【文档说明】吉林省长春市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.186 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知i为虚数单位，复数11i−的虚部是（）.A.12B.12−C.1i2D.1i2−【答案】A【解析】11i11i1i(1)(1)22ii+==+−−+，则其虚

部为12，本题选择A选项.2.欲证2367−−成立，只需证（）A.22(23)(67)−−B.22(26)(37)−−C.22(27)(36)++D.22(236)(7)−−−【答案】C【解析】分析：不等式两边同时平方要求两边都是正数，再结合分析法即可.

详解：要证2367−−，因为不等式两边为负数，故变形为证明：2736++，此时不等式两边都为正数，故有分析法可得只需证：()()222736++即可，故选C.点睛：本题是易错题，证明不等式的左右两边大小关系，在选择两边同时平

方时要注意不等号两边是否同时为正数.3.已知随机变量服从正态分布()22,N，若(3)0.84P=„，则(1)P=„（）A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84【答案】A【解析】【分析】利用正态分布曲线关于2x=对称进行求解.【详解】()2

2,N～，正态分布曲线关于2x=对称，(1)(3)PP=，(3)1(3)10.840.16PP=−=−=，(1)P=„0.16.【点睛】本题考查正态分布，考查对立事件及概率的基本运算，属于基础题.4.如图是函数()y

fx=的导函数()fx的图象，则下面判断正确的是（）A.在区间()2,1−上()fx是增函数B.在区间()1,3上()fx是减函数C.在区间()4,5上()fx是增函数D.在区间()3,5上()fx是增函数【答案】C【解析】【分析】利用导

数与函数单调性的关系即可求解.【详解】由导函数()fx的图象知在区间()4,5上，()0fx，所以函数()fx在()4,5上单调递增．故选：C．【点睛】本题考查了由导数的图像研究函数的单调性，需掌握导数与函数

单调性的关系，属于基础题.5.设~(,)Bnp，12E=，4D=，则,np的值分别为（）A.18，23B.36,13C.36，23D.18，13【答案】A【解析】【分析】由ξ～B（n，p），Eξ＝12，Dξ＝4，知np＝12，np（1﹣p）＝4，由此能求出n和p．【详

解】∵Eξ＝12，Dξ＝4，∴np＝12，np（1﹣p）＝4，∴n＝18，p23=．故选A．【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，解题时要注意二项分布的性质和应用．6.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时

间，为此进行了4次试验，测得的数据如下零件数x（个）2345加工时间y（分钟）26a4954根据上表可得回归方程9.49.1yx=+$，则实数a的值为（）A.37.3B.38C.39D.39.5【答案】C【解析】【分

析】求出(),xy，代入回归方程，即可得到实数a的值．【详解】根据题意可得：23453.54x+++==,26495412944aay++++==，根据回归方程过中心点(),xy可得：1299.43.59.14a+=+，解得：39a=；

故答案选C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点(),xy是关键，属于基础题．7.函数3223125yxxx=−−+在2,1−上的最大值、最小值分别是（）A.12,15−B.1,8−C.5,16−D.12,8−【答案】D【解析】【分析】求得导

函数，令'0y=即可求得极值点．再代入端点值即可求得最大值与最小值．【详解】函数3223125yxxx=−−+所以()()2'6612612yxxxx=−−=+−，令'0y=解方程可得121,2xx=

−=x2−()2,1−−1−()1,1−1'y+0−y1极大值128−由表格可知，函数3223125yxxx=−−+在2,1−上的最大值为12，最小值为8−所以选D【点睛】本题考查利用导数求函数在某区间内的最大值与最小值，注意函数端点处对函数最值的

影响，属于基础题．8.利用数学归纳法证明不等式()11112321nfn++++−（2n，nN）的过程中，由nk=变到1nk=+时，左边增加了（）A.1项B.k项C.12k−项D.2k项【答案】D【解析】【分析】依题意，当1nk=+时，不等式左边

