【文档说明】北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.371 MB，由小赞的店铺上传

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北京市西城区2022~2023学年度第一学期期末试卷高一数学2023.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40

分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线30xy+−=的倾斜角等于（）A.45B.90C.120D.135【答案】D【解析】【分析】由30xy+−=得3=−+yx，据此可得答案.【详解】由30xy+−=得3=−+yx，得直线斜率为1−，则倾斜角为135.故选：D2.抛

物线24xy=的准线方程为（）A.1x=B.=1x−C.1y=D.1y=−【答案】D【解析】【分析】根据抛物线方程求出2p=，进而可得焦点坐标以及准线方程.【详解】由24xy=可得2p=，所以焦点坐标为()0,1，准线方程为：1y=−，故选：D.3.在空间直角

坐标系Oxyz−中，点()()1,3,0,0,3,1AB−，则（）A.直线AB坐标平面xOyB.直线AB⊥坐标平面xOyC.直线AB坐标平面xOzD.直线AB⊥坐标平面xOz【答案】C【解析】【分析】求出AB及三个坐标平面

的法向量，根据AB与法向量的关系判断．【详解】(1,0,1)AB=−−，坐标平面xOy的一个法向量是(0,0,1)，坐标平面xOz的一个法向量是(0,1,0)，坐标平面yOz的一个法向量是(1,0,0)，这三个法向量与A

B都不平行，但(0,1,0)0AB=，点,AB均不在坐标平面xOz上，因此AB与坐标平面xOz平行，故选：C．4.在4(21)x+的展开式中，2x的系数为（）A.6B.12C.24D.36【答案】C【解析】【分析】先求二项式展开式的

通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】4(21)x+展开式的通项公式444144C(2)12CkkkkkkkTxx−−−+==，令42k−=，得2k=，所以在4(21)x+的展开式中，2x的系数为42242C4624−==，故选：C5.在长方体11

11ABCDABCD−中，13,2,1ABBCAA===，则二面角1DBCD−−的余弦值为（）A.55B.255C.1010D.31010【答案】D【解析】【分析】画出长方体1111ABCDABCD−，1DCD为二面角1DBCD−−所成的平面

角，求出1cosDCD的值即可得出答案.【详解】长方体1111ABCDABCD−中，13,2,1ABBCAA===，110CD=，BCCD⊥，BC⊥平面11DCCD,1CD平面11DCCD,1BCCD⊥,又平面1DBC平面BCDBC=，1DCD为二面

角1DBCD−−所成的平面角，113310cos1010CDDCDCD===，所以二面角1DBCD−−的余弦值为31010.故选：D.6.若直线340xym++=与圆22(1)1xy++=相离，则实数m的取值范围是（）A.()(),82,−−+B.()(),28,−−+C

.()(),22,−−+D.()(),88,−−+【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心(1,0)−到直线340

xym++=的距离223134mdr−+==+，解得2m−或8m，故选:B.7.2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（）A.33A种B.332A种C.5353AA−种D.35A种【答案】B【解析】【分析】先排好教师再排学生

即可.【详解】2名教师排在两边有22A2=种排法，3名学生排在中间有33A种排法，所以共有332A种排法；故选：B.8.设aR，则“1a=”是“直线1:20laxy+=与直线()2140+++=：lxa

y平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】计算直线平行等价于1a=或2a=−，根据范围大小关系得到答案.【详解】直线1:20laxy+=与直线()2140+++

=：lxay平行，则()12aa+=，1a=或2a=−，验证均不重合，满足.故“1a=”是“直线1:20laxy+=与直线()2140+++=：lxay平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9.如图是一个椭圆形拱桥，当水面

在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（）A.33mB.33m2C.42mD.42m3【答案】A【解析】【分析】根据题意可

得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：22194xy+=，求直线1y=被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为x轴，水面的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：22194xy

+=，当水位上升1m时，水面的宽度也即当1y=时，直线1y=被椭圆所截的弦长.把1y=代入椭圆方程可得：332x=，所以当水位上升1m时，水面的宽度为33m，故选：A.10.设点()1,0A，()2,3N−，直线:210lxaya++−=，AMl⊥于点M，则MN的最大值为（）A.34B.6C.4

D.321+【答案】B【解析】【分析】依题意可得直线AM的方程，再联立直线l的方程，消a后可得到M的轨迹方程为()()22111xy−++=，则所求MN的最大值为圆心到点()2,3N−的距离加上半径，由此即可求解．【详解】依题意可得直线AM方程为()1yax=−，联立()2101x

ayayax++−==−，消a整理得()()22111xy−++=，所以点M的轨迹是以()1,1-为圆心，1为半径的圆，故MN的最大值为()()22213116−−+++=，故选：B．第二部分（非选择题共110分）二

､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设()()3,2,1,4AB−−，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为__________.【答案】2310xy−−=【解析】【分析】求出线段AB的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.【

详解】因为()()3,2,1,4AB−−，所以线段AB的中点()1,1C−−，且()423132ABk−−==−−−.所以与AB垂直的直线的斜率为112332ABkk=−=−=−，所以过线段AB的中点，与AB垂直的直线方程为()2

