【文档说明】考点07 不等式（组）-2022年初中毕业班数学常考点归纳与变式演练（通用版）（解析版）.docx，共(19)页，666.974 KB，由管理员店铺上传

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考点07不等式（组）常考点归纳常考点01一元一次不等式【典例1】（2021·湖南常德市中考真题）若ab，下列不等式不一定成立的是（）A．55ab−−B．55ab−−C．abccD．acbc++【答案】C【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案．【详解】解：A.在不等式ab

两边同时减去5，不等式仍然成立，即55ab−−，故选项A不符合题意；B.在不等式ab两边同时除以-5，不等号方向改变，即55ab−−，故选项B不符合题意；C.当c≤0时，不等得到abcc，故选项C符合题意；D.在不等式ab两边同时加上c，不

等式仍然成立，即acbc++，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．【典例2】（2021·四川眉山市中考真题）若关于x的不等式1xm+只

有3个正整数解，则m的取值范围是______．【答案】32m−−【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可．【详解】解：解不等式1xm+，得：1xm−，由题

意x只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，故：1314mm−−，解得：32m−−，故答案是：32m−−．【典例3】（2021·山西中考真题）（1）计算：()()24311822−−+−．（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．2132

132xx−−−解：()()2213326xx−−−第一步42966xx−−−第二步49662xx−−−+第三步510x−−第四步2x第五步任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；②第_

_________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；任务二：请直接写出该不等式的正确解集．【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方

向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：2x【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．【详解】（1）解：原式118(8)4=+−()826=+−=．（2）①乘法分配律（或分配律）②五不等式两

边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：2x．【点睛】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．【技巧点拨】1.一元一次不等式的性质

若a＞b，则ac＞bc若a＞bc＞0，则ac＞bc或abcc＞若a＞bc＜0，则ac＜bc或abcc＜2.解一元一次不等式的步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1注意：不等式两边同时乘以或除以负数，不等号方向要发生改变。常考点0

2一元一次不等式组【典例1】（2021·四川遂宁市中考真题）不等式组20112xx−−−的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先分别求出两个不等式的解，得出不等式组的解，再在数轴上的表示出解集即可．【详解】解：20112xx−−−

①②解不等式①得，2x解不等式②得，1x−不等式组的解集为12x−，在数轴上表示为，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法和解集的表示，解题关键是熟练运用解不等式组的方法求解，准确在数轴上表示解集．【典例2】（2021·山东菏泽市中考真题）如果不等式组541xxxm

+−的解集为2x，那么m的取值范围是（）A．2mB．2mC．2mD．2m【答案】A【分析】先解不等式组,确定每个不等式的解集,后根据不等式组的解集的意义,确定m的取值范围即可.【详解】∵541xxxm+

−①②，解①得x＞2，解②得x＞m，∵不等式组541xxxm+−的解集为2x，根据大大取大的原则，∴2m，故选A.【典例3】（2021·四川广元市中考真题）为增强学生体质，丰富学生课余活动，

学校决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若学校计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买

足球数量的23．学校有哪几种购买方案？（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠方案：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若学校按（1）中的方案购买，学校到哪家商场购买花费少？【答

案】（1）有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场

购买花费少．【分析】（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据“学校计划用不超过3550元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的23”列出不等式组，求解即可；（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x

）个，分别计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，根据题意得，200150(20)35502(20)3xxxx+−−解得，811x∵x

是整数，∴x=9，10或11∴20-x=12，10或9故有三种方案，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）设学校购买篮球x个，购买足球（20-x）个，在甲商场花费：[20

0150(20)500]90%500(452750)xxx+−−+=+元；在乙商场花费：[200150(20)2000]80%2000(402800)xxx+−−+=+元；∴要使学校到甲商场花费最少，

则有：452750402800xx++＜解得，10x＜∵811x，且x是整数，∴x=9,即：学校购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场

购买花费少．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出不等式，再求解．【技巧点拨】一元一次不等式组的解集口诀：大大取大，小

小取小，大于小的小于大的中间找，大于大的小于小的无解。一元一次不等式组应用题步骤：1.解设未知数2.找不等量关系式3.列不等式组4.解不等式组5.作答【变式演练】1．已知ab，下列结论：①2aab；②22ab；③若0b，则2abb+；④若>0b，则11<ab，

