【文档说明】上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.074 MB，由小赞的店铺上传

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复旦附中2023学年第二学期高三年级数学开学考一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．1.已知是第四象限角，且1sin2=−，则

cos=______．【答案】32【解析】【分析】利用同角三角函数的关系求解.【详解】因为是第四象限角，且1sin2=−，所以23cos1sin2=−=，故答案为:32.2.8(1)x+的二项式展

开中，系数最大的项为______．【答案】470x【解析】【分析】根据二项式展开式中系数的性质即可求解.【详解】由题意知：8(1)x+的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等，因为展开式的通项为818CrrrTx−+=，所以4r=时，系数最大，该项为48448C7

0xx−=，故答案：470x.3.已知函数()2exfxxax=+−在点()()1,1f处切线的斜率是3，则实数=a__________.【答案】e1−【解析】【分析】函数()fx在1处的导数即斜率，可得a的值.【详解】()e2xfxx

a=+−，因为()fx在点()1,(1)f处切线的斜率为3，所以(1)e23fa=+−=，得e1=−a.故答案为：e1−.为4.若实数a，b，c满足34a=，45b=，59c=，则abc=______．【答

案】2【解析】【分析】先把指数式化为对数式，再利用换底公式进行计算.【详解】因为34a=，45b=，59c=，所以345log4,log5,log9abc===，故345log4log5log9abc=，由换底公式可得：333333log5log9lo

g4log92log4log5abc===.故答案为：25.已知全集U=R，集合lgAxyx==，集合1Byyx==+，那么AB=______．【答案】(0,1)【解析】【分析】根据对数函数的性质求出集合A，根据求函数值域的方法求出集合B，然后利用集合的运算即可求解

.【详解】由题意知：集合{|lg}{|0}===Axyxxx，集合{|1}{|1}Byyxyy==+=，所以{|1}Byy=，则(0,1)AB=，故答案为：(0,1).6.某同学10次数学检测成绩统计如下：95，97，94，

93，95，97，97，96，94，93，设这组数的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小为___________（用“>”符号连接）【答案】cab【解析】【分析】将数据从小到达的顺序排列，从而求出平均数、中位数、众数，即可比较出它们的大小．【详解】将数

据从小到达的顺序排列，则为93,93,94,94,95,95,96,97,97,97，所以平均数为9393949495959697979795195.11010a+++++++++===，中位数为9595952b+==，众数为97c=，所以cab，故答案为：cab.7.若

方程2244xkyk+=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于______．【答案】2k−【解析】【分析】首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚抽长.【详解】显然0k，将2244xkyk+=化为2214xyk+=，若该方程表示双曲线，则0k，且双曲线的标准方程为2214yxk−=−，即2bk=−，

虚轴长22bk=−.故答案为：2k−.8.在ABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若()20,0AFxAByACxy=+，则12xy+的最小值为____________.【答案】9【解析】【分析】根据向量共线定理得推论得到

21xy+=，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），所以21xy+=，又0,0xy，故()12122222214529yxyxxyxyxyxyxy+=++=++++=，当且仅当22yxxy=，即13xy==时等号成立.故答

案为：9.9.已知等差数列na中3716aa=−，且460aa+=，则na=__________.【答案】210n−或210n−+【解析】【分析】由460aa+=可得50a=，再由3716aa=−，可得2d=，再分2d=，2d=−分别求出1a，再代入等差数列的通项公式即可得答案

.【详解】解：因为na是等差数列，460aa+=，所以520a=，所以50a=；又因为3716aa=−，55((162)2)aadd−=−+（d为数列na的公差），即有2416d−=−，解得2d=，当2d=时，可得1540ada+==，所以

18a=−，8(1)2210nann=−+−=−；当2d=−时，可得1540ada+==，所以18a=，8(1)(2)210nann=+−−=−+.故答案为：210n−或210n−+10.已知1()sin2fxx=−，函数()yfx=在[,40]xtt+零点的个数最大值

