【文档说明】福建省2022-2023学年高二下学期质优生“筑梦”联考数学试题 含解析.docx，共(30)页，2.492 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年度第二学期质优生“筑梦”联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.回答选择

题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.1.5人排成一行，其中甲、乙两人相邻的不同排法共有（）A.24种B.48种C.72种D.120种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法进行计算即可得解.【详解】先捆绑甲乙两人共有44A种可能，再松绑可得22A种可能，共有424224248AA==种可能，故选：B2.在26(1)(

1)(1)xxx++++++的展开式中，含5x的项的系数是（）A.5B.6C.7D.11【答案】C【解析】【分析】先求解5(1)x+和6(1)x+中含5x的项的系数，然后求和可得答案.【详解】因为26

(1)(1)(1)xxx++++++中只有5(1)x+和6(1)x+中含5x的项，5(1)x+的含5x的项为5x，6(1)x+的含5x的项为556Cx，所以26(1)(1)(1)xxx++++++的展开式中含5x的项的系数是5

61C7+=.故选：C.3.某铁球在0C时，半径为1dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为tC时铁球的半径为()1dmat+，其中a为常数，则在0=t时，铁球体积对温度的瞬时变化率为（）A.0B.πaC.4

π3aD.4πa【答案】D【解析】【分析】根据题意，由球的体积公式可得()314π3tVa=+，求导即可得到结果.【详解】由题意可得，当温度为tC时，铁球的半径为()1dmat+，其体积()314π3tVa=+，求导可得()()2214ππ4313ataaatV=++

=，当0=t时，4πVa=，所以在0=t时，铁球体积对温度的瞬时变化率为4πa.故选:D4.三星堆古遗址作为“长江文明之源"，被誉为人类最伟大的考古发现之一.3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据.玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代

“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为（）A.272πcmB.2162πcmC.221

6πcmD.2288πcm【答案】C【解析】【分析】根据题意可知正方体的体对角线即是外接球的直径，又因圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，可利用勾股定理得出正方体边长，继而求出球的表面积.【详解】不妨设正方体的边长为2a，球О的半

径为R，则圆柱的底面半径为a，因为正方体的体对角线即为球О直径，故223Ra=，利用勾股定理得：222263aRa+==，解得18a=，球的表面积为2ππ44318216πSR===，故选：C.5.关于函数()sin(2)fxAx=+，有下列四个命题：甲：(

)fx在27π5π,5单调递增；乙：π6−是()fx的一个极小值点：丙：π3是()fx的一个极大值点；丁：函数()yfx=的图象向左平移π3个单位后所得图象关于y轴对称.其中只有一个是假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】

A【解析】【分析】根据()fx的最小正周期判断乙、丙都是真命题，进而判断丁为真命题，从而得出甲为假命题.【详解】由于()fx的最小正周期为2ππ2T==，半周期为π2,πππ362−−=，所以乙、

丙为真命题，（否则两个都是假命题，不符合题意.）由丙可知，()fx关于直线π3x=对称，所以函数()yfx=的图象向左平移π3个单位后所得图象关于y轴对称，丁正确.故甲为假命题.另外，由丙可知，()fx关于直线π3x=对称，()fx的最小正周期为π，所以()fx关于直线π16π5π33

x=+=对称，71π6π25π,53，所以()fx在区间27π5π,5不单调，甲为假命题.故选：A6.已知()fx是定义在R上的函数，且函数(1)1yfx=+−是奇函数，当12x时，(

)ln(12)fxx=−，则曲线()yfx=在2x=处的切线方程是（）A.4yx=−B.yx=C.22yx=−+D.26yx=−+【答案】D【解析】【分析】求出()fx在35,22上的解析式后可求切线方程.【详解】令()(1)1gxfx=+−，因为()gx为奇函数，故

()()gxgx−=−，故()(1)111fxfx−+−=−++即()(1)12fxfx−+++=.即()()22fxfx=−−，当5,223x时，112,22x−−，故()(2)ln12(

2)ln23fxxx−=−−=−，故5,223x时，()()2ln23fxx=−−，此时2()23fxx=−−，故(2)2f=−，而(2)2f=故切线方程为：26yx=−+，故选：D.7.圆O为锐角ABC的外接圆，22ACAB

