【文档说明】浙江省绍兴市稽山中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.215 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期高一期中教学质量调测试卷高一数学一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.设62iz=−，则复数z的虚部为（）A.2−B.2C.2i−D.2i【

答案】A【解析】【分析】直接根据复数虚部的定义进行求解即可.【详解】复数z的虚部为2−，故选：A2.若直线l不平行于平面，且l，则下列说法正确的是（）A.内存在一条直线与l平行B.内不存在与l平行的直线C.内所有直线与l异面D.内所有直线

与l相交【答案】B【解析】【分析】根据线面位置关系逐一分析即可.【详解】若内存在一条直线与l平行，则由l和线面平行判定定理可知l∥，与已知矛盾，故内不存在直线与l平行，A错误，B正确；记lA=I，当内直线a过点A，则l与a相交，C错误；当内直

线b不过点A，则l与b异面，D错误.故选：B3.在△ABC中，已知2b=，45B=，6c=，则角C为（）A.60°B.30°或150C.60°或120°D.120°【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得3sin=2C，得60C=或120°，然后由边角关系，作出判断即可.【详解

】解：由正弦定理263sin,sinsinsin45sin2bcCBCC===()C0,,C=60或120,,bcBC，C=60或120均符合.故选:C．4.已知向量(2,3)a=，(3,2)b=r，则|2|ab−=（）A.2B.2C.17

D.52【答案】C【解析】【分析】求出2(1,4)ab−=，求模即可.【详解】∵(2,3)a=，(3,2)b=r，∴2(1,4)ab−=，∴22|2|1417ab−=+=.故选：C.5.已知tan212+=−，则tan3+=（）A.13−B.13C.-

3D.3【答案】A【解析】【分析】将3+看成124++，利用两角和的正切公式可求tan3+的值.【详解】tantan3124+=++tantan112431tantan124+

+==−−+，故选：A.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式

的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.6.已知函数()()2sin,222,2xxfxfxx=−，则方程()()3log2fxx=+的根的个数是（）A.9B.8C

.7D.6【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式，结合正弦型函数的性质，运用数形结合思想进行判断即可.【详解】当24x时，()()()π2π22sin2sin22xxfxfx−=−==−，当46x

时，()()()π2π22sin2sin22xxfxfx−=−=−=，当68x时，()()()π2π22sin2sin22xxfxfx−=−==−，根据函数的解析式特征，可知()22fx−，由()3log2227yxx=+−

，所以函数()()()3,log228yfxyxx==+−在同一直角坐标系内的图象如下图：方程()()3log2fxx=+的根的个数就是()()()3,log228yfxyxx==+−这两个函数图象交点的个数，通过图象可以判断只有8个交点，故选：B7.已知,,ABC为球O的球

面上的三个点，⊙1O为ABC的外接圆，若⊙1O的面积为4π，1ABBCACOO===，则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC的外接圆

半径，进而求出其边长，得出1OO的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O半径为r，球的半径为R，依题意，得24,2rr==，ABC为等边三角形，由正弦定理可得2sin6023ABr==，123OOAB==，根据球的截面性质1OO⊥平面ABC，22

2211111,4OOOAROAOOOAOOr⊥==+=+=，球O的表面积2464SR==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.8.已知向量,||1aee=，对任意的Rt，恒有||||ateae−−，则（）A.ae⊥

B.()aae⊥−C.()eae⊥−D.()()aeae+⊥−【答案】C【解析】【分析】根据数量积的运算律求得ae，再根据数量积的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】由||||ateae−−可

得2222222ataeteaaee−+−+，又1e=，令aem=则上式等价于22210tmtm−+−，对任意的Rt恒成立，故()244210mm=−−，解得()210m−，解得1m=，即1ae=；对A：由10ae=，故ae⊥不成立，A错误；对B：(

)221aaeaaea−=−=−，不确定其结果，故()aae⊥−不一定成立，B错误；对C：()10eaeae−=−=，故()eae⊥−，C正确；对D：()()21aeaea−+=−，不确定其结果，故()()a

eae+⊥−不一定成立，D错误.故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的或不选的得0分）9.若复数1i

