【文档说明】8.5 空间直线、平面的平行(典例精讲)-【巅峰课堂】2021-2022学年高一下学期数学同步精讲+检测(人教A版2019必修第二册)(解析版).docx，共(53)页，5.664 MB，由管理员店铺上传

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8.5空间直线、平面的平行本节课知识点目录：1、基本事实4的应用2、等角定理的应用3、直线平行有关的计算4、直线与平面平行的判定定理的应用5、直线与平面平行性质定理的应用6、线面平行有关计算。7、平面与平面平行的判定定理8、平面与平面平行性质定理的应用9、面面平行的计算10、平

行关系求最值与范围11、联考与联赛题选一、基本事实4的应用文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性【典型例题】【例1

】如图，在三棱锥PABC−中，,,,,,EFGHIJ分别为线段,,,,,PAPBPCABBCCA的中点，则下列说法正确的是A．||PHBGB．||IECPC．||FHGJD．||GIJH【答案】C【详解】由题意

结合三角形中位线的性质可得：,FHPAGJPA，由平行公理可得：FHGJ.本题选择C选项.【例2】如图，在正方体1111ABCDABCD−中，直线l平面1111DCBA，且直线l与直线11BC不平行，则下列典例精讲一定不可能的是（）A．l与AD平行B．l与AD不平行

C．l与AC平行D．l与BD平行【答案】A【分析】假设//lAD，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线l与直线AD一定不平行；当l与11AC平行时，选项C正确；当l与11BD平行时，选项D正确.【详解】假设//lAD，则由11////ADBCB

C，知11//lBC，这与直线l与直线11BC不平行矛盾，所以直线l与直线AD不平行.故选：A.【例3】在正六棱柱111111ABCDEFABCDEF−任意两个顶点的连线中与棱AB平行的条数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】作出几何体的直观图观察即可.【详

解】解：连接CF，C1F1，与棱AB平行的有111111,,EDCFABCFED，，，共有5条，故选：D.【例4】在空间四边形ABCD中，AC=BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接各边中点E，F，G，H，所得四边形EFGH的形状是（）A．梯形B．矩形

C．正方形D．菱形【答案】D【分析】根据空间四边形中各点的位置，结合中位线的性质可得EFGH是平行四边形，再由AC=BD即可判断四边形EFGH的形状.【详解】如图所示，空间四边形ABCD中，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到四边形EFG

H，由中位线的性质及基本性质4知，EH∥FG，EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形，又AC=BD，∴HG=12AC=12BD=EH，∴四边形EFGH是菱形.故选：D【例5】在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是平面11AADD，平面11CCDD的中心，G，H分别是

线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是A．相交B．异面C．平行D．垂直【答案】C利用中位线性质说明它们都与AC平行．【详解】如图，连接11,,ADCDAC，则,EF分别为11,ADCD的中点.由三角形的中位线定理知//,//EFACG

HAC，所以//EFGH.故选：C.【例6】如图,在四面体ABCD中,,,,,MNPQE分别是,,,,ABBCCDADAC的中点,则下列说法中不正确的是A．,,,MNPQ四点共面B．QMEDBC=C．BCDMEQ∽D．四边形MNPQ为梯形【答案】D根据题意及中位

线定理和等角定理可以一一判断.【详解】由中位线定理,易知//MQBD,//MEBC,//QECD,//NPBD.于A,由基本事实易得//MQNPP,所以,,,MNPQ四点共面,故A中的说法正确；对于B,根据等角定理,得QMEDBC=,故B中的说法正确；

对于C,由等角定理,知QMEDBC=,MEQBCD=,所以BCDMEQ∽,故C中的说法正确；由三角形的中位线定理知//MQBD,12MQBD=,//NPBD,12NPBD=,所以//MQNP,所以四边形MNPQ为平行四边形,故D中的说法不正确.故选D.【例7】如

图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是平行直线的图是________(填序号).8.5空间直线、平面的平行（精练）-2021-2022学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）【答案】①②【分析】根据正方体的结构特征，以及

两直线的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和PQ是相交直线，③中RS和PQ是是异面直线.故答案为：①②.【例8】已知棱长为a的正方体ABCDABCD−中，M，

N分别为CD，AD的中点．求证：四边形MNAC是梯形．【答案】证明见解析【分析】连接AC，利用正方体的性质，得到四边形AA′C′C为平行四边形，再结合M，N分别是CD，AD的中点，得到MN∥A′C′且MN=12A

′C′证明.【详解】证明：如图所示：连接AC，由正方体的性质可知：AA′=CC′，AA′//CC′，∴四边形AA′C′C为平行四边形，∴A′C′=AC．A′C′//AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，

且MN＝12AC，∴MN∥A′C′且MN≠A′C′．∴四边形MNA′C′是梯形．【对点实战】1.已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．不确定【答案】A【分析】由

平行直线的传递性可得答案.【详解】∵a∥b，b∥c，∴a∥c.又c∥d，∴a∥d.故选：A.2.如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AC，CD，BD，AB的中点，且AD=BC，那么四边形

EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】C【分析】先证明是平行四边形，再证明是菱形.【详解】因为,HG分别是,BABD的中点，所以//HGAD，且1=2HGAD，同理//EFAD，且

1=2EFAD，//HEBC，且1=2HEBC，//GFBC，且1=2GFBC，又=ADBC，可得四边形EFGH为菱形.故选：C.3.如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（）A．3条B．4条C．5条D．6条【答案】B【分析】由E，F分别是

B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD,BC，A1D1，所以共有4条.故选：B.4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，A

C上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是_____.【答案】平行【分析】由题设易知EF∥BC，根据棱柱的结构特征即可判断EF与B1C1的位置关系.【详解】在△ABC中，AE∶EB=AF∶FC，∴EF∥BC，三棱柱AB

C-A1B1C1中，有BC∥B1C1，∴EF∥B1C1.故答案为：平行5.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若12AEAHABAD==，13CFCGCBCD==证明:四边形

EFGH为梯形.【答案】证明见解析【分析】根据12AEAHABAD==，得到EH∥BD且EH=12BD，同理得到FG∥BD且FG=13BD，再利用平行关系的传递性证明.【详解】证明：如图，在ABD中，因为12AEAHABAD==，所以EH∥BD且EH=12BD.

在BCD中，因为13CFCGCBCD==，所以FG∥BD且FG=13BD，所以EH∥FG且EH>FG，所以四边形EFGH为梯形.6.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且::AEEBAHHDm==，::CFFBC

GGDn==.（1）证明：E，F，G，H四点共面.（2）m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？【答案】（1）见解析（2）当mn=时，四边形EFGH是平行四边形.（1）根据平行线分线段成比例的性质,可得∥EHBD和∥FGBD,即可根据空间中平行线的传递性证明∥EHFG,即可得E,F,G

,H四点共面.（2）根据平行线分线段成比例,分别用m和n及BD表示出EH和FG,由平行四边形对边相等即可求得mn=.【详解】（1）证明：连接BD因为::AEEBAHHD=,所以∥EHBD又::CFFBCGGD=,所以∥FGBD。所以

∥EHFG所以E,F,G,H四点共面（2）当mn=时,四边形EFGH为平行四边形。由（1）可知∥EHFG。因为1EHAEmBDAEEBm==++所以1mEHBDm=+同理可得1nFGBDn=+由EHFG=可得11mnmn=++得mn=故当mn=时

,四边形EFGH是平行四边形二、等角定理的应用文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补【典型例题】【例1】已知30ABPQBC

QRABC=∥，∥，，则PQR等于A．30°B．30°或150C．150D．以上答案都不对【答案】B【详解】∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同.∴∠PQR＝30°或150°，故选B.【例2】不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角

形（）A．一定是全等三角形B．一定是相似但不全等的三角形C．一定是相似或全等的三角形D．可能不全等或相似【答案】C【分析】根据等角定理，即可判断选项.【详解】根据等角定理可知，这两个三角形的三个角，分别对应相等，所以这两个三角形一定相似或全等.故选：C【例3】若∠AOB＝∠

A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是()A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1，方向可能不同C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行【答案】D【详解】如图，；当111AOB

