【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第七讲 集合之间的关系（一） Word版含解析.docx，共(16)页，1.331 MB，由小赞的店铺上传

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第七讲：集合之间的关系（一）【教学目标】1．掌握子集，真子集，集合相等，空集的概念，符号的表示形式；2．掌握相关符号代表的意义，并能用符号和Venn图表达集合间的关系；3．掌握列举有限集的所有子集的方法．【基础知识】一、子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任

意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集ABÜ(或BAß)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素

都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B二、子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.三、空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为.2．规定：空集是任何集合的子集．【题型目录】考点

一：简单集合间关系的判断考点二：集合之间的关系考点三：确定集合的子集、真子集考点四：子集、真子集的个数考点五：集合可能的个数（子集，真子集）考点六：集合相等【考点剖析】考点一：简单集合间关系的判断通过集合中元素的多少，判断集合与集合的关系是子集，真子集，相等，不相等的关系.例1

．已知集合1,Z2Exxnn==+，1,Z2nFxxn==+，则下列表述正确的是（）A．EFB．FEC．EF=D．REF=【答案】A【详解】121,Z,Z22nExxnnxxn+==+=

=，21,Z,Z22nnFxxnxxn+==+==，所以EF，故A正确；B、C、D均不正确.故选：A变式训练1．已知集合16,||23AxxBxx=−=，则（）A．BAB．BAC．AB=D．AB【答案】

B【详解】由题意知，，所以BA.故选：B.变式训练2．若集合1,Z32kAxxk==−，集合1,Z62kByyk==+，则（）A．AB=B．ABC．BAD．AB=【答案】B【详

解】因为133622kk−−=，13626kk++=，Zk，而23k−表示奇数，3k+表示整数，所以AB．故选：B．变式训练3．．已知全集RU=，能表示集合2N|20,2,1,0,1,2,3AxxxB=−−=−−关系的Venn

图是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解220xx−−可得12x−，所以2N|200,1,2Axxx=−−=，又2,1,0,1,2,3B=−−，所以AB，根据选项的Venn图可知选项A符合.故选：A考点二：集合之间的关系通过观察集合中元素的情况，

确定集合之间的关系，注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.例2．．下列五个关系式：①,,abba；②,,abba=；③；④；⑤0=；其中正确的个数为（）A．6B．5C．4D．3【答

案】C【详解】①由于集合自身是自身的子集，故①正确；②根据集合的无序性，故②正确；③根据元素与集合的关系，故③正确；④空集是任何集合的子集，故④正确；⑤空集是集合内不包括任何元素，0表示集合内只有一个元素0，故

0，故⑤错误；因此中正确的个数为4个，故选：C.变式训练1．下列表述错误的是（）A．00B．0C．0,11,0=D．()()0,11,0=【答案】D【详解】对于A，00，显然成立，故正确；对于B

，空集是任何集合的子集，故正确；对于C，由元素的无序性可知0,11,0=，故正确；对于D，集合为点集，()0,1与()1,0为不同点，故错误.故选：D变式训练2．已知六个关系式①；②Ü；③0ß；④0；⑤0=；⑥，它们中关系表达正确的

个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【详解】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、0，②③正确

；没有元素，故0，④正确；且0、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C变式训练3．下列各式中，正确的是（）①{0}=；②{0}；③{0}；④0{0}=；⑤0{0}；⑥{1}{1,2,3}；⑦{1,2}{1,2,3}

；⑧{,}{,}abba.A．②⑤⑦⑧B．②⑤⑦C．③⑤⑦⑧D．①⑤⑥⑦【答案】A【详解】对于①②③，是空集，空集是任意集合的子集，故{0}正确，余者不正确，故①③错误，②正确；对于④⑤，元素与集合之间的关系用“”或“”

表示，故0{0}=不正确，0{0}成立，故④错误，⑤正确；对于⑥⑦，集合与集合之间是包含或不包含的关系，故{1}{1,2,3}不正确，{1,2}{1,2,3}正确，故⑥错误，⑦正确；对于⑧，由集合中元素的无序性，可知{,}{,}abba=，故{,}{,}abba正确，故⑧正确；综上：

