【文档说明】湖北省宜昌市第一中学、荆州中学2024-205学年高二上学期十月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(23)页，1.474 MB，由小赞的店铺上传

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2024年秋“宜昌一中､荆州中学”高二十月联考数学试题命题学校：荆州中学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.复数12zz､满足1212zzzz+=，若11iz=−，则2z=（）A.22B.1C.2D.22【答

案】C【解析】【分析】根据共轭复数的概念得到1z，根据条件用1z表示2z，化简之后求模长.【详解】∵11iz=−，∴11iz=+,∵1212zzzz+=,∴1211i1i1izzz+===--,∴2221(1)2z=+−=.故选：C.2.某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和

国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间50,100内，按分数分成5组：))))50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（）A.成绩在)50,60上

的人数最少B.成绩不低于80分的学生所占比例为50%C.50名学生成绩的极差为50D.50名学生成绩的平均分小于中位数【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图求出)70,80的频率，再结合各组频率及统计的相关概念逐项判断.【详解】设)70,80这一组的频率为a

，则由各组频率之和为1，得()100.010.020.030.020.81aa++++=+=，解得0.2a=，))))50,60,60,70,70,80,80,90,90,100各组频率依次为：0.1,0.

2,0.2,0.3,0.2，对于A，)50,60这一组频率最小，即成绩在)50,60上的人数最少，A正确；对于B，成绩不低于80分的学生频率为0.30.20.5+=，成绩不低于80分的学生所占比例为50%，B正确；对于C，极差为数据中最大

值与最小值的差，而50名学生的成绩都在区间50,100内，但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是50，则极差小于等于50，但不一定等于50，C错误；对于D，根据频率分布直方图，得50名学生成绩的平均数是550.1650.2750.2850.3950.278++++=，而50

名学生成绩的中位数为80，因此50名学生成绩的平均分小于中位数，D正确.故选：C3.已知平面向量1e和2e满足21122,eee==在2e上的投影向量为214e−，则2e在1e上的投影向量为（）A.114e−B

.113e−C.112e−D.1e−【答案】D【解析】【分析】根据1e在2e上的投影向量可求得121ee=−，再利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量1e和2e满足2122||||ee==，由1e在2e上的投影向量为21212222211()4|4|eeeeeeee==

−，得121ee=−，所以2e在1e上的投影向量为112112||eeeee=−.故选：D4.设,ab为实数，若直线2axby+=与圆221xy+=相切，则点(),Pab与圆的位置关系（）A.在圆上

B.在圆外C.在圆内D.不能确定【答案】B【解析】【分析】由直线2axby+=与圆221xy+=相切计算(),Pab与圆心距离即可得答案.【详解】因2axby+=与圆221xy+=相切，则2222214abab=+

=+.则(),Pab到圆心的距离为2221ab+=，则(),Pab在圆外.故选：B5.已知倾斜角为的直线l与直线230xy+−=垂直，则cos2的值为（）A.35B.35-C.15D.15−【答

案】B【解析】【分析】先将直线l与直线230xy+−=垂直转化为斜率相乘为-1求出tan的值，再根据二倍角公式将cos2用tan表示，即可得到答案.【详解】由题意得1tan12−=−，tan2=，222222co

ssin1tan143cos2cossin1tan145−−−====−+++.故选：B.6.在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为AC与BD的交点，若11ABa=，11ADb=，1AAc=，则下列向量中与1BM相等的向量是（）

．A.1122abc−++B.1122++abcC.1122−+abcD.1122−−+abc【答案】A【解析】【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体1111ABCDABCD−中，()()1111111222BBBDADAAABMD==−=−，所以

()1111111111111211211222BMBBabcBMAAADABABADAA=+=+−=−++=+−+.故选：A.7.在四边形ABCD中，2ABBC==，3AD=，90ACBD==，将BCD△沿BD折起，使点C到达点C的位置，且平面CBD⊥平面ABD.若三棱锥CABD

−的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.17πB.23πC.25πD.29π【答案】A【解析】【分析】设BD，CD中点分别为1O，2O，根据面面垂直的性质可得CB⊥平面ABD，再根据直角三角形的几何性质可得2222OCOAOBOD===，则2O为三棱锥CABD−的外接球球心