==，点P在圆O上，则BPAO的取值范围为（）A.1,42−B.)0,2C.1,22−D.)0,4【答案】C【解析】【分析】把BPAO转化为BOAOOPAO+，由余弦定理、数量积的定义得212BOAOr=−，讨论P的位置得211[,2]22BPAOr−−

，结合锐角三角形2sin5BCrBAC=恒成立，即可得范围.【详解】由ABC为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，又()BPAOBOOPAOBOAOOPAO=+=+，而22ACAB==，若外接圆半径为r，则222(1cos)2(1cos2)1rA

OBrC−=−=，故21cos212Cr=−，且22r，即1r，由221coscos22BOAOBOAOAOBrCr===−，对于OPAO且P在圆O上，当AP为直径时2OPAOr=，当,AP重合时2OPAOr=−，所以22[,]OPAOrr−，综上，211[,2]22BP

AOr−−，锐角三角形中90BAC，则225BCACAB+=，即2sin5BCrBAC=恒成立，所以512r，则21222r−恒成立，综上，1[,2)2BPAO−.故选:C8

.已知1F，2F为双曲线：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点，以2F为圆心，2a为半径的圆与在第一象限的交点为A，直线2AF与交于另一点B．若1ABF的面积为23a，则的离心率为（）A.2B.3C.334D.355【

答案】D【解析】【分析】设直线2AF与x轴正方向的夹角为，利用双曲线的第二定义表示出2AF,2BF，根据1ABF的面积以及222cab=+即可求解.【详解】设双曲线的右准线与x轴的交点为D，则222abFDccc=−=，设直线2AF与x轴正方向的夹角为，由双曲线的第二定义可得2

221cosFDeAFae==−，221cosFDeBFe=+，2222221coseFDABAFBFe=+=−，122222112sin3221cosABFbecShABcae===−，即222222,1cos2sin3,1cosbecaeebae

=−=−①②，由222cab=+，①②，可得整理22225cos18cos9160eee++−=，③由①可得2122cosee−=−，即23cos2ee−=，④将④代入③，整理可得295e=，即355e=.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线的位置

关系，双曲线的第二定义，解题的关键是利用第二定义表示出2221cosFDeAFae==−，221cosFDeBFe=+，考查了计算能力.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，

部分选对的得2分.9.已知复数1z对应的向量为1OZ，复数2z对应的向量为2OZ，则（）A.若1212zzzz+=−，则12OZOZ⊥B.若12=zz，则2212zz=C.若()()1212OZOZOZOZ+⊥−，则12zz=D.若1z与2z在复平面上对应的点关于实轴对称，则1212zzzz=【

答案】AD【解析】【分析】利用向量数量积的运算法则及复数的几何意义即可求解.【详解】因为1212zzzz+=−，所以1212OZOZOZOZ+=−，则221212+=−OZOZOZOZ，即120OZOZ=，则12OZOZ⊥，故选项A正确；若11iz=+，21iz=−满足12=zz

，而2212zz，故选项B错误；因为()()1212OZOZOZOZ+⊥−，所以()()12120+−=OZOZOZOZ，即2212=OZOZ，则12=zz，但不一定有12zz=，故选项C错误；设()1i,

zabab=+R，因为1z与2z在复平面上对应的点关于实轴对称，则()2i,=−zababR，所以2212zzab=+，2212zzab=+，则1212zzzz=，故选项D正确.故选：AD.10.已知函数()331fxxx=−+，则下列说法正确的是（）A.函数()1yfx=−是奇函数B.

函数()2yfx=−的极大值点等于函数()yfx=的极小值点C.若曲线()fx上共线的三点,,ABC满足ABBC=，则点B的坐标为()0,1D.函数()(),1,fxxagxxxa=+的值域为R的一个必要不充分条件是2a【答案】ABC【解析】【分析】根据奇函数定义判断A，根据导数

求出函数()fx的极值点，再由图象平移判断B，根据()fx的对称性判断C，求出函数值域为R的等价条件判断D.【详解】令3()()13kxfxxx=−=−，则3()()1()3()()kxfxxxkx−=−−=−−−=−，且定义域为R，即()