为11111111232122121kkkk+++++++++−+−，与nk=时不等式的左边比较即可得到答案.【详解】用数学归纳法证明等式()11112321nfn++++−（2n，nN）的过程中，假设nk=时不等式成立，左边111123

21k=++++−，则当1nk=+时，左边11111111232122121kkkk+=++++++++−+−，由nk=递推到1nk=+时不等式左边增加了：111122121kkk+++++−，共()121212kkk+−−+=项.故选：D．【点睛】本题考查数学归纳法，考查分析、解决问题的

能力，属于基础题..9.甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为()．A.22213221333C+B.22232233C+

C.22112221333C+D.21112221333C+【答案】C【解析】【分析】先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局

甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【详解】事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为2121233C，若前两局都是甲赢，所求概率为223

，因此，甲获胜的概率为22112221333C+，故选C．【点睛】本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．10.已知函数()

fx为偶函数，且0x时，1()sin2fxxx=+，则关于x的不等式()(21)fxfx−的解集为（）A.{|13}xxB.{|1}xxC.1{|3xx或1}xD.1{|1}3xx【答案】D【解析】【详解】由题得1()1cos02fxx=+，所以函

数()fx在[0,)+单调递增，由于函数f(x)是偶函数，所以不等式()()21fxfx−转化为()()21fxfx−，所以2212144113xxxxxx−−+，故选D.11.已知()(

)()()()()*1232,fxxxxxnnnN=++++，其导函数是()fx，若()()10nfaf−=，则50a=（）A.150!B.150C.50D.50!【答案】B【解析】【分析】求出()1f−和()0f，可得出na的表达式，进而可计算得出50a的值.【详解】()()(

)()()123fxxxxxn=++++，其中2n且nN，()()()()()()()2313fxxxxnxxxn=++++++++()()()121xxxn++++−，()()11231fn−=

−，()()01231fnn=−，则()()110nfafn−==，因此，50150a=.故选：B.【点睛】本题考查导数值的计算，考查计算能力，属于中等题.12.已知可导函数()()fxxR满足()()fxfx

，则当0a时，()fa和(0)aef的大小关系为（）A.()(0)afaefB.()(0)afaefC.()(0)afaef=D.()(0)afaef【答案】A【解析】【分析】根据条件构造函数()()xfxgxe=，求导可知()gx单调递增，比较(

),(0)gag的大小，可得()fa和(0)aef的大小关系.【详解】解：令()()xfxgxe=，则'''2()()()()()xxxxfxefxefxfxgxee−−==，因为()()fxfx，所以'(

)0gx，所以()gx在(),−+上单调递增；因为0a，所以()(0)gag，即0()(0)afafee，即()(0)afaef.故选：A.【点睛】本题考查构造函数法比较大小，考查利用导数求函数的单调性，属于基础题.第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题

，每小题5分，共20分）13.一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为2210stt=+−，则该物体在3秒末的瞬时速度是______米/秒【答案】4【解析】【分析】首先求出函数的导数，求出3t=时的导数值，利用导数

的定义即可求解.【详解】由题意，物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为2210stt=+−，则102st=−，当3t=时，10234s=−=，即3秒末的瞬时速度为4米/秒.故答案为：4【点睛】本题考查了导数的概念、基本初等函数的导数公

式以及导数的运算法则，属于基础题.14.曲线313yx=在1x=处切线的倾斜角为______．【答案】4【解析】【分析】求出导函数，再求出1x=的导数值，利用导数的几何意义即可求解.【详解】313yx=，21,1xyxy===，切线的倾斜角满

足tan1=，0，4=．故答案为：4【点睛】本题考查了导数的几何意义、基本初等函数的导数公式，属于基础题.15.设2101()cos0xxfxxx−=，，，则12()fxdx−=________.【答案】14+【解析

】【分析】由题意得，1012022()cos1fxdxxdxxdx−−=+−，根据定积分的几何意义可知，可得1201xdx−表示的是四分之一的圆的面积，再根据微积分基本定理，可求02cosxdx−，最后相加即可得到结果.【详解】由题意得，1012