AOB=时，且11//OAOA，OA与11OA的方向相同，OB与11OB是不一定平行，如上图所示，故选D.【例4】已知111BACBAC=,11//ABAB,则AC与11AC的位置关系是A．相交B．异面C．平行D．以上均有可能【答案】D根据题意画出图形，即可判断AC与11

AC的位置关系.【详解】如图所示,111BACBAC=,11//ABAB,则AC与11AC的位置关系是平行､相交或异面.故选：D.【例5】若111AOBAOB=，且11OAOA∥，OA与11OA方向相同

，则下列结论正确的有（）A．11OBOB∥且方向相同B．11OBOB∥，方向可能不同C．OB与11OB不平行D．OB与11OB不一定平行【答案】D【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可

得出结论．【详解】解：如图，；当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1是不一定平行．故选：D．【例6】空间中有两个角、，且角、的两边分别平行.若60=，则=__

______.【答案】60或120【分析】根据等角定理可得出结论.【详解】因为角与两边对应平行，但方向不确定，所以与相等或互补，故60=或120.故答案为：60或120.【例7】如图，三棱柱111ABCABC−中，M，N，P分别为1AA，1BB，1CC的中点.求证：1MCNA

PB=.【答案】证明见解析【分析】通过平行以及长度关系证明1//CNBP，1//CMAP，然后根据等角定理证明1MCNAPB=.【详解】证明：因为N，P分别是1BB，1CC的中点，所以11//,BNCPBNCP=，

所以四边形1BPCN为平行四边形，所以1//CNBP.同理可证1//CMAP，又1MCN与APB方向相同，所以1MCNAPB=.【对点实战】1.设A和BÐ的两边分别平行，若45A=，则BÐ的大小为___

________.【答案】45°或135°##135°或45°【分析】根据等角定理即可得到答案.【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补.故答案为：45°或135°.2.长方体1111ABCDABCD−中，,EF分别

为棱11,AACC的中点.（1）求证：1//DEBF；（2）求证：111BBFAED=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先证明四边形11EMCD为平行四边形，可得11//DEMC，再证明四边形1MBFC为平行四边形

，得1//BFMC，从而得1//DEBF；（2）根据等角定理证明即可.【详解】证明：（1）如图，取1BB的中点M，连接1,EMCM.在矩形11ABBA中，易得11//EMAB，11EMAB=因为1111//ABCD，1111ABCD=，所以11//EMCD，11EMCD=所以四边形

11EMCD为平行四边形，所以11//DEMC.在矩形11BCCB中，易得1//MBCF，1MBCF=.所以四边形1MBFC为平行四边形，所以1//BFMC，所以1//DEBF.（2）因为1//DEBF，11//BBEA，又1B

BF与11AED的对应边方向相同，所以111BBFAED=.3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．（1）求证：四边形BB1M1M为平行四边形；（2）求证：∠BMC＝∠B1

M1C1．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析．【分析】（1）利用正方体的性质，根据平行四边形的定义与性质证明即可；（2）根据正方体的性质以及平行四边形的性质可证明111BMCBMC，从而可得结果.【详解】（1）在正方形ADD1A1中，M、M1分别为AD、A1

D1的中点，∴MM1∥AA1，MM1=AA1．又∵AA1∥BB1，AA1=BB1，∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．（2）法一：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M

1∥BM．同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM．由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1．法二：由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM．

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM．又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1．∴∠BMC＝∠B1M1C1．4.在长方体1111ABCDABCD−中，求证：（1）111ABCABC=；（2）1111ADABCB=.【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.【分析】（1）根据11//ABAB，11//BCBC且方向相同可证得结论；（2）根据11//ADBC，1111//BACD且方向相同可证得结论.【详解】（1）由长方体的性质可得：11//ABAB，11//BCBC，且方向相同，由等角定理可得：111

ABCABC=.（2）由长方体的性质可得：11////DCDCAB，11DCDCAB==，四边形11ABCD为平行四边形，11//ADBC，1111//BACD，且方向相同，由等角定理可得：1111ADABCB=.三、线线平行有关的计算利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对

应线段成比例即可求线段长度．【典型例题】【例1】已知在三棱锥ABCD−中，,MN分别是,ABCD的中点，则下列结论正确的是（）A．1()2MNACBD+B．1()2MNACBD+C．1()2MNACBD=+D．1()2MNACBD+【答案】D【详解】

如图所示，取BC的中点E，连接ME、EN，在ABC中，∵AMMB=，CEEB=，∴12MEAC=，同理可得12ENBD=，在MEN中，∵三角形两边之和大于第三边即MEENMN+，∴1122ACBDMN+，即()12MNACB

D+，故选D.【例2】已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（）A．5B．10C．12D．不能确定【答案】B【分析】根据中位线定理判断四边形EFGH是平行四边形，再

由2222()()EGHFEFEHEFEH+=++−计算可得解.【详解】如图所示，由三角形中位线的性质可得1//,2EFACEFAC=,1//,2HGACHGAC=.所以四边形EFGH是平行四边形，因为,EGEFEHHFEFEH=+=−，所以222222()()2()2(14)10EGHFEFEH

EFEHEFEH+=++−=+=+=.故选：B.【例3】如图，空间四边形ABCD中，,MN分别是△ABC和△ACD的重心，若BDm=，则MN=___.【答案】13m##3m【分析】连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连

接MN，EF，可知12EFBD=，23MNEF=，从而可求出答案.【详解】连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF，∴,BEECCFFD==，∴1122EFBDm==，又∵22,33AMAEA

NAF==，∴2133MNEFm==.故答案为：13m.【例4】如图，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且2'''3AOBOCOOAOBOC===.（1）求证:A'B'∥AB，A'C'∥AC

，B'C'∥BC;（2）求'''ABCABCSS的值.【答案】（1）证明见解析；（2）49.【分析】（1）根据等比例的性质，即可证明结论；（2）由（1）易知△ABC∽△A'B'C'，进而利用相似比求'''ABCABCSS的值.【详解】(1)∵AA'∩BB'=

O且2''3AOBOAOBO==，∴AB∥A'B'，同理，AC∥A'C'，BC∥B'C'.(2)∵A'B'∥AB，A'C'∥AC，由图知：AB和A'B'，AC和A'C'方向相反，∴∠BAC=∠B'A'C'，同理，∠ABC=∠A'B'C'，∠ACB=∠A'C'B

'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴2'''3ABAOABOA==，∴2'''2439ABCABCSS==.【例5】在长方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是边长为2的正方形，高1AA为1，,MN分别是边11CD与11AD的中点.（1）求证：四边形MNAC是等腰梯形；

（2）求梯形MNAC的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）332.【分析】（1）连接11AC，由三角形中位线性质可证得1//2MNAC，证得四边形MNAC为梯形；利用三角形全等可证得ANMC=，由此得到结论；（2）利用勾股定理可求得等腰梯形的上下

底和高，由梯形面积公式可求得结果.【详解】（1）证明：连接11AC，则MN是111ACD的中位线，则有111//2MNAC.又11//ACAC，1//2MNAC，,,,MNAC四点共面，且四边形MNAC为梯形；11RtAANRtCCM≌，ANCM=

，梯形MNAC等腰梯形.（2）由题意得：22211112ANAAAN=+=+=，22AC=，122MNAC==，等腰梯形MNAC的高()221622hANACMN=−−=，梯形MNAC的面积()1326332222SACMNh=+==.四、直线与平面平行的

判定定理的应用文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α图形语言【典型例题】【例1】过平面外的直线l作一组平面与相交，若所得交线分别为a，b，c…，

则这些交线的位置关系为（）A．相交于同一点B．相交但交于不同的点C．平行D．平行或相交于同一点【答案】D【分析】对l于的位置关系进行分类讨论，由此确定正确选项.【详解】当//l时，根据线面平行的性质定理以及平行公理可知：所得交线平行.当lA=I时，所得交线交于同一点A.所以

所得交线平行或相交于同一点.故选：D【例2】下列命题中正确的个数是（）①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；③若直线a∥直线b，直线

b∥平面α，则直线a∥平面α；④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断，对于②，由线面平行的性质判断，对于C，由线面平行的判定定理判断，对于D，由线面平行的定义判断【详解】对于①，若直

线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误，对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误，对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a

∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误，对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确，故选：B【例3】若直线a不平行于平面，则下列结论正