,zz=−为z的共轭复数，则以下正确的是（）A.z在复平面对应的点位于第二象限B.2z=C.22||zz=D.zz为纯虚数【答案】BD【解析】【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可

判断各个选项.【详解】对A，1iz=−，复数z在复平面内对应的点为()1,1-，复数z在复平面内对应的点位于第二象限，故A错误；对B，根据复数模的公式，()22112z=+−=，故B正确；对C，()

221i2iz=−=−，而22z=，故C错误；对D，1iz=+，()()()21i1i2ii1i1i1i2zz++====−−+，故D正确.故选：BD.10.设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，则下列结论正确的是（）A.若ab，则sinsinABB.

若222abc+，则ABC为钝角三角形C.若π10,8,3acC===，则符合条件的ABC有两个D.若coscosaAbB=，则ABC为等腰三角形或直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦定理、余弦定理逐一判断即可.【详解】A：由正弦定理可知：sinsina

bAB=，因为ab，所以sinsinAB，因此本选项正确；B：根据余弦定理由22222222coscos0abcabababCC+++−，因为(0,π)C，所以有π(,π)2C，因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；C：由正弦定理可知：108

53sin1sinsinsin832acAACA===，所以不存在这样的三角形，因此本选项不正确；D：()22222244222coscos022bcaacbaAbBababcabbcac+−+−==−++=()()222

222200ababcab−+−=−=，或2220abc+−=，当220ab−=时，可得ab=，此时该三角形是等腰三角形；当2220abc+−=时，可得222+=abc，此时该三角形是直角三角形，

故选：ABD11.已知函数()2sin(2)13fxx=−+则下列说法正确的是（）A.Rx，使()()fxfx+=−成立B.()6fx+的图象关于原点对称C.若125012xx，则12()()fxfxD.对123,,[,],32xxx有132()()()

fxfxfx+成立【答案】ACD【解析】【分析】利用特值可判断A，利用正弦型函数的对称性可判断B，利用正弦型函数的单调性可判断C，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin213fxx=−+，∴2sin2101212123ff

+==−+=，即1212ff+=−，故Rx，()()fxfx+=−，故A正确；又2sin216fxx+=+，其图象关于点()0,1对称，故B错误；当50,12x时，2

,332x−−，所以函数()2sin213fxx=−+在50,12上单调递增，故C正确；因为,32x，所以22,333x−，故

3sin2123x−，()31,3fx+，又()2313+，即minmax2()()fxfx，所以对123,,[,],32xxx有132()()()fxfxfx+成立，故D正确.故选

：ACD.12.已知四边形ABCD是边长为1的菱形，120BAD=，动点P在菱形内部及边界上运动，设APABAD=+，则下列说法正确的是（）A.1,12APAB−B.+的最大值为2C

.1,1APBD−D.当122+=时，点P的轨迹长度是74【答案】ABD【解析】【分析】根据数量积的几何意义结合图形分析可判断A；由向量加法的平行四边形法则观察可判断B；取特例可排除C；利用共线定理的推论判断点P的轨迹，然后由余弦

定理求解可判断D.【详解】根据数量积的几何意义可知，当点P与B重合时，向量AP在AB的投影数量最大，当点P与点D重合时，向量AP在AB的投影数量最小，所以，2APADAPABAB，即1,12APAB−，A正

确；以AP为对角线，AB，AD所在直线为邻边作AHPI，易知APAHAIABAD=+=+，当点P与C重合时，,同时取得最大值，此时+取得最大值2，B正确；当点P与点D重合时，()231cos1202APBDADADABADADAB=−=−

=−=，C错误；记AB的中点为E，F为AD上靠近点A的四等分点，则2,4ABAEADAF==，所以24APAEAF=+，因为122+=，即241+=，所以P，E，F共线，所以点P的轨迹为线段EF，所以221111172cos12024162

424EFAEAFAEAF=+−=+−−=，D正确.故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如