1yfx=−为奇函数，故A正确；令2()330fxx=−=，解得1x=，当1x−时，()0fx，()fx单调递增，当11x−时，()0fx，()fx单调递减，当1x时，()0fx，()fx单调递增，故()yfx=的极小值点为1，极大值点为1−，由()yfx=

向右平移2个单位得到()2yfx=−的图象，所以函数()2yfx=−的极大值点等于函数()yfx=的极小值点，故B正确；因为由A知()1yfx=−图象关于原点中心对称，所以函数()fx图象关于(0,1)中心对称，故曲线()fx上共线的三点,,ABC满足ABBC=，则B是A,

C的对称中心，故B的坐标为()0,1，故C正确；由B知，()fx的极小值为(1)1f=−，再令()1fx=−可得2x=−，当1a时，原函数值域为R需满足3131aaa+−+，解得14a，当21a−时，原

函数值域为R需满足11a+−，解得21a−，当2a−时，原函数值域为R需满足3131aaa+−+，无解，综上，原函数值域为R需满足24a−，而(),2−不是2,4−的真子集，故D错误.故选：ABC

11.已知动圆22:(cos)(sin)1Cxy−+−=，)0,2π，则（）A.圆C与圆224xy+=相切B.圆C与直线sincos10xy+−=相切的C.圆C上一点M满足(0,1)CM=，则M的轨迹的长度为4πD.当圆C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为

1【答案】AD【解析】【分析】A选项，得到圆C的圆心和半径，求出两圆圆心距等于半径之差，从而两圆内切；B选项，求出圆心到直线距离d不一定等于1，故B错误；C选项，设出(),Mxy，得到M的轨迹为以点()0,1为圆心，1为半径的圆，其周长为2π；D选项，求出圆C与坐标轴交点坐标，得到sin

2S=，从而得到面积的最大值.【详解】圆C的圆心为()cos,sinA，半径为1，圆224xy+=的圆心为()0,0O，半径为2，因为22cossin121OA=+==−，所以两圆内切，A正确；圆心()cos,sinA

到直线sincos10xy+−=的距离为22sincossincos1sin210,2sincosd+−==−+，d不一定等于1，故圆C与直线sincos10xy+−=不一定相切，B错误；设(),M

xy，则()(cos,sin)0,1CMxy=−−=，所以cos1sinxy=−=，所以()2211xy+−=，所以点M的轨迹为以点()0,1为圆心，1为半径的圆，其周长为2π，C错误；D

选项，令0x=得：22(0cos)(sin)1y−+−=，解得：0y=或2siny=，令0y=得：22(cos)(0sin)1x−+−=，解得：0x=或2cosx=，所以圆C与坐标轴交于不同的三点，分别记为()()()0,0,2cos,0,0

,2sinOAB，则这三点构成的三角形面积114sincossin222SOAOB===，当π4=或5π4=时，三角形面积取得最大值，最大值为1，D正确故选：AD12.已知实数,,abc满足()5e(0),log23(1)

caacccabba−==+，则（）A.1acb++B.1cab−−C.acbD.cba【答案】BCD【解析】【分析】作出e()(0)xfxxx=图像，结合图像和条件e()caccaa−=先可以确定,ac的大致范围，

结合条件()5log23acb=+和指数函数的单调性可确定b的范围，然后逐一判断每个选项.【详解】设e()(0)xfxxx=，则2e(1)()xxfxx−=，于是()fx在(0,1)上递减，(1,)+上递增，当1x=取得最小值(1)ef=，作得e()(0)xfxxx=图像如下：由e(

)caccaa−=得eecaca=，即()()fafc=，由图可知01ac.由()5log23acb=+得523bac=+，结合指数函数的单调性从而32323251555555cccabcc−=+++=，所以bc，所以01abc

，故11cbcaba−−−−，故B正确，1cccba=故D正确；而当c→+时，根据图像可得0a→，01abc，于是A错误；对于C，由eecaca=得，lnlnccaa−=−，所以lnlncaca−=−，设1()2ln(1)hxxxxx=−−，则22121()11

0(1)hxxxxx=+−=−，于是()hx在(1,)+上递增，取1cxa=，则2lnln0ccaccachaacaaca=−−=−−，即lnlnlncaccaaac−=−，于是1lnl

ncaacca−=−，故1acb，所以C正确.故选：BCD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出曲线e1xy=−与曲线()ln1yx=+的公切线的一个方向向量______.【答案】()1,1（与()1,1共线的非零向量均可）【解析】【

