【文档说明】河南省2022-2023学年十市（郑州洛阳南阳开封周口驻马店商丘济源安阳平顶山）大联考高三下学期开学考试理科数学试题 含解析.docx，共(17)页，946.051 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

高三理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径

0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4.本试卷主要命题范围：高考范围．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2

},{31}MxxNxx==−∣∣„，则M∩N＝（）A.{02}xx∣剟B.{34}xx−∣„C.{14}xx∣剟D.{01}xx∣„2.已知复数13i()3izmm+=−R是纯虚数，则m＝（）A.3B.1C．－1D.－33.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的

问题，方亭是指正四棱台．今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km，上底面的边长为40km，若水库的最大蓄水量为392810m3，则水库深度（棱台的高）为（）A.10mB.20mC.30mD.40m

4.已知抛物线C：22(0)ypxp=，过焦点F的直线4340xy+−=与C在第四象限交于M点，则|MF|＝（）A.3B.4C.5D.65.记nS为等差数列na的前n项和，已知436S=，7105S=，则74aa=（）A.3B.83C.2D

.956.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A.14B.15C.16D.177.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23，若利用回

归直线方程ˆˆˆybxa=+来拟合预测，且7月相应于点（7，35）的残差为－0.6，则ˆˆab−=（）A.1.0B.2.0C.3.0D．4.08.已知6121xmx−−的展开式中3x的系数为－40，则实数m

＝（）A.4B．2C.－2D.－49.记函数()()2cos(0,)2fxxb=++的最小正周期为T，若24Tf=−，且函数f（x）的图象关于点（6，－3）对称，则当取最小值时，8f

=（）A.2B.1C．－1D.－210.已知曲线()2xyfxe==在点A处的切线1l，与x轴交于点B，曲线()2xygxe==−在点C处的切线2l与x轴交于点D，若12ll⊥，则||||ABCD+的最小值为（）A.2B.322C.22D.3211.已知F是双曲线E222

2:1(0,0)xyabab−=的右焦点，O为坐标原点，A是E的右支上一点，若,AFaOAb==，则E的离心率为（）A.3B.62C.233D.212.已知函数f（x），g（x）的定义域为R，且()(

)()()12,34fxgxgxfx−+=+−=，若g（x）为偶函数，()31f=，则281()kgk==（）A.24B.26C.28D.30二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()()1,2,

3,4maanaa=−+−=−+，若()//mnm+，则实数a＝___．14.写出与圆()2211xy−+=和()()22134xy−+−=都相切的一条直线的方程___．15.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面

上，当该四棱锥的体积最大时，其高为___．16.现取长度为2的线段MN的中点1M，以1MM为直径作半圆，该半圆的面积为1S（图1），再取线段1MN的中点2M，以12MM为直径作半圆，所有半圆的面积之和为2S（图2）

，再取线段2MN的中点3M，以32MM为直径作半圆，所有半圆的面积之和为3S，以此类推，则1niiiS==___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、2

3题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，(),,sintansinsinbcBCABC−=．（1）证明：222abc+为定值；（2）若33,cos4

cC==，求△ABC的周长．18.（12分）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间[50，100

]中，并将数据分组，制成如下频率分布表：分数[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频率0.150.25m0.300.10（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机

抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在[70，100]的人数，求X的分布列与数学期望．19.（12分）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，,4,2,23,6ABADABADBCCD⊥====．（1）证明：平面PCD⊥平面PBC；（2）若4PD=，求二面角AP

BC−−的余弦值．20.（12分）已知椭圆E的中心为坐标原点O，对称轴分别为x轴、y轴，且过A（－1，0），B（22，－1）两点．（1）求E的方程；（2）设F为椭圆E的一个焦点，M，N为椭圆E上的两动点，且满足0MNAF=，当M，O，N三点不共线时，求

△MON的面积的最大值．21.（12分）已知函数()()22lnafxaxaRxx=−+．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若1212),(xxxx是f（x）的两个极值点，证明()()32122211128fxfxaaxx−−−．

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22.[选修44−：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为11323133t

tttxy=+=−（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cossin10m+−=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若l与C有两个不同公共点，求m的取值范围．23.[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数()11

2fxxx=−++．（1）求不等式()3fx的解集；（2）设函数()2gxxax=−+−，若对任意1xR，都存在2xR，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围．高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.D因为{2}{04},{

31}MxxxxNxx===−∣∣∣剟?，所以{01}MNxx=∣„．2.B2213i(13i)(3i)33(9)i3i99mmmzmmm+++−++===−++，由题意可知33090mm−=+，解得1m=．3.A设水库深度为

hkm，由题意，2222128(20402040)33h++=，解得0.01kmh=，即10mh=．4.C由题意可知，F的坐标为（1，0），则2p＝1，所以2p=，则抛物线C的方程为24yx=，设()00,2Mxx−，由MFk

