【文档说明】黑龙江省大庆中学2021届高三下学期第一次仿真考试数学(理)试题含答案.docx,共(9)页,533.604 KB,由管理员店铺上传
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大庆中学高三年级仿真模拟考试理科数学试题一、单选题1.已知集合1,0,3,23,2,1,0,1-===BAU,,则=BACU)(()A.B.0,1C.0D.12.若复数iiz21+=(i为虚数单位),则=z().A.1B
.2C.3D.53.若54)4cos(=−,则=2sin()A.725−B.1825C.725D.24254.已知3aij=+rrr,2bi=,其中i,j是互相垂直的单位向量,则3ab−=rr()A.27B.26C.28D.
245.关于直线m、n与平面、,有以下四个命题:①若//m,n//且//,则//mn;②若m⊥,n⊥且⊥,则mn⊥;③若m⊥,n//且//,则mn⊥;④若//m,n⊥且⊥,则//mn.其中
真命题的序号是()A.①②B.③④C.①④D.②③6.下列对不等关系的判断,正确的是()A.若11ab,则33abB.若22||||abab,则22abC.若22lnlnab,则||||22abD.
若tantanab,则ab7.数学对于一个国家的发展至关重要,发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养,特开设了“古今数学思想”,“世界数字通史”,“几何原本”,“什么是数学”四门
选修课程,要求数学系每位同学每学年至多选2门,大一到大三三学年必须将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有()A.18种B.36种C.54种D.72种8.若函数()()30fxsinxcosx=+在区间0,6
上仅有一条对称轴及一个对称中心,则的取值范围为()A.()5,8B.(5,8C.(5,11D.)5,119.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染
者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e)rtIt=描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在
新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.7天D.3.6天10.已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点,A为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,B为渐近线上一点,O为坐标原点
.若四边形OFAB为菱形,则双曲线C的离心率e=()A.21+B.2C.3D.211.在四面体ABCD中,若3ABCD==,2==ACBD,5ADBC==,则四面体ABCD的外接球的表面积为()A.8B.6C.4D.212.其中正确的个数是:有如下四个
命题关于函数,sin1sin)(xxxf+=①是偶函数;)(xf②对称;图象关于2)(=xxf③;2-)(的最小值为xf④上单调递增;,在02-)(xfA.①②B.①④C.①②④D.①③④二、填空题13.已知函数2()xfxxe=,则()fx在1x=处的切线斜率
为___________.14.已知ABC中,32=A,满足ABACBC2,21==,则ABC的面积为______.15.某校一次数学诊断考试成绩(单位:分)X服从正态分布()2110,10N,
从中抽取一个同学的数学成绩,记该同学的成绩90110为事件A,记该同学的成绩80100为事件B,则在A事件发生的条件下B事件发生的概率()PBA=______.(结果用分数表示)附参考数
据:()0.68PX−+=;()220.95PX−+=;()330.99PX−+=.16.已知圆1:22=+yxC,点)2,(tM,若C上存在两点BA,满足ABMA2=,则实数t的取值范
围.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17在数列na中,112,22nnaaa+==+;(1)求na;(2)令(2)nnbna=+,求数列nb的前n项和nS.18.如图,棱锥PABCD−中,P
D⊥底面ABCD,四边形ABCD为矩形,2CD=,2PDAD==,E为DC的中点.(1)求证:AE⊥平面PBD;(2)求二面角CPBE−−的余弦值.19.排球比赛按“五局三胜制的规则进行(即先胜三局的一方获胜,比赛结束),且各局之间互不影响.根据两队以往交战成绩分析
,乙队在前四局的比赛中每局获胜的概率是23,但前四局打成2:2的情况下,在第五局中甲队凭借过硬的心理素质,获胜的概率为23.若甲队与乙队下次在比赛上相遇.(1)求甲队以3:1获胜的概率;(2)设甲的净胜局数(例如:甲队以3:1获胜,则甲队的净胜局数为2,乙队的净胜局数为﹣2)为ξ,求ξ的分布列
及()E.20.已知椭圆C:()222210xyabab+=,长轴为4,不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值14−.(1)求椭圆C的方程;(2)若直
线l过右焦点2F,问y轴上是否存在点D,使得三角形ABD为正三角形,若存在,求出点D坐标,若不存在,请说明理由.21.已知函数2()22ln()fxxaxxaR=++.(1)若()fx是单调函数,求a的取值范围;(2)若()fx存在两个极值点12,xx,且2xe,求()()12fxfx
−的最小值.请在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分。22.在平面直角坐标系xOy中,曲线1C的参数方程为1sin2sincosxy=+=+(为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C的极坐标方程为2sin=.(
1)求1C和2C的直角坐标方程;(2)若射线l:0=(0,43ππ,0)与曲线1C和2C分别交于异于原点的点A,B,求OAOB取值范围.23.已知函数()2fxxaxa=+−−(其中0a).(1)当3a=时,求证:()99fx−;