分析】先利用导数求得曲线e1xy=−与曲线()ln1yx=+的公切线方程，进而求得该公切线的一个方向向量.【详解】设曲线e1xy=−上的切点为11(,e1)xx−，exy=曲线()ln1yx=+上切点为22(,ln(1))xx+，11yx

=+则11122211e1ln(1)(e1)exxxxxxx=++−−=−，两式相减整理得122(1)ln(1)xxx=−++，代入上式得2(1)122(1)(1)xxx−+−+=+，解之得20x

=，则10x=，则曲线e1xy=−与曲线()ln1yx=+的公切线的公切点为(0,0)，则切线斜率为1，切线方程为0xy−=，则公切线的一个方向向量为()1,1故答案为：()1,114.已知抛物线2:2(0)Cypxp

=的焦点为F，过F且倾斜角为π3的直线交C于,AB两点，线段AB中点的纵坐标为3，则AB=__________.【答案】8【解析】【分析】根据题意得到AB的直线方程为332pxy=+，联立方程组得到12233yyp+=，求

得AB的中点的纵坐标为33p，求得3p=，结合抛物线的定义和12ABxxp=++，即可求解.的【详解】由抛物线2:2(0)Cypxp=，可得其焦点坐标为(,0)2pF，过焦点F且倾斜角为π3的直线方程为332pxy=+，设1122(,),(,)AxyBxy，联立方程组23322pxyypx=+

=，整理得2232330ypyp--=，可得12233yyp+=，则AB的中点的纵坐标为33p，因为线段AB中点的纵坐标为3，可得333p=，解得3p=，又由抛物线的定义可得12123()22683ABxxpyyp=++=++=+=.

故答案为：8.15.分形几何在计算机生成图形和游戏中有广泛应用．按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图．设图2中第n行黑圈的个数为na，则5a=______，数列na的通项公式na=______．【答案】①.41②.3(1)62nn−−【解析】【分析】记第n行白圈的个数为nb，根据

题意得到递推公式1nnnaab+=+，14nnnbab+=+，从而推导出2123nnnaaa++=+，进而构造等比数列联立求解即可得3(1)62nnna−=−【详解】记第n行白圈的个数为nb，由题意可得10b=，11a=，1nnnaab+=+，14nn

nbab+=+则2114nnnnnaaaaa+++−=+−，所以2123nnnaaa++=+，所以()()211211333nnnnnnnnaaaaaaaa+++++++=+−=−−，由11a=，21a=得()111123321

nnnnnnaaaa−+−++=−=−−，所以113(1)2nnna−−+−=，即3(1)62nnna−=−，故55314162a=+=，3(1)62nnna−=−故答案为：41；3(1)62nn−−16.已知半径为222的球的球心O为正四面体的中心

，且球O的球面被四面体的四个面截得的曲线总长度为8.则四面体的体积为______.【答案】182546或【解析】【详解】设四面体的棱长为a，小圆半径为r.若四面体的一个面截球如图3，则小圆周长为2、半径为1.故球心到四面体的面的距离为2236322635461221

2aRraVa=−====.若四面体的一个面截球如图4，记D为AC的中点，由题意知ACB122,.33AOBr==又111123,,cos.3336BOCAODODarAODr==−==由22221261132111

12cos2122633aRrrODarrr=−=−==−−=−322,6,18212raVa====.综上，四面体的体积为182546或.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.如图，在△ABC中，已知2AB=，62A

C=，45BAC=，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．（1）求BAM的正弦值；（2）求MPN的余弦值．【答案】（1）35（2）131050【解析】【分析】（1）解法1、由余弦定理求得213BC=，得到1132BMCMBC===，分别在ABM和A

CM△，求得cosBMA和cosCMA，结合BMA和CMA互补，求得5AM=，再在ABM中，求得cosBAM，即可求解；解法2、由题意，求得12ABAC=，根据()12AMABAC=+uuur

uuuruuur，结合ABM的面积为ABC面积的12，列出方程，即可求解；（2）解法1、由余弦定理求得10BN=，得到2103BP=，103AP=，在ABP中，由余弦定理求得1310cos50APB=，即可求解；