022()cos1fxdxxdxxdx−−=+−，根据定积分的几何意义可知，1201xdx−表示的是在x轴上方的半径为1的四分之一圆的面积，如图（阴影部分）：故12014xdx−=，又

0022cossin|sin0sin()12xdxx−−==−−=，所以1012022()cos114fxdxxdxxdx−−=+−=+.所以本题答案为14+.【点睛】本题考查微积分基本定理和定积分的几何意义，利用定积分准确表

示封闭图形的面积并正确计算是解答的关键，属基础题.16.下列各命题中，正确的是______．（1）若()fx是连续的奇函数，则()0aafxdx−=（2）若()fx是连续的偶函数，则()()02aaafxdxfx

dx−=（3）若()fx在,ab上连续且恒为正，则()0bafxdx（4）若()fx在,ab上连续且()0bafxdx，则()fx在,ab上恒为正．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】若()fx是连续的奇函数，根据奇函数的对称性及定积分的几何意义可判断（1）

；若()fx是连续的偶函数，根据偶函数的对称性及定积分的几何意义可判断（2）；若()fx在,ab上连续且恒为正，根据其单调性即可判断出是否正确，进而判断（3）；对于（4），可举出反例即可否定．【详解】对于（1），()fx是连续的奇函数，()()

()()()00000aaaaaafxdxfxdxfxdxfxdxfxdx−−=+=−+=，故（1）正确；对于（2），()fx是连续的偶函数，()()()()0002aaaaafxdxfxdxfxdxfxd

x−−=+=，故（2）正确：对于（3），()fx在,ab上连续且恒正，()00bbaafxdxdx=，故（3）正确；对于（4），举反例24321114044xxdx−−==−，而()3fxx=在区间)1,0−上小于0，即函数()fx在区间

1,2−上不恒为正，故（4）不正确．故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题考查了根据函数的性质求定积分、定积分的概念，属于基础题.三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班45人进行了问

卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生5合计45已知在全部45人中随机抽取1人，是男同学的概率为59（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为喜爱打篮球与性别有关，请说明理由．附参考公式：22()()()()()nadbcKnabcdabc

dacbd−==+++++++，()20PKk…0.150，100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，补充列联

表即可；（2）根据表中数据，计算K2，对照临界值得出结论；【详解】（1）根据题意，男同学有545259=人补充列联表如下：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生20525女生51520合计252045（2）根据表中数据，计算()22452015551089

13.6137.8792520202580K−==＞，故有99.9%的把握认为喜爱打篮球与性别有关【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，考查计算能力，是基础题．18.已知曲线2(

)2fxax=+在1x=处的切线与230xy−+=平行．（1）求()fx的解析式（2）求由曲线()fx与3,0,2yxxx===所围成的平面图形的面积．【答案】（1）()22fxx=+；（2）1【解析】【分析】（1）求得(

)fx的导数，由两直线平行的条件可得斜率相等，求得a，进而得到所求解析式；（2）由图象可得()()1222012332Sxxdxxxdx=+−+−−，运用定积分公式，计算可得所求值．【详解】（1）由题意得：()2fxax=22a=，解得：1a

=()22fxx=+（2）在平面直角坐标系中画出曲线图形如下图所示：则所求面积为：()()1222322301121331233222013223Sxxdxxxdxxxxxxx=+−+−−=+−+−−

138312642132323=+−+−−−−−=【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率；考查定积分的运用：求面积，考查直线方程的运用，属于基础题．19.已知函数()322fxxax=++，2x=是()f

x的一个极值点，求：（1）实数a的值；（2）()fx在区间1,3−上的最大值和最小值．【答案】（1）3a=−；（2）最大值是2，最小值是2−．【解析】【分析】（1）根据(2)0f=解得3a=−；（2）令()0fx=，得10x=，22x=．列出当

x变化时()fx，()fx的变化情况表，根据表格可得答案.【详解】（1）因为()232fxxax=+，()fx在2x=处有极值，所以()20f=，即3440a+=，所以3a=−．经检验3a=−时，32()32fx

xx=−+在2x=时取得极小值2−，所以3a=−.（2）由（1）知3a=−，所以()3232fxxx=−+，()236fxxx=−．令()0fx=，得10x=，22x=．当x变化时()fx，()fx的变化情况如下表：x1−()1,0

