【文档说明】安徽省六安市第一中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(14)页，1.307 MB，由小赞的店铺上传

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六安一中20212022学年第二学期高一年级期末考试数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.计算131ii+=−A.12i+B.12i−+C.12i−D

.12i−−2.独角兽企业是指成立时间少于10年，估值超过10亿美元且未上市的企业．2021年中国独角兽企业行业分布广泛，覆盖居民生活的各个方面．如图为某研究机构统计的2021年我国独角兽企业的行业分布图（图

中的数字表示各行业独角兽企业的数量），其中京、沪、粤三地的独角兽企业数量的总占比为70%．则下列说法不正确的是（）A.2021年我国独角兽企业共有170家B.京、沪、粤三地的独角兽企业共有119家C.独角兽企业最多的三个行业的占比超过一半D.

各行业独角兽企业数量的中位数为133.在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（）．①、都垂直于平面r，那么∥②、都平行于平面r，那么∥③、都垂直于直线l，那么∥④如果l、m是两条异面直线，且l∥

，m，l，m，那么∥A.0B.1C.2D.34.已知4,62aab==−rrr，且向量a在向量b上的投影向量为223b−r，则b的模为（）A.1B.22C.3D.95.已知一组数据m，n，2−，1，1，3，4，6，6，7的平均数为3，则这组数据方差的最小值为（）A.5B.6C

.7D.86.在ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2coscoscoscosaABbAaA+=，则ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C..等腰直角三角形D.等腰或直角三角形7.如图，某圆锥SO的轴截面

SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且60BOC=，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是（）A.13B.74C.34D.328.如图，在菱形ABCD中，433AB=，60BAD=，沿对角线BD将ABD△折起，使点

A，C之间的距离为22，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点，则下列说法错误的是（）A.平面ABD⊥平面BCDB.线段PQ的最小值为2C.当AQQC=，4PDDB=时，点D到直线PQ的距离为1414D.当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为64二、多项选择题：本题

共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知,ab是单位向量，且(1,1)ab+=−，则（）A.||2ab+=rrB.a与b垂直C.a与ab−的夹角为4D.||1ab+=10.袋子中共有大小和质地相同的4

个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A.甲与乙互斥B.乙与丙互斥C.甲与乙独立D.甲与乙对立11.在AB

C中，角,,ABC的对边分别是,,abc，下列说法正确的是（）A.若30,5,2Aba===，则ABC有2解；B.若AB，则coscosAB；C.若coscoscos0ABC，则ABC为锐角三角形；D.若cosco

sabcBcA−=−，则ABC为等腰三角形或直角三角形.12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为棱11BC，1BB的中点，G为面对角线1AD上的一个动点，则（）A.三棱锥1BEFG−的体积为定值B.线段1AD上存在点G，使1AC⊥平面E

FGC.线段1AD上存在点G，使平面//EFG平面1ACDD.设直线FG与平面11ADDA所成角为，则sin的最大值为223三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若复数1213i,3iZZ=+=−（其中i为虚数单位）所对应的

向量分别为1OZ和2OZ，则12OZZ的面积为_______．14.如图所示，已知四面体顶点(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)ABC−和(5,4,8)D−−，则从顶点D所引的四面体的高h=__________．15.己知数据123,,,,nxxxx的平均数为10，方差为2，则数据

12321,21,21,,21nxxxx−−−−的平均数为a，方差为b，则ab+=___________．16.如图，四边形ABCD为平行四边形，3,2,3ABADBAD===，现将ABD△沿直线BD翻折，得到三棱锥ABCD−，若7AC¢=，则三棱锥ABCD−的内切

球与外接球表面积的比值为_____．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.根据要求完成下列问题：（1）关于x的方程2(2i)i10xaxa+−−+=有实根，求实数a的取值范围；（2）若复数22(2)(23)izmmmm=+−+−−（

Rm）的共轭复数z对应的点在第一象限，求实数m的集合．18.第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[5

5,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四、第

五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．19.甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求

：（1）两个人都译出密码的概率；（2）恰有1个人译出密码的概率；（3）若要达到译出密码的概率为99%，至少需要像乙这样的人多少个？20.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为等腰梯形，ADBC∥，60DAB=，SA⊥面ABCD，22SAADBC===，点F为线段SD中点（1）求证：CF

面SAB；（2）求异面直线FC与BD所成角的大小.21.如图所示，在平面五边形ABCDE中，已知120A=，90B=，120C=，90E=，3ABAE==.（1）当332BC=时，求CD；（2）当五边形ABCDE的面积63,93S时，求BC的取

值范围.22.已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60的二面角，点M在线段AB上.（1）若M为AB的中点，且直线MF与由A，D，E三点所确定平面的交点为O，试确定点O的位置，并证明直线//OD平面EMC；（

2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60；若存在，求此时平面MEC与平面ECF的夹角的余弦值，若不存在，说明理由.1【答案】B2【答案】C3【答案】D4【答案】C5【答案】C6【答案】D7【答案】C

8【答案】C9【答案】BC10【答案】BC11【答案】BCD12【答案】ABD13【答案】514【答案】1115【答案】2716【答案】11517【答案】（1）1a=（2）312（，）【小问1详解】设0x是其实根，代入原方程变形为200021(