(2)当2xa时,解关于a的不等式()()3fxf.理科数学答案选择BDCADCCBDABB填空13.23e14.315.279516.21,21−解答题17.(1)122nna+=−(2)2(1)24nnSn+=−+18
.(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PDAE⊥,因为四边形ABCD为矩形,2CD=,2AD=,E为DC的中点.所以12tan22DEEADAD===,2tan2BCCDBCD==,于是DAECDB=,因为90DAEDEA+=,所以90EDFDE
F+=,所以AEBD⊥,因为PDBDD=,PD、BD平面PBD,所以AE⊥平面PBD;(2)以点D为坐标原点,分别以直线,,DADCDP为x轴,y轴,z轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,由题意知:()2,2,2PB=−,()0,1,2PE=−,()0,2,2PC=−,设平面PB
E和平面PBC的法向量分别为(),,mxyz=,(),,nuvw=,222020PBmxyzPEmyz=+−==−=,令2y=,()1,2,1m=−,2220220PBnuvwPCnvw=+−==−=,令1v=,()0,1,2n=,设二面角CPBE−−的平面
角为,因为二面角CPBE−−为锐角,所以二面角CPBE−−的余弦值为226cos|cos,|323mmnmnn====.19(1)甲队以3:1获胜等价于前3局中,甲2胜一负,第4局甲胜,所以甲队以3:1获胜的概率23112123333
27PC==.(2)由题意可知,甲队和乙队的比分有如下六种0:3,1:3,2:3,3:2,3:1,3:0,则的ξ取值有﹣3,﹣2,﹣1,1,2,3,ξ=﹣3时,222833327P==,ξ=﹣2时,2322128333327PC=
=,ξ=﹣1时,242211183333381PC==,ξ=1时,2422112163333381PC==,ξ=2时,2311212333327PC==,ξ=3时,111133327P=
=,所以ξ的分布列为:ξ-3-2-1123P8278278811681227127所以8881621()321123272781812727E=−−−+++9181=−.20.(1)由题意可知,24
a=,2a=.设点()11,Axy,()22,Bxy,A,B在椭圆上,所以2211221xyab+=,2222221xyab+=,所以()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=,所以()()()()2121221212yy
yyaxxxxb+−=−+−,因为14ABOMkk=−,所以2112211214yyyyxxxx−+=−−+,所以2214ba−=−,所以23b=,所以椭圆C方程为2214xy+=.(2)()23,0F,设直线l:()3ykx=−,联立
方程得()222214831240kxkxk+−+−=,所以21228314kxxk+=+,212212414kxxk−=+,所以222433,1414kkMkk−++,假设存在点D,则MD的直线方程为22231431414kkyxkkk+=−−++,所以2330,
14kDk+.()2212241114xABkkxk+=+−=+,22222431143101414kkkkkMkD+=+−=++,若ABD△为等边三角形,则32MDAB=,即()222241431321414kkkkk++=++,解得213k=,此
时2339147kk=+,所以存在点90,7D,使得ABD△为等边三角形.21.由题意得:函数()fx定义域为(0,)+,()2212()22xaxfxxaxx++=++=(1)若()fx是单调函数,则()fx在(0,)+上恒非负,令2()
1gxxax=++,()0gx在(0,)+上恒成立,则20240aa−=−或02a−,解得:2a−,∴a的取值范围为:[2,)−+(2)函数()fx的两个极值点12,xx是方
程210xax++=的两根,∴12xxa+=−,121=xx,又2xe,则12xx,()fx在12[,]xx上单调递减()()()()()22121211122222ln22lnfxfxfxfxxaxxxaxx−=−=++−++()(
)()22221112121212122222ln22lnxxxxaxxxxxxxxxx=−+−+=−−+−+2212222222122ln12lnxxxxxxx=−−=−+设22xt=,由2xe得:2te,设1()2lnhtttt=−−,则2
2121()110htttt=+−=−()ht在)2,e+上为增函数,()22222211()2ln4htheeeeee=−−=−−即22222222112ln4xxexe−−−−,()()12fxfx−的最小值为:2214ee−
−.22.(1)由曲线1C的参数方程为1sin2,sincos.xy=+=+(为参数)得其直角坐标方程为:2yx=(02x);由曲线2C:2sin=得22sin=,将222sinxyy+==
代入得曲线2C的直角坐标方程为()2211xy+−=.(2)∵1C的直角坐标方程为2yx=(02x),将cossinxy==代入得曲线1C的极坐标方程为2sincos=.由20sincos==得020cossinAOA==,由02sin=
=得02sinBOB==,∴00200cos22sinsintanABOAOBOAOB====,∵0,43ππ,∴0tan1,3,故OAOB取值范围为23,23
.23.(1)当3a=时,()36fxxx=+−−,当3x−时,()()369fxxx=−−−−=−;当36x−时,()()3623fxxxx=+−−=−,()99fx−;当6x时,()()369fxxx=+−−=;综上所述
:()99fx−;(2)0a,当2xa时,()23fxxaxaa=+−+=;()3332faa=+−−;当302a时,()()33323faaa=+−−=,由()()3fxf得:33aa,恒成立,302a;当32a时,()()33236faaa=+−−=−,由()(
)3fxf得:36aa−,解得:32a,不符合32a,舍去;综上所述:关于a的不等式()()3fxf的解集为30,2.