为______．【答案】14【解析】【分析】根据正弦函数图象性质结合零点的定义求解.【详解】令1()sin2fxx=−可得1sin2x=，则有ππ2π,Z32xkk=++，设12,xx是相邻的两个零点，则有122π3xx−=或

124π,3xx−=函数()yfx=在),2πtt+上有且仅有两个零点，在)2π,4πtt++上有且仅有两个零点，在)4π,6πtt++上有且仅有两个零点，的在)6π,8πtt++上有且仅有两个零点，在)8

π,10πtt++上有且仅有两个零点，在)10π,12πtt++上有且仅有两个零点，因为2π4π4012π33−，所以()fx在[12π,40)tt++可能没有零点，可能有1个零点，可能有2个零点，不

可能有3个零点，所以零点的个数最大值为26214+=个，故答案为:14.11.已知函数f(x)=-x2+x+m+2，若关于x的不等式f(x)≥|x|的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为____________.【答案】[-2,-1)【解析】【详解】2()||2||fxxxxxm−

−−厖.令()2||gxx=−，2()hxxxm=−−，在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，由图象可知，整数解为x=0，故(0)00(1)11fmfm−−−−…，解得-2≤m<-1.故答案为：[-2,-1)．12.如图所示，（直径为4的球放地面上，球上方有一点

光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是12AA椭圆的长轴，1PA垂直于地面且与球相切，16PA=，则椭圆的离心率为______．【答案】12##0.5【解析】【分析】作出球O的一个截面，圆O分别与12AA、1PA

相切于点F、E，求出a、c的值，即可得出椭圆的离心率的值.【详解】如图，是球O的一个截面，圆O分别与12AA、1PA相切于点F、E，因为16PA=，球的半径为2，所以4PE=，21tan42OEEPOPE===，所以1212221122tan42t

an1tan3112EPOAAAPAEPOPA====−−，所以121124tan683AAPAAPA===，因为12AA是椭圆的长轴长，所以28a=，所以4a=，根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知，球O与12AA相切的切点F为

椭圆的一个焦点，所以12AFac==−，所以2422ca=−=−=，所以离心率2142cea===．故答案为：12.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．13.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取

2张，则下列说法正确的是（）A.“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件B.“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件C.“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件D.“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件【答案】D【解析】【分析

】根据互斥事件和对立事件的定义，结合题意逐项检验即可求解.【详解】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误；“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误；“恰有一张是移动卡”和“两张都是移

动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误；“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确.故选：D.14.空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，且23OMOA=，BNNC=，则MN=（）A.121232abc−+B.111222abc+−C.221

332abc−++D.211322abc−++【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.【详解】由题知，空间四边形OABC中，OAa=，OBb=，OCc=，且23OMOA=，BNNC=，如图，所以1122ONOBOC=+，所以21211(

)32322MNMOONOAOBOCabc=+=−++=−++，故选：D15.在ABC中，“sincos1AA+”是“ABC为钝角三角形”的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】根据三角函数线，充分与必要

条件概念即可求解.【详解】因为A为ABC的内角，所以0πA，又sincos1AA+，由单位圆中三角函数线，可得ππ2A，所以ABC是钝角三角形，则充分性成立；反过来，若ABC是钝角三角形，则A不一定是钝角，所以必

要性不成立，所以“sincos1AA+”是“ABC为钝角三角形”的充分非必要条件，故选：A.16.无穷数列na满足：101a，且对任意的正整数n，均有()1e3ennaana+=−，则下列说法正确的是（）A.

数列na为严格减数列B.存在正整数n，使得0naC.数列na中存在某一项为最大项D.存在正整数n，使得43na【答案】D【解析】【分析】由已知可变形为()1ln3nnnaaa+−−=，构造函数()ln(3),03fxxxx=+−，利用导函数分

析单调性以及最值即可一一判断求解.【详解】因为()10e3ennaana+=−，所以30na−，所以3na，由()1e3ennaana+=−可得()1e3nnanaa+−=−，则()1ln3nnnaaa+−−=，则有

()1ln3nnnaaa+=+−，设函数()ln(3),03fxxxx=+−，12()133xfxxx−=+=−−，当02x时，()0fx，当23x时，()0fx，所以()fx在()0,2单调

