【文档说明】黑龙江省大庆中学2021届高三下学期第一次仿真考试数学（理）试题含答案.docx，共(9)页，533.604 KB，由小赞的店铺上传

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大庆中学高三年级仿真模拟考试理科数学试题一、单选题1．已知集合1,0,3,23,2,1,0,1-===BAU，，则=BACU)(()A．B．0,1C．0D．12．若复数iiz21+

=（i为虚数单位），则=z（）．A．1B．2C．3D．53．若54)4cos(=−，则=2sin（）A．725−B．1825C．725D．24254．已知3aij=+rrr，2bi=，其中i，j是互相

垂直的单位向量，则3ab−=rr（）A．27B．26C．28D．245．关于直线m、n与平面、，有以下四个命题：①若//m，n//且//，则//mn；②若m⊥，n⊥且⊥，则mn⊥；③若m⊥，n//且//，则mn⊥；④若//m，n⊥

且⊥，则//mn.其中真命题的序号是（）A．①②B．③④C．①④D．②③6．下列对不等关系的判断，正确的是（）A．若11ab，则33abB．若22||||abab，则22abC．若22lnlnab，则||||22abD．若tantanab，则ab7．数学对于一

个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数字通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选2门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学

的不同选修方式有（）A．18种B．36种C．54种D．72种8．若函数()()30fxsinxcosx=+在区间0,6上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为（）A．()5,8B．(5,8C．(5,11D．)5,119．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行

病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt=描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已

有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.7天D．3.6天10．已知F为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的右焦点，A为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，B为渐近线上一点，O为坐标原点．若四边形OFAB为菱形，则双曲线C的离心率e=（）A．21+B．2C．3D．211．在四面体ABCD中，若3ABCD==，2==ACBD，5ADBC==，则四面体AB

CD的外接球的表面积为（）A．8B．6C．4D．212．其中正确的个数是：有如下四个命题关于函数,sin1sin)(xxxf+=①是偶函数；)(xf②对称；图象关于2)(=xxf③;2-)(的最小值为xf④上单调递

增；，在02-)(xfA．①②B．①④C．①②④D．①③④二、填空题13．已知函数2()xfxxe=，则()fx在1x=处的切线斜率为___________.14．已知ABC中，32=A，满足ABACBC2

,21==，则ABC的面积为______．15．某校一次数学诊断考试成绩（单位：分）X服从正态分布()2110,10N，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩90110为事件A，记该同学的成绩80100为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率()PBA=___

___．（结果用分数表示）附参考数据：()0.68PX−+=；()220.95PX−+=；()330.99PX−+=．16．已知圆1:22=+yxC，点)2,(tM，若C上存在两点BA,满足ABMA2=,则实数t

的取值范围.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在数列na中，112,22nnaaa+==+；（1）求na；（2）令(2)nnbna=+，求数列nb的前n项和nS.18．如图，

棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形，2CD=，2PDAD==，E为DC的中点.（1）求证：AE⊥平面PBD；（2）求二面角CPBE−−的余弦值.19．排球比赛按“五局三胜制的规则进行（即先胜三局的一方获胜，比赛

结束），且各局之间互不影响.根据两队以往交战成绩分析，乙队在前四局的比赛中每局获胜的概率是23，但前四局打成2：2的情况下，在第五局中甲队凭借过硬的心理素质，获胜的概率为23.若甲队与乙队下次在比赛上相遇.（1）求甲队以3：1获胜的概率；（2）设甲的净胜局数（例如：甲队

以3：1获胜，则甲队的净胜局数为2，乙队的净胜局数为﹣2）为ξ，求ξ的分布列及()E.20．已知椭圆C：()222210xyabab+=，长轴为4，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值14−.（1）求椭圆

C的方程；（2）若直线l过右焦点2F，问y轴上是否存在点D，使得三角形ABD为正三角形，若存在，求出点D坐标，若不存在，请说明理由.21．已知函数2()22ln()fxxaxxaR=++.（1）若()fx是单调函数，求a的取值范围；（

2）若()fx存在两个极值点12,xx，且2xe，求()()12fxfx−的最小值.请在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分。22．在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为1sin2s

incosxy=+=+（为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为2sin=．（1）求1C和2C的直角坐标方程；（2）若射线l：0=（0,43ππ，0）与曲线1C

和2C分别交于异于原点的点A，B，求OAOB取值范围．23．已知函数()2fxxaxa=+−−（其中0a）．（1）当3a=时，求证：()99fx−；（2）当2xa时，解关于a的不等式()()3fxf．理科数学答案选择BD

CADCCBDABB填空13．23e14．315．279516.21,21−解答题17.(1)122nna+=−（2）2(1)24nnSn+=−+18．（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，AE平面

ABCD，所以PDAE⊥，因为四边形ABCD为矩形，2CD=，2AD=，E为DC的中点.所以12tan22DEEADAD===，2tan2BCCDBCD==，于是DAECDB=，因为90DAEDEA+=，所以90EDFDEF+=，所以AEBD⊥，因为PDBDD=

