【文档说明】安徽省合肥市合肥卓越中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(21)页，2.147 MB，由管理员店铺上传

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安徽省合肥卓越中学2023-2024学年上学期高二年级数学期中考试（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.经过()()0,3,3,0AB两点的直线的倾斜角为（）A.5π6B.π6C.2π3D.π3【答案】A【解析

】【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得033303ABk−==−−，所以直线的倾斜角为5π6；故选：A2.以点()1,2A−为圆心，且与直线0xy+=相切的圆的方程为（）A.221(1)(

2)2xy−++=B.229(1)(2)2xy−++=C.221(1)(2)2xy++−=D.229(1)(2)2xy++−=【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】由直线0xy+=为圆的切线，得圆的半径22|12|1211r−==

+，所以所求圆的方程为221(1)(2)2xy−++=.故选：A3.已知(2,1,3),(1,3,9)axb==，如果a与b为共线向量，则x=（）A.1B.12C.13D.16【答案】D【解析】【分析】

由a与b为共线向量则ab=求解即可.【详解】因为a与b为共线向量，所以ab=，即21339x===，解得1316x==，故选：D4.经过两条直线1:2lxy+=，2:21lxy−=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v=−的

直线方程为（）A.2350xy+−=B.220xy++=C.220xy+−=D.70xy−−=【答案】A【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为(1,1)，再由题意，得到23k=−，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组221xyxy+=−=，解得1

,1xy==，即两直线的交点坐标为(1,1)，因为直线一个方向向量(3,2)v=−，可得所求直线的斜率为23k=−，所以所求直线方程为21(1)3yx−=−−，即2350xy+−=.故选：A.5.如图，在正方体1111ABCDABCD－中，M，N分别为AB，

B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（）的A.32aB.33aC.55aD.155a【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，用AB，AD，1AA表示MN，将线段长度问题转换为向量模长问题.【详解】设ABi=，ADj=，1AAk=，则,,

ijk构成空间的一个正交基底.()1111122222MNMBBCCNijjkijk=++=++−+=++，故2222211134444MNaaaa=++=，所以MN＝32a.故选：A6.已知()22112225,24xyxy++=+=，则()()221212xxy

y−+−的最小值为（）A.55B.15C.655D.365【答案】B【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.【详解】易知()()221212xxyy−+−为圆()2225xy++=上一点()11,Axy与直线24xy+=上一点()22

,Bxy的距离的平方，易知圆心()2,0C−，半径5r=，点C到直线24xy+=的距离222465512d−−==+，则()22min15ABdr=−=.故选：B7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂

直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABCABC-中，190,2,4ACBABAA===，当鳖臑1AABC−的体积最大时，直线1BC与平面11ABBA所成角的正弦值为（）A.346B.31

010C.26D.1010【答案】C【解析】【分析】先根据鳖臑1AABC−体积最大求出AC和BC的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线1BC与平面11ABBA所成角的正弦值.【详解】在堑堵111ABCABC-中，

90ACB=，2AB=，14AA=，1112||||||||||2313ABCAVACBCAAACBC−==，222||||||||||()2||||2||4ACBCBCACBBACCCCA

++=+，22||4||BCAC+=，||||2ACBC，当且仅当||||2ACBC==是等号成立，即当鳖臑1AABC−的体积最大时，||||2ACBC==，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，1CC为z轴，建立空间直角坐标系，

1(0,2,4)B，(0,0,0)C，(2,0,0)A，(0,2,0)B，1(0,2,4)BC=−−，(2,2,0)BA=−，1(0,0,4)BB=，设平面11ABBA的法向量n(,,)xyz=，则122040nBAxynBBz=−===，取1x=，得(1,1,

0)n=，设直线1BC与平面11ABBA所成角为，则11||26|s|in||CCBnBn==，直线1BC与平面11ABBA所成角的正弦值为26．故选：C．8.已知椭圆22196xy+=，12,FF为两个焦点

，O为原点，P为椭圆上一点，123cos5FPF=，则||PO=（）A.25B.302C.35D.352【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PFPFPFPF+的值，利用()1212POPFPF=+，根据向量模的计算即可求得答案.