确的是（）A．内的所有直线均与直线a异面B．直线a与平面有公共点C．内不存在与a平行的直线D．内的直线均与a相交【答案】B【分析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选

项即可.【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；C：平面内不存在与a平行的直线，错误，当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；

D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.故选：B【例4】．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（）A．BD//平面EFGH，且四边形EFGH是

矩形B．EF//平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG//平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH//平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形【答案】B【分析】先判断四边形EFGH的形状，再去判断线面是否平行即可解决.【详解】△ABD中，AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，则EF/

/BD，且15EFBD=△BCD中，,BHCHDGCG==，则HG//BD，且12HGBD=则,EFHGHGEF//>，则四边形EFGH是梯形.故选B.下面看四个平行的判断是否正确.,BDEFEF//Ì平面EFGH,BD平面EFGH，则BD

//平面EFGH.判断正确；,BDEFBD//Ì平面BCD,EF平面BCD，则EF//平面BCD.判断正确；,HGEFEF//Ì平面ABD,HG平面ABD，则HG//平面ABD.判断正确；梯形EFGH中，,EF

HGHGEF//>，HE与GF的延长线会交于一点，则直线EH与平面ADC的位置关系为相交.故选：B【例5】在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE︰EB＝CF︰FB＝2︰5，则直线AC与平面DEF的位置关

系是()A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定【答案】A【详解】因为AE︰EB＝CF︰FB，所以//ACEF,因为,,//ACDEFEFDEFACDEF面面面,选A.【例6】如图，下列正三棱柱111ABCABC−中，若M、N、P分别为其所在棱的中点，则不能得出/

/AB平面MNP的是A．B．C．D．【答案】C【分析】根据直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的性质对各选项中//AB平面MNP是否成立进行判断.【详解】在A、B选项中，M、N分别为11AC、11BC的中点，则11//MNAB，在正三棱柱111ABCABC−中，11//ABAB

，//MNAB，MN平面MNP，AB平面MNP，则//AB平面MNP，A、B选项正确；在C选项中，如下图所示：取AB的中点Q，连接MQ、PQ，M、N分别为11AB、11BC的中点，则11//MNAC，同理可证//P

QAC，在正三棱柱111ABCABC−中，11//ACAC，//MNPQ，同理可证//MQPN，则四边形MNPQ为平行四边形，则AB与平面MNPQ相交，C选项错误；在D选项中，在正三棱柱111ABCABC−中，11//AABB，且

N、P分别为1AA、1BB的中点，//ANPB，则四边形ABPN为平行四边形，//ABPN，AB平面MNP，PN平面MNP，//AB平面MNP，D选项正确.故选C.【例7】下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶

点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】C用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①，连接AC如图所示，由于/

/,//MNACNPBC，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP平面ACB，所以//AB平面MNP.对于②，连接BC交MP于D，由于N是AC的中点，D不是BC的中点，所以在平面ABC内AB与DN相交，所以直线AB与平面MNP相交.对于

③，连接CD，则//ABCD，而CD与PN相交，即CD与平面PMN相交，所以AB与平面MNP相交.对于④，连接CD，则////ABCDNP，由线面平行的判定定理可知//AB平面MNP.综上所述，能得出//AB平面MNP的图形的序号是①④.故选：C【对点实战】1.下列说法正确的是

A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αD．若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于α内的无数条直线【答案】D【分析】结合线面平行的判定定理，逐个分析即可．【

详解】选项A中，直线l⊂α时也可以满足条件，但l不平行于α，所以选项A错误；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B错误；选项C中缺少直线a不在平面α内这一条件，不能证明a∥α；选项D正确

．2.在五棱台ABCDE­A1B1C1D1E1中，F，G分别是AA1和BB1上的点，且11AFBGFAGB=，则FG与平面ABCDE的位置关系是（）A．平行B．相交C．FG⊂平面ABCDED．无法判断【

答案】A【分析】由线面平行的判定定理得结论．【详解】五棱台中，AB∥A1B1，∴四边形AA1B1B是梯形，∵11AFBGFAGB=，∴FG∥AB.而FG平面ABCDE，AB⊂平面ABCDE.∴FG∥平面ABCDE.故选：A.3.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，,,MN

P分别是1111,,CDBCAD的中点，则下列命题正确的是（）A．//MNAPB．1//MNBDC．11//MNBBDD平面D．//MNBDP平面【答案】C【详解】分析：记AC∩BD=O，则MN∥OD1，利用线面平行的判定可得MN∥平面BD1D．详解：A：MN和AP

是异面直线，故选项不正确；B：MN和1BD是异面直线，故选项不正确；C：记AC∩BD=O．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点，∴ON∥D1M∥CD，ON=D1M=12CD，∴MNOD1为平行四边形，∴MN∥OD1，∵MN⊄平面BD1D，O

D1⊂平面BD1D，∴MN∥平面BD1D．D：由C知11//MNBBDD平面，而面11BBDD和面BDP相交，故选项不正确；故答案为C.4.如图，正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（）A．1ADB．1AAC．1BDD．EO【答案】C【分析

】根据线面平行的判定定理即可得出答案.【详解】解：对于A，因为直线1AD与平面AEC交于点A，故不平行；对于B，因为直线1AA与平面AEC交于点A，故不平行；对于C，在正方体1111ABCDABCD−中，因为E为1DD的中点，O为BD的中点，所以1EOBD∕∕，又EO平

面AEC，1BD平面AEC，所以1BD∕∕平面AEC；对于D，因为EO平面AEC，故不平行.故选：C.5.如图，在以下四个正方体中，直线MN与平面ABC平行的是（）A．B．C．D．【答案】D根据图形直接判断A选项中直线MN与平面ABC的位置关系；连

接AN，可判断出B选项中直线MN与平面ABC的位置关系；连接BN，可判断出C选项中直线MN与平面ABC的位置关系；利用线面平行的判定定理可判断出D选项中直线MN与平面ABC的位置关系.【详解】对于A选项，由图形可知，直线MN与平面ABC相交；对于B选项，如下图所示，连接AN，在正

方体中，//ACBN，所以，直线MN与平面ABC相交；对于C选项，如下图所示，连接BN，在正方体中，//ANBC，所以，直线MN与平面ABC相交；对于D选项，在正方体中，//ANCM且ANCM=，则四边形ACMN为平行四边形，所以，//MNAC，AC平面AB

C，MN平面ABC，//MN平面ABC.故选：D.6.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N，下列结论正确的是（）A．//MN平面ABEB．//MN平面ADEC．//MN平面BDHD．/

/MN平面CDE【答案】C根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可

以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.【详解】根据

题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MN‖BO,∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；∵平面ADE‖平面BCF,MN∩

平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；∵BO⊂平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN⊄平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.故选：C.7.如图，在四棱锥P

ABCD−中，底面ABCD是平行四边形，点E，F，G分别在线段PC，PB，PD上，F，G分别是PB，PD的中点，3CEEP=，则（）A．直线PA与直线EF平行B．直线PA与直线GF相交C．直线PA与直线EG相交D．直线PA与平面EFG平行【答案】

D【分析】在平面EFG中找到一条与直线PA平行的直线，进而判断直线PA与EF，EG，GF，平面EFG的位置关系．【详解】如图，连接AC，BD交于点O，由四边形ABCD是平行四边形，得O为AC，BD的中点，因为F，G

分别是PB，PD的中点，所以//GFBD，连接PO，交GF于点M，可得PMMO=，取线段PC的中点Q，连接OQ，则//OQPA，又3CEEP=，所以2PQQE=，连接ME，则//MEOQ，所以//PAME，因此直线PA不与直线EF平行，与直线GF异面，与直线EG异面，与平面EFG平

行，故选：D．五、直线与平面平行性质定理的应用文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言【典型例题】【例1】若α、β是

两个相交平面，点A不在α内，也不在β内，则过点A且与α和β都平行的直线（）A．只有1条B．只有2条C．只有4条D．有无数条【答案】A【分析】由平面的基本性质和线面平行的判定定理给出存在性的证明；利用线面平行的性质定理，并结合判定定理证明唯一性．【详解】设l=,∵,,AA∴A∉l,

