【文档说明】黑龙江省大庆中学2021届高三下学期第一次仿真考试数学（文）试题含答案.docx，共(18)页，1.091 MB，由小赞的店铺上传

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大庆中学2021年高考仿真模拟试题-数学（文）一、单选题1．已知集合13Axx=＜＜，220Bxxx=−−＞，则AB=（）A．()(),11,−−+UB．()1,3−C．()(),21,−−+D．()2,3−2．若a、b、Rc，则“ab”是“22acbc”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知复数2aii+−是纯虚数（i是虚数单位），则实数a等于（）A．−2B．2C．12D．−14．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研

究表明：C与W满足2log(1)SCWN=+，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，SN为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至4000，则C大约增加了（）(附：lg20

.3010)A．10%B．20%C．30%D．40%5．已知函数()sin()fxx=+0,||2的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数()fx的最小正周期是2B．函数

()fx在区间,2ππ上单调递减C．函数()fx在区间34,43上的最小值是1−D．曲线12yfx=+关于直线2x=−对称6．已知向量a，b满足2a=，()2aba+=

，23ab−=，向量ab−与b的夹角为（）A．6B．3C．23D．567．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a4是方程x2+2x﹣3=0的两实根.则S5=（）A．10B．5C．﹣5D．﹣108．已知2sin63+=，则sin26−=（）A．1

9−B．19C．459−D．4599．已知函数3,0(),0xexfxxx−=−，若(1)()fafa−−，则实数a的取值范围是（）A．1,2−B．1,2+C．10,

2D．1,1210．已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是（）A．若//ln，，，则//lnB．若l⊥，，则l⊥C．若lnmn⊥⊥，，则//lmD．若,//ll⊥，则⊥

11．已知圆22:1Oxy+=上存在点P，直线:40lkxy−+=上存在点Q，使得6PQO=，则实数k的取值范围是（）A．[3,3]−B．(,3][3,)−−+C．[2,2]−D．(,2][2,)−−+12．定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，若对任意实数x，有

()()fxfx，且()2022fx+为奇函数，则不等式()20220xfxe+<的解集是（）A．(),0−B．C．()0,+D．()2022,+二、填空题13．若实数x，y满足约束条件3403400xyxyxy−+−−+，则32z

xy=+的最小值是___________.14．若数列na满足11a=，且对于任意的*nN，都有11nnaan+−=+，则数列1na的前n项()2022ln，−和nS=_____．15．在四棱锥PABCD−中，平面PAD⊥平面ABCD，PAD△为等边三角

形，四边形ABCD为矩形，24ABAD==，则四棱锥PABCD−的外接球的表面积为________．16．已知双曲线()222210,0xyabab−=的中心为O，左焦点为F，左顶点为A，点P为双曲线右支上一点，直线OP交双曲线于另一点Q，若直线AQ恰好平分线段PF，则该双曲线的

离心率为___三、解答题17．(本小题满分12分)为了宣传今年10月在我是举办的“第十五届中国西部博览会”组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：(1)分别求出a，x的值；(2)从地2，3，4组

回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“西博会”组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.18．如图，四边形ABCD中，满足//ABCD，90ABC=，1AB=，3BC=

，2CD=，将BAC沿AC翻折至PAC△，使得2PD=.（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ACD；（Ⅱ）求直线CD与平面PAD所成角的正弦值.19．在锐角ABC中，角,,ABC所对的边为,,abc且满足()cos25cos20A

BC−+−=.（1）求角A的大小.（2）已知3a=，求bc的取值范围.20．已知1F，2F分别为椭圆C：()222210xyabab+=的左､右焦点，且离心率为22，点23,22A−在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：ykxm=+与椭

圆C相交于,AB两点，且22OAOBbkka=−.问：AOB的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.21．已知0x=为函数()xfxekx=−的极值点（1）求k的值；（2）若(0,)x+，2()(1)1fx

xax−+−+，求实数a的取值范围.22．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为2cossinxy==（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3=与

曲线2C交于点2,3D.（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）已知极坐标系中两点()10,A，20,+2B，若A、B都在曲线1C上，求221211+的值1．A【分析】集合A是已

知的，只需将集合B中x的范围求解出来表示出集合B，再求并集即可.【详解】集合A=|13xx,220xx−−，解得1x−或2x,即|12Bxxx=−或,所以|11ABxxx=−或，即(−∞,−1)∪(1,+∞).故选：A【点睛】注意集合

B的解集、以及求交集的准确性，区别交集和补集.2．B【分析】利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可得出结论.【详解】充分性：若ab，0c=，则22acbc=，充分性不成立；必要性：若22acbc，

则20c，由不等式的性质可得ab，必要性成立.因此，“ab”是“22acbc”的必要不充分条件.故选：B.3．C【分析】根据复数的运算法则，化简复数为21255aai−++，根据复数的概念，列出方程，即可求解.【详解】根据复数的运算法则，可得()()()()2222aiiaiiii++

