【文档说明】四川省自贡市第一中学校2025届高三上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，690.757 KB，由小赞的店铺上传

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自贡一中高2025届高三上期开学考试数学试题第一部分（选择题共58分）一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.已知集合33,ln(1)AxxBxyx=−==+Z，则AB=（）A{1,0,1

,2}−B.(1,3)−C.{0,1,2}D.(1,)−+【答案】C【解析】【分析】首先求出集合A，根据对数函数的性质求出集合B，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：332,1,0,1,2Axx=−

=−−Z，ln(1)1Bxyxxx==+=−，所以0,1,2AB=；故选：C2.已知函数()fx的定义域为R，且对任意两个不相等的实数,ab都有()()()0abfbfa−−，则不等

式()()315fxfx−+的解集为（）A.(),3−B.()3,+C.(),2−D.()2,+【答案】B【解析】【分析】由条件得到函数是单增的，然后把函数值的大小比较转化为自变量大小比较，即可解得解集.【详解】任意两个不相等的实数ab因为()()()0a

bfbfa−−，所以ab−与()()fafb−异号，故()fx是R上的减函数，原不等式()()315fxfx−+等价于315xx−+，解得3x，故选：B.3.已知()fx为二次函数，且()()21fxxfx=+−，则()fx=（）.A.221xx−+B.2

21xx++C.2221xx−+D.2221xx+−【答案】B【解析】【分析】设()()20fxaxbxca=++，根据已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()fx的解析式.【详解】设()()20fxaxbxca=++，则()2fxax

b=+，由()()21fxxfx=+−可得()2221axbxcxaxb++=++−，所以，121abacb===−，解得121abc===，因此，()221fxxx=++.故选：B.4.若0x，0y，31xy+=，则3x

yxy+的最大值为（）A.19B.112C.116D.120【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得3xyxy+的最小值，即可得到3xyxy+的最大值.【详解】因为0x，0y，31xy+=，则()33131333331021016

xyxyxyxyxyyxyxyxyx+=+=++=+++=，当且仅当33xyyx=时，即14xy==时，等号成立；所以10316xyxy+，即3xyxy+的最大值为116，故选：C.5.已知实数1a，函数()4,02,

0xaxxfxx−=，若(1)(1)fafa−=−，则a值为（）A.13B.12C.14D.18【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分1a和1a两种情况讨论，即可求解.

【详解】由题意，函数()4,02,0xaxxfxx−=，当1a时，1142a−=，即22122a−=，解得12a=；当1a时，1(1)42aaa−−−=，即222122aa−−=，此时方程无解，综上可得，实数a的值为12.故选：B.6.已知函数(

)22lnfxxx=−，若()fx在区间()2,1mm+上单调递增，则m的取值范围是（）A.1,14B.1,4+C.1,12D.)0,1【答案】A【解析】【分析】利用导数求出函数()fx的单调递增区间为1,2+，进

而可得出()12,1,2mm++，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.【详解】因为()22lnfxxx=−的定义域为(0,+∞)，()14fxxx=−，由()0fx，得140xx−，解得12x，所以()fx的递增区间为1,2

+．的由于()fx在区间()2,1mm+上单调递增，则()12,1,2mm++，所以12122mmm+，解得114m.因此，实数m的取值范围是1,14

．故选：A.【点睛】方法点睛：利用函数()fx在区间D上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：（1）区间D为函数()fx单调递增区间的子集；（2）对任意的xD，()0fx恒成立.同时也要注意区间左端点和右端

点值的大小关系.7.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且()10f−=，则(21)()0xfx−的解集为（）A.()(),11,−−+UB.()()1,00,1−UC.()(),10,1−−D.()()1,01

,−+【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可得不等式的解集.【详解】函数()fx是定义在R上的偶函数，在区间(0,+∞)上单调递增，且()10f−=，()fx\在(−∞,0)上单调递减，且()10f=

，显然0x=不是(21)()0xfx−的解，故此不等式可转化为：()()21001xfxf−=或()()21001xfxf−=−，解得：1x或10x−.故选：D【点睛】本题主要考查了函数的

奇偶性与单调性，考查了学生转化问题的能力.8.已知函数()()212log22fxxax=−+，以下说法错误的是（）A.Ra使得()fx的偶函数B.若()fx的定义域为R，则()2,2a−C.若()fx在区间(),1−上单调递增，则)1,a+D.若

()fx的值域是(,2−，则77,22a−【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断A，当2220xax−+恒成立时函数的定义域为R，得到0，从而判断B，令()222gxxax=−+，则()gx在(),1−上单调递减且大于0恒成

立，求出参数a的值，即可判断C，由()min14gx=求出a，即可判断D.【详解】对于A：令0a=，则()()212log2fxx=+，此时函数的定义域为R，且()()()212log2fxxfx−=+=，即()()212log2fxx=+为偶函数，故A正确；对于B：因为()fx的定

义域为R，则2220xax−+恒成立，即()22420a=−−，解得22a−，即()2,2a−，故B正确；对于C：令()222gxxax=−+，因为12logyx=在定义域上单调递减，要使函数