则A、l确定一个平面γ，在γ内有且只有一条过A于l平行的直线，记作a，由于//,,,,alaall，由线面平行的判定定理得a∥α，a∥β，由此证明了存在性；假设过A平行α，β的直线还有一条，记为b，则a∩

b=A.过b作平面M与α相交于m,过b作平面N与β相交于直线n,(适当调整，可以使m,n都不与l重合)，由线面平行的性质定理可得b∥m,b∥n,由平行公理得m∥n,∵m⊄β，n⊂β，∴m∥β，又∵m⊂α，α∩β=l,由线面平行的

性质定理得m∥l,从而b∥l,又∵a∥l,∴a∥b,这与a∩b=A矛盾，由此证明了唯一性.故过点A且与α和β都平行的直线有且只有一条.故选：A.【例2】如图．四棱锥PABCD−的底面ABCD为正方形，空间中存在点E，满足PEAB∥，则点E可能位于（）A．平面PAB与平面PCD的交线上B．平面P

CD与平面ABCD的交线上C．直线BC上D．直线AD上【答案】A【分析】利用线面平行的判定定理与性质定理即可得到答案.【详解】设平面PAB平面PCDm=，因为ABCD，所以ABP平面PCD，由线面平行的性质定

理知，mAB∥；又PEAB∥，所以PE与m重合，即点E位于平面PAB与平面PCD的交线上.故选：A．【例3】一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A．异面B．相交C．不能确定D．平行【答案】D【分析】由题意设,//,//lmm=，然

后过直线m作平面与,都相交，利用线面平行的性质定理与判定定理，即可求解.【详解】设,//,//lmm=，过m作平面与,都相交，记,ab==，则有//,//,//mambab，,,//,,abaal=,/

/,//alml.故选:D【例4】如图，在四面体ABCD中，,EF分别为,ABAD的中点，,GH分别在,BCCD上，且::1:2BGGCDHHC==.给出下列四个命题：①BD∥平面EGHF；②FH∥平面ABC；③AC∥平面EGHF；④直线,

,GEHFAC交于一点.其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】依题意可得//GHBD且23HGBD=，//EFBD且12EFBD=，即可得到//BD平面EGHF，再判断FH与AC为相交直线，即可判断②③，由四边形EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，即可得

到MAC，从而判断④；【详解】解：因为::BGGCDHHC=，所以//GHBD且23HGBD=，又,EF分别为,ABAD的中点，所以//EFBD且12EFBD=，则//EFGH，又BD平面EGHF，GH平面EGHF，所以//BD平面EGHF，因为F为AD的中点，H为CD的一

个三等分点，所以FH与AC为相交直线，故FH与平面ABC必不平行，AC也不平行平面EGHF，因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，又EG平面ABC，FH平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，所以MAC

，即直线,,GEHFAC交于一点，故选：B.【例5】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【答案】A【分析】先证

明EF//平面ABCD，再证明EF//GH，即得证.【详解】由长方体的性质知，//EFAB,EF平面ABCD,AB平面ABCD,所以EF//平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF//GH.又EF//AB，∴GH//AB.故选：A【例6

】．已知空间直线l不在平面内，则“//l”是“直线l上有两个点到平面的距离相等”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及线面平行的的性质判断即可.【详解】若

//l，则直线l任意一点到平面的距离都相等，所以直线l上有两个点到平面的距离相等，正确；若直线l上有两个点到平面的距离相等，则两点可能在平面异侧，其中点在平面上即可，所以推不出//l，综上知，“//l”是“直线l上有两个点到平面的

距离相等”的充分不必要条件.故选：A【例7】若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A．0条B．1条C．2条D．4条【答案】C【分析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平

行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面α平行.【详解】如下图示，若平面α即为面HEGF为平行四边形，即//HEFG且HEFG=，//EGHF且EGHF=，又HE面ACD，FG面ACD，则//FG面ACD，而FG面ABD，面ABD面ACDAD=，∴//FGAD，

由线面平行判定易知：//AD平面α；同理可得//EGBC，易得//BC平面α.∴该三棱锥与平面α平行的棱有AD、BC，共2条.故选：C【对点实战】1.已知α和β是两个不同平面如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交

BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【答案】A【分析】先证明EF//平面ABCD，再证明EF//GH，即得证.【详解】由长方体的性质知，//EFAB,EF平面ABCD,AB平面ABCD,所以EF

//平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF//GH.又EF//AB，∴GH//AB.故选：A2.已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行

”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】点P不在直线l、m上，若直线l、m

互相平行，则过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，即必要性成立，若过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行，则直线l、m互相平行成立，反证法证明如下：若直线l、m互相不平行，则l，m异面或相交，则过点P只能作一个平面同时和两条直线平行，则与

条件矛盾，即充分性成立则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的充要条件，故选：C．3.已知直线,ab和平面，下列说法正确的是（）A．如果//ab，那么a平行于经过b的任意一个平面．B．如果//a，那么a平行于平面内的

任意一条直线．C．若//,//ab，则//ab．D．若,ab且//ab，则//a．【答案】D【分析】A,D选项考查线面平行的判断，A选项缺少条件，D选项正确；B选项是线面平行推线线平行，需要借助另外一个面；C选项中，平行于同一个面的两条线没有特定

的位置关系【详解】选项A中，由//ab推出a平行于经过b的任意一个平面，需要增加一个条件，即a不在b所在的面内，A选项没有这一限制条件，所以A错误选项B中，//a，a，b=，则//ab，所以不是平行于面内所有的线，只

能平行于面面的交线，所以B错误选项C中，两条直线分别平行于面，这两条直线的位置关系是任意的，不能推出平行，所以C错误选项D为证明线面平行的判定定理，条件充分，正确故选：D4.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱

的中点，则下列各图中，不满足直线//MN平面ABC的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解.【详解】对于A，由正方体的性质可得////MNEFAC，可得直线//MN平面ABC，能满足；对于B

，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MN//AD，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN//BD，可得直线MN//平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.故选：

D.六、线面平行有关的计算【典型例题】【例1】如图，在三棱锥PABC−中，点D，E分别为棱PBBC、的中点，点G为CDPE、的交点，若点F在线段AC上，且满足//AD平面PEF，则AFFC的值为（）A．1B．2C．12D．23【答案】C【分析】结合线面平

行的性质定理证得//ADFG，结合三角形的重心求得AFFC.【详解】由于//AD平面PEF，AD平面ACD，平面ACD平面PEFFG=，根据线面平行的性质定理可知//ADFG.由于点D，E分别为棱PBBC、的中点，点G为CDPE、的交点，所以G是三角形PBC的重心，

所以12AFDGFCGC==.故选：C【例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点E在BB1上，动点F在A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则三棱锥O－AEF的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．

与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【答案】B【分析】利用等体积法OAEFEOAFVV−−=，结合棱锥的体积计算公式，即可容易判断和选择.【详解】因为13OAEFEOAFAOFVVSh−−==（h为点E到平面AOF的距离），连接OC

，因为1BB//11,AAAA面111,AACCBB面11AACC，故1BB//面11AACC，则点h为定值；因为11AC//AO，故点F到AO的距离为定值，又AO为定值，故△AOF的面积是定值；故OAEFV−为定值，与,xy都无关.故选：B.【例3】如图，直三棱柱ABCABC−

中，ABC为边长为2的等边三角形，4AA=，点E、F、G、H、M分别是边AA、AB、BB、AB、BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP//平面ACCA，则动点P的轨迹长度

为（）A．4B．23C．2D．2【答案】A【详解】分析：先根据线面平行判定定理以及性质定理确定轨迹，即为两平面交线，再根据条件求结果.详解：因为//MFAC,所以//MF平面ACCA；取CB中点N,因为//MNCC,所以//MN平

面ACCA，从而平面//MFHN平面ACCA,即动点P的轨迹为线段HF,因此长度为4，选A.【例4】如图，几何体111ABCABC−是一个三棱台，在1A、1B、1C、A、B、6C个顶点中取3个点确定平面，平面111ABCm=，且//mAB，则所取

的这3个点可以是A．1A、1B、CB．1A、B、1CC．A、B、1CD．A、1B、1C【答案】C【分析】由题意可得出//AB平面111ABC，由直线与平面平行的性质定理可知，当ABÌ平面时，有//mAB，从而可得出正确选项.【详解】由于几何体111ABCABC