+=−−+21255aai−+=+，因为复数2aii+−是纯虚数，所以2105a−=且205a+，解得12a=.故选：C．4．B【分析】先计算1000SN=和4000SN=时的最大数据传输速率1C和2C，再计算增大的百分比2

11CCC−即可.【详解】当1000SN=时，122log1001log1000CWW=；当4000SN=时，222log4001log4000CWW=.所以增大的百分比为：2122112log4000lg4000lg4lg10001111log1000lg1000lg1000CCCW

CCW−+=−=−=−=−lg42lg220.30100.220%lg100033===.故选：B.5．C【分析】根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可；【详解】解：由函数图象可知541264T=−=，所以T=，因

为2T==，所以最小正周期为，所以2=，故A错误；又函数过点5,112，所以55sin211212f=+=，所以52,62kkZ+=+，解得2,3kkZ=−+，因为||2，所以3=−，所以

()sin23πfxx=−，当,2x，所以252,333πππx−，因为sinyx=在25,33x上不单调，故B错误；当34,43πxπ，所以,267733xπππ−，所以3sin21,32x

−−，故C正确；ss2iin2112n236yfxxx=+=+=−−，当2x=−时，116in2sy==，故2x=

−不是函数12yfx=+的对称轴，故D错误故选：C6．D【分析】由给定条件依次求出ab和||b，再利用向量夹角公式求解即得.【详解】向量a，b满足||2a=，()2aba+=，则22+=aab，得2a

b=−，由222223()122124412ababaabbb−=−=−+=++=，得2b=，向量ab−与b的夹角为，()2243cos223243abbabbabb−−−−====−−，0,，所以56=.故选：D7．C【分析

】根据a2，a4是方程x2+2x﹣3=0的两实根，得到24,aa的关系,再由()24552aaS+=求解.【详解】∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2，a4是方程x2+2x﹣3=0的两实根，∴24242,3aaaa+

=−=−，所以()()1524555522aaaaS++===−故选：C.8．A【分析】由22()266+−=+，结合诱导公式、二倍角余弦公式可得2sin(2)2sin()166−=+−，即可求值.【详解】由题意有：22()266+−=+，∴2cos(2)

sin(2)cos2()12sin()26666+−=−−=+=−+，又2sin63+=，∴1sin269−=−.故选：A.9．A【分析】首先判断函数的单调性，再将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；【详解】解：因为3

,0(),0xexfxxx−=−，当0x时()xfxe−=单调递减，且()1fx，当0x时，3()fxx=−单调递减，且()0fx，所以函数3,0(),0xexfxxx−=−在定义域上单调递

减，因为(1)()fafa−−，所以1aa−−，解得12a，即不等式的解集为1,2−故选：A10．D【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项.【详解】A.若//ln，，，则//ln或异面，故A不正确；B.缺少l垂直于交线这个条件

，不能推出l⊥，故B不正确；C.由垂直关系可知，//lm或,lm相交，或是异面，故C不正确；D.因为l//，所以平面内存在直线//ml，若l⊥，则m⊥，且m，所以⊥，故D正确.故选：D11．B【分析】由题意，当直线PQ与圆相切时，PQO

最大，此时2OQ=，然后可得圆心到直线的距离小于或者等于2，即可解出不等式.【详解】由题意可得，当直线PQ与圆相切时，PQO最大，此时2sin30OPOQ==所以要使圆22:1Oxy+=上存在点P，直线:40lkxy−+=上存在点Q，使得

6PQO=成立则有2421dk=+，解得(,3][3,)k−−+U故选：B12．C【分析】本题首先可设()()xfxgxe=，然后根据()()fxfx得出()gx为定义在R上的减函数，再然后

根据()2022fx+为奇函数得出()02022g=-，最后将()20220xfxe+<转化为()()0gxg，即可解出不等式.【详解】设()()xfxgxe=，则()()()xfxfxgxe−=

，因为()()fxfx，所以()0gx，()gx为定义在R上的减函数，因为()2022fx+为奇函数，所以()020220f+=，()02022f=-，()()0002022fge==-，()20220xfxe+<，即(

)2022xfxe<-，()()0gxg，0x，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查通过构造函数并利用函数性质解不等式，构造函数()()xfxgxe=是解决本题的关键，考查奇函数的性质的应用，考查利用函数单调性解不等式，是中档题.13．1−.【分析】画出约束条件所表示的平面区域，

化简目标函数为直线的斜截式，结合图形确定目标函数的最优解，代入，即可求解.【详解】画出约束条件3403400xyxyxy−+−−+所表示的平面区域，如图所示，目标函数32zxy=+，可化为直线322

zyx=−+，当直线322zyx=−+过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由0340xyxy+=−+=，解得(1,1)A−，所以目标函数32zxy=+的最小值为min3(1)211z=−+=−.故答案为：1

