,2)D．(-2,1)8．已知0.920200.9log2020,2020,0.9abc===

，则（）A．acbB．abcC．bacD．bca9．同时具有性质：“①最小正周期是；②图像关于直线3x=对称；③在区间5,6上是单调递增函数”的一个函数可以是（）A．cos23yx=−

B．sin26yx=−C．5sin26yx=+D．sin26xy=+10．设0a，0b，若3是3a与3b的等比中项，则11ab+的最小值为（）A．8B．4C．1D．1411．函数()xxeefxx−+=的图象大致

为（）A．B．C．D．12．公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即12，24，48，…，192，…，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形，…，正一百九十二边形，…的面积，这些数值逐步地逼近圆

面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候的近似值是3.141024，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽这种想法的

可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响.按照上面“割圆术”，用正二十四边形来估算圆周率，则的近似值是()（精确到0.01）.（参考数据

sin150.2588）A．3.14B．3.11C．3.10D．3.05二、填空题（每题5分，共20分）13．已知单位向量a，b的夹角为3，则ab+与b的夹角为________.14．已知yx,满足约束条件10100xyxyx+−−

−，则yxz2+=的最大值为_____．15．在长方体1111ABCDABCD−中，11BCCC==，13ADB=，则直线1AB与1BC所成角的余弦值为________．16．对于函数sin,[0,2]()1(2),(

2,)2xxfxfxx=−+现有下列结论：①任取12[2,,)xx+，都有()()121fxfx−；②函数()yfx=在4,5上先增后减③函数()()ln1yfxx=−−有3个零点：④若关于x的

方程()()0fxmm=有且只有两个不同的实根1x，2x，则123xx+=其中，正确结论的序号为_______________（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共70分）17．（共10分）在数列na中，112a=，112nna

a+=+（1）求数列na的通项公式；（2）记n11nnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．18．（共12分）如图，直三棱柱111ABCABC−的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和3，侧棱1AA的长为5.（1）求三棱柱111A

BCABC−的体积；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的正切值.19．（共12分）若平面向量3,2sin2xm=−,cos,cos2xnx=−()xR，函数()fxmn=．（1）求函数()fx的值域；（2）记A

BC的内角、、ABC的对边长分别为cab、、，若()3fA=，且2bc=，求角C的值．20．（共12分）如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD为菱形，PBPD=，E，F分别为AB和PD的中点．（1）求证：EF∥平

面PBC．（2）求证：BD⊥平面PAC．21．（共12分）设数列na的前n项和为22nSn＝，nb为等比数列，且11ab＝，2211()baab－＝．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设nnnacb=，求数列nc的前n项和nT．22．（共12分）已知函数()(ln

1)()fxxkxkR=−−.（1）若曲线()yfx=在(1,(1))f处的切线与直线20xy−=平行，求k的值；（2）若对于任意1x，2(0,3]x，且12xx，都有()()122122fxfxxx++恒成立，求实数k的取值范围；（3）若对于任意21,xee，且有(

)3lnfxx成立，求整数k的最大值.哈六中2018级高三期中考试文科数学参考答案1．C由题意2,2,1,0,1,2,AxxxZ==−−2603Bxxxxx=−−=∣∣-2则AB={1,0,1,2}−2．C()222222222iiiziiziii++=+===−则(

)222222z=+−=3．D本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.4．B∵OAOB⊥，∴6

30OAOBy=−=+，∴2y=．∴()()()3,22,35,1ABOBOA=−=−−=−−，∴()()225126AB=−+−=．如果()()1122,,,axybxy==，那么：（1）若//ab，则1221xyxy=；（2）若ab⊥，则12120xxyy+=；5．A当“直

线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，即必要性不成立.故选A.6．A把3sinyx=上所有的点横坐标缩短到原来的12倍可得到函数3sin2yx

=的图象，再把3sin2yx=的图象向左平移6个单位得到函数3sin2()3sin(2)63yxx=+=+，故7．D函数是定义域R上的增函数，所以2(2)()fxfx−的等价条件是22xx−，解得(2,1)x−，8．A0.90.9log2020log

10,0a=，900.202202001,1b=，002200.91,00.109c=，acb.9．B据函数()sin()fxAx=+的性质,由2T==,知2=,D错；图象与对称轴交点为最值点,即当函数3x=时,函数值为最值,A错；对于B的

单调增区间,可得()222262kxkkZ−+−+,即为(),63kkkZ−++，当1k=时,554,,663.故本题答案应选B.10．B3是3a与3b的等比中项，则()233333abab+===，1ab+=，0a，

0b，所以，()11112224abababababbaba+=++=+++=，当且仅当12ab==时，等号成立，因此，11ab+的最小值为4.11．C∵()xxeefxx−+=，∴函数的定义域为()()

,00,−+，又()()xxeefxfxx−+==−−，则函数()xxeefxx−+=是奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项；又()1110fee=+，故排除B、D两个选项；12．B由题意可知，单位圆面积2Sr==，正二十四边形的面积21241sin152S=

.则22124sin152rr=.即12sin15120.25883.10563.11==.13．6；因为单位向量a，b的夹角为3，所以11||||cos11322abab===，所以()222||2ababaabb+=+=++1113=++=,设ab+与b的夹角

为，则()cos||||abbabb+=+2||||abbabb+=+11231+=32=.又[0,]，所以6=.故答案为：6.另解：作图法14．2线束条件所表示的平面域如下图所示：平移