−是三棱台，则11//ABAB，又AB平面111ABC，11AB平面111ABC，所以，//AB平面111ABC，当ABÌ平面，平面平面111ABCm=时，由直线与平面平行的性质定理可知//mAB，选项C符合要求，故选C.【例5】如图，P为平行四边形ABCD所

在平面外一点，E为AD上一点，且13AEED=，F为PC上一点，当//PA平面EBF时，PFFC=（）A．23B．14C．13D．12【答案】B【分析】连接AC交BE于点M，运用线面平行的性质定理，可得//PAEM，再由平行线分线段成比例定理，可得结论．【详解】连接AC交BE于点M，连接FM

．//PA平面EBF，PA平面PAC，平面PAC平面EBFFM=，//PAFM，14PFAMAEFCMCBC===，故选：B．【例6】如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，60BAD=，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtMC=，若//PA平面MQB，则t等

于（）A．12B．13C．14D．25【答案】A连接AC交BD于O，连接MO，根据线面平行的性质得//PAMO，即可得到12AOPMCOMC==，即可求解.【详解】连接AC交BD于O，连接MO，如图：底面ABCD为菱形，Q为AD的中点，所以AQO与CBO相似，12AOAQCOBC==，因为//

PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC与平面MQB交线为MO，根据线面平行的性质可知：//PAMO，在PAC中，12AOPMCOMC==，12PMMC=，即12t=.故选：A【例7】在正方体1111ABCDABCD−中，M是1AA的中点，过M在平面11ACCA内作直线MN交11AC于N，

若//MN平面1BCD，则111ANAC=（）A．14B．13C．12D．22【答案】A【分析】连接AC、BD，ACBDE=，连接1CE，取11AC的中点F，连接AF，根据正方体的性质可得1//AFEC，再由线面平行的性质得到1//MNCE，从而得到/

/MNAF，即可得解；【详解】解：连接AC、BD，ACBDE=，连接1CE，取11AC的中点F，连接AF，在正方体1111ABCDABCD−中1AECF=，1//AECF，所以四边形1AECF为平行四边形，所以1//AFEC，又//MN平面1BCD，MN平面11A

CCA，平面11ACCA平面11BCDCE=，所以1//MNCE，所以//MNAF，因为M是1AA的中点，所以N为1AF的中点，所以11114ANAC=，即11114ANAC=故选：A【例8】四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在线段PC上，PMtPC=

，//PA平面MQB，则实数t的值为（）A．15B．14C．13D．12【答案】C【分析】连接AC交BQ，BD分别于点N，O，连接MN，证明MN//PA，再借助比例式即可作答.【详解】四棱锥PABCD−中，连接AC交BQ，BD分别于点N，O，因底面ABCD为平行四边形，则O是AC中点，也是

BD中点，而点Q是AD中点，于是得点N是ABD△重心，从而得2133ANAOAC==，连接MN，如图，因//PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN=，因此得//PAMN，于是得13PMANtPCAC===，所以实数t的值为13.故选：C【对点

实战】1.正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，E是AB的中点，点F在BC上，则BF等于多少时，//EF平面11ACD（）A．1B．12C．13D．14【答案】B【分析】连接AC，过点E作//EFAC交BC于F，再根据几何关系即可得答案.【详解】解

：如图，连接AC，过点E作//EFAC交BC于F，因为E是AB的中点，所以F是BC的中点，由正方体的性质易得11//ACAC，所以11//EFAC，因为EF平面11ACD，11AC平面11ACD，所以//

EF平面11ACD，此时F是BC的中点，故12BF=.故选：B2.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1＝（）A．2B．3C．2D．1【答案】D【分析】首先根据线面平行的性质定理，作辅助线，找

到包含1AC的平面11ABC与平面1ABP的交线，即可计算1PC的值.【详解】连结1AB，交1AB于点Q，连结1PA和PB，PQ，因为1//AC平面1ABP，又1AC平面11ABC，且平面11ABC平面1ABPP

Q=，所以1//ACPQ，又点Q是1AB的中点，所以P是11BC的中点，所以11PC=故选：D3.如图，已知四棱锥PABCD−的底面是菱形，AC交BD于点O，E为AD的中点，F在PA上，APAF=，PC∥平面BEF，则的值为（）A．1B．32C．3D．2【答案】C【分析

】根据AEGCBG，得到13AGAC=，利用//PC平面BEF，得到//GFPC，结合比例式的性质，得到=APACAFAG=，即可求解.【详解】解：设AO与BE交于点G，连接FG，如图所示，因为E为AD的中点，则

1122AEADBC==，由四边形ABCD是菱形，可得//ADBC，则AEGCBG，所以12AGAEGCBC==，所以13AGAC=，又因为//PC平面BEF，PC平面PAC，平面BEFI平面PACGF=，所以/

/GFPC，所以=3APACAFAG==.故选：C.4.如图，已知圆锥的顶点为S，AB是底面圆的直径，点C在底面圆上且60ABC=，点M为劣弧AC的中点，过直线AC作平面，使得直线SB∥平面，设平面与SM交

于点N，则SNSM的值为（）A．13B．23C．12D．34【答案】B【分析】连接BM交AC于点D，连接ND，根据线面平行的性质定理知//NDSB，再根据平行线分线段成比例定理得到SNBDSMBM=，然后

根据圆的性质得到DABDCM△△∽，进而得21BDABDMMC==，即可求出SNSM的值.【详解】解：如图，连接BM交AC于点D，连接ND，则平面SBM平面ND=，又//SB平面，所以//NDSB，所以SNBDSMBM=.因为AB是底面圆的直径，60ABC=，点M为劣

弧AC的中点，连接MC，所以30ABMMBCBACBMC====，所以12MCBCAB==，易得DABDCM△△∽，所以21BDABDMMC==，则23BDSNBMSM==.故选：B.七、平面与平面平行的判定定理的应用文字语言如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面

平行符号语言a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β图形语言【典型例题】【例1】设,为两个不同的平面，则∥的充要条件是（）A．内有无数条直线与平行B．,垂直于同一平面C．,平行于同一条直线D．内

的任何直线都与平行【答案】D【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.B选项，,垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.C选项，,平行于同一条直线，与可能

相交，C选项错误.D选项，内的任何直线都与平行，则//，D选项正确.故选：D【例2】设a是直线，是平面，则能推出//a的条件是（）A．存在一条直线b，//ab，bB．存在一条直线b，ab⊥rr，b⊥C．存在一个平面，a，//D．存在一个平面

，a⊥，⊥【答案】C【分析】利用a可得到ABD的反例，利用面面平行性质知C正确.【详解】对于A，若a，可满足//ab，b，但无法得到//a，A错误；对于B，若a，可满足ab⊥rr，b⊥，但无法得到//a，

B错误；对于C，由面面平行的性质知：若//，a，则//a，C正确；对于D，若a，可满足a⊥，⊥，但无法得到//a，D错误.故选：C.【例3】下列命题正确的是（）A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面

内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行【答案】B【分析】根据面面平行的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，这两个平面可能相交，故A选项错

误.对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故B选项正确.对于C选项，这两个平面可能相交，故C选项错误.对于D选项，这两个平面可能相交，故D选项错误.故选：B【例4】六棱柱ABCD

EF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【分析】根据六棱柱的性质确定正确选项.【详解】由于六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的

底面是正六边形，所以上下底面平行，侧面有3对相互平行的面，故有4对.故选：D【例5】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（）A．BD1∥GHB．BD∥EFC．

平面EFGH∥平面ABCDD．平面EFGH∥平面A1BCD1【答案】D【分析】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．【详解】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD

1，GH不可能互相平行，故选项A错误；易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C

错误；对于D，平面//EFGH平面11ABCD，理由是：由E，F，G，H分别是棱11AB，1BB，1CC，11CD的中点，得出1//EFAB，11//EHAD，所以//EF平面11ABCD，//EH平面11ABCD，又EFEHE=，所以平面//EFGH平面11ABCD．故选：D．【例6】如图，

在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A．B．C．D．【答案】D延拓过点,,PQR三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容