−0()0,22()2,33()fx+0−0+()fx2−单调递增2单调递减2−单调递增2由上表可知()fx在区间1,3−上的最大值是2，最小值是2−．【点睛】本题考查了由函数的极值点求参数，考查了利用导数求函数

的最值，属于基础题.20.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.(1)求所选3人中恰有一名男生的概率(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望【答案】（1）1021；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先

求出所选3人中恰有一名男生的选法种数，然后利用古典概型的概率公式计算出所求事件的概率；（2）的可能取值为0、1、2、3，然后利用超几何分布概率公式求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，并计算出其数学期望.【详解】（1）从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有3984C=种，所选3

人中恰有一名男生，有215440CC=种，故所选3人中恰有一名男生的概率为40108421=；（2）随机变量的可能取值有0、1、2、3，()35395042CPC===，()21543910121CCPC===，()1

254395214CCPC===，()34391321CPC===.所以，随机变量的分布列如下表所示：0123P5421021514121因此，随机变量的数学期望为5105140123422114213E=+++=.

【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用，考查离散型随机变量分布列及其数学期望，在列分布列时，要弄清随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式求出事件的概率，进而得出概率分布列以及数学期望，考查计算能力，属于中等题.21.已知函

数()31(),3fxxaxbabR=++在2x=处取得极小值43−．（1）求函数()fx的单调增区间；（2）若3211033xaxbmm++++对[4,3]x−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）增区间为(,2)−−，(2,)+；（2）2m或3m−【解

析】【分析】(1)首先求得函数的解析式，然后结合导函数的解析式即可确定函数的单调递增区间；(2)首先求得函数()fx的最大值，然后由恒成立的条件得到关于m的不等式，求解不等式可得实数m的取值范围.【详解】（1）()2fxxa=+，由()20f=得4a=−，由4(2)3f=−

得4b=，则21()443fxxx=−+，令2()40fxx=−得2x或2x−()fx的增区间为(,2)−−，(2,)+；（2）由4284(4),(2),(2),(3)1333ffff−=−−==−=()fx的最大

值为283，要使3211033xaxbmm++++对[4,3]x−恒成立，只要2max10()3fxmm++就可以了，即2281033mm++，解得2m或3m−所以实数m的取值范围是2m或3m−．【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，由不等式恒成立求解参数的取值范

围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知函数()()()3221132,32fxxxaaxbabR=−−−+−.（Ⅰ）若函数()fx在区间()1,+上是单调函数，求a的取值范围；（Ⅱ）若函数()fx在区间()1,1−上不是单调函数，求

a的取值范围．【答案】（Ⅰ）1,2；（Ⅱ）330,,322.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得出()0fx对任意的()1,x+恒成立，利用参变量分离法得出2232aaxx−+−，求得函数2yxx=-在区间()1,+上的值域，可得出关于a的不等式，即可解得实数

a的取值范围；（Ⅱ）根据题意知，函数()yfx=在区间()1,1−上有极值点，然后解方程()0fx=，得出11xa=−，22xa=−，根据极值点的定义得出关于a的不等式，即可解得实数a的取值范围.【详解】（Ⅰ）()()322113232fxxxaaxb=−−−+

−，()()2232fxxxaa=−−−+，要使题意成立，必须且只需()()22320fxxxaa=−−−+在区间()1,+上成立．即2232aaxx−+−，()1,x+，当()1,x+时，函数2yxx=-单调递增，则20yxx=−.2320aa−+，解得12a

；（Ⅱ）解方程()22320xxaa−−−+=，得11xa=−，22xa=−，依题意，方程()22320xxaa−−−+=在区间()1,1−有根．故有11112aaa−−−−或12112aaa−−−−，解得330,,322

a.因此，实数a的取值范围是330,,322.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.