=002413xx−=−−，解得04x=，所以052pMFx=+=．5.D设等差数列na的公差为d，由4736,150SS==，得114636721105adad+=+=，解得13,4ad==，则17627aad=

+=，41315aad++=，所以47279155aa==．6.B由题知1111112231Skk=−+−++−+，15k=时，1111112231516S=−+−++−=15141615，开始出现1415S

，故输出的k的值为157.B()112345674,237xy=++++++==，所以ˆˆ423ba+=．因为相应于点（7，35）的残差为－0.6，则点（7，35.6）在回归直线ˆˆˆybxa=+，即735.6ˆˆba+=，解得ˆ6.2,.2ˆ4ab==，则0ˆˆ2.ab−=．8.A法一：61

21xmx−−的展开式中3x的项只有5161C2(1)xmx−−和33361C2(1)xmx−−，因此3x的系数为113065631480CC16CC8160mm−=−，由题意可知48016040m−=−，解

得4m=．法二：因为66661112112,C2,CC()(2)(06)rrrkkrkrxxxmxxkrmxmxmx−−−=+−−−剟?，若23kr−=，则k

＝3，r＝3或k＝4，r＝5，所以3x的系数为333054416365480CC(2)CC(2)16040mmm−−+−=−+=−，解得4m=．9.D由题意可知，2,3Tb==−，由24Tf=−，得2cos322+−=−

，所以1sin2=−，因为||2，所以6=−，又函数f（x）的图象关于点（6，－3）对称，所以,662kk−=+Z，所以64,kk=+Z，当0k=时，取得最小值4，则()2co

s436fxx=−−，故2cos32826f−−−=−．10.C法一：设()11,2e,()2exxAxfx=，则()112exfx=．所以直线AB的方程为()1112e2exxyxx−=−，令0y=，得x＝11x−，则()11,0Bx−，所以12

||4e1xAB=+，设()22,2,()2xxCxegxe−=−，则()222xgxe=−，同理|CD|＝2241xe+，由12ll⊥得，1241xxee−=−，所以2114xxee=，则121||14xCDe=+，所以12||||41

xABCDe+=++12114ex+，令124e(0)xtt=，则1()11(0)htttt=+++，则21111()2211thtttt=+−=++2221tttt−+，令()0ht

，解得1t，令()0ht，解得01t，所以h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，则min()(1)22hth==，所以ABCD+的最小值为22．法二ABCD+=112214e114

exx+++…()1122121414xxee++112212224e4exx+=22，当且仅当112214e4exx=，即1ln2x=−时两个“＝”同时成立，所以|AB|＋1CD|的最小值为22．11.A法一：若点A是E的右顶

点，则||,||,AFaOAbabc==+=，又222abc+=，得20ab=，这是不可能的．不妨设点()00,Axy在第一象限，由题意可知，||OFc=，则222||||||OAAFOF+=，所以90OAF=，在△OAF中co

sbAOFc=，则20cos,sinbbxbAOFOFAcc===，则0sinabyaOFAc==，将点（2bc，abc）代入E的方程得42222221babacbc−=，整理得44221baac−=，

即()()222222babaac−+=，所以()22222bacac−=，则222ba=，所以E的离心率为2213bea=+=．法二：设点()00,Axy在第一象限，由题意可知，|OF|＝c，则222||OAAFOF+=，所以90OAF=，有OAF中，cosbAOFc=，则20cosbx

bAOFc==，由双曲线的第二定义可知20||AFeaxc=−，即20acaaxc=−，解得202axc=，所以222ba=，因此E的离心率为2213bea=+=．12.B因为g（x）为偶函数，所以()

()gxgx−=，由()()34gxfx+−=，得()()34gxfx−++=，所以f（3－x）＝(3fx+），则f（x）的图象关于直线3x=对称．由()()12fxgx−+=，得()()342fxgx−−−=，将其代入g（x）＋()34fx−=，得()()42gxgx+

−=，则()()42gxgx−++=，所以()()42gxgx++=，则()()482gxgx+++=，所以()()8gxgx=+，则g（x）的一个周期为8，由()()342fg−=，得()41g=−，由()()222gg+=，()21g=，由()()42gxgx+−=，得()()132

gg+=，由()()42gxgx++=，得()()152gg+=，()()262gg+=，()()372gg+=，()()48gg+=2，则()()()()()()()()123456788gggggggg+++++++=，281()3[(1)(2)(3)kgkggg==+

++()()()()()()()()()45678]12343821126.gggcggggg++++++++=++−=13.54(2,6)mn+=，由()//mnm+，得()()61220aa−+−−=，解得54a=．14.22