易判断选择.【详解】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面PGRHNQ，如下图所示：对,BC选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；对A：MC1与QN是相交直线，所以A不正确；对D：因为11AC//RH，，1BC//QN，1

111,ACBCC=又容易知,RHQN也相交，111,ACBC平面11ACB；,RHQN平面PGRHNQ，故平面11ACB//平面PGRHNQ故选：D.【对点实战】1.设,为两个平面，则下列条件可以推出//的是（）A．,平行于同一条直线B．内有无数条直线与平行

C．内有两条相交直线与平行D．内有三个不共线的点到的距离相等【答案】C【分析】根据面面平行的判定定理马上知道选项C正确，其余选项可借助反例排除.【详解】利用正方体模型（其中用一个平行上下底面的截面平分正方体体积）构建反例，如图，直线u和正方体的左侧

面和下底面平行，显然左侧面和下底面不平行（这里直线u是上底面和右侧面的交线），故A不对；不难找到无数条左侧面里的线，让其平行下底面，故B不对；很容易在左侧面上棱找到两个点，下棱找到一个点，这三个点到截面的距离相等，但截面和左侧面

不平行，故D不对；C选项根据面面平行判定定理可知其正确.故选：C.2.已知,是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（）A．内有无穷多条直线与平行B．直线a//,a//C．直线,ab满足b//

,aa//,b//D．异面直线,ab满足,ab，且a//,b//【答案】D采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.【详解】A错内有无穷多条直线与平行，平面与平面可能平行，也可能相交，B错若直线a//,a//，则平面与平面可能平

行，也可能相交，C错若b//,aa//,b//，则平面与平面可能平行，也可能相交，D正确当异面直线,ab满足,ab，且a//,b//时，可在上取一点P，过点P在内作直线'b//b，由线面平行的判定定理，得'

b//，,ab异面，所以',ab相交，再由面面平行的判定定理，得//，故选：D.3.在正方体1111FEFGEGHH−中，下列四对截面彼此平行的是（）A．平面11EFG与平面1EGHB．平面1FHG与平面11FHGC．平面11FHE与平面1

FHED．平面11EHG与平面1EHG【答案】A【分析】根据正方体的平行关系，可证平面11EFG与平面1EGH平行，可得出结论.【详解】如图，正方体11111111,//,FGHEEGGEEFGHEEGG=−，所以四边形11EEGG是平行四边形

，1111//,EEGEGG平面1EGH，EG面1EGH，所以11//EG平面1EGH，同理1//GF平面1EGH.因为1111111,,EGGFGEGGF=平面11EFG，所以平面11//EFG平面1E

GH.故选：A4.下列命题：①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；②如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的平行线段相等，其中正

确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．0【答案】C【分析】根据面面平行的性质，逐项判定，即可求解.【详解】根据面面平行的性质，可得：对于①中，一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另外一个平面相交

，所以是正确的；对于②中，如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面，所以是正确的；对于③，若两平面平行，则夹在两个平行平面间的平行线段是相等的，所以是正确的.故选：C.5.已知ab，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且ab，，//b，则“a与b为异面直线”

是“//”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用异面直线与平行平面之间的关系即可判断出结论.【详解】由a，b，//b，则“a与b为异面直线”//

，或与相交；反之不成立，可能//ab．所以“a与b为异面直线”是“//”的既不充分不必要条件．故选：D.八、平面与平面平行的性质定理的应用文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a

，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言【典型例题】【例1】若平面//平面，l，则l与的位置关系是（）A．l与相交B．l与平行C．l在内D．无法判定【答案】B【分析】利用面面平行的性质定理即可得解.【详解】//，l，利用线

面平行的性质定理可得l//.故选：B【例2】已知直线a，两个不重合的平面,.若//，a，则下列四个结论中正确的是（）①a与内的所有直线平行；②a与内的无数条直线平行；③a与内任何一

条直线都不垂直；④a与没有公共点.A．①②B．②④C．②③D．③④【答案】B根据面面平行的性质以及定义，可得结果.【详解】由面面平行的性质知①错误；由面面平行的性质知②正确；与内的直线可能异面垂直，故③错；由面面平行的定义知④正确.故选：B【例3】在三棱台111ABCABC−中，点D在1

1AB上，且1//AABD，点M是三角形111ABC内（含边界）的一个动点，且有平面//BDM平面11AACC，则动点M的轨迹是（）A．三角形111ABC边界的一部分B．一个点C．线段的一部分D．圆的

一部分【答案】C【分析】过D作11//DEAC交11BC于E，连接BE，证明平面//BDE平面11AACC，得MDE，即得结论．【详解】如图，过D作11//DEAC交11BC于E，连接BE，1//BDAA，BD平面11AACC，1AA平面11AACC，所以//BD平面11AACC，同理//D

E平面11AACC，又BDDED=，,BDDE平面BDE，所以平面//BDE平面11AACC，所以MDE，（M不与D重合，否则没有平面BDM），故选：C．【例4】下列说法正确的个数是（）①两平面平

行，夹在两平面间的相等的线段平行；②如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；③平行直线被三个平行平面截得的线段对应成比例.A．1B．2C．3D．0【答案】A【分析】夹在两平行平面间的线段相等，位置不能确定，可判定①；直线与

平面平行，该直线必须在平面外，可判定②；根据面面平行的性质定理，可判定③.【详解】①错误，这两条相等的线段可能平行相交或异面；②错误，直线可能在另一个平面内；③正确.，设////,//ABCD,ABCD分别与,,交于,,,,,AEBCFD，因

为//,,ABCDABCD确定平面ABDC，且平面ABDC分别与平行平面,,交于,,ACEFBD，所以////ACEFBD，四边形,ACFEBDFE为平行四边形，,,AECFAECFEBFDEBFD===，所以③正确..故

选：A.【对点实战】1.设m，n表示不同的直线，，表示不同的平面，且m，n．则“//”是“//m且n//”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据条件判断命题“若//，则//m且n//

”的真假，命题“若//m且n//，则//”的真假即可判断作答.【详解】依题意，因m，n，//，由平面与平面平行的性质可得//m且n//，即命题：“若//，则//m且n//”是真命题，

当m，n，//m且n//时，若直线m，n相交，必有//，若//mn，平面与可能相交，即命题“若//m且n//，则//”是假命题，综上得“//”是“//m且n//”的充分但不必要条件.故

选：A2.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，则过点M的所有直线中（）A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线【答案】D【分析】根据面面

平行的性质定理得一条平行线，再用反证法说明只有一条．【详解】显然Ma，过点M和直线a确定平面为，设b=I，又a=，由于α∥β，所以//ab，假设平面内过B还有一个直线c与a平行，即//ca，则//cb，但,b

c有公共点B，矛盾，因此过M有且只有一条直线与a平行，故选：D．3.已知棱长为1的正方体1111ABCDABCD−，M是1BB的中点，动点P在正方体内部或表面上，且//MP平面1ABD，则动点P的轨迹所形成区域的面积是（）A．22B．

2C．1D．2【答案】A【分析】过点M做平面1ABD的平行截面，再求四边形面积即可.【详解】如图所示E、F、G、M分别是1AA、11AD、11BC、1BB的中点，则1//EFAD，//EMAB，所以//EF平面1ABD，//EM平面1ABD，且EFEME=，所以平面1ABD//平

面EFGM，故点P的轨迹为矩形EFGM.1112MBBG==，所以22MG=，所以22122EFGMS==.故选：A九、面面平行的计算线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用【典

型例题】【例1】如图所示，正方体1111ABCDABCD−，E在11BD上，F在11AB上，且111111BEBDBFBA=，过E作1EHBB∥交BD于H，则平面EFH与平面11BBCC的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．以上都有可能【答案】A【分析】根据面面平行的判定定理：

由线线平行推出面面平行.【详解】在平面1111DCBA中，因为111111BEBDBFBA=，所以11EFAD∥，由正方体1111ABCDABCD−，1111BCAD∥，所以11EFC∥B，又因为1EHBB∥，EH平面EFH，EF平面EFH，1BB平面11BBCC，11BC平面11B

BCC，EHEFE=I，1111BBBCB=I，所以平面EFH//平面11BBCC。故选:A.【例2】如图，在长方体1111ABCDABCD−中，11,3ADDDAB===，E，F，G分别为11,,ABBCCD的中点，点P在平面ABCD内，若直线1//

