【文档说明】重庆市第十一中学校2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.324 MB，由小赞的店铺上传

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重庆十一中高2024届高三上10月质量监测数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.1.定义集合,AB的一种运算：2{|,,}ABxxbaaAbB==−，若{1,4},{1,2}AB==−，则AB

中的元素个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】计算可求得0,3,3AB=−，可得结论.【详解】因为{1,4},{1,2}AB==−，当1,1ab==−时，20xba=−=，当1,2ab==时，23xba=−=，当4,1ab==−时，23xba

=−=−，当4,2ab==时，20xba=−=，所以0,3,3AB=−，故AB中的元素个数为3.故选：C.2.直线10axy+−=被圆22(1)(4)4xy−+−=所截得的弦长为23，则a=（）A.43−B.34−C.√3D.2【答案】A【解析】【分

析】先求出圆心到直线10axy+−=的距离，结合点到直线的距离公式，即可得出a的值.【详解】圆22(1)(4)4xy−+−=的圆心为(1,4)，半径为2r=，由垂径定理，得点到直线距离为222(3)1-=，根据点到直线距离公式

，知圆心(1,4)到直线10axy+−=的距离22|41|11ada+−==+，化简可得22(3)1aa+=+，解得43a=−.故选：A.3.已知:pxa，:||6qxa+，且p是q的必要不充分条件，则a的取值范围为（）A.(−∞,−3]B.(−∞,−3)C.[3

,+∞)D.(3,+∞)【答案】A【解析】【分析】由题意可得6aa−−，求解即可.【详解】由||6xa+，解得66axa−−−，由p是q的必要不充分条件，所以6aa−−，解得3a−，所以a的取值范围为(,3]−−.故选：A.4.下列说法中，正确的是（）A.设一组样本

数据12,,,nxxx的方差为0.1，则数据1210,10,,10nxxx的方差为1B.已知数据2，3，5，7，8，9，10，11，则该组数据的上四分位数为9C.一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的

平均数和中位数近似相等D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数【答案】C【解析】【分析】依据方差的性质计算可判断选项A；求得四分位数可判断选项B；依据中位数定义和平均数定义去判断选项C；由频率直方图的意义可判断D.【详解】对于A，设一组样本数据12,,,nx

xx的方差为0.1，则数据1210,10,,10nxxx的方差为2100.110=，故A错误；对于B，因为80.756=，所以该组数据的上四分位数为9109.52+=，故B错误；对于C，一组样本数据的频率分布直方图是单峰的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位数近似

相等，故C正确；对于D，频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故D错误.故选：C.5.已知3alog6=，5log10b=，7log14c=，则（）A.bacB.cbaC.abcD.acb【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算和对数函数的性质即可求解.【详解】

因为3321log61log21,log3a==+=+5521log101log21log5b==+=+,7721log141log21log7c==+=+且222log7>log5log3>0；所以abc.故

选：B.6.已知2F是椭圆()222210+=xyabab的右焦点，点P在椭圆上，()220OPOFPF+=，且22OPOFb+=，则椭圆的离心率为（）A.53B.35C.54D.25【答案】A【解析】【分析】设2PF中点为Q，根据向量的线性运算法则及数量积

的定义可得2OQPF⊥，从而得到12PFPF⊥，根据22OPOFb+=得到1||2PFb=，再根据椭圆的定义得到2||PF，在直角三角形中利用勾股定理得到23ba=，最后根据离心率公式计算可得；【详解】解：设2PF的中点为Q，则22OPOF

OQ+=由22()0OPOFPF+=，即220OQPF=所以2OQPF⊥，的连接1PF可得1//OQPF，所以12PFPF⊥，因为22OPOFb+=，即22OQb=，即1||2PFb=所以21||2||22PFaPF

ab=−=−，在12RtPFF中，2221212||||||PFPFFF+=，即()()2222224cbab−+=，又222cab=−，所以222222bababab+=+−−，所以232bab=，即23ba=解得22222513

cabbeaaa−===−=，故选：A7.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝212x−，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为A.4B.3C.2D.1【答案

】B【解析】【分析】把原方程转化为()yfx=与8log(2)yx=+的图象的交点个数问题，由(2)(2)fxfx+=−，可知()fx的图象关于2x=对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．