又由MPNAPB=，所以1310coscos50MPNAPB==．解法2、由12BNABAC=−+，求得10BN=，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】解：解法1、由余弦定理得222cosACABACCBBABCA+−=，即()2222262

2262522BC=+−=，所以213BC=，所以1132BMCMBC===，在ABM中，由余弦定理，得22229cos213BMAMABAMBMABMAMAM+−+==，在ACM△中，由余弦定理，得222259cos213CMAMACAMCMACMAMAM+−−==，BMA

与CMA互补，则coscos0BMACMA+=，解得5AM=，在ABM中，由余弦定理，得2224cos25ABAMBMBAMABAM+−==，因为0,2BAM，所以23sin1c

os5BAMBAM=−=．解法2、由题意可得，cos4512ABACABAC==，由AM为边BC上的中线，则()12AMABAC=+uuuruuuruuur，两边同时平方得，22211125442A

MABACABAC=++=，故5AM=，因为M为BC边中点，则ABM面积为ABC面积的12，所以111sinsin222ABAMBAMABACBAC=，即11125sin262sin4522

2BAM=，化简得，3sin5BAM=．【小问2详解】解：方法1、在ABN中，由余弦定理，得22222cos45BNABANABAN=+−，所以10BN=，由AM，BN分别为边BC，AC上的中线可知P

为ABC重心，可得221033BPBN==，21033APAM==，的在ABP中，由余弦定理，得2221310cos250PAPBABAPBPAPB+−==，又由MPNAPB=，所以1310coscos50MPNAPB==．解法2：因为BN为边A

C上的中线，所以12BNANABABAC=+=−+，()22111111322244AMBNABACABACABABACAC=+−+=−−+=，2222111024BNABACABABACAC=−+=−+=，即10BN=．所以131310cos50510AMBN

MPNAMBN===．18.数列na的前n项和为12,2,4nSaa==且当2n时，113,2,2nnnnSSS−++成等差数列.（1）计算34,aa，猜想数列na通项公式并加以证明；（2）在na和1na

+之间插入n个数，使这2n+个数组成一个公差为nd的等差数列，在数列nd中是否存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.【答案】（1）348,16aa==，()*2nnan

=N，证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用113,2,2nnnnSSS−++可得出递推公式，求出34,aa，进而得出数列na的通项公式；（2）求出数列nd的通项公式，利用,,mkpddd的关系，求出,,mkp的关系，即可得出结论.【小问1

详解】由题意，*nN，在数列na中，当2n时，113,2,2nnnnSSS−++成等差数列，的∴11324nnnnSSS−+++=，即()1123nnnnnSSSS+−−+=−，即123nnnaa++=，即132nnna

a+=−.∴233243328,3216aaaa=−==−=，猜想()*2nnan=N.下面我们证明()*2nnan=N.∵122,4aa==，∴12132aa=−，∵当2n时，132nnnaa+=−，∴

对任意正整数n，均有132nnnaa+=−，∴()11233232nnnnnnaaa++−=−=−，∴()()1111232320nnnnnaaa−−−−=−==−=，∴()*2nnan=N，即数列n

a的通项公式为：()*2nnan=N.【小问2详解】由题意及（1）得，*nN在数列na中，()*2nnan=N，∴1211nnnnaadnn+−==++.假设数列nd中存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列，则2kmpddd=，即2222111kmpkmp

=+++，化简得()()2222(1)11kmpkmp+=+++，∵,,mkp成等差数列，∴2mpk+=，∴()()211(1)mpk++=+，化简得2kmp=，又2mpk+=，∴22()44mpkmp+==，即2()0mp−=，∴mp=，∴mpk==，这与题设矛盾，所以假设

不成立，∴在数列nd中不存在3项,,mkpddd（其中,,mkp成等差数列）成等比数列.19.如图，三棱锥−PABC的底面是以AC为底边的等腰直角三角形，且22AC=，各侧棱长均为3.（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；

（2）若点E为棱PA的中点，线段CE上是否存在一点Q，使得Q到平面PBC的距离与Q到直线AB的距离之比为14？若存在，求出此时CQ的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，此时CQ的长为1【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理