−.【点睛】根据线性规划求解目标函数的最值问题的常见形式：（1）截距型：形如zaxby=+.求这类目标函数的最值常将函数zaxby=+转化为直线的斜截式：azyxbb=−+，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值；（2）距离型：形如()()22

zxayb=−+−，转化为可行域内的点到定点的距离的平方，结合点到直线的距离公式求解；（3）斜率型：形如ybzxa−=−，转化为可行域内点与定点的连线的斜率，结合直线的斜率公式，进行求解.14．21nn+【分析】由11a

=，11nnaan+−=+，利用叠加法，求得1(1)2nann=+，求得11121nann=−+，结合裂项法求和，即可求解.【详解】由11a=，且对于任意的*nN，都有11nnaan+−=+，可得1213211()()()123(1)2nnnaaaaaaaannn−=+

−+−++−=++++=+，则12112(1)1nannnn==−++，所以11111122121223111nnSnnnn=−+−++−=−=+++．故答案为：21nn+．15．643【分析】先根据面面垂直，取平面PAD的外接圆

圆心G，平面ABCD的外接圆圆心H，分别过两点作对应平面的垂线，找到交点为外接球球心O，再通过边长关系计算半径，代入球的表面积公式即得结果.【详解】如图，取AD的中点E，BC的中点F，连EF，PE，在PE上取点G，使得2PGGE=，取EF的中点H

，分别过点G、H作平面PAD、平面ABCD的垂线，两垂线相交于点O，显然点O为四棱锥PABCD−外接球的球心，由2AD=，4AB=，可得3PE=，33GEOH==，2222125AHAEEH=+=+=，则半径22343(5)33rOA

==+=，故四棱锥PABCD−外接球的表面积为24364433=．故答案为：643.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或

对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可

.16．3【分析】设PF的中点为M，连接OM，分析可知//OMFQ且12OMFQ=，进而可得出12OAAF=，可得出关于a、c所满足的等式，由此可求得双曲线的离心率.【详解】设PF的中点为M，连接OM，O、M分别

为PQ、PF的中点，则//OMFQ且12OMFQ=，所以，12OAOMAFFQ==，即12aca=−，3ca=∴，因此，该双曲线的离心率为3cea==.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的方法：（1）若可求得a、c，直接利用cea=求解；（

2）若已知a、b，可直接利用21bea=+得解；（3）若得到的是关于a、c的齐次方程220pcqacra++=（p、q、r为常数，且0p），则转化为关于e的方程20peqer++=求解.17.．(1

)a＝18，x＝0.9；(2)35【解析】试题分析：(1)根据第1组数据，先求出总人数n，然后对照直方图中的数据，分别求出a和x；(2)利用分层抽样的原理，先确定出每组抽出的人数，列出所有两人获奖的情况，找出第2组至少1人

获奖的情况数，求出相应概率.试题解析：(1)根据频率表中第1组数据可知，第1组的总人数为50.5＝10再结合频率分布直方图可知n＝100.0110＝100∴a＝100×0.020×10×0.9＝18x＝271000.0310＝0.9(2)第2，3，4组中回答正确的共有54人∴利用分层抽样

在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：654×18＝2人；第3组：654×27＝3人；第3组：654×9＝1人设第2组的2人为A1，A2，第3组中的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C.

则从6人中抽2人的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B

3)，(B2，C)，(B3，C)，共15个基本事件其中第2组至少1人被抽中的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)这9个事件∴第2组至少1人获得幸运奖的概率为

93155=.考点：抽样方法，统计，直方图，频率，概率.18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）155.【分析】（Ⅰ）过B作BOAC⊥，垂足为O，连PO，DO，作DEAC⊥，垂足为E，易得POAC⊥，通过勾股定理可得POOD⊥，即可得PO⊥平

面ACD，进而可得结果；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，平面PAD的法向量，利用向量法即可得结果.【详解】（Ⅰ）过B作BOAC⊥，垂足为O，连PO，DO，则POAC⊥，作DEAC⊥，垂足为E，则3DE=，12OE=，132DO=所以222PODOPD

+=，即POOD⊥又ACDOO=，所以PO⊥平面ACD，又PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ACD；（Ⅱ）以O为坐标原点，OC，BO所在的直线为x，y轴建立空间直角坐标系则1,0,02A−，3,0,02C，1,3,02D，30,0,2P

，()1,3,0AD=，13,0,22AP=设平面PAD的法向量为(,,)nabc=，则1302230APnacADnab=+==+=取法向量()3,1,1n=−−r，()1,3,0CD=−设直线CD与平面PAD所成角为，则15sincos,5CDn==