【详解】由题意，原方程等价于()yfx=与8log(2)yx=+的图象的交点个数问题，由(2)(2)fxfx+=−，可知()fx的图象关于2x=对称，作出()fx在(0,2)上的图象，再根据()fx是偶函数，图象关于

y轴对称，结合对称性，可得作出()fx在()2,6−上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出8log(2)yx=+的图象，同时注意其图象过点(6,1)，由图可知，两图象在区间()2,6−内有三个交点，从而原方程有三个

根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．8.已知函数(

)2ln(1)2023fxxx=+−+，,ab满足(2)(4)4046(,fafbab+−=为正实数)，则242baaabb++的最小值为（）A.1B.2C.4D.658【答案】B【解析】【分析】由已知构造函数()()202

3gxfx=−，探讨函数()gx单调性、奇偶性，进而求得24ab+=，再利用基本不等式求解即得.【详解】令()2()2023ln(1)gxfxxx=−=+−，由21||xxx+，得()gx定义域为R，22()()ln(

1)ln(1)ln10gxgxxxxx−+=++++−==，即函数()gx是奇函数，而2()ln(1)gxxx−=−++，的当0x时，函数21uxx=++是增函数，又lnyu=是增函数，于是函数()gx在[0,)+上单调递减，由

奇函数的性质知，函数()gx在(,0]−上单调递减，因此函数()gx在R上单调递减，由(2)(4)4046fafb+−=，得(2)2023(4)20230fafb−+−−=，即(2)(4)0gagb+−=，所以(2)(4)(4)gagbgb=−−=−，则24ab=−，即24a

b+=，又0,0ab，所以24444222(2)44bbbbaabbabaaaaababab+=+=+=++，当且仅当164,99ab==时取等号，所以242baaabb++的最小值为2.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.9.已知1,0

abc，则（）A.cacbB.()ac−()bc−C.acba+bcba+D.()logbac−()logabc−【答案】CD【解析】【分析】对于A,B，取特殊值判断即可；对于C,利用指数函数的单调性判断即可；对于

D,利用对数函数的单调性判断即可.【详解】对于A,不妨取4,2,c1ab===−，则c1c1,42ab=−=−,此时ccab,故A错误;对于B,不妨取4,2,c1ab===−,则42()11,()11abcc−==−==，此时()()abcc−=

−,故B错误;对于C,因为1ab,所以01ba,所以指数函数xbya=在R上单调递减，因为0c,所以acbc++,所以acbcbbaa++，故C正确;对于D,因为1ab,所以对数函数logbyx=和logayx=在()0,+上单调递

增，因为0c,所以1acbc−−,所以()()loglog0bbacbc−−又()()loglog0babcbc−−所以()()loglogbaacbc−−,故D正确.故选：CD.10.第19届亚运会于2023

年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正确的有（）A.所有可能的方法有43种B.若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种C.若志愿者小明必须去场

馆甲，则不同的安排方法有16种D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种【答案】BCD【解析】【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.【详解】对于A，所

有可能的方法有34种，故A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为13C，另外两名同学的安排方法有339=种，此种情况共有13C927=种，第二种：若有两名志愿者去场

馆甲，则志愿者选派情况有23C，另外一名志愿者的排法有3种，此种情况共有23C39=种，第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，则共有279137++=种安排方法，B正确.对于C，若小明必去甲场馆，则小红，小兵

两名志愿者各有4种安排，共有4416=种安排，C正确.对于D，若三名志愿者所选场馆各不同，则共有34A24=种安排，D正确.故选：BCD.11.已知双曲线22:1(01)91xyCkkk+=−−，则（

）A.双曲线C的焦点在x轴上B.双曲线C的焦距等于42,C.双曲线C的焦点到其渐近线的距离等于1k−D.双曲线C的离心率的取值范围为101,3【答案】ACD【解析】【分析】根据双曲线的简单几何性质，对各选项逐一分析即可得答案.【详解】解：对

A：因为01k，所以90k−，10k−，所以双曲线22:1(01)91xyCkkk−=−−表示焦点在x轴上的双曲线，故选项A正确；对B：由A知229,1akbk=−=−，所以222102cabk=+=−，所以102ck=−，所以双曲