其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【分析】根据不等式的性质分别判断即可．【详解】解：∵a＞b，则①当a=0时，2aab=，故错误；②当a＜0，b＜0时，22ab，故错误；③若0b，则bbab++，即2abb+，故错误；④

若>0b，则0ab，则11<ab，故正确；故选A．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边发生变化时，不等号的变化．【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．2

．不等式-113xx+的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来．【详解】解：解不等式113xx−+，去分母得：()131xx−+，去括号得：133xx−+，

移项合并得：24x−，系数化为得：2x−，表示在数轴上如图：故选：B．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，

“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．3．解不等式组311223(21)8xxxx−−−−①②时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】

A【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．【详解】解不等式①得：x>−3，解不等式②得：x≤-1，∴不等式组的解集为-3<x≤-1，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等

式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．4．如果ab，0c，那么下列不等式中不成立的是（）A．acbc++B．acbcC．11acbc++D．22acbc【答案】D【分析】根

据不等式的性质解答即可．【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a＋c＜b＋c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由a＜b，c＜0得到：ac＋1＞bc＋1，原变形正确，故此选项不符合题意；

D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是

否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．5．已知关于x的不等式组2311142xxa−−−−无实数解，则a的取值范围是（）A．52a−B．2a−C．52a−D．2a−【答案】D【分析】首先解出两个

不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出关于a的不等式，即可求解．【详解】解：解不等式231x−−得，2x−≤，解不等式1142xa−−得，22xa?，∵该不等式组无实数解，∴222a+>-，解得：2a−，故选：D．【点睛】本题考查了不等式

的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．6．定义一种运算：,,aababbab=，则不等式(21)(2)3xx+−的解集是（）A．1x或13xB．113x−C．1x或1x−D．1

3x或1x−【答案】C【分析】根据新定义运算规则，分别从212xx+−和212xx+−两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论．【详解】解：由题意得，当212xx+−时，即13x时，(21)(2

)21xxx+−=+，则213x+，解得1x，∴此时原不等式的解集为1x；当212xx+−时，即13x时，(21)(2)2xxx+−=−，则23x−，解得1x−，∴此时原不等式的解集为1x−；综上所述，不等式(21

)(2)3xx+−的解集是1x或1x−．故选：C．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式．7．某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可

以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（）A．8B．6C．7D．9【答案】B【分析】根据售价-进价=利润，利润=进价利润率可得不等式，解之即可．【详解】设可以打x折出售此商品，由题意得：24012012020%10x−，解得x6，

故选：B【点睛】此题考查了销售问题，注意销售问题中量之间的数量关系是列不等式的关键．8．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明

多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（）A．807250405xx=+B．807240505xx=+C．728040505xx=−D．72

8050405xx=−【答案】B【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【详解】设班级共有x名学生，依据题意列方程得，807240505xx=+故

选：B．【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．9.不等式组31231xx+−的整数解的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】先求出不等式组的解集，然后再求出整数解即可．【详解】解：31231xx+−，解不等式组，得2

2x−，∴不等式组的整数解有1−，0，1，2；共4个；故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．10.某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分

类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】B【分析】设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．【详解】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶

（6-x）个由题意得：500550631006xxx+−（），解得4≤x≤6则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．故答案为B．11.若关于x的不等式32xa+只有2个正整数解，则a的取值

范围为()A．74a−−B．74a−−C．74a−−D．74a−−【答案】D【分析】先解不等式得出23ax−„，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出2233a−„，解之可得答案．【详解】解：32xa+„，32xa−„，则23ax−„，不等式只有2个正整数解

，不等式的正整数解为1、2，则2233a−„，解得：74a−−„，故选：D．【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出关于某一字母的不等式组．12.若关于x的不等式组35128xxa−−…有且

只有3个整数解，则a的取值范围是（）A．02aB．02aC．02aD．02a【答案】C【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a），利用不等式组有三个整数解，逆推出a的取值范围即可．【详解】解：解不等式351x−…得：2x，解不等式28xa−得：82ax+，∴不

等式组的解集为：822ax+，∵不等式组35128xxa−−…有三个整数解，∴三个整数解为：2，3，4，∴8452a+，解得：02a，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个