和面面垂直的判定定理即可；（2）建立空间直角坐标系，结合空间法向量分析即可.【小问1详解】取AC中点O，连接,POBO，如图所示：因为3PAPC==，22AC=，所以POAC⊥，且2327PO=−=，因为ABC是

等腰直角三角形，所以BOAC⊥，且2BO=，又3PB=，满足222PBPOBO=+，所以POBO⊥，因为ACBOO=，所以PO⊥平面ABC，又因为PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.【小问2详解】由（1）知，PO⊥平面ABC，且BOAC⊥，故可以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系

Oxyz−，设()01CQCE=，因为点E为棱PA的中点，所以E到平面ABC的距离为1722PO=；则()()()()270,2,0,0,,,0,0,7,0,2,0,2,0,022CEPAB

−−，则()()()3272,0,7,0,2,72,2,00,,22PBPCABCE=−=−==−，所以3270,2,22Q−+，则3270,,22CQ=−，3270,22,22AQ=−，所以243c

os254832AQABQABAQAB−==−+，所以22162416sin254832QAB−+=−+，所以22sin464dAQQAB==−+，设平面PBC的法向量为(),,nxyz=r，则00nPBnPC==，即270270xzy

z−=−=，令7x=，可得()7,7,2n=，则1144CQndn==，由12214144464dd==−+，得2=5，或1=−（舍去），此时3270,,,155CQCQ=−=.故存在一点Q，使得Q到平面PBC的距离与Q到直线AB的距离之比为14，此时C

Q的长为120.已知函数()(1)exfxax=−，Ra.（1）讨论()fx的单调性；（2）若1a=，求证：当1x−时，()eln(1)1xfxxx+−−.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）依题意，()fx的定义域

为(),−+，()()1exfxaxa=+−，分类讨论可求()fx的单调性；（2）当1a=时，要证明()()eln11xfxxx+−−，即证()()1eeln11xxxxx−+−−，只需证明()()1eln110xxxx−+−++−.设()()()1e

ln11xgxxxx−=+−++−，利用导数研究其性质，即可证明()()eln11xfxxx+−−【小问1详解】依题意，()fx的定义域为(),−+，()()1exfxaxa=+−，①当0a=时，()0exfx=−，()fx在(),−+单调递减；②当0a时，当1ax

a−时，()0fx；当1axa−时，()0fx¢>；所以()fx在1,aa−−单调递减，在1,aa−+单调递增；③当a<0时，当1axa−时，()0fx¢>；当1axa−时，

()0fx；所以()fx在1,aa−−单调递增，在1,aa−+单调递减；综上，当0a=时，()fx在(),−+单调递减；当0a时，()fx在1,aa−−单调递减，在1,aa−+单调递增；

当a<0时，()fx在1,aa−−单调递增，在1,aa−+单调递减.【小问2详解】当1a=时，要证明()()eln11xfxxx+−−，即证明()()1eeln11xxxxx−+−−，因为e0x，所以只需证

明()()()1ln11exxxx−−+−+，只需证明()()1eln110xxxx−+−++−.设()()()1eln11xgxxxx−=+−++−，则()()()e111e1e111exxxxxxgxxxxxx−

−−−=−−+=−−=+++，设()e1xhxx=−−，则()e1xhx=−，所以当10x−时，()0hx；当0x时，()0hx；所以()hx在()1,0−单调递减，在()0,+单调递增；所以()()00hxh=，所以当10x−

时，()0gx；当0x时，()0gx；所以()gx在()1,0−单调递减，在()0,+单调递增；所以()()00gxg=，所以当1x−时，()()eln11xfxxx+−−【点睛】本小题考查导数与函数的单调性、不等式等基础知识；考查运算求解能力，

推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等．21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为()1,0F，O为坐标原点，线段OA的中点为D，BDFV是等腰三角形.（1）求C的方程；（2）设点()()2,T

ttR，圆T过O且交直线2x=于M、N，直线AM、AN分别交C于另一点P、Q（异于点A），直线l过O且与直线PQ平行，判断直线l与圆T的位置关系并证明你的结论.【答案】（1）22143xy+=（2）直线l与圆T

相切，证明见解析【解析】【分析】（1）分BDBF=、BFDF=、BDDF=三种情况讨论，可求出a的值，进而可求得b的值，.由此可得出椭圆C的方程；（2）设()11,Pxy、()22,Qxy、()33,Mxy、()44,Nxy，写出圆T的方程，令2x=，列出关于1y、