递增，()2,3单调递减，所以()(2)2fxf=，因为101a，所以()()2132()0,2,()0,2,afaafa==以此类推，对任意,02nnaN，故B错误；所以1()ln(3)nnnnnafaaaa+==+−，故A错误；因为1nnaa+，

所以数列na中不存在某一项为最大项，C错误；因为101a，所以2111()ln(3)ln31afaaa==+−，322234()ln(3)1ln223afaaa==+−+，所以存在正整数n，使得

43na，D正确.【点睛】关键点点睛:本题关键在于据题意转化为()1ln3nnnaaa+−−=，利用函数()ln(3),03fxxxx=+−的单调性以及最值分析求解.三、解答题（本大题共有5题，本大题满分

78分）解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．17.某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，AO、OB为直线岸线，1000OA=米，1500OB=米，3AOB=，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和P

B修建养殖网箱，已知23APB=.（1）求岸线上点A与点B之间的直线距离；（2）如果线段PA上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段PB上的网箱每米可获得30元的经济收益.记PAB=，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）【答案】（1）5007

米（2）55076元【解析】【分析】（1）由余弦定理计算即可；（2）先由正弦定理计算出相关长度，再计算收益表达式，最后由辅助角公式求最值.【小问1详解】222cos3ABOAOBOAOB=+−221500100021500

1000cos605007=+−=，岸线上点A与点B之间的直线距离为5007米.【小问2详解】△PAB中，50072sinsinsin()33PAPB==−，10007sin()33PA=−，10

007sin3PB=，（π0θ3<<），设两段网箱获得的经济总收益为y元，则4000073000074030sin()sin333yPAPB=+=−+100007100007[4sin()3sin](23cossin)

333=−+=+1000091sin(arctan23)3=+，当arctan232+=，即arctan23(0,)23−时，max1000091550763y=（元）所以两段网箱获得的经济总收益最高约为550

76元.18.已知关于x的方程2330()xaxaa−−=R的两个虚数根为12,xx．（1）若12xx=，求1x的取值范围；（2）若121xx−=，求实数a的值．【答案】（1）[0,2)（2）2333−【解析】

【分析】（1）由题意复数12,xx互为共轭复数，由复数的运算可得11112xxxxx==，根据判别式得出a的范围，从而得出答案；（2）将121xx−=平方，将韦达定理代入，结合判别式得出a的范围，可得答案.【小问1详解】因为关于x的方程2330()xaxaa−−=R的两个虚数根为12

,xx，29120aa=+，则403a−，123xxa+=，123xxa=−，且复数12,xx互为共轭复数，即21xx=，若12xx=，111123xxxxxa===−，因为403a−，所以032a−，所以1x的取值范围是()0,2；【小问2详解】(

)()22221212121214912xxxxxxxxaa=−=−=+−=+，因为29120aa+，所以29121aa+=−，所以2333a=−.19.已知斜率为的直线l经过抛物线C：24yx=的焦点F，且与抛物线C交于不同的两点()11,Ax

y、()22,Bxy.（1）若点A和B到抛物线准线的距离分别为32和3，求AB；（2）若||||2||AFABBF+=，求k的值；（3）点(),0Mt，0t，对任意确定的实数k，若AMB是以AB为斜边的直

角三角形，判断符合条件的点M有几个，并说明理由.【答案】（1）92（2）22（3）一个，理由见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线l的方程为()1ykx=−，代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,xxxx+，利

用焦半径公式及已知||||2||AFABBF+=，得出12,xx的关系，与韦达定理结合可求得k；（3）把0MAMB=用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于t的方程，由一元二次方程根的分布可得t的正数解的个数．【小问1详解】根据抛物线定

义，3,32AFBF==，∴92AB=.【小问2详解】直线l的方程为()1ykx=−，由2(1)(1)4(2)ykxyx=−=，2222(24)0,(3)xkkkx−++=，2242(24)416160kkk=+−=+，1221242(4).1(5)xxkxx+=+=1