)i0xaxax++−+=，由复数相等的定义，得20002100xaxax++=+=，解得1a=；【小问2详解】由题意得22(2)(23)izmmmm=+−−−−，∴2220(23)0mmmm+−−−−，即2220230mmm

m+−−−，解得312m，故实数m的集合为3(1,)2.18【答案】（1）0.005,0.025ab==；（2）估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7；（3）25.【小问1详解】()()20.0450.0201010.0450.020100.7ab

a+++=++=，解得：0.0050.025ab==，所以0.005,0.025ab==；【小问2详解】500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5++++=，故估计这100名候选者面试

成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+=，前三组志愿者的频率为()0.0050.0250.045100.750.6++=，所以第60%分位数落在第三组志

愿者中，设第60%分位数为x，则()650.0450.60.3x−=−，解得：71.7x，故第60%分位数为71.7【小问3详解】第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为abcd,,,，第五组志愿者人数为1，

设为e，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,abacadaebcbdbecdcede，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,aebecede共

4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=19【答案】（1）112（2）512（3）17名【小问1详解】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且()13РА=，()14РB=．两个人都译出密码的概率为()()()111341

2PABPAРB===．【小问2详解】恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为()()()()PABABPABPAB

=+()()()()PAPBPAPB=+1111511343412=−+−=．【小问3详解】假设有n个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有1个人译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，

故能译出密码的概率为()3114nnPB−=−，即310.994n−，故30.014n，所以342log0.0116.012lg2lg3n==−，即至少有17名像乙这样的人，才能使译出密

码的概率达到99%．20【小问1详解】证明：由SA⊥面ABCD建立如图所示的直角坐标系，以A点为坐标原点，分别以AD，垂直于AD以及AS为方向建立,,yxz轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及22SAADBC===可知：(0,0,0)A，31,,022B，(0,0,2)S33,,

022C，()0,2,0D又由点F为线段SD中点，可知()0,1,1F31,,022CF=−−，(0,0,2)AS=uur，31,,022AB=设(),,nxyz=为平面SAB的法向量，故可

知：200130022znASyxnAB==+==，解得30yxz=−=令1x=，可知平面SAB的法向量一个法向量为：()1,3,0n=−()1331022nCF=−

−+−=根据线面平行的向量法判断法则可知CF面SAB【小问2详解】解：由题意得：由（1）分析可知31,,122CF=−−，33,,022BD=−1333012222cos,023BDCFBDCFBDCF−+−−+

===可知向量,BDCF互相垂直，故异面直线FC与BD所成角的大小为9021【答案】（1）332；（2）)3,33.【小问1详解】连接EB，由五边形内角和得：120DC==，∴//BECD，则四边形BCDE为等腰梯形，

则DEBCBE=，又90BE==，120A=，故30AEBABE==，60DEBCBE==，所以在ABE△中3ABAE==，由余弦定理得2222cos12027BEAEABAE

AB=+−=，∴33BE=，过C点作CMBE⊥于M，可得33cos604BMBC==，∴3322CDBEBM=−=；【小问2详解】由193sin12024ABESABAE==，又五边形ABCDE的面积63,93S，∴

153273,44BCDES，设BCx=，则()()1133333222BCDESBECDCMxx=+=+−，整理得2156327xx−，解得333x或3353x，又2330

DCBEBMx=−=−，即33x，∴BC的取值范围是)3,33.22【小问1详解】证明：因为直线MF平面ABFE，故点O在平面ABFE内也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线上(如图所示).因为//AOBF，M为AB的中点，所以OAMFBM，所以OMMF=

，AOBF=，所以点O在EA的延长线上，且2AO=.连接DF交EC于N，因为四边形CDEF为矩形，所以N是EC的中点.连接MN，所以MN为DOF△的中位线，所以//MNOD，又因为MN平面EMC，所以直线//OD平面EMC.【小

问2详解】解：存在.由已知可得，EFAE⊥，EFDE⊥，所以EF⊥平面ADE，所以平面ABFE⊥平面ADE,取AE的中点H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()1,0,0,0,0,3,0,4,3,1(40),,EDCF−−，所

以()()()1,0,3,,01,4,3,4,0EFEDEC===设()1,,0Mt（04t），则()2,,0EMt=，设平面EMC的法向量(),,mxyz=，则·0·0mEMmEC==所以20430xtyxyz+=++=，取2y=−，则8,3txt

z−==，所以8,2,3tmt−=−.因为DE与平面EMC所成的角为60，所以()228328243tt=−++所以2430tt−+=，解得1t=或3t=，所以存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60.设平面C

EF的法向量为(),,nabc=，则·0·0ECEFnn==，所以43040abcb++==，取1c=−，则3,0ab==，所以()3,0,1n=−，8,2,3tmt−=−，设二面角MBCF−−的大小

为.所以2228323cos4198243ttnmtnmtttt−−−===−+−++.因为当2t=时，cos0=，此时平面EMC⊥平面CDEF，所以当1t=时，为钝角，所以1cos4=−.当3t=时，为锐角，所以1cos4=