【详解】由题意椭圆22196xy+=，12,FF为两个焦点，可得3,6,3abc===，则1226PFPFa+==①，即221212236PFPFPFPF++=，由余弦定理得2222121212122cos(23)FFPFPFPFPFFPF=+−=，123cos5FPF=

，故212123()2(1)125PFPFPFPF+−+=，②联立①②，解得：22121215,212PFPFPFPF=+=，而()1212POPFPF=+，所以1212POPOPFPF==+，即2212112211115330221222

2252POPFPFPFPFPFPF=+=++=+=，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为12FF的中点，从而可以利用向量知识求解||PO.二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已

知平面的一个法向量为()1,2,1n=−，以下四个命题正确的有（）A.若直线l的一个方向向量为()2,4,2u=−−，则//lB.若直线l的一个方向向量为()2,4,2u=−−，则l⊥C.若平面的一个法向量为()1,0,1m=，则

//D.若平面的一个法向量为()1,0,1m=，则⊥【答案】BD【解析】【分析】由0nu，2un=−可判断AB；由0nm=可判断CD【详解】对于AB：平面的一个法向量为()1,2,1n=−，直线l的一个方向向

量为()2,4,2u=−−，所以282120nu=−−−=−，所以n与u不垂直，又2un=−，所以//un，所以l⊥，故A错误，B正确；对于CD：平面的一个法向量为()1,2,1n=−，平面的一个法向量为()1,0,1m=，，所以1010nm=+−=，所以n

m⊥，所以⊥，故C错误，D正确；故选：BD10.已知方程224820xyxya+−++=，则下列说法正确的是（）A.当10a=时，表示圆心为(2,4)−的圆B.当10a时，表示圆心为(2,4)−的圆C.当0a=时，表示的圆的半径为25D.当8a=时，表示的圆与y轴相

切【答案】BCD【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程224820xyxya+−++=，可化为()()2224202xya−++=−，可圆的圆心坐标为(2,4)−，A中，当10a=时，此时半径为2020a−=，所以A错误；B中，当

10a时，此时半径大于2020a−，表示圆心为(2,4)−的圆，所以B正确；C中，当0a=时，表示的圆的半径为25r=，所以C正确；D中，当8a=时，可得2024a−=，方程表示的圆半径为2r=，又圆心坐标为

()2,4−，所以圆心到y轴的距离等于半径，所以圆与y轴相切，所以D正确．故选：BCD.11.已知()1,,mabab=+−（a，bR）是直线l的方向向量，()1,2,3n=是平面的法向量，则下列结论正确的

是（）A.若l∥，则510ab−+=B.若l∥，则10ab+−=C若l⊥，则20ab+−=D.若l⊥，则30ab−−=【答案】ACD【解析】【分析】选项A、B：根据0mn=求解；选项C、D：根据mn∥，向量的平行求解；【详解】对于A，B，若l∥则mn

⊥，所以0mn=，即()()1230abab+++−=，即510ab−+=，A正确，B错误；对于C、D，若l⊥，则mn∥，所以1123abab+−==，即20ab+−=且30ab−−=，C、D正确.故选：ACD.12.如图所示，一个底

面半径为2的圆柱被与其底面所成的角为45=的平面所截，截面是一个椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为24.C.椭圆的方程可以为22142xy+=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为22−【答案】ACD【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的ab，，由此判断

各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为a，椭圆的长半轴长为b，半焦距为c，由图象可得2cos4522a=，∴2a=，又2b=，222cab=−，∴2c=，∴椭圆的长轴长为4，A对，椭圆的离心率为22，B错，圆的方程可以为22142xy+=，C对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值

为22−，D对，故选：ACD.三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.两直线330xy+−=与640xmy++=平行，则它们之间的距离为__________．【答案】102【解析】分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求

解即得.【详解】两直线330xy+−=与640xmy++=平行，则36m=，即2m=，直线640xmy++=化为：320xy++=，于是22|32|10231−−=+.所以所求距离为102.【故答案为：10214.圆224xy+=与圆2226

0xyy++−=的公共弦长为__________.【答案】23【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆224xy+=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】设圆221:4Cxy+=与圆222:260Cxyy++−=相交于A，B两

点，圆1C的半径12r=，将两圆的方程相减可得1y=，即两圆的公共弦所在的直线方程为1y=，又圆心1C到直线AB的距离1d=，12r=，所以22212ABdr+=，解得23AB=.故答案为：23.15.如图，平行六面体1111ABCDABCD−的底面ABC