线C的焦距等于)2(021021ckk=−，故选项B错误；对C：设焦点在x轴上的双曲线C的方程为()222210,0xyabab−=，焦点坐标为(),0c，则渐近线方程为byxa=，即0bxa

y=，所以焦点到渐近线的距离22bcdbab==+，所以双曲线22:1(01)91xyCkkk−=−−的焦点到其渐近线的距离等于1k−，故选项C正确；对D：双曲线C的离心率221811299bkekka−=+=+=−−−，因为01k，所以8101299k−−，所以1820391

,ek=−−，故选项D正确.故选：ACD.12.信息熵常被用来作为一个系统的信息含量的量化指标，从而可以进一步用来作为系统方程优化的目标或者参数选择的判据.在决策树的生成过程中，就使用了熵来作为

样本最优属性划分的判据.信息论之父克劳德·香农给出的信息熵的三个性质：①单调性，发生概率越高的事件，其携带的信息量越低；②非负性，信息熵可以看作为一种广度量，非负性是一种合理的必然；③累加性，即多随机事件同时发生存在的总不确定性的量度是可以表示为各事件不确定性的量度的和.克劳德⋅香农从数学上严格

证明了满足上述三个条件的随机变量不确定性度量函数具有唯一形式21()log1niiiHXCPP==−=，令1=C，设随机变量X所有取值为1，2，3，⋯，n，且()()01,2,3,,iPXiPin===，11niiP==，则下列说法正确的有（）A.1

n=时，()0HX=B.n=2时，若1P10,2，则()HX的值随着1P的增大而增大C.若1P=2P=112n−，1kP+=2kP(2,Nkk)，则()2122nHX−=−D.若2nm=，随机变量Y所有可能取值为12m，，，，且(

)()()()2112PYjPXjPXmjjm===+=+−=，，，，，则()()HXHY【答案】ABC【解析】【分析】A直接利用公式求解；B先求出()2logHXn=,再判断单调性即可求解；CD分别求出()H

X和()HY,结合对数函数单调性放缩即可求解.【详解】对于A：若1n=,则11,1iP==,因此()()21log10,AHx=−=正确;对于B：当2n=时,()()()112112110,,log1l12PHxPPPogP=−−−

−，令()()()221log1log1,0,2ftttttt=−−−−，则()()2221loglog1log10ftttt=−+−=−，即函数()ft在10,2上

单调递增,所以()Hx的值随着1P的增大而增大,B正确;对于C：()12111,22,N2kknPPPPkk+−===，则22211212,222kkknnkPPk−−−−+===，22111111loglog222kknknknknkPP−+−+−

+−+==−,，而1212111111loglog222nnnnPP−−−−==−，于是()2111222111221log...222222nkknnnnknnnnHxPP−−−−=−−−−=+=+++++11221122

12222222nnnnnnnnnn−−−−−−=−++++++的令231123122222nnnnnS−−=+++++，则234112312221222nnnSnn+−=+++++，两式相减得23111

11111111222112222222212nnnnnnnnnS+++−+=++++−=−=−−，因此222nnnS+=−,()112112122222222nnnnnnnnnnnnHxS−−−−−+=−+=−+−=−，C正确；对于D,若2nm=，随机变

量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且()()()()21,1,2,,PYjPXjPXmjjm===+=+−=,222211()l1oglogmmiiiiiiHxPPPP===−=1222212221221

21111loglogloglogmmmmPPPPPPPP−−=++++()()()()122221212122211111logloglogmmmmmmmmHYPPPPPPPPPPPP−+−+=+++++++++1222212221222

1221121111loglogloglogmmmmmmPPPPPPPPPPPP−−−=++++++++由于()01,2,,2iPim=,即有2111iimiPPP+−+,则222111loglogiimiPPP+−+,因此22211

1loglogiiiimiPPPPP+−+,所以()()HXHY,D错误.故选:ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P为椭圆221123xy+=上一点，1F，2F分别是椭圆的左、右焦点，1260FPF＝，则12FPF的面积为_____

__.【答案】3【解析】【分析】结合椭圆定义与余弦定理、面积公式计算即可得.【详解】由已知得23a=，3b=，所以221233cab==−=−，从而1226FFc==，在12FPF中，2221212122cos60FFPFPFPFPF＝＋－，即22121236PFPFPFPF＝＋－①，由

椭圆的定义得1243PFPF+=，即221212482PFPFPFPF＝＋＋②，由①②得124PFPF＝，所以12121sin6032FPFSPFPF==.故答案为：3.14.若a，0b，且3abab=++，则ab的最小值是____________．【答案】9【解析】