2y的韦达定理，设直线PQ的方程为xmyn=+，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算t的值，然后分0m=、0m两种情况，分析直线l与OT的位置关系，即可得出结论.【小问1详解】解：如图1，依题意，(),0Aa−、()0,B

b，所以,02aD−，①若BDBF=，且OBDF⊥，则O为DF的中点，所以，ODOF=，即12a=，所以2a=，222213bac=−=−=，所以，椭圆C的方程为22143xy+=；②若BFDF=，则12aa=+，即12a=，所以2a=，222213bac=−=−=，所以，椭圆

C的方程为22143xy+=；③若BDDF=，则22142aab+=+，即21ba=+，即220aa−−=，所以2a=，222213bac=−=−=，所以，椭圆C的方程为22143xy+=.综上，椭圆C的方

程为22143xy+=.【小问2详解】解：直线l与圆T相切，理由如下：如图2，由（1）知，椭圆C的方程为22143xy+=，设()11,Pxy、()22,Qxy、()33,Mxy、()44,Nxy，依题意，圆T的方程为()()22224xytt−+−=+，令2x

=，则2240yty−−=，由韦达定理可得342yyt+=，344yy=−，由图可知，直线PQ不与y轴垂直，设直线PQ的方程为xmyn=+，由22143xmynxy=++=得()2223463120mymnyn+++−=，()()()222222364334448340mnmn

mn=−+−=+−，由韦达定理可得122634mnyym+=−+，212231234nyym−=+，因为()112,APxy=+，()34,AMy=，由A、P、M三点共线得，则//APAM，可得()13124xyy+=，则113114422yy

yxmyn==+++，同理，由A、Q、N三点共线可得，24242yymyn=++，所以()()12341216422yyyymynmyn==−++++，所以()()1212422yymynmyn=−++

++，即()()()221212124220yymyymnyyn++++++=，即()22222222222124831261220343434nmnmmnmnnmmm−−++−++=+++，即222222222222222212483126123

412161216034343434nmnmmnmnmnnmnnmmmmm−−+++++++−+=++++，即220nn+−=，所以1n=或2n=−，当2n=−时，直线PQ过点A，不合题意，所以1n=

，此时122634myym+=−+，122934yym=−+，13143yymy=+，24243yymy=+，所以，()121232yymyy+=，所以()()()()()12121212341221212121246

46222333339myyyymyyyyyyyytmymymymymyymyy+++++==+==+++++++，即()()21212122212121228946834249393934mmyyy

ymyymtmmyymyymyym−+++====−+++++，所以当0m=时，0=t，直线PQ的方程为1x=，所以PQOT⊥，所以lOT⊥，直线l与圆T相切；当0m时，直线OT的斜率2OTtkm==−，直线PQ的

斜率为1PQkm=，所以1OTPQkk=−，所以PQOT⊥，所以lOT⊥，直线l与圆T相切.综上，直线l与圆T相切.【点睛】方法点睛：直线与圆的位置关系的判断方法如下：（1）代数法：将直线l的方程和圆的方程联立，消去一个元（x或y），得到关于另外一个元的一元

二次方程.0，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；Δ0=，则直线与圆有且仅有一个交点，直线与圆相切；Δ0，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.（2）几何法：计算圆心到直线的距离d，并比较d与圆的半径r的大小关系.若dr，则直线与圆有两个交点，直线与圆相交；若dr=，则直线与圆有且仅有一个交

点，直线与圆相切；若dr>，则直线与圆没有交点，直线与圆相离.22.已知函数()()()()22e,1R2xfxgxfxxaa−==+−−.（1）讨论()gx的单调性；（2）若()gx恰有3个零点；（i）求a的取值范

围；（ii）证明：在双曲线221xy−=位于第一象限内的图象上存在点(),mn，使得对于任意实数x，都有()()()2lnln2fxmmanfx−=+.【答案】（1）答案见解析（2）（i）2a；（ii）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得到()22e12xgxxa−=+−−，当

xa时，求得()0gx，得到()gx在),a+单调递减；当xa时，求得()222ee122ee1xxxxgx−=++，分0x、0x两种情况求得函数()gx，再结合0a、0a，进而得到函数的单调区间；（2）（i）由