DP平面EFG，则1D与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为（）A．223B．62C．52D．72【答案】D【分析】根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行求解即可.【详解】如图，连接11,,ACDADC，因为E，F，G分别为11,,ABBCCD的中点，所以//,AC

EFEF平面1ACD，则//EF平面1ACD，因为1//EGAD，所以同理得//EG平面1ACD，又EFEGE=，得平面1//ACD平面EFG，所以点P在直线AC上，则1D与满足题意的P构成的平面截正方体的截面为1ACD△，在1ACD△中，有112,2,2===A

DACCD，所以12212722222ADCS=−=．故选：D【例3】已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面11BDC且面积为3时，线段AP

的长为（）A．2B．1C．3D．32【答案】A【分析】过点P作DB，1AD的平行线，分别交棱AB，1AA于点Q，R，连接QR，BD，即可得到PQR为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出PQ的长度，即可求出AP；【详解】解：如图，过点P作DB，1AD的平行线，分别交棱AB，1AA

于点Q，R，连接QR，BD，因为11//BDBD，所以11//PQBD，11BD面11BDC，PQ面11BDC，所以//PQ面11BDC因为11//ADBC，所以1//PRBC，1BC面11BDC，PR面11BDC，所以//PR面11BDC又PQ

PRP=，,PQPR面PQR，所以面//PQR面11BDC，则PQR为截面，易知PQR是等边三角形，则213322PQ=，解得2PQ=，∴222APPQ==.故选：A.【例4】在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD

，点M是111ABC△内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（）A．平面B．直线C．线段，但只含1个端点D．圆【答案】C利用面面平行的判定定理构造平面//BDN平面1AC，

由此确定M点的轨迹.【详解】过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN，由于11AC平面1AC,DN平面1AC，所以//DN平面1AC.∵在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，且1AA平面1AC,BD平面1AC，∴//BD平面1AC.∵AA1∩A1C1＝A

1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，∵点M是111ABC△内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合，∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点.故选：C【例5】棱锥SABCD−中，底面是边长为22的菱形ABCD，60BAD=，

SA⊥平面ABCD，且22SA=，E是边BC的中点，动点P在四棱锥SABCD−表面上运动，并且总保持//PE平面SAC，则动点P的轨迹周长为（）A．326+B．32C．26+D．23【答案】A【分析】过E作平面//EFG平面SAC，可得动点P的轨迹周长即为EFG的周长，求出即可.【详解】取

AB中点F，SB中点G，连接,,EFFGGE，因为,EF是,BCBA中点，//EFAC，EF平面SAC，AC平面SAC，//EF平面SAC，因为,GF是,SBAB中点，//GFSA，GF平面SAC，SA平面SAC，//GF平面SAC，EFGFF=，平

面//EFG平面SAC，所以平面EFG中任意直线平行于平面SAC，则PE平面EFG，又P在四棱锥SABCD−表面上运动，所以动点P的轨迹周长即为EFG的周长，因为四边形ABCD是边长为22的菱形且60BAD=，所以26AC

=，则6EF=，又22SA=，所以2GF=，2242SCSAAC=+=,则22GE=所以EFG的周长为632EFGFGE++=+.故选：A.十、平行关系求最值与范围【典型例题】【例1】如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，点M是平面1111DCBA内一点，且1BMACD平面，则

1tanDMD的最大值为．A．22B．C．2D．2【答案】D【详解】正方体1111ABCDABCD−中，连接11AC，11BD，交于点M，则点M满足条件；证明如下，连接BD，交AC于点O，连接BM，1OB，则11

AACC，且11AACC=，∴四边形11ACCA是平行四边形，∴11ACAC，又AC平面1ACD，且11ACà平面1ACD，∴11AC∥平面1ACD，同理1BMDO，BM∥平面1ACD，∴当M在直线11AC上时，都满足1BMACD，

∴1111tan222DDDMDMD===是最大值．故D选项是正确的．【例2】如图，在三角形ABC中，AC上有一点D满足4BD=，将ABD△沿BD折起使得5AC=，若平面EFGH分别交边AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H，且A

C平面EFGH，BD平面EFGH则当四边形EFGH对角线的平方和取最小值时，DHDA=（）A．14B．1641C．2041D．3241【答案】B【分析】易得HGAC，EFAC，设DHGHkDAAC==，易得∥EHBD，∥FGBD

，得1AHEHkDABD==−，从而得到5GHk=，4(1)EHk=−，平行四边形EFGH中，()2222413216EGHFkk+=−+，从而得到22EGHF+最小时的k值，得到答案.【详解】AC平面EFGH，AC平面ACD，平面ACD平面EFGHHG=，所以ACHG，同理ACE

F设DHGHkDAAC==(01)k，BD平面EFGH，BD平面ABD，平面ABD平面EFGHHE=，所以BDHE，同理∥FGBD所以1AHEHkDABD==−，因为4BD=，5AC=所以5GHk=，4(1)EHk=−，在平行四边形EFGH中，222222516(1)

EGHFkk+=+−(22413216)kk=−+，又01kQ，当1641k=时，22EGHF+取得最小值.故选：B.【例3】图，在长方体1111ABCDABCD−中，16AA=，3AB=，8AD=，点M是棱AD的中点，点N在棱1AA上

，且满足12ANNA=，P是侧面四边形11ADDA内一动点（含边界），若1CP∥平面CMN，则线段1CP长度的取值范围是（）A．3,17B．4,5C．3,5D．17,5【答案】D取11AD中点E，在1DD上取点F，使12DFDF=，连结EF、1C

E、1CF，则平面//CMN平面1CEF，由此推导出P线段EF，当P与EF的中点O重合时，线段1CP长度取最小值PO，当P与点E或点F重合时，线段1CP长度取最大值PE或PF，由此能求出线段1CP长度的取值范围．【详解】取11AD中点E，在1DD上取点F，使12DFDF=，连结EF

、1CE、1CF，则平面//CMN平面1CEF，是侧面四边形11ADDA内一动点（含边界），1//CP平面CMN，P线段EF，当P与EF的中点O重合时，线段1CP长度取最小值PO，当P与点E或点F重合时，线段1CP长度取最大值PE或PF，在长方体1111ABC

DABCD−中，16AA=，3AB=，8AD=，点M是棱AD的中点，点N在棱1AA上，且满足12ANNA=，22111()345maxCPCECF===+=，42EF=，22211()25(22)17minCPPOCEEO

==−=−=．线段1CP长度的取值范围是[17，5]．故选：D．【例4】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP

∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A．[322，5]B．[5，22]C．[324，6]D．[6，22]【答案】A分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，可证平面AMN∥平面BDEF，得

P点在线段MN上．由此可判断当P在MN的中点时，AP最小；当P与M或N重合时，AP最大．然后求解直角三角形得答案．【详解】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，∵M、N、E、F为所在棱的中

点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，则AN∥FB，而AN⊄平面B

DEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF．又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．又P是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P点在线段MN上．在Rt△AA1M中，AM222211215AAAM=+=+=，同理，在Rt△AA

1N中，求得AN5=，则△AMN为等腰三角形．当P在MN的中点时，AP最小为222322()22+=，当P与M或N重合时，AP最大为5．∴线段AP长度的取值范围是32,52．故选：A．【例5

】点,MN分别是棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中棱1,BCCC的中点，动点P在正方形11BCCB(包括边界)内运动.若1//PA面AMN，则1PA的长度范围是（）A．[2,5]B．32,52

C．32,32D．[2,3]【答案】B【分析】如图，分别取111,BBBC的中点,EF，连接11,,EFAEAF，则可证得平面1AEF‖平面AMN，从而可得点P在EF上，从而可求出1PA的长度范围【详解】解：如图，分别取111,BBBC的中点,EF，连接11,,E

FAEAF，1,FMBC，则EF‖1BC，因为,MN是1,BCCC的中点，所以MN‖1BC，所以EF‖MN，因为EF平面AMN，MN平面AMN，所以EF‖平面AMN，因为F是11BC的中点，M是BC的中点，所以FM‖1BB，1FMBB=，因为1AA‖1BB，11AABB=，所以F