【分析】利用基本不等式得32ababab+=−，再解不等式可得结果.【详解】因为32ababab+=−（当且仅当ab=时，等号成立），所以2()230abab−−，所以(3)(1)0abab−+，所以3ab，所以

9ab，所以ab的最小值为9.故答案为：915.设关于x的不等式220(0)xaxaa−+的解集为A，若集合A中恰有两个整数解，则实数a的取值范围为___________.【答案】1[1,)3−−【解析】【分

析】令2()2fxxaxa=−+，根据不等式220(0)xaxaa−+解集A中恰有两个整数解，结合二次函数性质判断整数解为0,1−，从而列出不等式，求得答案.【详解】由题意可得当a<0时，280aa=−，令2()2fx

xaxa=−+，则其图象对称轴为02ax=，且(0)20fa=，故关于x的不等式220(0)xaxaa−+解集A中恰有两个的整数解为0,1−，则(1)130fa−=+且(2)440fa−=+，解得113a−−，故答案为：1[

1,)3−−.16.已知函数()12e0ƒ210xxxxxx−=−−+，，，若方程()2fx−()bfx+4=0有6个相异的实数根，则实数b的取值范围是__________.【答案】

44eeb+【解析】【分析】根据题意,作出函数()1|2e,021,0xxfxxxx−=−−+∣的图象,进而数形结合,将问题转化为方程240tbt−+=有两个不相等的实数根12,tt,再结合二次函数零点分布求解即可.【详解】根据题意,作出函数()1|2e,021

,0xxfxxxx−=−−+∣的图象,如图:令()tfx=，因为方程()()240fxbfx−+=有6个相异的实数根,所以方程240tbt−+=有两个不等的实根，所以2160b=−,解得4b−或4b,不妨设

这两根12tt,则1212tt==或12122ett,当1212tt==时，123ttb+==，且1224tt==，所以无解；当12122ett时，令()24gttbt=−+,只需()()

()1020e0ggg,即21404240ee40bbb−+−+−+,解得44eeb+,终上所述：44eeb+.故答案为:44eeb+.四、解答题：本大题共6小题

，共70分.17.已知函数()938xfxax=−+.（1）当2a=时，求不等式()16fx的解集；（2）若函数()fx在()0,+有零点，求实数a.【答案】（1）)3log4,+（2）)42,+【

解析】【分析】（1）令()30xtt=，则()()280gttatt=−+，再由()16fx，解不等式即可；（2）函数()fx在(0,+∞)有零点等价于函数()gt在(1,+∞)上有零点，即8att=+在(1,+∞)上有解，由基本不等式求出a的取值范围.【小

问1详解】因为()938xfxax=−+，令()30xtt=，则()()280gttatt=−+，当2a=时，()()2280gtttt=−+，()16fx即()16gt，即2280tt−−，由0t，解

得4t，即34x，解得3log4x，所以原不等式的解集为)3log4,+.【小问2详解】因为函数3xt=在R上单调递增，所以函数()fx在(0,+∞)有零点等价于函数()gt在(1,+∞)上有零点，280tat−+=由大于1的解，即8att=+在(1,+∞)上有解，因为8824

2tttt+=，当且仅当8tt=，即22t=时等号成立，得42a，所以实数a的取值范围为)42,+.18.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√2，且过点(4,10)P−.（1）求双曲线

的方程；（2）直线2lykx=+：与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.【答案】（1）22166xy−=（2）2313k【解析】【分析】（1）根据题意求解双曲线方程即可；（2）联立直线和双曲线方程，通过判别式大于0，及12120,0

xxxx+求解即可.【小问1详解】双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab−=由2212cbeaa==+=,可得ab=,由双曲线过点()4,10−,可得2216101ab−=,解得6

ab==,则双曲线的标准方程为22166xy−=;【小问2详解】联立直线与双曲线方程221662xyykx−==+，化简得()2212280kxkx−−−=，则210k−，假设1122()AxyBxy,,(,),则()222122122Δ(22)32132240220180

1kkkkxxkxxk=+−=−+=−−=−，解得2313k.19.已知()xfxeex=−+（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求函数()fx的最大值；（Ⅱ）设21()ln2gxxxax=++，若对任意1(0,2]x，