212||1,||1,||2AFxBFxABxx=+=+=++，||||2||AFABBF+=，()()()11221221xxxx++++=+，2121xx−=221222458,33kkxkxk++==，代入（5）得：2242224581780

33kkkkkk++=−−=，21k=−（舎）或28k=，∴22k=.【小问3详解】∵AMB是以AB为斜边的直角三角形，∴MAMB⊥，0MAMB=，()()1122,,0xtyxty−−=,()()12120xtxtyy−

−+=，即()21212120xxtxxtyy−+++=，()()()22121212121114yykxxkxxxx=−−=−−+=−，（或者221212124416,4yyxxyy===−），∴2241240ttk−++−=，224230ttk−+−=

，224Δ2120k=++，120tt，方程仅有一个正实数解，存在一个满足条件的点M.20.如图所示，已知圆锥的底面半径2mr=，经过旋转轴AO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧AB的中

点，点P为母线SA的中点．（1）求此圆锥体积和表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小；（3）若一只蚂蚁从Q点沿着圆锥的侧表面爬至P点，请你能否作出合情的假设，来估算该蚂蚁行程的最小值（精确到0.01m）．【答案

】（1）体积383πm3；表面积212πm（2）6arccos4（3）能；2.95m【解析】【分析】(1)利用圆锥体积公式和表面积公式求解；(2)根据空间向量的坐标运算求异面直线所成的角；(3)利用侧面展开图，根据两点之间直线最短求解.【小问1详解】因为2mr=，所以24

mSBABr===，则16423mSO=−=，所以圆锥的体积为3281π33πm3VrSO==，表面积为221π2π12πm2SrrSB=+=.【小问2详解】的建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,23),(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,1,3)SOAQP,所以

(0,0,23),(2,1,3)SOPQ=−=−−设异面直线PQ与SO所成角为，则6coscos,4SOPQSOPQSOPQ===，所以异面直线PO与SO所成角为6arccos4.【小问3详解】将该圆锥的侧面夹在母线,SQSA的部分展开，如图，连接PQ，因为12ππ4AQr==，π4

AQASQSA==，所以SPQ中，由余弦定理可得，2222cos2082PQSPSQSPSQASQ=+−=−，所以20822.95mPQ=−.21.设abR、，2()5bfxaxx=++满足(1)(1)14ff+−=．（1）求a的值，并讨论函数()yfx=的

奇偶性；,（2）若函数()yfx=在区间31,2−−严格减，求b的取值范围；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：函数()yfx=有且仅有一个零点q，且存在唯一的递增的无穷正整数列na，使得31225

naaaaqqqq=+++++成立．【答案】（1）2a=；当0b=时，函数为偶函数，当0b时，函数为非奇非偶函数（2）2b−（3）证明见解析【解析】【分析】(1)直接利用函数表达式表示函数值即可求a的值，

再根据奇偶性定义求解；(2)利用导数与单调性的关系求解；(3)利用函数的单调性和零点的存在性定理判断零点所在区间，再根据无穷等比数列的前n项和公式求解.【小问1详解】∵函数2()5bfxaxx=++（常数,abR）满足(1)(1

)14ff+−=．∴5514abab+++−+=，解得：2a=；当0b=时，函数为偶函数，当0b时，函数为非奇非偶函数；【小问2详解】由（1）得：2()25bfxxx=++则2()4bfxxx=−，若()fx在区间31,2−−上单调递减，则2()40bfxxx−=在区间

31,2−−上恒成立，即34bx在区间31,2−−上恒成立，当312x=−时，342x=−，为34yx=的最小值，所以2b−；【小问3详解】由(2)可知，min2b=−，所以22()25f

xxx=−+，当0x时，22()250fxxx=−+恒成立，无零点，当0x时，22()25fxxx=−+单调递增，且11(1)50,()85048ff==−+，所以函数22()25fxxx=−+在1,14有唯一零点q，所以22()250fqqq=−+=即32250qq−+

=，所以3215qq=−，又因为47323215nqqqqqq−+++++==−，所以存在唯一的递增的无穷正整数列na，使得31225naaaaqqqq=+++++成立，且32nan=−.