M‖1AA，1FMAA=，所以四边形1FMAA为平行四边形，所以1AF‖AM，，因为1AF平面AMN，MA平面AMN，所以1AF‖平面AMN，因为1AFEFF=，所以平面1AEF‖平面AMN，因为平面1AEF平面AMNEF=，所以点P在EF上运动，使1//PA面AMN

，因为1111ABCDABCD−的棱长为2，所以115,2AEAFEF===所以当点P与E或F重合时，1PA最长，当点P在EF的中点时，1PA最短，1PA的最小值为()22232522−=，所以1PA的长度范围是32,52，故选：B【例6

】在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，N为BC的中点.当点M在平面11DCCD内运动时，有//MN平面1ABD，则线段MN的最小值为（）A．1B．62C．2D．3【答案】B【分析】CD中点P，1DD中点Q，连接PQ、PN、QN，根据面面平行的判定定理，可证平面PQN∕∕平

面1ABD，即M在平面PQN内，根据题意，可得点M在线段PQ上，在PQNV中，分别求得各个边长，根据余弦定理，求得120NPQ=，根据三角函数的定义，即可求得答案.【详解】取CD中点P，1DD中点Q，连接PQ、PN、QN，

如图所示：因为P、N分别为CD、BC中点，所以PNBD∕∕，同理，P、Q分别为CD、1DD中点，所以11PQDCAB∕∕∕∕，又PQPNP=，,PQPN平面PQN，1ABBDB=，1,ABBD平面1ABD，

所以平面PQN∕∕平面1ABD，因为//MN平面1ABD，所以MN平面PQN，又点M在平面11DCCD内运动，所以点M在平面PQN和平面11DCCD的交线上，即MPQ，在PQNV中，2PN=，1122PQCD==，22(2)26QN=+=，所以2221cos22PNPQQ

NNPQPQPN+−==−，所以120NPQ=，所以N点到PQ的最小距离()6sin1801202dPN=−=.所以线段MN的最小值为62.故选：B【对点实战】1.如图所示，在正方形1111ABCDABCD−中，,EF分别为1111,BCCD的中点，点P是底面1111DCBA内一点

，且//AP平面EFDB,则1tanAPA的最大值是A．22B．1C．2D．22【答案】D【详解】由题意可得，点P位于过点A且与平面EFDB平行的平面上，如图所示，取1111,ADAB的中点,GH，连结,,,GHAHAGG

E，由正方形的性质可知：EFGH，由ABEG为平行四边形可知AGBE，由面面平行的判定定理可得：平面AGH∥平面BEFD，据此可得，点P位于直线GH上，如图所示，由1AA⊥平面1111DCBA可得11AAAP⊥，则11tanAAAPAAP=，当1tanAPA有最大值时，

AP取得最小值，即点P是GH的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时1tanAPA的值是22.本题选择D选项.2.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面11AADD内一点，若//EF平面11BDDB，且EF长度

的最大值为b，最小值为2，则ab=（）A．7B．6C．5D．3【答案】B【分析】过点F作1//HGDD，交AD于点G，交11AD于点H，计算得出222EFAEAF=+，计算出minEF、maxEF，根据已知条件可求得a、b的值，进而可求得ab的值.【详解】如图，过点F作1//H

GDD，交AD于点G，交11AD于点H，则HG⊥底面ABCD.连接EG、AF，HG⊥平面ABCD，EG平面ABCD，HGEG⊥，所以，22222222EFEGFGAEAGFGAEAF=+=++=+.1//HGDD，HG平面11BDDB，1DD平面11BDDB，HG

//平面11BDDB，//EFQ平面11BDDB，//FG平面11BDDB，EFFGF=，平面//EFG平面11BDDB，又GEÌ平面EFG，//GE平面11BDDB，平面ABCD平面11BDDBBD=，GEÌ平面ABCD，//GEBD

.E为AB中点，G为AD中点，则H为11AD中点.F在线段GH上，min2aAFAG==，则22max522aaAFAHa==+=，22min22222=aaaEF+==

，得2a=，则22max566222aabEFa==+==，所以，6ab=.故选：B.3.已知正四面体ABCD的棱长为2，平面与棱AB、CD均平行，则截此正四面体所得截面面积的最大值为（）A．1B．

2C．3D．2【答案】A【分析】取CD的中点O，连接OA、OB，证明出ABCD⊥，设平面分别交AC、AD、BD、BC于E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，证明出四边形EFGH为矩形，设()01AExxAC=，可得出()41EF

GHSxx=−，利用基本不等式可求得截面面积的最大值.【详解】取CD的中点O，连接OA、OB，因为ACD△为等边三角形，O为CD的中点，所以，OACD⊥，同理可得OBCD⊥，OAOBO=，CD\^平面AOB，AB平面AOB，CDAB⊥.设平面分别

交AC、AD、BD、BC于E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，//CDQ平面，CD平面ACD，平面ACD平面EF=，//CDEF，同理可证//GHCD，//EFGH，同理可证//EHFG，所以，四边形EFGH为平

行四边形，ABCD⊥，EFEH⊥，则平行四边形EFGH为矩形，设()01AExxAC=，则1CExAC=−，因为//EFCD，则EFAExCDAC==，2EFx=，同理可得()21EHx=−，所以，矩形EF

GH的面积为()()2122141412EFGHxxSEFEHxxxx+−==−=−=，当且仅当12x=时，等号成立，因此，截面面积的最大值为1.故选：A.4.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分别为棱,

ABBC的中点，若直线1DP与平面1EFC无公共点，则线段1DP的长度的最小值是（）A．54B．324C．52D．1【答案】B【分析】取,ADCD的中点为,GH，可证得平面1//DGH平面1EFC，P在正方形ABCD内（包括边界）的轨迹为线段GH，由1

1DGDH=，可得P为GH的中点时1DP最小，从而得解.【详解】如图所示，取,ADCD的中点为,GH，连接11111,,,,DGDHGHAEAC,因为E，F分别为棱,ABBC的中点，所以11//EFAC，所以11ACFE四点共面，直线1DP与平面1EFC无公共点，所以1//DP

平面1EFC，因为,GH为,ADCD的中点，所以//GHEF,GH平面1EFC，所以//GH平面1EFC，正方体中，11//DGCF，1DG平面1EFC，所以1//DG平面1EFC，又1DGGHG=，所以平面1//DGH平面1EFC，P在正方形A

BCD内（包括边界）的轨迹为线段GH，因为11DGDH=，所以当P为GH的中点时1DP最小.此时，21115()122DGDH==+=，所以222115232()444DPDHPH=−=−=.故选：B.十一、联

赛、联考与自主招生题选【例1】在三棱柱111ABCABC−中，点E、F、H、K分别为1AC、1CB、1AB、11BC的中点，G为ABC的重心，有一动点P在三棱柱的面上移动，使得该棱柱恰有5条棱与平面PEF平行，则以下各点中，在点P的轨

迹上的点是（）A．HB．KC．GD．1B【答案】B【分析】先根据题意画出图形，然后根据线面平行的知识依次对四个选项进行分析即可得解.【详解】如图：若P与H重合，则上下底面均与平面PEF平行，则该棱柱恰有6条棱与平面PEF平行，不符合题意；若P

与K重合，则侧棱1AA、1BB、1CC与平面PEF平行，且AB、11AB与平面PEF平行，则该棱柱恰有5条棱与平面PEF平行，符合题意；若P与G重合，则该棱柱仅有棱AB、11AB与平面PEF平行，不符合题意；若P与1B重合，则该棱柱仅有棱AB、11AB与

平面PEF平行，不符合题意，综上，在点P的轨迹上的点是K.故选：B.【例2】如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一

个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A．32B．4C．42D．6【答案】B将正四面体补成正方体，由此可得截面为平行四边形MNKL，且4KLKN+=，且KNKL⊥，利用基本不等式即可求出结论．【详解】解：将正四面体补成正方体如图，

可得EF⊥平面CHBG，且正方形边长为22，由于EF⊥，故截面为平行四边形MNKL，且4KLKN+=，又//KLBC，//KNAD，且ADBC⊥，∴KNKL⊥，∴MNKLSKNKL=242KNKL+=，当且仅当2KLKN==时取等号，故选：B．