()fx在区间(),1−上单调递增，则()222gxxax=−+在(),1−上单调递减且大于0恒成立，所以()110ag，即211220aa−+，解得312a，故C错误；对于D：因为函数()fx的值域是(,2−，所以()1max212log4fx==，所以()min

14gx=，即()2124gaa=−+=，解得72a=，即77,22a−，故D正确；故选：C二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分）9.下列结论正确的有（）A.若33ab，则ab

B.若22ab，则abC.若22acbc，则abD.若11ab，则ab【答案】AC【解析】【分析】根据不等式的性质，判断各选项的结论是否正确.【详解】若33ab，则()()()23322213==+024ababaabbababb−−

++−+，有ab，A选项正确；若2,0ab=−=，满足22ab，但ab不成立，B选项错误；若22acbc，则有20c，可得ab，C选项正确；若11ab，当0ab时，有ab，D选项错误.故

选：AC10.已知函数()21,23,21xxfxxx−=−若方程()0fxa−=有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是（）A.0B.12C.13D.1【答案】BC【解析】【分析】作函数()fx的图象，数形结合即可解决.【详解】由题知，函数()21,23,21xxfxx

x−=−的图象如下，方程()0fxa−=可以看成()yfx=与ya=的交点，所以由图知方程()0fxa−=有三个不同的实数根时，01a，故选：BC11.下列命题中是假命题的是（）A.命题：“()0,x+

，1xx+”的否定为：“(,0x−，1xx+”B.设260Axxx=+−，0,Bm=，且AB有四个子集，则实数m的取值范围是()3,2−C.已知p：21,Zxxkk=−，q：

61,Nxxkk=+，p是q的充分不必要条件D.方程()230xaxa+−+=有一个正实根，一个负实根，则0a【答案】ABC【解析】【分析】A选项根据全称命题的否定判断即可；B选项根据集合的子集个数得到集合中元素的个数，然后结

合集合中元素的特征求m的范围即可；C选项根据集合的含义判断充分性和必要性即可；D选项根据根的判别式和韦达定理列不等式求解即可.【详解】A选项：命题“()0,x+，1xx+”的否定为：“()0,x+，

1xx+”，故A错；B选项：Ax=32x−，因为AB有四个子集，所以AB中有两个元素，则mA，且0m，即30m−，02m，故B错；C选项：p表示所有奇数，q表示部分奇数，所以p是q的必要不充分条件，故

C错；D选项：设方程得两个根分别为1x，2x，因为方程有一个正根，一个负根，所以()212Δ3400aaxxa=−−=，解得0a，故D正确.故选：ABC.第二部分（非选择题共92分）三、填空题（每题5分，共15

分）12.已知函数()()22121mmfxmmx−+=−+是幂函数，则实数m的取值为______．【答案】0或2【解析】【分析】根据幂函数的定义，建立方程，可得答案.【详解】由题意，可得2211mm−+=，即()20mm−=，解得0m=或2，代入21mm−+，则可得1或3，符合题意

.故答案为：0或2.13.已知函数()lnxafxx+=，若()12f=，则a=______.【答案】1−【解析】【分析】求出导函数，利用()12f=列式求解即可.【详解】由()lnxafxx+=得()()21lnxaf

xx−+=，因为()112fa=−=，所以1a=−.故答案为：1−14.定义在R上的偶函数()fx满足()()11fxfx−=+，且当1,0x−时，()2fxx=，函数()gx是定义在R上的奇函数，当0x时，()lggxx=，则函数()()()hxfxgx=−的零点的个数是_

_______．【答案】11【解析】【分析】分别分析()fx与()gx的性质，从而作出函数()yfx=与函数()ygx=图像，再观察其交点个数即可得解.【详解】因为(1)(1)fxfx−=+，所以()(2)fxfx=+，则()fx的周期为2，又()fx为偶函数，

且当[1,0]x−时，2()fxx=，所以可利用()fx的周期性与奇偶性作出()fx的大致图像，因为()gx是定义在R上的奇函数，当0x时，()lggxx=，所以函数()yfx=与函数()ygx=的大致图像如图所示，考虑特殊位置，当

=1x−时，()()()11,11lg10fgg−=−=−=−=；当9x=时，()()()()9111,9lg91fffg==−==；当11x=时，()()()1111,11lg111ffg===；

又函数()()()hxfxgx=−的零点个数即函数()yfx=与函数()ygx=图像的交点个数，所以由图像可知函数()yfx=与函数()ygx=图像的交点个数为11个.故答案为：11.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方

法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的

方法求解.四、解答题（共77分）15已知全集U=R，集合1222xAx=R，集合()30log11Bxx=+R.求AB，AB，()BARUð.【答案】|01ABxx=，|12ABxx=−，()|1BAxx=Rð或2x.【解

析】【分析】根据指数函数、对数函数单调性即可解出集合A,B，再根据集合的交并补运算即可得到答案.【详解】因为1222x，即11222x−，根据指数函数单调性可知11x−，则集合|11Axx=