数得出关于a的不等式组．13.若关于x的不等式组2242332xxxxa−−−−−的解集是2x，则a的取值范围是（）A．2aB．2a−C．2aD．2a【答案】A【分析】分别求出每

个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x可得关于a的不等式，解之可得．【详解】解：解不等式22x−＞243x−，得：2x，解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，∵不等式组的解集为2x，∴2a，故选：A．【点睛

】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14.把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人

就分不到3本，这些书有______本，共有______人．（）A．27本，7人B．24本，6人C．21本，5人D．18本，4人【答案】C【分析】设有x名同学，则有36x+（）本书，根据每名同学分5本，那么最

后一人就分不到3本的不等关系建立不等式组求出其解即可．【详解】设有x名同学，则有36x+（）本书，由题意，得：036513xx+﹣（﹣）＜，解得：45.5x＜，x为正整数，5x＝．书的数量为：35621+＝．故选：C．【

点睛】本题考查了列一元一次不等式组解决实际问题，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据题意中的不等关系建立不等式组是关键．15.解不等式组：311424xxxx−+−+【答案】1x2【分析】解一元一次不等式组，先求出

不等式组中每一个不等式的解集，再找到解集的公共部分．【详解】311424xxxx−+−+①②解：解不等式①得：1x解不等式②得：2x在数轴上表示不等式①、②的解集（如图）∴不等式组的解集为12x．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练解一元一次不等

式是解题的关键，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．16.已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A

品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：1012xx−=．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明A品牌球最多有几个．【

答案】（1）不正确；（2）36【分析】（1）解方程，得到方程的解不是整数，不符合题意，因此判定淇淇说法不正确；（2）根据题意列出不等式，解不等式即可得到A品牌球的数量最大值．【详解】解：（1）1012xx−=，解得：1013x=，不是整数，因此不符合题意；所以

淇淇的说法不正确．（2）∵A品牌球有x个，B品牌球比A品牌球至少多28个，∴10128xx−−，解得：36.5x，∵x是整数，∴x的最大值为36，∴A品牌球最多有36个．【点睛】本题考查了一元一次方程和一

元一次不等式的应用，解决本题的关键是能根据题意列出方程或不等式，并结合实际情况，对它们的解或解集进行判断，得出结论；本题数量关系较明显，因此考查了学生的基本功．17．某汽车贸易公司销售A、B两种型号的新能源汽车，A型车进货价格为每台12万元，B型车

进货价格为每台15万元，该公司销售2台A型车和5台B型车，可获利3.1万元，销售1台A型车和2台B型车，可获利1.3万元．（1）求销售一台A型、一台B型新能源汽车的利润各是多少万元？（2）该公司准备用不超过300万元资金，采

购A、B两种新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车多少台？【答案】（1）销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；（2）最少需要采购A型新能源汽车10台．【分析】（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为y万元，根据题意中的数量关系列出二元一次方程组，

解方程组即可；（2）先求出每台A型车和每台B型车的采购价，根据“用不超过300万元资金，采购A、B两种新能源汽车共22台”列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设每台A型车的利润为x万元，每台B型车的利润为

y万元，根据题意得，253.121.3xyxy+=+=解得，0.30.5xy==答：销售每台A型车的利润为0.3万元，每台B型车的利润为0.5万元；（2）因为每台A型车的采购价为：12万元，每台B型车的采购价为：15万元，设最少需要采

购A型新能源汽车m台，则需要采购B型新能源汽车(22-m)台，根据题意得，1215(22)300mm+−330,m−−解得，10m∵m是整数，∴m的最小整数值为10，即最少需要采购A型新能源汽车10台．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应

用，解答此题的关键是找出题中的数量关系．18.2021年是中国共产党建党100周年，红旗中学以此为契机，组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的大客车（每种型号至少一辆）送549名学生和

11名教师参加此次实践活动，每辆汽车上至少要有一名教师．甲、乙两种型号的大客车的载客量和租金如下表所示：甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）4055租金（元/辆）500600（1）共需租________辆大客车；（2）最多可以