直线1122yxz=−+，可以发现当直线经过点(0,1)A时，直线在纵轴上的截距最大，因此z＝x+2y的最大值为0122z=+=.15．1414连接11BD11//ADBC异面直线1AB与1BC所成角即为1AB与1AD所成角，即11BAD1ABA

D⊥，13ADB=221112222BDADBCCC==+=6AB=，17AB=，117BD=在11ABD中，由余弦定理得：1127714cos14227BAD+−==16．①②③④函数()()()sin,0,212,2,2xxfxfxx=−+

当[2,)x+时，函数()fx的最大值为12，最小值为12−，所以任取12[2,,)xx+，都有()()121fxfx−恒成立，①正确；当4,5x，40,1x−，故()()()1114sin4sin444fxfxx

x=−=−=，函数先增后减，②正确；取()()ln10yfxx=−−=，即()()ln1fxx=−，同②，计算得到()((sin,0,21sin,2,421sin,4,64xxfxxxxx=，画出函数图象，如图所示：根据图象知，函数有3

个零点，故③正确；()()0fxmm=有且只有两个不同的实根12,xx，根据图象知112m−−，根据对称性知123xx+=，故④正确；故答案为：①②③④.17．（1）由已知得112nnaa+=+，即112nnaa

+−=∴数列na是以12为首项，以12d=为公差的等差数列∵()11naand+−=∴()()111*222nnannN=+−=（2）由（1）得()141122nbnnnn==++∴1141nbnn=−+∴111111141223341nTnn=−+

−+−++−+1411n=−+41nn=+18．（1）根据题意可知14362ABCS==，16530ABCVSAA===;（2）连接AM，1AA⊥平面ABC，1AMA就是直线1AM与平面ABC所成角，ABC是直角三角形，5BC=，且M是

中点，52AM=，115tan252AAAMAAM===19．（1）由()fxmn=代入坐标,可得()3cossin2sin3fxxxx=+=+，得函数()fx的值域为22−,（2）因为()3fA=所以3sin32A+=又()0

,A所以3A=由2bc=及2222cosabcbcA=+−得3ac=则sin3sinAaCc==所以1sin2C=因为ac所以AC则6C=20．（1）证明：取PC中点为G，∵在PCD中，F是PD中点，G是P

C中点，∴FGCD，且12FGCD=，又∵底面ABCD是菱形，∴ABCD，∵E是AB中点，∴BECD，且12BECD=，∴BEFG，且BEFG=，∴四边形BEFG是平行四边形，∴EFBG，又EF平面PBC，BG

平面PBC，∴EF平面PBC．（2）证明：设ACBDO=，则O是BD中点，∵底面ABCD是菱形，∴BDAC⊥，又∵PBPD=，O是BD中点，∴BDPO⊥，又ACPOO=，∴BD⊥平面PAC．21．(1)当2n时，22122142()nnnaSSn

nn==−=−−--，当1n=时，112aS==满足上式，故na的通项式为42nan=−．设nb的公比为q，由已知条件2211()baab−=知，12b=，122112bbaa==−，所以2114aqa==，11

1124nnnbbq−−==，即124nnb−=．(2)()114221424nnnnnancnb−−−===−，12112134542()]1[4nnnTcccn－＝＋＋＋＝＋＋＋＋－221[()()41434542]34214nnnTnn－＝＋＋＋＋－＋－两式相减得：1

231()553124444214(43)2)3nnnnTnn−+－＝－－＋＋＋＋＋－＝(255)4399nnTn−+＝(22．(1)由题意得：'()lnfxxk=−，又曲线()yfx=在(1,(1))f处的切线与直线20xy−=平行，所以()11ln12fk=−=，解得

12k=−.(2)因为()()122122fxfxxx++，所以()()121222fxfxxx−−，记()()1hxfxx=−，又因为1x，2(0,3]x，且12xx，所以()()1hxfxx=−在(0,3]上单调

递增.所以()'21ln0hxxkx=−+在(0,3]上恒成立，即21lnkxx+在(0,3]上恒成立，记21()lnuxxx=+，所以3'3212()2xuxxxx=−=−，令2'32()0xuxx−==，解得2x=.当02x<

<时，'()0ux，()ux单调递减，当23x时，'()>0ux，()ux单调递增，所以当2x=时，()ux取得最小值()2111(2)ln2ln2+222u=+=，所以11ln2+22k；(3)若对于任意21,xee

，且有()3lnfxx成立，所以(ln1)>3lnxkxx−−对于任意21,xee恒成立，即()3ln1xxkx−+对于任意21,xee恒成立，令()()3lnxxgxx−=，则()'23ln+3x

xgxx−=，又()3ln+3Gxxx=−在21,xee上单调递增，且()23ln2+233ln21>0G=−=−，333313ln+33ln022222G=−=−

，所以必存在0322x，，使得()0003ln+30Gxxx=−=，即003ln3xx−=，所以当01xxe时，()0gx，()gx单调递减，当20xxe时，()>0gx，()gx单调递增，所以当0xx=时，()gx取得最小值()()()000000000333

ln1932+3xxxxgxxxxx−−−===−，因为0322x，，所以0011912+236xx−−−，又因为kZ，所以1k+的最大整数为1−，所以k的最大整数为2−.