，求出半径，进而可得答案.【详解】如图，设BD，CD的中点分别为1O，2O，则12//OOCB，因为平面CBD⊥平面ABD，CBBD⊥，平面CBD平面ABDBD=，CB平面CBD,所以CB⊥平面ABD，故12OO⊥平面ABD，因为,BDAD平面AB

D，所以,CBBDCBAD⊥⊥，故222OCOBOD==，因为,,,ADABABCBBABCB⊥=平面ABC，所以AD⊥平面ABC，又AC平面ABC，所以ACAD⊥，故222OAOBOD==，的所以2222OCO

AOBOD===，故2O为三棱锥CABD−的外接球球心，1211122OOCBCB===，221113222ABADOBBD+===，所以球半径222121172ROBOOOB==+=，故球的表面积为24π17πR=.故选：A.8.有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未

中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（）A.2B.3C.4

D.5【答案】C【解析】【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于12，再列不等式求n取值.【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一

半.刮第1张卡前，下注50元：若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少；若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加；所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少；所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于

12即可，由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有(1)2nn−种，所以(1)1(1)10202nnnn−−且25n，故4n=或5，即n至少为4.故选：C【点睛

】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于12为关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法不正确的是（）A

.“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”是“1a=−”的充分不必要条件B.直线sin20xy++=的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44C.若圆()222:(4)(4)0Mxyrr−+−=上恰有两点到点()1,0N的距离为1，则r的

取值范围是()4,6D.设b为实数，若直线yxb=+与曲线21xy=−恰有一个公共点，则11b−【答案】AD【解析】【分析】利用直线垂直求出a的值，可判断选项A错误；根据直线的斜率为sin−计算斜率的取值范围，进而推出直线倾斜角的范围，得到选项B正确；问

题转化为两个圆相交问题，根据圆心距和半径的关系得到选项C正确；分析曲线为半圆，通过画图求得b的范围，选项D错误.【详解】A.由两直线垂直得，21(1)()0aa+−−=，解得0a=或1−，“0a=或1−”是“1a=−”的必要不充分条件，

选项A错误.B.由sin20xy++=得，sin2yx=−−，直线斜率sink=−，∵1sin1−，∴11k−，即1tan1−，∵[0,π)，∴倾斜角的取值范围是π3π0,,π44.选项B正确.C.到点(

1,0)N距离为1的点在圆22:(1)1Nxy−+=上，由题意得，(4,4)M，圆𝑀:(𝑥−4)2+(𝑦−4)2=𝑟2(𝑟>0)与圆22:(1)1Nxy−+=有两个公共点，两圆相交，∵圆心距22(41)(40)5MN=-+-=，∴151rr−+

，∴46r,即r的取值范围是()4,6，选项C正确.D.由21xy=−得221(0)xyx+=，曲线表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图所示，当直线yxb=+过点(0,1)A时，1b=，当直线yxb=

+过点(1,0)B和点(0,1)C−时，1b=−，当直线yxb=+与半圆相切于点D时，由圆心O到直线0xyb−+=的距离为1得22|00|11(1)b-+=+-，解得2b=−或2b=（舍），所以当直线yxb=+与曲线21xy=−恰有一个公共点时，11

b−或2b=−.选项D错误.故选：AD.10.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C为“两次

能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（）A.事件A与事件B相互独立B.事件A与事件B互斥C()34PAB=.D.()5C8P=【答案】ACD【解析】【分析】对于A、B：根据古典概型求()()(),,PAPBPAB，结合独立事件和互斥事件分析判断；对于C

：根据事件的运算求解；对于D：根据古典概型运算求解.【详解】由题意可知：第一次向下的数字为1，2，3，4，共4个基本事件，则()2142PA==，设(),ab为连续抛掷这个正四面体木块两次向下的数字组合，其中a为第一次向下的数字，b为第二次向下的数字，则有(

)()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4，共16个基本事件，可知事件B包含()()()()()()()()1,2,1,4

,2,1,2,3,3,2,3,4,4,1,4,3，共8个基本事件，则()81162PB==，事件AB包含()()()()2,1,2,3,3,2,3,4，共4个基本事件，则()41164PAB==，可知()()()104PAPBPA