（1）知，当0a时，求得()gx至多一个零点，不符合题意；当0a时，根据()gx的单调性，得到()gx在(),a−不存在零点，求得()gx至多一个零点，不符合题意；当2a=时，得到()gx在(),a−恰有1个零点，根据()gx在(),a+单调递减，得到()gx至多两

个零点，不符合题意；当2a时，取得()gx在()0,a恰有一个零点，结合()()20gaga+，得到()gx在(),a+恰有一个零点；当(),0x−时，设()eexhxx=−，求得()eexhx=−，得到eeaa，进而得到()gx恰有3个零点

，符合题意，即可求得a的取值范围；（ii）证明：由（i），可得设一个零点为0x，取0exn−=，02e1xm−=+，根据0x是()gx在(),a−的零点，得到()()02ln2gxan=+，根据()()()2lnln2fxmmanfx−=+对于任意实数x成立，即可得证.【

小问1详解】解：由()()2221e122xgxfxxaxa−=+−−=+−−，当xa时，()()22e12xgxxa−=+−−，可得()2222e2120222e1ee1xxxxgx−−−=−=−−++，所以()gx在),a+单调递减；当xa时，()()22e12xgxxa−=++−

，可得()222122ee122ee12ee1xxxxxxgx+−==−+++当0x时，因为2002ee122ee120xx+−+−=，可得()0gx；当0x时，因为2002ee122ee12

0xx+−+−=，可得()0gx，所以，当0a时，()0gx，所以()gx在(),a−单调递减；当0a时，当(),0x−时，()0gx，当()0,xa时，()0gx；所以()gx在(),0−单调递减

，在()0,a单调递增；综上，当0a时，()gx在(),−+单调递减；当0a时，()gx在(),0−单调递减，在()0,a单调递增，在(),a+单调递减.【小问2详解】解：（i）由（1）知，当0a时，()gx在(),−+单调递减，所以()gx至多一个零点，不符合题意；当

0a时，()gx在(),0−单调递减，在()0,a单调递增，在(),a+单调递减.又因为()2202222gaa=−=−，所以，当02a时，()00g，当(),xa−时，()()00gxg，所以()gx在(),a−不存在零点，由于()gx在(),a+单调递减，

所以()gx在(),a+至多一个零点，因此()gx至多一个零点，不符合题意；当2a=时，()00g=，当()(),00,xa−时，()()00gxg=，所以()gx在(),a−恰有1个零点，由于()gx在(),a+单调递减，所以()gx在(),a+至多一个零点，因此

()gx至多两个零点，不符合题意；当2a时，()()200,e10agga−=+，所以()()00gga，又因为()gx在()0,a单调递增，所以()gx在()0,a恰有一个零点；当(),xa+时，()()()()2222e1,2e1202axgxxaga−+−=+−−+=+−，

所以()()20gaga+又因为()gx在(),a+单调递减，所以()gx在(),a+恰有一个零点；当(),0x−时，()()()222e1e22xxgxxaxa−−=++−+−，设()eexhxx=−，则()eexhx=−，当1x时，()0h

x，所以()hx在()1,+单调递增，所以()()10hah=，即eeaa，所以()()e2e2e20agaaaaa−−−=−，所以()()00gag−，又因为()gx在(),0−单调

递减，所以()gx在(),0−恰有一个零点；所以()gx恰有3个零点，符合题意，所以a的取值范围为2a.（ii）证明：由（i）知2a且()gx在(),a−有2个零点，设其中一个零点为0x，取0exn−=，02e1xm−=+，则0,0mn且

221mn−=，即点(),mn是双曲线221xy−=位于第一象限内的图象上一点，此时，因为0x是()gx在(),a−的零点，所以()()02002e102xgxxa−=++−=，所以()()()020022e1ln22xgxaxan−=+=−=+，所以()

()()()()02222lnee1ln2xxfxmmmmfxmfxmanfx−−−===+=+对于任意实数x成立，所以在双曲线221xy−=位于第一象限内的图象上存在点(),mn，使得对于任意实数x，都有()()()2ln

ln2fxmmanfx−=+.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．获得更多资源请扫

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