−，()30log11x+，即()333log1log1log3x+，.根据对数函数单调性知113x+，解得02x，即02Bxx=，则|01ABxx=，|12ABxx=−，

0Bx=Rð或2x，()|1BAxx=Rð或2x.16.已知函数()21xfxx=+是定义在()1,1−上的函数．（1）判断并证明函数()fx的奇偶性；（2）判断函数()fx单调性，并用定义法

证明；【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义判断和证明即可；（2）根据单调性的定义判断和证明即可.【小问1详解】函数f（x）为奇函数证明如下：函数f（x）的定义域为(

)1,1−，2()()1xfxfxx−−==−+.所以函数f（x）为奇函数.【小问2详解】f（x）在()1,1−上为单调递增函数证明如下：设－1＜x1＜x2＜1，则1221121222221212()(1)()()11

(1)(1)xxxxxxfxfxxxxx−−−=−=++++.因为－1＜x1＜x2＜1，，所以222112120,10,(1)(1)0><>xxxxxx−−++，则12)<)((fxfx.故f（x）在()1,1−上为单调递增函数.的17.已知函数()2xfxex=−()1求曲

线𝑦=𝑓(𝑥)在点()()0,0f处的切线方程;()2若函数()()gxfxa=−，1,1x−恰有2个零点，求实数a的取值范围【答案】(1)x+y-1=0.(2)22ln22ae−−.【解析】【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所

求切线方程；(2)函数()(),1,1gxfxax=−−恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为()e2xfxx=−，所以()e2xfx=−.所以()01.f=−又()01,f=所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为1,yx−=

−即10xy+−=.（5分）（2）由题意得，()e2xgxxa=−−，所以()e2xgx=−.由()e20xgx=−=，解得ln2x=，故当1ln2x−时，()0gx，()gx在)1,ln2−上单调递减；当ln21x时，()0

gx，()gx在(ln2,1上单调递增.所以()()minln222ln2gxga==−−.又()11e+2ga−−=−，()1e2ga=−−，若函数恰有两个零点，则()()()11e20,1e20

,ln22220,gagaglna−−=+−=−−=−−解得22ln2e2a−−.所以实数a的取值范围为(22ln2,e2−−.【点睛】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个

函数的交点来求解.18.通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.（1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于

2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？（2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m欧元/平方米（其中25m），其中投入()256003m−万欧元作为技术创新费用，投入500万

欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃销售量n（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.【答案】（1）40（2）102万平方米，售价为30欧元.【解析】【分析】（1）设该种玻璃

的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得；（2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得.【小问1详解】设该种玻璃的售价提高到()25xx欧元/平方米，则有()802252000xx−−，解得：2540x，所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方

米.【小问2详解】()25200050026003mnmm?++-，整理得：25150023mnmm?+，除以m得：1500523nmm?+，由基本不等式得：150051500522210233nmmmm?+匙+=，的当且仅当1500

53mm=，即3025m=时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，此时的售价为30欧元/平方米.19.已知函数

()()2e2exxfxaax=+−−（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】【详解】试题分析：（1）讨论()fx单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a按0a

，0a进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a，()fx至多有一个零点.若0a，当lnxa=−时，()fx取得最小值，求出最小值1(ln)1lnfaaa−=−+，根据1a=，(1,)+a，(0,1)a进行讨论，

可知当(0,1)a时有2个零点.易知()fx在(,ln)a−−有一个零点；设正整数0n满足03ln(1)na−，则00000000()e(e2)e20nnnnfnaannn=+−−−−.由于3ln(1)lnaa−−，因此()fx在(

ln,)a−+有一个零点.从而可得a的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()fx的定义域为(),−+，()()()()2221121xxxxfxaeaeaee=+−−−=+，（ⅰ）若0a，则()0fx，所以()fx在(),−+单调递减.（ⅱ）若𝑎>0，则由()0

fx=得lnxa=−.当(),lnxa−−时，()0fx；当()ln,xa−+时，()0fx，所以()fx在(),lna−−单调递减，在()ln,a−+单调递增.（2）（ⅰ）若0a，由（1）知，()fx至多有一个零点.（ⅱ）若𝑎>0，由（1）知，当

lnxa=−时，()fx取得最小值，最小值为()1ln1lnfaaa−=−+.①当1a=时，由于()ln0fa−=，故()fx只有一个零点；②当()1,a+时，由于11ln0aa−+，即()ln0fa−，故()fx没有零点；③当()0,1a时，11ln0aa−

+，即()ln0fa−.又()()4222e2e22e20faa−−−−=+−+−+，故()fx在(),lna−−有一个零点.设正整数0n满足03ln1na−，则()()000

00000ee2e20nnnnfnaannn=+−−−−.由于3ln1lnaa−−，因此()fx在()ln,a−+有一个零点.综上，a的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()fx有2个零点求参数a的取值范围，

第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断ya=与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()fx有2个零点，且函数先减后增

，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.