D是边长为1的正方形，且1160AADAAB==o，12AA=，则线段1AC的长为_____．【答案】10【解析】【分析】以1,,ABADAA为基底表示出空间向量1ACuuur，利用向量数量积的定义

和运算律求解得到21AC，进而得到1AC的长.【详解】()()222111ACABBCCCABADAA=++=++222111222ABADAAABADABAAADAA=+++++1140212cos60212cos6010=+++++=，110AC=，即线段1AC的长为10

.故答案为：10.16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（0且1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系xOy中，点()0,3A，满足2=MAMO的动点M的轨迹为C，若在直线:30laxya

−+=上存在点P，在C上存在两点A、B，使得PAPB⊥，则实数a的取值范围是______.【答案】[7,1]−【解析】【分析】根据求轨迹方程的步骤：1.设点的坐标；2.找等量关系列方程；3.化简.先求出动点M的轨迹方程，然后根据题意要

使在直线:30laxya−+=上存在点P，在C上存在两点A、B，使得PAPB⊥成立，则点P到圆心的距离小于等于2r，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】设(,)Mxy，因为()0,3A，()0,0C，又因为2=MAMO，所以2222(3)4()xyxy+−=+，

化简整理可得：22(1)4xy++=，动点M的轨迹是以(0,1)C−为圆心，以2为半径的圆，因为直线:30laxya−+=过定点(3,0)−，若在直线:30laxya−+=上存在点P，在C上存在两点A、B，使得PAPB⊥，由数形结合可知：当A、B为圆的切点时点P到圆心的距离达到最

大，此时为2r，所以点P到圆心的距离小于等于2r，也即21+3221aa+，解之可得：71a−，所以实数a的取值范围是[7,1]−，故答案为：[7,1]−.四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.在平行四边形ABCD中，(1,2

)A−，()1,3B，(3,1)C−，点E是线段BC的中点．（1）求直线CD的方程；（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．【答案】（1）250xy−−=；（2）350xy+−=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答.（2

）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.【小问1详解】在平行四边形ABCD中，(1,2)A−，()1,3B，(3,1)C−，则(2,4)ADBC==−，则点(1,2)D−，直线CD的斜率2(1)1132CDk−−−==−，则有1(1)(3)2yx−−=−，即250xy−−=

，所以直线CD的方程是250xy−−=.【小问2详解】依题意，点(2,1)E，则直线DE的斜率21312DEk−−==−，因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为113DEk−=−，方程为12(1)3yx−=−+，即350xy+−=，所以所求方程是350xy+−=.18.如图，在

正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点.（1）证明：直线1//BD平面ACE；（2）求异面直线1CD与AE所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线

角.【小问1详解】如图，连接BD交AC于点O，连接EO，由于E为1DD的中点，O为AC的中点,则//EO1BD,又因为EO平面1,ACEBD平面ACE，所以1BD//平面ACE【小问2详解】以D为原点，1,,DADCDD所在直线为x轴､y轴､z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a，则()0,2,0Ca()()()10,0,2,2,0,0,0,0,DaAaEa，所以()10,2,2CDaa=−，()2,0,AEaa=−，设1CD与AE所成角为,则211221210coscos,1085CDAEaCDAE

CDAEaa====所以1CD与AE所成角的余弦值为1010.19.已知圆C的圆心坐标()1,1，直线:1lxy+=被圆C截得弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）从圆C外一点()2,3P向圆引切线，求切线方程．【答案】（1）

()()22111xy−+−=（2）2x=或3460xy−+=【解析】【分析】（1）计算出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出圆C的半径，由此可得出圆C的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；

在第二种情况下，设出切线方程为()32ykx−=−，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.小问1详解】解：圆心C到直线l的距离为111222d+−==，所以，圆C的半径为2222122r=+

=，因此，圆C的方程为()()22111xy−+−=.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为2x=，且直线2x=与圆C相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为()32ykx−=−，即320kxyk−+−=，由题意可得2121kk−=+

，解得34k=，此时，切线的方程为3460xy−+=.综上所述，所求切线的方程为2x=或3460xy−+=.20.如图，在四棱台1111ABCDABCD−中，底面为矩形，平面11AADD⊥平面11CCDD，且1111122CCCDDDCD====.【（1）证明：AD

⊥平面11CCDD；（2）若11π3ACD=，求平面1AAC与平面ABC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）连结1DC，进而利用勾股定理证明11DCDD⊥，结合题中条件利用线面垂直的判断定理证明即可；（2）以1D为坐标原点