113yx+=+，即2310xy−−=.的故答案为：2310xy−−=12.在61xx+的展开式中，常数项为_____．【答案】20【解析】【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在61xx+的展开式的通项公式为6621661kkkkkkTCxCxx−−+

==，所以令620k−=，解得3k=，所以常数项为3620C=故答案为：20．13.设F为抛物线2:4Cyx=的焦点，点A在抛物线C上，点()3,0B，且AFBF=，则AB=__________.【答案】22【解析】【分析】由题意可设(),Axy，且满足

24yx=，因为=2AFBF=，由两点间的距离公式代入可求出()1,2A，即可求出AB.【详解】由题意可得，()1,0F，2BF=，设(),Axy，且满足24yx=，此时0x，则()()2221142AFxyxx=−+=−+=，解得：1x=，此时2y=，所以()1,2A，故()()221

3222AB=−+=.故答案为：2214.记双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的离心率为e，写出满足条件“直线2yx=与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2

（满足15e皆可）【解析】【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线byxa=中02ba即可求得满足要求的e值.【详解】解：2222:1(0,0)xyCabab−=，所以C的渐近线方程为byxa=,结合渐近线的特点，只需02ba，即224ba，可满足条件“直线2yx=

与C无公共点”所以221145==++=cbeaa，又因为1e，所以15e，故答案为：2（满足15e皆可）15.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，2,ABE=为棱1DD的中点，F是正方形11CDDC内部（含边界）的一个动点，且1//BF平面1ABE.给出下

列四个结论：①动点F的轨迹是一段圆弧；②存在符合条件的点F，使得11BFAB⊥；③三棱锥11BDEF−的体积的最大值为23；④设直线1BF与平面11CDDC所成角为，则tan的取值范围是2,22.其中所有正确

结论的序号是__________.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，利用线线平行可证得平面1//ABE平面1MNB，进而知动点F的轨迹；对于②，利用垂直的性质的可判断；对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求

解；【详解】对于①，分别取1CC和11DC的中点,NM，连接MN，1MB，1NB，由正方体性质知1//MNAB，11//NBEA，1,MNNB平面1ABE，11,ABEA平面1ABE，所以1,//MNNB平面1ABE,又1,

MNNB平面1MNB，1MNNBN=，所以平面1//ABE平面1MNB，当F在MN上运动时，有1//BF平面1ABE，故动点F的轨迹是线段MN，故①错误；对于②，当F为线段MN中点时，11MBNB=，1BFMN⊥，又1//MNAB，11BFA

B⊥，故②正确；对于③，三棱锥11BDEF−的体积11111233DEFDEFVSBCS==，又1max12112DEFS==所以三棱锥的体积的最大值为23，故③正确；对于④，连接11,BFCF，则1BF与平面11CDDC所成角1

1FCB=，则12tanCF=，又1212CF，所以tan的取值范围是2,22，故④正确；故正确结论的序号是①③④，故答案为：②③④三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明

过程.16.从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？【答案】（1）35（2）30【解析】【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有37C种；（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1

女，即12214343CCCC+.【小问1详解】7名志愿者中选出3人共有37765C353创==！种；【小问2详解】选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343CCCC436330+

=??种.17.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，2PAAB==.（1）求证：BCPE⊥；（2）求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可

得PABC⊥,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可得BCPE⊥；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面PAB与平面PBD的法向量，即可求得二面角的余弦值【小问1详解】由PA⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可知，PABC⊥又因为底面ABCD为正方形，所以ABBC⊥，又因

为PABAA=，且PA,BA含于平面PAB,所以BC⊥平面PAB；E为线段AB的中点，PE平面PAB，所以，BCPE⊥【小问2详解】根据题意可知，以A点为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如下图所示：则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)ABDP；则(2,0,2),(0,2,2)PBPD=−=−，设平面PBD的一个法向量为(,,)nxyz=，得·220·220nPBxznPDyz=−==−=，令1z=可得，1,1xy

==，即(1,1,1)n=；易知，(0,2,0)AD=是平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面PBD的夹角为，则23coscos,332nADnADnAD====所以，平面PAB与平面PBD夹角余弦值为3318.在平面直角坐标系中，()()1,0,1,0AB−，曲线C是由满足

直线PA与PB的斜率之积等于定值()R的点P组成的集合.（1）若曲线C是一个圆（或圆的一部分），求的值；（2）若曲线C是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率2e，求的取值范围.的【答案】（1）1−（2）)1+，【解析】【分析】（1）由题意知，,PAPB的斜率存在，设

(),Pxy代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足圆的条件即可求得的值.（2）由题意知，,PAPB的斜率存在，设(),Pxy代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双曲线的条件及离心率2e即可求得的取值范围.【小问1详解】设(),Pxy且1x，()()1,0,1,0AB−

，由题意知，,PAPB的斜率存在，则()0011PAPByykkxx−−==−−−即()()211yxx=−+，可化为()()2211yxxx=+−=−()1x，因为曲线C是一个圆（或圆的一部分），所以()()2211yxxx=+−