B==，所以事件A与事件B相互独立，且事件A与事件B不互斥，故A正确，B错误；因为()()()()11132244PABPAPBPAB=+−=+−=，故C正确；事件C等价于为“两次向下的数字之和小于等于5”，包含()()()()()()()()()()1,1,

1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,4,1，共10个基本事件，则()105168PC==，故D正确；故选：ACD.11.如图，矩形ABCD中，2102ADAB==，边AD，BC的中点分别为E，F，直线BE交AC于点G，直线DF交AC于点H.现分别将ABE，C

DFV沿BE，DF折起，点,AC在平面BFDE同侧，则（）A.当平面AEB⊥平面BEDF时，AG⊥平面BEDFB.当平面//AEB平面CDF时，//AECDC.当,AC重合于点P时，二面角PDFB−−的大小等于60D

.当,AC重合于点P时，三棱锥PBEF−与三棱锥PDEF−外接球的公共圆的周长为10π【答案】ACD【解析】【分析】对于A，先利用三角形相似证得AGBE⊥，再利用面面垂直的性质定理证得AG⊥平面BEDF，从而得以判断；对于B，先利用线面垂直

推得平面AGH与平面CHG重合，再利用面面平行的性质定理证得//AGCH，进而推得//ACGH，从而利用线面平行的性质定理推得//GHED，由此得以判断；对于C，由DF⊥平面PHG得到二面角PDFB−−为PH

G，进而由AGCHGH==推得60PHG=，据此判断即可；对于D，先分析得三棱锥PBEF−与三棱锥PDEF−外接球的公共圆为PEF!的外接圆，再由勾股定理证得PEPF⊥，从而求得公共圆的直径，由此得解.【详解】对于A，在矩形ABCD中，2102ADAB==，E是AD的中点，所以1522AE

AD==，10CDAB==，则22AECDABAD==，又90BAEADC==，所以AEBDCA，则ABEDAC=，所以90DACAEGABEAEG+=+=，则90AGE=，故AGBE⊥，当平面AEB⊥平面B

EDF时，如图1，又因为平面AEB平面BEDFBE=，AG平面AEB，所以AG⊥平面BEDF，故A正确..对于B，当平面//ABE平面CDF，如图1，由选项A易知在矩形ABCD中，ACBEACDF⊥⊥，，则//BEDF，所以在RtABE△中，2256BEAEAB=+

=，1033ABAEAGBE==，同理1033CH=，则1033GH=，AGCH=，又,BEAGBEGH⊥⊥，AGGHG=，,AGGH面AGH，所以BE⊥面AGH，同理DF⊥平面CHG，又因为//BEDF，所以平面AGH与平面CHG重合，即四边形A

GHC为平面四边形，又平面//ABE平面CDF，平面ABE平面AGHCAG=，平面CDF平面AGHCCH=，所以//AGCH，又AGCH=，所以四边形AGHC是平行四边形，则//ACGH，假设//AECD，则四边形AEDC为平面图形，又AC平面AEDC，GH平

面AEDC，所以//GH平面AEDC，又平面AEDC平面BEDFED=，GHÌ平面BEDF，所以//GHED，又//BEDF，即//GEDH，所以四边形DEGH是平行四边形，所以DEGH=，而1033GH=，52DE=，显然矛盾，故B错误；对于C，如图2，由选项B易得DF⊥平

面PHG，又PH平面PHG，所以PHDF⊥，同理：GHDF⊥，所以二面角PDFB−−的平面角为PHG，在PGH△中，由选项B知1033AGCHGH===，所以PGH△是正三角形，故60PHG=，即二面角PDFB−−的大小等于60，故C正确；.对于D，如图2，三

棱锥PBEF−与三棱锥PDEF−的公共面为面PEF，所以三棱锥PBEF−与三棱锥PDEF−外接球的公共圆为PEF!的外接圆，易知52PEAE==，52PFCF==，10EFAB==，所以222100PEPFEF===，所以PEPF⊥，即PEF!为直角三角形，所以EF为P

EF!的外接圆的直径，即210REF==，所以所求公共圆的周长为2π10πR=，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：解答本题关键在于熟练掌握面面垂直的性质定理、线面平行与面面平行的性质定理，能够利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，严密推理；同时对于外