，PD､BD平面PBD，所以AE⊥平面PBD；（2）以点D为坐标原点，分别以直线,,DADCDP为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意知：()2,2,2PB=−，()0,1,2PE=−，()0,2,2PC=

−，设平面PBE和平面PBC的法向量分别为(),,mxyz=，(),,nuvw=，222020PBmxyzPEmyz=+−==−=，令2y=，()1,2,1m=−，2220220PBnuvwPCnvw=+−==−=，令

1v=，()0,1,2n=，设二面角CPBE−−的平面角为，因为二面角CPBE−−为锐角，所以二面角CPBE−−的余弦值为226cos|cos,|323mmnmnn====.19（1）甲队以3：1获胜等价于前3局中，甲2胜一负，第4局甲胜，所以甲队以3：1获胜的概率23112

12333327PC==.（2）由题意可知，甲队和乙队的比分有如下六种0：3，1：3，2：3，3：2，3：1，3：0，则的ξ取值有﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，ξ＝﹣3时，222833327P==，ξ＝﹣2时，

2322128333327PC==，ξ＝﹣1时，242211183333381PC==，ξ＝1时，2422112163333381PC==，ξ＝2时，2311212333327PC=

=，ξ＝3时，111133327P==，所以ξ的分布列为：ξ-3-2-1123P8278278811681227127所以8881621()321123272781812727E=−−−+++9181=−.20．（1）由题意可知，24a=，2a

=.设点()11,Axy，()22,Bxy，A，B在椭圆上，所以2211221xyab+=，2222221xyab+=，所以()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=，所以()()()()2121221212yyyyaxx

xxb+−=−+−，因为14ABOMkk=−，所以2112211214yyyyxxxx−+=−−+，所以2214ba−=−，所以23b=，所以椭圆C方程为2214xy+=.（2）()23,0F，设直线l：()3ykx=−，联立方程得()222214831240kxkx

k+−+−=，所以21228314kxxk+=+，212212414kxxk−=+，所以222433,1414kkMkk−++，假设存在点D，则MD的直线方程为22231431414kkyxkkk+=−−++，所以2330,14kDk+.(

)2212241114xABkkxk+=+−=+，22222431143101414kkkkkMkD+=+−=++，若ABD△为等边三角形，则32MDAB=，即()222241431321414kkkkk++

=++，解得213k=，此时2339147kk=+，所以存在点90,7D，使得ABD△为等边三角形.21．由题意得：函数()fx定义域为(0,)+，()2212()22xaxfxxaxx++=++=（1）若()fx是单调函数，则()fx在(0

,)+上恒非负，令2()1gxxax=++，()0gx在(0,)+上恒成立，则20240aa−=−或02a−，解得：2a−，∴a的取值范围为：[2,)−+（2）函数()fx的两个极值点12,xx

是方程210xax++=的两根，∴12xxa+=−，121=xx，又2xe，则12xx，()fx在12[,]xx上单调递减()()()()()22121211122222ln22lnfxfxfxfxxaxxxaxx

−=−=++−++()()()22221112121212122222ln22lnxxxxaxxxxxxxxxx=−+−+=−−+−+2212222222122ln12lnxxxxxxx=−−=−+设22xt=，由2xe得：2te，设1()2ln

htttt=−−，则22121()110htttt=+−=−()ht在)2,e+上为增函数，()22222211()2ln4htheeeeee=−−=−−即22222222112ln4xxexe−−−−，()()12fxfx

−的最小值为：2214ee−−.22．（1）由曲线1C的参数方程为1sin2,sincos.xy=+=+（为参数）得其直角坐标方程为：2yx=（02x）；由曲线2C：2sin=得22sin=，将222sinxyy+==代入得曲线2C的直角坐标方程为()221

1xy+−=．（2）∵1C的直角坐标方程为2yx=（02x），将cossinxy==代入得曲线1C的极坐标方程为2sincos=．由20sincos==得020co

ssinAOA==，由02sin==得02sinBOB==，∴00200cos22sinsintanABOAOBOAOB====，∵0,43ππ，∴0tan1,3，故OAOB

取值范围为23,23．23．（1）当3a=时，()36fxxx=+−−，当3x−时，()()369fxxx=−−−−=−；当36x−时，()()3623fxxxx=+−−=−，()99fx−；当6x时，()()3

69fxxx=+−−=；综上所述：()99fx−；（2）0a，当2xa时，()23fxxaxaa=+−+=；()3332faa=+−−；当302a时，()()33323faaa=+−−=，由()()3fxf得：33aa，恒成立，302a；当32a时，()()33236

faaa=+−−=−，由()()3fxf得：36aa−，解得：32a，不符合32a，舍去；综上所述：关于a的不等式()()3fxf的解集为30,2.