=−，可化为220xy−++=，所以140−=−解得1=−.小问2详解】设(),Pxy且1x，()()1,0,1,0AB−，由题意知，,PAPB的斜率存在，则()0011PAPByykkxx−−==−−−即()()211yxx=−+，可化为()()2211

yxxx=+−=−()1x，因为曲线C是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以()()2211yxxx=+−=−，可化为()210yx−=，所以222221,,1abcab===+=+，因为2

cea=，【所以222121cea+==解得1，所以的取值范围为)1+，.19.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的一个焦点为()3,0F，其长轴长是短轴长的2倍.（1）求

椭圆C的方程；（2）记斜率为1且过点F的直线为l，判断椭圆C上是否存在关于直线l对称的两点,AB？若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）不存在【解析】【分析】（1）由c及2ab=，根据222abc=+，解得,ab，写出方程.（2）先假设存在，设出直

线AB的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入l，求得m，验证Δ0，得结论不存在关于直线l对称的两点.【小问1详解】22223,244()cababac====−24,2,1aab===椭圆C的方程2214xy+=【小问2详解】假设存在关于l对称的

两点,AB:3lyx=−，设AB的方程为yxm=−+直线AB与椭圆C的方程联立2214yxmxy=−++=得2258440xmxm−+−=设1122(,),(,)AxyBxy则12121282,()255mmxxyyxxm+=+=

−++=，AB的中点4(,)55mm代入yx3=−解得533m=此时216800m=−+，所以椭圆C上不存在关于直线l对称的两点,AB.20.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，1AA⊥平面1，，ABCDABCDADC

D==∥，12，AAABE==为线段1AA的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：ADBE⊥；条件②：2BC=.（1）求直线CE与11BD所成角的余弦值；（2）求点1C到平面BCE的距离；（3）已知点M在线段1CC上，直线EM与平

面11BCCB所成角的正弦值为223，求线段CM的长.【答案】（1）1515（2）263（3）CM的长为12或32.【解析】【分析】选①或②，都能得到，DAAB⊥，后如图以A为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【小问1详解】若选择①，因1AA⊥平面ABC

D，DA平面ABCD，则1DAAA⊥，又ADBE⊥，1AA平面11ABBA，EB平面11ABBA，1∩AAEBE=，则DA⊥平面11ABBA，又AB平面11ABBA，则DAAB⊥；若选择②，做CFAD∥，交AB于F，又ABCD，则四边形DCFA是平

行四边形，则1CDCFADAF====，又2AB=，则1FB=.则在CFB中，222CFFBBC+=，得CFAB⊥，又CFAD∥，则ADAB⊥.故11，，DAAADAABAAAB⊥⊥⊥，则如图建立以A为原点

的空间直角坐标系.则()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,CEDB，得()()11111120,,，,,CEBD=−−=−，则直线CE与11BD所成角的余弦值为：11111151535CEBDCEBD==.【小问2详解】因()()()()102

0110001112,,，,,，,,，,,BCEC，则()()()1110111002,,，,,，,,CBCECC=−=−−=.设平面BCE的法向量为()111,,xnyz=，则111110000xyznCE

xynCB−−+==−+==，取()1,1,2n=，则求点1C到平面BCE的距离142636CCndn===.【小问3详解】因点M在线段1CC上，则设()11,,Mt，其中0,2t.又()0

,0,1E，则()111,,EMt=−.又()()11,1,00,0,2CBCC=−=，，设平面11BCCB法向量为()222,,mxyz=，则222100200xymCBzmCC−+====，取()1,1,0m=ur，则直线EM与平面11BCCB所成角的正弦值为

：()2222132221EMmtEMmt===+−或32t=.得线段CM的长为12或32.21.已知椭圆22:116xyCtt+=+−的焦点在x轴上，且离心率为12.（1）求实数t的值；（2）若过点(),Pmn可作两条

互相垂直的直线12,ll，且12,ll均与椭圆C相切.证明：动点P组成的集合是一个圆.【答案】（1）3t=（2）见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切

线中的kk,kmnb¢=-+=，化简即可求解.【小问1详解】椭圆22:116xyCtt+=+−的焦点在x轴上，且离心率为12，所以()216114ttet+--==+，解得3t=，【小问2详解】当3t=时，椭圆方程为22143xy+=，设与椭圆相切，且斜率存在直线方程为ykxb=+，所以()22

2223484120143ykxbkxkbxbxy=++++−=+=，由于相切，所以()()()222=84344120kbkbⅱD-+->，化简得22430kb¢-+=—①，设过点(),Pmn且斜率为0k直线方程为()ykxmn¢=-+，即ykxk

mn=−+，的的所以将kk,kmnb¢=-+=代入①得()22430kkmn--++=，化简得22224230knkmnkm-+-+=—②，将1k−代入②得22221114230nmnmkkk骣琪-+--+=琪桫，化简得22224

230nkkmnmk−−−+=—③，由②③相加得()()()2222227117kkmnmn+=++?=，当12,ll其中一条切线无斜率时，此时()23P,北,也满足227mn+=，综上可知：动点(),Pmn组成的集合

是一个圆，且圆的方程为227mn+=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.获得更多资源请扫码加入享学资源网

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