图所示），则原平面图形的周长为______．【答案】8【解析】【分析】根据斜二测画法还原平面图，利用勾股定理求边长，然后可得.【详解】因为OABC为边长为1的正方形，所以2OB=，还原平面图如图，OABC中，1,22OAOB==，所以()22213AB=

+=，所以OABC的周长为()1328+=.故答案为：814.已知直线m和平面,.给出下列三个论断：①m∥；②∥；③m.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________.【答案】若,m∥，则m【解析】【分析】分

三种情况判断：①②作条件，③作结论；①③作条件，②作结论；②③作条件，①作结论.只要以上三个命题为真即可.【详解】解：将①②作条件，③作结论：若m∥，∥，则m.此命题为假命题（结论应为m或m∥）；将①③作

条件，②作结论：若m∥，m，则∥.此命题为假命题（结论应为与相交或∥）；将②③作条件，①作结论：若∥，m，则m∥.由两平面平行的性质定理可知此命题为真命题.故答案为：若∥，m

，则m∥.15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m=.若24mn+=，则sin117mn+=_______

____.【答案】22【解析】【分析】根据2sin18m=，24mn+=，求得2cos18n=，代入sin117mn+求解.【详解】因为2sin18m=，24mn+=，所以222444sin184cos18nm=−=−=，2cos

18n=，所以2sin182csin11os187sin117mn++=，22sin22si63n63==，故答案：2216.已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC+的最小值为__________．【答案】-6.【解析】【详解】分析：

可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题．详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,23)A，设(,)Pxy，∴22()22(,23)(,)2(23)PAPBPCPAPOxyxyxyy+==−−−−=+−222[(3)3]xy=+−−，易知当0,3xy==时，()PAPBPC+取得最

小值6−.故答案为－6．点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数最值，本题通过建立平面直角坐标系，把向量的数量积用点P的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义也能求得最大值．四、

解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知()()4,3,23213ababab==−+=．（1）求a与b的夹角；为的.（2）若a在b方向上的投影向量为c，求()cab+的值．【答案】

（1）60（2）10【解析】【分析】（1）根据数量积的运算和性质计算可得；（2）先求投影向量c，然后利用数量积有关性质计算即可.【小问1详解】()()23213abab−+=，2244313aabb−−=，即6442713ab−

−=，6ab=，1cos,2ababab==，,60ab=.【小问2详解】2cos,3bcaabbb==，()()22224610333cabbababb+=+=+=+=.18.已知函数()sin()3fxx=+．（1）求函数()

fx的最小正周期；（2）当[0,]2x时，求()()66yfxfx=−++的取值范围．【答案】（1）2（2）3[,3]2【解析】【分析】（1）利用周期公式即可得到结果；（2）利用恒等变换公式化简公式，借助正弦型函数的性质得到结果.【小问1详解】∵(

)sin()3fxx=+，∴()sin3fxx=+，∴22T==，故函数()fx的最小正周期为2；【小问2详解】()()sinsin6662yfxfxxx=−++=+++

3sincos3sin2332xxx+=+=∵[0,]2x，∴5[,]336x+，∴1sin,132x+，即33sin[,3]32x+，故()()66yfxfx=−++的取值范围是3[,3]219.如

图，已知在长方体1111ABCDABCD−中，1DADC==，12AA=，点E是1DC的中点．（1）求证：1//AD平面EBD；（2）求三棱锥1DBDE−的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）16.【解析】【分析】（1）连接OE，利用中位线的性质得出1//AD

OE，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出1DDES△，利用锥体的体积公式可求得结果.【详解】（1）因为四边形ABCD为矩形，且ACBDO=，则O为AC的中点，又因为E为1CD的中点，则1//OEAD，1AD平面EBD，OE平面E

BD，因此，1//AD平面EBD；（2）因为1DDCD⊥，1CD=，12DD=且E为1CD的中点，所以，111111242DDECDDSSCDDD===△△，在长方体1111ABCDABCD−中，BC⊥平面11CDDC，因此，1111136DBDEBDDEDDEVVS