总存在2(0,2]x．使得()()12gxfx，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）1,ln212−−−【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数导数，判断出单调性，即可求出最值；（Ⅱ）问题转化为()()

12maxgxfx，即()0gx在(0,2恒成立，分离参数可得ln12xaxx−+，构造函数()(ln1,0,22xhxxxx=+，利用导数求出函数的最大值即可.【详解】（Ⅰ）()xfxeex=−+，()xfxee=

−+，令()0fx，解得1x；令()0fx，解得1x，()fx\在(−∞,0)单调递增，在()1,+单调递减，()()max10fxf==；（Ⅱ）对任意1(0,2]x，总存在2(0,2]x．使得()()12gxfx等价于()()12maxgxfx，由（Ⅰ）

()()2max10fxf==，则问题转化为()0gx在(0,2恒成立，化得21lnln122xxxaxxx+−=+，令()(ln1,0,22xhxxxx=+，则()21ln12xhxx−=+，当(0,2x时，1ln0x−，得()0hx，()hx在(0,

2单调递增，()()max12ln212hxh==+，则1ln212a−+，即1ln212a−−，故a的取值范围为1,ln212−−−【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将问题转化为()()12maxgxfx，即()0gx在(0,2恒成立.20.

图，在直三棱柱111ABCABC−中，,,OMN分别为线段11,,BCAABB的中点，P为线段1AC上的动点，11,3,4,82AOBCABACAA====.（1）求三棱锥1CCMN−的体积；（2）试确定动点P的位置，使直线MP与平面11BBCC所成角的

正弦值最大.【答案】（1）16（2）P为1AC的中点【解析】【分析】（1）由题意可得BA⊥平面11AACC，进而可证MN⊥平面11AACC，利用等体积法可求三棱锥1CCMN−的体积；（2）以A为原点，以1,,ABA

CAA为,,xyz轴建立空间直角坐标系,发现为的中点时所成角的正弦值最大.【小问1详解】在直三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，因为AB平面ABC，所以1CCAB⊥，由12AOBC=，O是BC的中点，则BAAC⊥，因为1ACCCC=，

1,ACCC平面11AACC，所以BA⊥平面11AACC，因为,MN分别为线段11,AABB的中点，所以//MNAB，所以MN⊥平面11AACC，因为13,4,8ABACAA===，所以N平面1CCM的距离为3，因为四边形11AACC为矩形，M为线段1AA的中点，所

以116CCMS=，所以111163163CCMNNCCMVV−−===.【小问2详解】在ABCV中，因为O是BC的中点，12AOBC=，所以BAAC⊥，因为1AA⊥平面ABC，,ABAC平面ABC，所以11,,

AAABAAAC⊥⊥以A为原点，以1,,ABACAA为,,xyz轴建立空间直角坐标系,由题设可得11(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,4,8),(0,0,4),(3,0,8),(3,0,4)ABCCMBN，1(3,4,

0),(0,0,8)BCBB=−=，设平面11BBCC的法向量为(,,)nxyz=，则1·340·80BCnxyBBnz=−+===，令4x=，得3,0yz==，所以平面11BBCC的法向量为(4,3,0)n=，设(,,)Pabc，1(01)APmACm=，则(,,)(0,4

,8)abcm=，所以(0,4,8)Pmm，(0,4,84)MPmm=−，设直线MP与平面11BBCC所成的角为，则222||123sin||||516(84)5541nMPmmnMPmmmm===+−−+，若0m=，sin0=此时，点P与A重合；若0m，令11tm=，则223

3355545(2)1sinttt=−+−+=，当2t=，即12m=，P为1AC的中点时，sin取得最大值35.21.树德中学为了调查中学生周末回家使用智能手机玩耍网络游戏情况，学校德育处随机选取高一年级中的100名男

同学和100名女同学进行无记名问卷调查.问卷调查中设置了两个问题：①你是否为男生?②你是否使用智能手机玩耍网络游戏?调查分两个环节：第一个环节：先确定回答哪一个问题，让被调查的200名同学从装有3个白球，3个黑球(除颜色外完全相同)的袋子中随机摸取两个

球，摸到同色两球的学生如实回答第一个问题，摸到异色两球的学生如实回答第二个问题；第二个环节：再填写问卷(只填“是”与“否”).回收全部问卷，经统计问卷中共有70张答案为“是”.（1）根据以上的调查结果，利用你所学