322yx=−−或22322yx=−−+或1y=（答案不唯一，3个中任填一个即可）易知圆()2211xy−+=和()()22134xx−+−=外切，显然1y=与这两圆都相切．设直线ykxb=+与圆22(1)1xy−+=和()

()22413xy−+−=都相切，则211kbk+=+且2|3|21kbk+−=+，所以2|||3|kbkb+=+−，令kbt+=，则2230tt+−=，解得1t=或t＝－3，当1t=时，解得0k=，此时1b=，直线方程为1y=；当

3t=−时，213k+=，解得22k=，当22k=时，b＝322−−；当22k=−时，322b=−+，所以直线方程为22322yx=−−或22322yx=−−+．15.83四棱锥的底面内接于圆，当底面为正方形时，底面面积最大（论证如下：设底面四边形ABCD的外接圆半径为r，AC与BD的夹角为

，则四边形ABCD的面积2111sin222222SACBDACBDrrr==剟，当且仅当四边形ABCD是正方形时，四边形ABCD的面积取到最大值22r）要使四棱锥的体积最大，则从顶点作底面的垂线过球心O，该四棱锥为正四棱锥，设底面的边长为

a，四棱锥的高为h，底面外接圆的半径为221222raaa=+=，由题意可知，22(2)4rh+−=，即()221242ah+−=，所以()2224ahh=−，则04h，四棱锥的体积为(223124)33Vahhh=

=−，令()324(04)fxxxx=−，则2()83fxxx=−，由()0fx=，得83x=，由80,3x，得()0fx，由x∈（83，4），得()0fx，所以()fx在80,3上单调递增，在8,43上单调递减，则当83x=时，f（x）取得极

大值，也就是最大值，此时83h=．16.()1341462949nnnn+++−易知21111228S==，在第n个图中，从第2个半圆起，每个半圆的面积为前一个半圆面积的14，则211111444nnS−=++++

111114116414nnSS−==−−，2121111121226444nniniiSSSnSnn==+++=+++−−−−

2(1)111262444nnnn+=−−−−，设2111112(1)4444nnnTnn−=+++−+，①231111112(1)44444nnnTnn+

=+++−+，②由①－②得，231311111444444nnnTn+=++++−1111144111111434414nnnnnn++

−=−=−−−，所以411434119434994nnnnnnT+=−−=−，故1(1)341462949nniin

nniS=++=+−．17.（1）证明：由题知sin(sincoscossin)sinsincosABCBCBCA−=所以sinsincossin(sincoscossin)ABCCBABA=+，则2sinsincossinsin(

)sinABCCABC=+=，由正弦定理得，2cosabCc=，…………3分由余弦定理得22222dbcabcab+−=，整理得，2223cab=+，2223abc+=，故222abc+为定值，得证．………………6分（2）解：由33,cos4cC==及余弦定理可知，2222c

oscababcC=+−，又2223cab=+，所以22332ccab=−，则234cab=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分又()222222817231733ccabababc+=++=+==，所以17ab+=，故△ABC的周长

为317+．…………12分18.解：（1）由频率分布表可知10.150.250.300.100.20m=−−−−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分这200份问卷得分的平均值估计为550.15650.25750.20850.30950.10

74.5++++=．．．．．．．4分（2）从该校学生中随机抽取1人，此人得分在[70，100]的概率为35，由题意可知，34,5XB，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，．．．．．．．．．5分403101443316

3396(0)C1,(1)C15562555625PXPX==−===−=22323443321633216(2)C1,(3)C1,5562555625PXPX

==−===−=04443381(4)C155625PX==−=所以X的分布列为X01234P166259662521662521662581625………………10分所以16962162168112()012346256256256

256255EX=++++=，（或E()312455X==）．………………12分19.（1）证明：连结BD，因为PD⊥底面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．1分因为,4,2ABADABAD⊥==，所以22218BDADAB=+=，又23,6BCCD==，所以222BDCDBC=+，则BCCD⊥．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分又PDCDD=，PD平面PCD，CD平面PCD，所以BC⊥平面PCD，………………3分以BC平面PBC，故平面PCD⊥平面PBC．…………4分（2）解：延长AD与过C且平行于AB的直线交于点E，设,(

,0)DEaCEbab==，则226ab+=，过C作CF⊥AB，则2,4CFaBFb=+=−，所以22(2)(4)12ab++−=，联立解得52323ab=−=（舍去），或22ab==．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分以D为坐标原点，以DA，DP所在直线分别为x轴，z轴，以过D点且平行于AB的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则A（2，0，0），B2，4，0），P（0，0，4），C()2,2,0−，所以(0,4

