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专练38空间向量及其运算授课提示：对应学生用书81页[基础强化]一、选择题1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量𝐷1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗是()A．有相同起点的向量B．

等长向量C．共面向量D．不共面向量答案：C解析：∵𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝AC→，又AC，D1A，D1C共面，∴AC→，𝐷1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面，即：𝐴1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷1𝐴⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗，𝐷1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗共面．2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为()A．32B．－2C．0D．32或－2答案：B解析：∵a∥b，∴b＝λa，2＝（2m＋1）λ，m＝3λ，

－m＝λ（m－1），得m＝－2.3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是()A．6B．22C．36D．25答案：A解析：|PQ|＝[3－（－1）]2＋（－2－2）2＋[－1－（

－3）]2＝16＋16＋4＝36＝6.4．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB→＝a，AD→＝b，AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A.

－12a＋12b＋cB．12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD．12a－12b＋c答案：A解析：由题意知BM→＝BA→＋𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝－a＋c＋12(a＋b)＝－12a＋12b＋c.5．已知a＝(2

，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A．627B．637C．647D．657答案：D解析：∵a，b，c共面，∴c＝xa＋yb.∴(7，5，

λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，∴2x－y＝7，－x＋4y＝5，3x－2y＝λ，得y＝177，x＝337，λ＝657．6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面

ABCD是正方形，E为PD中点，若PA→＝a，PB→＝b，PC→＝c，则BE→＝()A.12a－12b＋12cB．12a－12b－12cC．12a－32b＋12cD．12a－12b＋32c答案：C解析：∵E为PD的中点，∴BE→＝BP→＋BD→2＝12(－PB→＋BD→)＝12(－

PB→＋PA→－PB→＋PC→－PB→)＝－32PB→＋12PA→＋12PC→＝12a－32b＋12c7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1，1，0)B．(1，－1，0)C．(0，－1，1)D．(－1，0，1)答案：B解析：

∵|a|＝12＋02＋（－1）2＝2，设b＝(－1，1，0)，|b|＝2，a·b＝－1<0，故A不正确；对于B，设c＝(1，－1，0)，a·c＝1，|c|＝2.∴cos〈a，c〉＝a·c|a||c|＝12，∴〈a，c〉＝60°，同理可得C、

D不正确．8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且a⊥(a＋b)，则y的值为()A．6B．10C．12D．14答案：C解析：a＋b＝(－2，y－1，5)，∵a⊥(a＋b)，∴－2×2－(y－1)＋3×5＝0，得y＝12.9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角

线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→＝()A．a2B．12a2C．14a2D．34a2答案：C解析：依题意，点E，F为BC，AD的中点，如图所示，AE→·AF→＝12(AB→＋AC→)·12A

D→＝14(AB→·AD→＋AC→·AD→)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.二、填空题10．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝29，且λ>0，则λ＝________．答案：3

解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，∴|λa＋b|＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，∴17＋2λ2－2λ＝29，∴λ＝3或λ＝－2(舍).11．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角

三角形，则实数x的值为________．答案：2解析：由题意得AB→·AC→＝0，|AB→|＝|AC→|，又AB→＝(6，－2，－3)，AC→＝(x－4，3，－6)∴6（x－4）－6＋18＝0，（x－4）2＝4，得x＝2.12．在三

棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则MN→＝________．答案：12(b＋c－a)解析：MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝12(b

＋c－a)[能力提升]13．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是()A.AD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·B1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B．BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AC→C．AB→·AD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．BD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗·BC→答案：D14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为()A．105B．155C．45D．23答案：B解析：∵OE→＝12𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝12(AB→＋AD→＋𝐴𝐴1⃗⃗⃗

⃗⃗⃗)，FD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝12AD→＋𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴OE→·𝐹𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝12(AB→＋AD→＋AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(12AD→＋𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)＝12(12AB

→·AD→＋AB→·＋𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋12AD→2＋AD→·＋𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗＋12𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AD→＋𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2＝3.而|OE→|＝1222＋22＋22＝3，|FD1|＝5，∴c

os〈OE→，FD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉＝OE→·FD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OE→|𝐹𝐷1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＝155.15．如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则

B，D两点间的距离是()A．3B．2C．1D．3－2答案：D解析：∵BD→＝BF→＋FE→＋ED→，∴|BD→|2＝|BF→|2＋|FE→|2＋|ED→|2＋2(BF→·FE→＋FE→·ED→＋ED→·B

F→)＝1＋1＋1＋2(0＋0－22)＝3－2.∴|BD→|＝3－2.16.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，VP→＝13VC→，VM→＝23VB→，VN→＝23VD→，则VA与

平面PMN的位置关系是________．答案：平行解析：设VA→＝a，VB→＝b，VC→＝c，则VD→＝a＋c－b，PM→＝23b－13c，PN→＝23VD→－13VC→＝23a－23b＋13c，∴VA→＝32PM→＋32PN→，∴VA→，PM→，PN→共面，又VA⊄平面PMN，∴VA∥平

面PMN.