接球的公共圆的突破口在于找到两个三棱锥的公共面，从而得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间向量()4,1,a=−，()2,1,1b=，()1,2,1c=，若a，b，c共面，则实数=___________.【答案】1【解析】【分析】根据向量共面，可设xbyca+=

rrr，先求解出,xy的值，则的值可求.【详解】因为a，b，cr共面且cr，b不共线，所以可设xbyca+=rrr，所以()()2,2,4,1,xyxyxy+++=−，所以2421xyxyxy+=+=

−+=，所以32xy==−，所以321xy=+=−=，故答案为：1.13.若动直线1:30lmxym−−+=，圆22:(2)(4)3−+−=Cxy，则直线1l与圆C相交的最短弦长为__________．【答案】2【解析】【分析】首先求出直线过定点()1,3A，判断点()1,3A

在圆内，当直线1lAC⊥时直线1l与圆C相交的弦长最短，再由弦长公式计算可得.【详解】直线1:30lmxym−−+=，则()()130xmy−+−=，令1030xy−=−=，解得13xy==，所以动直

线1:30lmxym−−+=恒过点()1,3A，又圆22:(2)(4)3−+−=Cxy的圆心为()2,4C，半径3r=，所以()()2221432ACr=−+−=，所以点()1,3A在圆内，所以当直线1lAC⊥时直线1l与圆C相交的弦长最短，最短弦长为()()2222

22322rAC−=−=.故答案为：214.已知()()()()()()2222,|21,0,|21,0Sxyxymyxyxymy=−+−=−++=，()1,|2Txyyx==，PST=，则下列结论中正确的是______________.①

当12m=时，()33,|02,0,2,022Sxyy==−+；②当512m=+时，P有1个元素；③若P有2个元素，则55551,11,12222m−−−+−+；④若P有4

个元素，则m无整数解；【答案】①②④【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系、并集、交集的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】①当12m=时，()()()()222211,|21,0,|21,022Sxyxyyxyxyy=−+−=−++=

，由()221212xy−+−=令0y=，解得322x=，由()221212xy−++=令0y=，解得322x=，画出S对应点集如下图所示，所以()33,|02,0,2,02

2Sxyy==−+，所以①正确.②当512m=+时，()()()()222255,|211,0,|211,022Sxyxyyxyxyy

=−+−+=−+++=()()225,|211,02xyxyy=−+−+=

，画出S对应点集如下图所示，圆()2252112xy−+−+=的圆心为52,12+，半径为1，直线12yx=，即20xy−=，52,12+到2

0xy−=的距离为5221215−+=，所以圆()2252112xy−+−+=与直线12yx=相切，所以PST=有1个元素，所以②正确.对于③，当0m=时，()()22,|21,0Sxyxyy

=−+=，画出S对应点集如下图所示，半圆的圆心为(2,0)，半径为1，(2,0)到直线20xy−=的距离为215，此时P有2个元素，所以③错误.对于④，若1m，则()()()()()()2222,|21,0,|21,0Sxyxymyxyxymy=−+−=−++=(

)()()22,|21,0xyxymy=−+−=，此时直线12yx=与圆()()2221xym−+−=至多有2个公共点，不符合题意.若0m=，则由③的分析可知P有2个元素，综上所述，若P有4个元素，则

m无整数解,所以④正确；故答案为：①②④【点睛】思路点睛：解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例

”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.2023年10月22日，汉江生态城2023襄

阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组)45,55，第二组)55,65，第三组)65,75，第四组)75,85，第五组

85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．（1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方

差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．【答案】（1）平均数69.5，第25百分位数为63；（2）3703【解析】【分析】（1）根据频率分

布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为0.3及总的频率之和为1列方程组解出a，b的值；分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值；（2）由第二组、第四组

的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式125499xxx=+，22222112254[()][()]99ssxxsxx=+−++−分别求出两组所有面试者的方差．

【小问1详解】由题意可知：10100.310(0.0450.020)10.3aba+=++=−，解得0.0050.025ab==；由图可知，每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，