BC−−===△.【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：（1）通过面面平行得到线面平行；（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.20.设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，

b，c．向量(),3mab=与()cos,sinnAB=平行．（1）若6b=，213a=，求ABC的面积；（2）若4sin2sin6BC−=，求角C的大小．【答案】（1）123；（2）4C=.【解析】【分

析】（1）利用向量共线的坐标表示列式，再用正弦定理求出角A，利用余弦定理、面积定理计算作答.（2）用角C表示角B，再利用差角的正弦公式化简计算作答.【小问1详解】因为向量(),3mab=与()cos,sinnAB=，//mn，则sin3cos0aBbA−=，在ABC中，由正弦定

理得：sinsin3sincos0ABBA−=，而(0,)B，即sin0B，则有sin3cos0AA−=，即tan3A=，又(0,)A，解得3A=，当6b=，213a=时，由余弦定理得：2222c

osabcbcA=+−，即有26160cc−−=，而0c，解得8c=，所以ABC的面积11sin68sin123223SbcA===.【小问2详解】由（1）知，23BC=−，由4sin2sin6BC−=得：24sin()2sin63CC−−=，则有314(cos

sin)2sin622CCC+−=，即23cos6C=，整理得2cos2C=，而203C，解得4C=，所以4C=21.在ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，过点O作一条直线分别交线段AB，AC

于点M，N．（1）若3MOON=，2AM=，1AN=，3MAN=，求AO；.（2）求AMN与ABC面积之比最小值．【答案】（1）194（2）14【解析】【分析】（1）先根据题意求得1344AOAMAN=+，

再结合数量积的运算律即可求解；（2）先设,,,0,1AMABANAC==，再根据题意求得1144AOAMAN=+，再根据平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可．【小问1详解】依题意可得MOAOAM=−，NOAOAN=−，又3

MOON=，则3MONO=−，所以()3AOAMAOAN−=−，所以1344AOAMAN=+，所以22221311391924416441616AOAMANAMAMANAN=+=++=，故194AO=．【小问2详解】设,,,0,1AMABANAC

==，由D为BC的中点，O为AD的中点，则()11111112224444AOADABACABACAMAN==+=+=+，又,,OMN三点共线，则11144+=，所以1111124444=+，即14，的所以1sin

1214sin2AMNABCAMANBACSAMANSABACABACBAC===△△，当且仅当12λμ==时，等号成立，即min14AMNABCSS=△△．22.如图，某城市有一条从正西方

()MO通过市中心O后转向东偏北60方向()ON的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在,OMON上分别设置两个出口,,ABB在A的东偏北的方向（,AB两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于,AB之间

相距较远，计划在,AB之间设置一个服务区P．（1）若P在O的正北方向且2kmOP=，求,AB到市中心O的距离和最小时tan的值；（2）若B在市中心O的距离为10km，此时P在AOB的平分线与AB的交点位置，且满足2211OPB

POPBP+，求A到市中心O的最大距离．【答案】（1）63463+，tan63=−（2）20【解析】【分析】（1）利用正弦定理，将OAOB、分别用tan表示，再利用基本不等式求OAOB+的最小值；（2）先由2211OPBPOPBP

+化简得到2003OP，再根据三角形面积公式列方程得到||OA与OP的函数关系，由函数单调性求得||OA的最大值.【小问1详解】设OAB=，在RtAOP△中，2tanOA=,32OBPOPB=−=+在OPB△中，由正弦定理得sinsinOPO

BOBPOPB=2sin2cos42313tansincossin322OB+===−−−()22242tan232tan3tantan3tan(tan3)33tan36tan3OAOB

++=+==−−+−+++−+当且仅当6tan3tan3+=+，即tan63=−时取到等号,AB到市中心O的距离和最小时，tan63=−．【小问2详解】2211OPBPOPBP+，2229OPBPOPBPOPBP+−

2()9OPBPOPBP−，即()29OBOPOPOB−2100945OPOP−，2003OP又AOBAOPBOPSSS=+△△△1211sinsinsin232323OAOBOAOPOBOP=+即1010OAOAOPOP=+1010101010101

OPOAOPOPOPOP===−−−当203OP=时，max||20OA=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com