,0),(2,4,4),(22,2,0)ABPBBC==−=−−．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设平面PAB的一个法向量为()111,,xyz=m，由00PBAB==mm，得11

11244040xyzy+−==，取11z=，则()22,0,1m=．．．．．．．．．．．．．．．．9分设平面PBC的一个法向量为()222,,xyz=n，由00PBBC==nn，得2222224402220xyzxy+−=+=取22x=，则32,2,2

n=−−．．．．10分于是55332cos,993334mnmnmn===，故二面角P－AB－C的余弦值为53399．………………12分20.解：（1）设E的方程为221(0,0,)sxtystst+=，由题意可知，112

sst=+=，解得11,2st==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故E的方程为2212yx+=．………………3分（2）由椭圆的对称性，不妨设F为下焦点，则F（0，－1），所()1,1AF=−，因为0MNAF=，所以直线MN的斜率为1，设直线MN的方程为()()1122

(0),,,,yxmmMxyNxy=+，………………4分由2212yxyxm+==+，消去y并整理得223220xmxm++−=，则()()2224432830mmm=−−=−，所以23m且0m．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．6分2121122,33mmxxxx−+=−=，所以()222111121124MNxxxxxx=+−=+−222224324333mmm−−=−−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．．．．．．8分原点O到直线MN的距离为2md=，………………9分则△MON的面积为211432232MONmmSMNd−==()()2222322233322mmmm+−=−=，当且仅当232m=，即62m=，△MON的面积大．．．．．．11分显

然62m=满足23m且0m，所以△MON的面积的最大值为22．………………12分21.解：（1）易知f（x）的定义域为232344(0,)()aaaxaxfxxxxx−++=+−=．．．．．．．．．．1分当0a

时，由()0fx=，得240axax−+=，由2160aa=−，解得212216160022aaaaaaxxaa−=−+−=,（舍去）．1)(0,xx时，()1()0,,fxxx+时，()0fx，所以f（x）在2160,2aaaa−−上单调递增，在2

16(,2aaaa−−+）上单调递减．．．．．．．．．．．2分当0a=时，()0fx所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当016a„时，()0fx…，所以f（x）在(0,)+上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

．．．．．．．4分当16a时，由()0fx=，得22121616,22aaaaaaxxaa−−+−==，()()120,,xxx+时，()12()0,,fxxxx时，()0fx，所以f

（x）在（0，2162aaaa−−）上单调递增，在221616,22aaaaaaaa−−+−上单调递减，在216,2aaaa+−+上单调递增．…………5分（2）由（1）可知16a．12,xx是方程240axa

x−+=的两根，则121241,xxxxa+==．．．．．．．．．6分()()()()()()222112212122222112211212212121222lnlnlnlnxxaxxaaaxxaxxfxfxxxxxxxxxxxxxxx−−−+−+−−++−==−−−将121241,xx

xxa+==代入上式可得()()()222112121lnln8fxfxaxxaxxxx−−=−−−．．．．．．．．．．．．．．7分要证明()()32122211128fxfxaaxx−−−，需证()321221l

nln12axxaxx−−，即证212112lnln12xxaxxxx−=−，………………8分因为120xx，所以210xx−，只需证明2212111212lnxxxxxxxxxx−=−，设21xtx=，则1t，只需证明2

1lnttt−，即证12ln0(1)tttt−+．．．．．．．．．．．．10分令1()2ln(1)gttttt=−+，则22221(1)()10tgtttt−=−−=−，所以g（t）在（1，＋

∞）上单词递减，可得1()2ln1101gt−+=，所以12ln0(1)tttt−+．故()()32122211128fxfxaaxx−−−………………12分22.解：（1）因为113123ttx

=+…，且22222211132,32433ttttxy=++=+−．．．．．．．．．2分所以2244xy−=，则曲线C的普通方程为221(1)4yxx−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由cossin10m+−=，化为直角坐标方程为10m

xy+−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由221014mxyyx+−=−=消去y并整理得()224250mxmx−+−=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8

分则()222224042040204504mmmmmm−=+−−−−−解得25m，故m的取值范围为（2，5）………………10分23.解：（1）12,1231(),122112,22xxfxxxx−−−=−+剟

…………2分当1x−时，由1232x−−，得714x−−„；当112x−时，()3fx„恒成立；当12x时，由1232x+„，得1524x„．综上，()3fx„的解集为7544xx−∣剟．………………5分（2）因为对任意1,xR，都存在2xR，使得

()()12fxgx=，所以{()}{()}yyfxyygx==∣∣………………6分又113()|1|(1),()|||2||2|222fxxxxxgxxaxa=−++−−+==−+−−厖，等号都能取到．．．．．．．8分所以3|2|2a−…，解得1722a，所以实

数a的取值范围是[12，72]………………10分