，建立空间直角坐标系，求出平面1AAC与平面ABC的法向量，计算即可.【小问1详解】如图，在梯形11CCDD中，因为1111122CCCDDDCD====，作11DHDC⊥于H，则11DH=，所以11cos2DDH=，所以11π3DDC=，连结1

DC，由余弦定理可求得123DC=因为2221111DCDDDC+=，所以11DCDD⊥，因为平面11AADD⊥平面11CCDD且交于1DD，1DC平面11CCDD，所以1DC⊥平面11AADD因为AD平面11AADD，所以1ADDC⊥，因为1,ADDCDCDCD⊥=，1DCDC，

平面11CCDD，所以AD⊥平面11CCDD.【小问2详解】连结11AC，由（1）可知，11AD⊥平面11CCDD，所以1AC与平面11CCDD所成的角为11ACD，即11π3ACD=，在11RtACD△中，因为123CD=，所以116AD=因

为11//ACAC，所以平面1AAC与平面11AACC是同一个平面.以1D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，()()()116,0,0,0,3,3,0,4,0ACC所以()()1116,4,0,6,3,3ACAC=−=−设平面1AAC的法向量为(),,nabc=

，则有，11100nACnAC==,即3206330ababc−+=−++=，令2a=，则3,3bc==，故()2,3,3n=由题意可知()0,0,1m=是平面ABC的一个法向量所以33cos,144mnmnmn===，故平面1

AAC与平面ABC夹角的余弦夹角的值为34.21.如图，相距14km两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排

入河道．设PQ段长为tkm（0<t<8）．（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．【答案

】（1）()221812908ttt−+（2）P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线53km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．【解析】【分析】（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N关于直线

的对称点1N，再利用11PMPNPMPNMN+=+得最小值()221812908ttt−+（2）由（1）知三段水管的总长()2121812908LPMPNPQMNPQtttt=+++=+−+，因此总长最小就是求()221812908

ytttt=+−+最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．【详解】（1）如图，以河岸l所在直线为x轴，以过M垂直于l的直线为y轴建立直角坐标系，则可得点()()0,10,83,8MN，

的设点(,)Pst，过P作平行于x轴的直线m，作N关于m的对称点1N，则()183,28Nt−．所以2211(830)(12810)PMPNPMPNMNt+=+=−+−−()221812908ttt=−+即为所求．（2）设三段水管总长为L，则由（1）知()2121812

908LPMPNPQMNPQtttt=+++=+−+，所以22()4(18129)Lttt−=−+在()0,8t上有解．即方程223(272)(516)0tLtL+−+−=在()0,8t上有解．故22(272)12(516)0LL=−−−，即

218630LL−−，解得21L或3L−，所以L的最小值为21，此时对应的5(0,?8)t=．故()183,2N，1MN方程为3103yx=−，令5y=得53x=，即()53,5P，从而22(53)

(510)10PM=+−=，22(5383)(58)6PN=−+−=．所以满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线53km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km．22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为45−.（1

）求椭圆C的离心率；（2）已知椭圆C的左､右顶点分别为,AB，且6AB=，点M是C上任意一点（与,AB不重合），直线,MAMB分别与直线:5lx=交于点,,PQO为坐标原点，求OPOQ.【答案】（1）53（2）1619【

解析】【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得2245bc=，即可求出离心率；（2）设出点M坐标，写出直线MA和MB的方程求出交点,PQ坐标，利用22003649xy−=化简OPOQ的表达式即可求得结

果.【小问1详解】根据题意可得椭圆C的上顶点的坐标为()0,b，左､右焦点的坐标分别为()(),0,,0cc−，由题意可知45bbcc−=−，即2245bc=，又222abc=+，所以2295ac=，即2255,93ccaa==，可得椭圆C的离心率53e=.【小问2详解】由6A

B=，得26a=，即3,5,2acb===，所以椭圆C的方程为22194xy+=.如图所示：设()00,Mxy，则2200194xy+=，即22003649xy−=，又()(),3,03,0AB−，则直线MA的方程为()00

33yyxx=++，直线MB的方程为()0033yyxx=−−；因为直线,MAMB分别与直线:5lx=交于点,PQ，可得0000825,,5,33yyPQxx+−，所以()()220000220000163648216641615,5,

2525253399999xyyyOPOQxxxx−==+=+=−=+−−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com