0.05，所以平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5x=++++=，因为0.050.250.300.25+=，设第25百分位数为x，则[55x，65)，则0.05(55)0

.0250.25x+−=，解得63x=，故第25百分位数为63；【小问2详解】设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为221212,,,xxss，且两组频率之比为0.2550.204=，则

第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数572490809x+==第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差22222112254[()][()]99ssxxsxx=+−++−2254370[30(7280)][60(9080)

]993=+−++−=．故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是3703．16.在ABCV中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinsintancoscosABCAB+=+.（1）求角C的大小；（2）若ABCV是锐角三角形，且其面积为3，求边c的取值范围.【答

案】（1）π3C=（2）)2,6【解析】【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；（2）由（1）知2π3AB+=，又ABCV是锐角三角形，可得ππ62A，根据且其面积为3可得23sinsincAB=，再

设sinsinyAB=，根据角度关系化简可得1π1sin2264yA=−+，再根据ππ62A求解即可.【小问1详解】因为sinsintancoscosABCAB+=+，则sinsinsincoscoscosCABCAB+=+，所以sincossincos

cossincossinCACBCACB+=+，即sincoscossincossinsincosCACACBCB−=−，得()()sinsinCABC−=−.所以CABC−=−或()πCABC−=−−（不成立，舍去），从而2CAB=+

，又πABC++=，所以π3C=.【小问2详解】由（1）知2π3AB+=，又ABCV是锐角三角形，则π022ππ032AA−，得ππ62A.因为221sinsinsinsinsin322sin3ABCcABcSabCABC

====△，所以23sinsincAB=.设sinsinyAB=，因为2π3BA=−，所以2π31sinsinsincossin322yAAAAA=−=+3111π1sin

2cos2sin2444264AAA=+−=−+，因为ππ62A，则ππ5π2666A−，所以13,24y，从而)24,6c=，即)2,6c，所以边c的取值范围是)2,6.17.已知线段AB的端点B的坐标是()6,8，端点A在圆2216xy+=上运动

，M是线段AB的中点，（1）求点M的轨迹方程；（2）记（1）中所求轨迹为曲线C，过定点()1,0的直线l与曲线C交于P，Q两点，曲线C的中心记为点C，求CPQ面积的最大值，并求此时直线l的方程．【答案】（1）22(3)(4)4xy−+−=（2）10xy−−=或7

70xy−−=【解析】【分析】（1）设点11(,),(,)MxyAxy，根据题意得到(26,28)Axy−−，代入圆2216xy+=，即可求解；（2）根据题意，设直线:(1)lykx=−，求得圆心(3,4)M到直线l的距离为2241kdk−=+，得到2212442CPQSdd

dd=−=−，结合基本不等式，求得最小值，进而求得直线的方程.【小问1详解】解：设点11(,),(,)MxyAxy，由点B的坐标为()6,8，且M是线段AB的中点，则116282xxyy+=

+=，可得1126,28xxyy=−=−，即(26,28)Axy−−，因为点A在圆2216xy+=上运动，所以点A点坐标满足圆的方程2216xy+=，即22(26)(28)16xy−+−=，整理得22(3)(4)4xy−+−=，所以点M的轨迹方程为

22(3)(4)4xy−+−=.【小问2详解】解：过点定点(1,0)的直线l与曲线C交于,PQ两点，则直线l的斜率一定存在且不为0，设直线:(1)lykx=−，即kxyk0−−=，则圆心(3,4)M到直线l的距离为2241kdk−=+，又因为22221(4)244222CPQddSdd

dd+−=−=−=，当且仅当24dd=−时，即2d=时，等号成立，所以2d=时，CPQS△取得最大值2，此时22421kdk−==+，解得1k=或7k=，所以CPQS△取得最大值2，此时直线l方程为10xy−−=或770xy−−=.的18.在四棱锥PABCD−中

，已知//ABCD，ABAD⊥，BCPA⊥，222ABADCD===，6PA=，2PC=，E是线段PB上的点．（1）求证：PC⊥底面ABCD；（2）是否存在点E使得PA与平面EAC所成角的正弦值为23？若存在，求出BEBP的值；若不存在，请说明理由．【答