租用多少辆甲种型号大客车？（3）有几种租车方案？哪种租车方案最节省钱？【答案】（1）11；（2）3辆；（3）3种，租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱．【分析】（1）根据学生和老师的总人数、乙种客车的载客量，以及每辆汽车上至少要有一名教师进行计算即可得；（2）设租用x辆甲种型号

大客车，从而可得租用(11)x−辆乙种型号大客车，根据甲、乙两种型号的大客车的载客量、学生和老师的总人数建立不等式，解不等式求出x的取值范围，再结合1x且为正整数即可得；（3）根据（2）中x的取值范围可得出租车方案，再分别求出各租车方案的费用即可得．【详解】解：（1）(5

4911)5510+=（辆）10（人），11111=（辆），共需租11辆大客车，故答案为：11；（2）设租用x辆甲种型号大客车，则租用(11)x−辆乙种型号大客车，由题意得：4055(11)54911xx+−+，解得3x，因为1x且为正整数，所以最多可以租用3辆

甲种型号大客车；（3）由（2）可知，租用甲种型号大客车的辆数可以为1,2,3辆，则有三种租车方案：①租用1辆甲种型号大客车，10辆乙种型号大客车；②租用2辆甲种型号大客车，9辆乙种型号大客车；③租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车；方案①的费用为1500106006500+=（

元），方案②的费用为250096006400+=（元），方案③的费用为350086006300+=（元），所以租用3辆甲种型号大客车，8辆乙种型号大客车最节省钱．【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用

，正确建立不等式是解题关键．19．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛

同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？【答案】（1）一共答对

了22道题；（2）至少需答对23道题．【分析】（1）设该参赛同学一共答对了x道题，从而可得该参赛同学一共答错了(251)x−−道题，再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为8

6分”建立方程，解方程即可得；（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了(25)y−道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）设该参赛

同学一共答对了x道题，则该参赛同学一共答错了(251)x−−道题，由题意得：4(251)86xx−−−=，解得22x=，答：该参赛同学一共答对了22道题；（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错

了(25)y−道题，由题意得：4(25)90yy−−，解得23y，答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等

式是解题关键．20．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型

消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．【答案】（1）A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元；（2）购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶，最少费用为676元【分析】（1）根据题中条件列出二元

一次方程组，求解即可；（2）利用由（1）求出的两种消毒液的单价，表示出购买的费用的表达式，根据购买两种消毒液瓶数之间的关系，求出引进表示瓶数的未知量的范围，即可确定方案．【详解】解：（1）设A种消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元．由题意得：234

15253xyxy+=+=，解之得，79xy==，答：A种消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元．（2）设购进A种消毒液a瓶，则购进B种()90a−瓶，购买费用为W元．则()79902810=+−=−+Waaa，∴W随着a的增

大而减小，a最大时，W有最小值．又1903−aa，∴67.5a．由于a是整数，a最大值为67，即当67a=时，最省钱，最少费用为810267676−=元．此时，906723−=．最省钱的购买方案是购进A种消毒液67瓶，购进B种23瓶．【点睛】本

题考查了二元一次不等式组的求解及利用一次函数的增减性来解决生活中的优化决策问题，解题的关键是：仔细审题，找到题中的等量关系，建立等式进行求解．21.为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、

乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于80

0元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值．【答案】（1）购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）共有7种进货方案；所花资金的最小值为770元．【分析】（1）设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要

y元，根据“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元；购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为w元，根据总价=单价×数量得到w关于m

的函数解析式，结合进货资金不少于766元且不超过800元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再由m为整数即可找出各进货方案，利用一次函数的性质从而得出答案．【详解】解：（1）设购进甲种纪念品每个需要x元，乙种纪念品每个需要y元，根据题意得：2202545

xyxy+=+=，解得：105xy==；答：购进甲种纪念品每个需要10元，乙种纪念品每个需要5元；（2）设购进甲种纪念品m个，则购进乙种纪念品（100-m）个，所花资金为w元，∴()1051005500wmmm=+−=+，根据题意得：550076

65500800mm++，解得：53.2≤m≤60．∵m为整数，∴m=54、55、56、57、58、59或60．∴共有7种进货方案；∵5>0，∴w随m的增大而增大，∴m=54时，w有最小值，最小值

为770元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据各数量间的关系，正确列出w关于m的函数解析式和一元一次不等式组．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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