的知识，估计该校中学生使用智能手机玩耍网络游戏的概率；（2）据核查以上的200名学生中有30名男学生使用智能手机玩耍网络游戏，按照(1)中的概率计算，依据小概率值α=0.15的独立性检验，能否认为中学生使用智能

手机玩耍网络游戏与性别有关联；若有关联，请解释所得结论的实际含义.参考公式和数据如下：()()()()()22nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++，.α0.150.100.0500250.005xα

2.0722.7063.8415.0247.879【答案】（1）14（2）有关联，答案见解析【解析】【分析】(1)由题可得摸到同色两球的概率，进而可得回答第一个问题的人数及选择“是”的人数，再利用古典概型概率公式即得；(2)通过计算2，进而即得.【小问1详解】因为摸到同色两球的概率

223326C+C2C5p==，所以回答第一个问题的人数为2200805=人，回答第二个问题的人数为20080120−=人，因为男女人数相等，是等可能的，所以回答第一个问题，选择“是”的同学人数为180402=人，则回答第二个问题，选择“是”的同学人

数为704030−=人，所以估计中学生在考试中有作弊现象的概率为3011204=.【小问2详解】由(1)可知200名学生使用智能手机玩网络游戏估计有50人，.则有20名女生使用智能手机玩网络游戏男女合计使用智能手机玩游戏302050不用智能手机玩游

戏7080150100100200零假设为：0H使用智能手机玩耍游戏与性别无关，()222003080207082.672.072501501001003−==根据小概率值0.15=的独立性检验，推断0H不成立，因

此认为使用智能手机玩耍网络游戏与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.15.在男生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.3,0.7，在女生中使用智能手机玩耍游戏和不使用智能手机玩耍游戏的概率分别为0.2,0.8，在被调查者中男生使

用智能手机玩耍游戏是女生的1.5倍，于是根据概率稳定概率的原理，我们可以认为男士使用智能手机玩耍网络游戏的概率大于女生使用智能手机玩耍网络游戏的概率.22.在平面直角坐标系中，动点M到()10，的距离等于到直线𝑥=−1的距离.（1）求M的轨迹方程；（2）P为不在x轴上的动

点，过点P作（1）中M的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；（ⅰ）求证：R是一个定点；（ⅱ）求PQQR的最小值.【答案】（1）24yx=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）22【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义

求M的轨迹方程；（2）（ⅰ）设点()()()001122,,,,,PxyAxyBxy，由切线AP和BP的方程，得到直线AB的方程为()002yyxx=+，又直线AB与PO垂直得02x=−，则直线AB的方程()022yyx=−，可

得所过定点.（ⅱ）联立直线AB与直线OP的方程得交点Q的坐标，表示出PQQR，结合基本不等式求最小值.【小问1详解】因为动点M到()1,0的距离等于到直线𝑥=−1的距离，所以M的轨迹为开口向右的抛物线，又因为焦点为()1,0

，所以轨迹方程为24yx=.【小问2详解】（ⅰ）证明：设点()()()001122,,,,,PxyAxyBxy，设以𝐴(𝑥1,𝑦1)为切点的切线方程为()11yykxx−=−，联立抛物线方程,可得2114440kyyy

kx−+−=，由()21Δ420ky=−=，得12ky=，所以切线AP：()112yyxx=+，同理切线BP：()222yyxx=+点P在两条切线上，则010102022()2()yyxxyyxx=+=+，由于()()1122,,,AxyBxy均满足方程()002yyxx=+，故此

为直线AB的方程，由于垂直1ABOPkk=−即00021yyx=−，则02x=−，所以直线AB的方程()022yyx=−，恒过()2,0R；（ⅱ）解：由（ⅰ）知02x=−，则()()02,,2,0PyR−，直线()0:22AByyx=−联立直线AB与直线OP的方程()0022

2yyxyyx=−=−得0220048,44yQyy−++，()()()()()()222322000022220222000022422000222222000021684824444||

==416||4824444yyyyyyyyyPQyyRQyyyyy++−+−−+−++++−+−+−++++()()()()()222222220000042220

0004888441644yyyyyyyyy+++++==++422000220016641164.16844yyyyy++==++因此||22||PQQR，022y=时取等号.即PQQR的最小值是22.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目

时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题，求最值经常与基本不等式相联

系．