.19．（1）3；（2）(2,3.【分析】（1）根据ABC++=以及二倍角的余弦公式化简原式得到关于cosA的方程，由此求解出cosA的值，从而A的大小可求；（2）先根据正弦定理求解出,bc关于sin,sinBC的表示，然后根据23BC+=以及三角

恒等变换的公式化简bc的表达式，结合B的范围可求解出bc的取值范围.【详解】（1）因为()cos25cos20ABC−+−=，所cos25cos20AA+−=，所以22cos5cos30AA+−=，所以()()2cos1cos30AA−+=，且A为锐角，(

)cos0,1A，所以1cos2A=，所以3A=；（2）因为32sinsinsinsin3abcABC====，所以2sin,2sinbBcC==，所以2314sinsin4sinsin4sincossin322bcBCBBBBB==−=+，所以22

3sincos2sin3sin21cos2bcBBBBB=+=+−，所以2sin216bcB=−+，又因为022032BB−，所以,62B，所以52,666B−，又sin

yx=在,62上单调递增，在5,26上单调递减，所以1sin2,162B−，所以(2,3bc.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于利用正弦定理

将边化为角的形式，结合三角恒等变换的公式进行化简求解，同时本例中角的范围确定也很重要；若题设未对三角形的形状作规定，第二问还可以采用余弦定理结合基本不等式进行求解.20．（1）2212xy+=；（2）是定值，定值为22.【分析】（1）由离心率为22，点23,22A−

在椭圆上，结合椭圆,,abc的关系，列方程组，解得22,ab，进而可得答案；（2）设()11,Axy，()22,Bxy，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得12xx+，12xx，12yy，由22OAOBbkka=−得2212km=−

，由弦长公式可得AB，由点到直线的距离公式可得点O到直线AB的距离d，再计算12AOBSdAB=△即可得出答案.【详解】（1）根据题意可得：222222213124ceaababc==+==+，解得：22a=，21b=，椭圆C的方程为2212xy+=.（

2）由题意知：0m，设()11,Axy，()22,Bxy，联立2212ykxmxy=++=得：()222124220kxkmxm+++−=，()()()2222244212216880kmkmkm=−+−=−+，即2221m

k+，则122421kmxxk+=−+，21222221mxxk−=+，()()()2222121212122221mkyykxmkxmkxxmkxxmk−=++=+++=+，22212221221222OAOByymkbkkxx

ma−===−=−−Q，2212km=−，满足2221mk+，()2222212122168814121kmABkxxxxkk−+=++−=++，又点O到直线AB的距离21mdk=+，22222111688122211AOBmkmSdABkkk−+==+++V22216

88221mkmk−+=+，把2212km=−代入上式得：2282222AOBmmSm==△AOB的面积为定值22.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积定值问题的求解，求解此类问题的基本思路

如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用已知等量关系得到变量之间的关系，结合韦达定理可表示出所求的三角形面积；④化简三角形面积的表达式，消元可得定值.21．（1）()xf

xek=−，0(0)0fek=−=，解得1k=，经检验，()fx在(,0)−递减，在(0,)+递增，0x=为()fx的极小值点，符合题意，因此，1k=．（2）(0,)x+，210xexax+−−，设2()1xgxexa

x=+−−，其中(0)0g=()2xgxexa=+−，令()()2xhxgxexa==+−，则()20xhxe=+，()hx在(0,)+递增()(0)1hxha=−①当10a−时，即1a，()0gx

，()gx在(0,)+递增，()(0)0gxg=符合题意，所以1a②当10a−时，即1a，0(0,)x+，00()gx=，在0(0,)x上，()0gx，()gx在0(0,)x递减，所以0(0,)x

x时，()(0)0gxg=不符合题意,综上，实数a的取值范围为1a22．（1）221:14xCy+=，()222:24Cxy−+=；（2）54.【解析】【分析】（1）在曲线1C的参数方程中消去参数可得出曲线1C的普通方程，根据题意设曲线2C的极坐标方程为2co

sa=（a为半径），将点D的极坐标代入曲线2C的极坐标方程，求出a的值，可得出曲线2C的极坐标方程，确定曲线2C的形状，可得出曲线2C的普通方程；（2）将曲线1C的方程化为极坐标方程为22244sincos=+，将点A、B的极坐标代入

曲线1C的极坐标方程可得出21和22的表达式，代入可求出221211+的值.【详解】（1）1C的参数方程为2cossinxy==，1C的普通方程为2214xy+=，由题意，设曲线2C的极坐标

方程为2cosa=（a为半径），将2,3D代入，得1222a=，2a=，圆2C的圆心的直角坐标为()2,0，半径为2，因此，2C的直角坐标方程为()2224xy−+=；（2）曲线1C的极坐标方程为222

2cossin14+=，即22244sincos=+21220044sincos=+，2222220044sin4cos4sincos22==++++.2222000022124sincos4cossin11

5=+444+++=.