案】（1）证明见解析（2）存在，且13BEBP=【解析】【分析】（1）首先证明⊥BC面PAC，可得出PCBC⊥，利用勾股定理的逆定理可证得PCAC⊥，再结合线面垂直的判定定理，即可证明PC⊥面ABCD；（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设BEBP=，且01

≤≤，求平面EAC的法向量n，利用1cos,3APn=，即可求得的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：在ADC△中，1ADDC==，90ADC=，所以22112ACADDC=+=+=.在ABCV中，2AC=，2AB=，45BAC=，由余弦定理有

：22222cos454222222BCABACABAC=+−=+−=，所以，222ABACBC=+，所以90ACB=，所以BCAC⊥，又因为BCPA⊥，PAACA=，PA、AC平面PAC，所以，⊥BC平面PAC，因为PC平面PAC，所以

，BCPC⊥，在PAC中：2AC=，2PC=，6PA=，则222PAACPC=+，所以，PCAC⊥，因为ACBCC=，AC、BC平面ABCD，所以PC⊥面ABCD.【小问2详解】解：因为PC⊥平面ABCD，ABAD⊥，以点A为坐标原点，AD、AB、CP的方向分别为x、y、z轴的正方向建

立如下图所示的空间直角坐标系，则有𝐴(0,0,0)、()0,2,0B、𝐶(1,1,0)、()1,0,0D、()1,1,2P，设()()1,1,2,,2BEBP==−=−，其中01≤≤，则(),2,2AEABBE

=+=−，()1,1,0AC=，()1,1,2AP=，设(),,nxyz=为面EAC法向量，则有()2200nAExyznACxy=+−+==+=，取xλ=−，则y=，1z=−，所以，平面EAC的一个法向量为(),,1n=−−，由题意可得()222222cos,3

61APnAPnAPn−===++−，可得23210+−=，因为01≤≤，所以13=.因此，存在点E使得PA与平面EAC所成角的正弦值为23，且13BEBP=.19.蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶的自来．如图，已

知圆M的方程为222()xybr+−=，直线xmy=与圆M交于()11,Cxy，()22,Dxy，直线xny=与圆M交于()33,Exy，()44,Fxy．原点O在圆M内．设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q．（1）当0b=，5r=，12m=−，2n

=时，分别求线段OP和OQ的长度；（2）①求证：34121234yyyyyyyy++=．②猜想|𝑂𝑃|和|𝑂𝑄|的大小关系，并证明．【答案】（1）53OPOQ==（2）①证明见解析；②猜测OPOQ=，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,CDEF各点的坐标，

利用直线的两点式方程，可得直线CF和ED的方程，并求它们与x轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P和点Q的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问

1详解】当0b=，5r=，12m=−，2n=时，圆M：225xy+=，直线CD：12xy=−，由22512xyxy+==−12xy==−或12xy=−=，故()1,2C−，()1,2D−；直线EF：2xy=，由2252xyxy+==21x

y==或21xy=−=−，故()2,1E，()2,1F−−.所以直线CF:122112yx++=+−+，令0y=得53x=−，即5,03P−；直线ED:122112yx−−=−−−，令0y=得53x=，即5,03Q.所以：53OPOQ=

=.小问2详解】①由题意：22br.由()222xybrxmy+−==()()222myybr+−=()2222120mybybr+−+−=，则1y，2y是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b

yymbryym+=+−=+，所以1222122yybyybr+=−.同理可得：3422342yybyybr+=−，所以34121234yyyyyyyy++=.②猜测OPOQ=，证明如下：设点(),0Pp，(),0Qq.因为,,CPF三点共

线，所以：414100yyxpxp−−=−−411414xyxypyy−=−，又因为点C在直线xmy=上，所以11xmy=；点F在直线xny=上，所以44xny=.所以()1441141414yyn

mnyymyypyyyy−−==−−；同理因为,,EQD三点共线，可得：()2323yynmqyy−=−.由①可知：34121234yyyyyyyy++=12341111yyyy+=+14321

111yyyy−=−23411423yyyyyyyy−−=231414230yyyyyyyy+=−−，【所以()()14231423yynmyynmpqyyyy−−+=+−−()23141423yyyynmyy

yy=−+−−0=.即pq=−，所以OPOQ=成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.