正确的命题有②⑤⑦⑧.故选：A.考点三：确定集合的子集、真子集已知集合时，书写出对应的集合的子集情况，真子集情况，并判断子集和真子集的个数.例3．已知集合21,21Aaaa=−−−，且2A；(1)求实数a；(2)写出A的所有真子集.【答案】(1)3a=；(2)，{2}−，{2}【详解】

（1）因为2A，所以12a−=或2212aa−−=，当12a−=，即1a=−时，2212aa−−=不满足集合元素的互异性；当2212aa−−=时，解得1a=−（不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a=时12a−=−，{2,2}A=−，综上实数3a=.（2）由（1）得{2,2}A=−，所以A的

所有真子集为，{2}−，{2}.变式训练1．写出集合｛a，b，c｝的所有子集，并指出哪些是它的真子集?【答案】子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集为：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c

}.【详解】由子集的定义得：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；由真子集定义得：φ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}.变式训练2．已知集合2

3,25,0Aaaa=−+，且3A−.(1)求实数a的取值的集合M；(2)写出（1）中集合M的所有子集.【答案】(1)31,2M=−−；(2),1,−3,2−31,2−−【详解】（1）因为3A−，且23,25,0Aaaa=−+

，所以33a−=−或2253aa+=−，解得=0a或1a=−或32a=−，当=0a时，2250aa+=，集合中出现两个0，故舍去；当1a=−时，}4,,{30A−=−，符合题意；当32a=−时，9,3,02A−−=，符合题意；∴实数a的取值的集合31,2M=−

−（2）因为31,2M=−−，所以集合M的子集有：,1,−3,2−31,2−−变式训练3．已知2{|430}Axxx=−+=(1)用列举法表示集合A；(2)写出集合A的所有子集．【答案】(1){1A=，3}(2)见解析（

1）由2430xx−+=可得方程的根为1和3，所以{1A=，3}；（2）由（1）可得，A的所有子集为：，{1}，{3}，{1，3}．考点四：子集、真子集的个数已知一个集合有n个元素，则它有2n个子集，有21n−个真子集，有21n−个非空子集，有22n−个非

空真子集.例4．．已知集合1,0,1A=−，,,BxxababA==，则集合B的真子集个数是（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【详解】由题意得1,0,1B=−，所以集合B的真子集个数为3217−=.故选：C.变式训练1．已知集

合{5213}Axx=−−N∣，则集合A的子集的个数为（）A．8B．7C．4D．3【答案】C【详解】N5213N220,1Axxxx=−−=−=，集合A的子集为：，0，1，0,1，共4个.故选：C.变式训练2．设集合|MxxA=，且}xB，若{1

,3,5,6,7}A=，{2,3,5}B=，则集合M的非空真子集的个数为（）A．4B．6C．7D．15【答案】B【详解】根据题意知，集合{MxxA=∣且}{1,6,7}xB=，其非空真子集的个数为3226−=.故选：B变式训练3．集合2|310Mxaxx=

+−=有1个真子集，则（）A．49a−B．94a=−C．0a=D．0a=或94a=−【答案】D【详解】解：集合2|310Mxaxx=+−=有1个真子集，则集合有且仅有一个元素，故方程2310axx+−=有且仅有一个根，当0a=时，310x

−=，方程有且仅有一个根，满足题意；当0a时，需满足Δ940a=+=，即94a=−；综上可知，0a=或94a=−.故选：D.考点五：集合可能的个数（子集，真子集）先通过集合之间的关系，判断集合中必然存在的元素，再确定集合中可能存在的元素，最

终确定集合的个数.例5．满足条件1,2,3,41,2,3,4,5,6M的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】因为1,2,3,41,2,3,4,5,6M，所以集合M的个数即为{}5,6的子集个数.

因为集合{}5,6的子集个数为224=，所以满足条件的集合M的个数是4.故选:D.变式训练1．已知1,21,2,3,4,5A，则满足条件的集合A的个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【详解】因为1,21,2,3,4,

5A，所以1,2A=或1,2,3或1,2,4或1,2,5或1,2,3,4或1,2,3,5或1,2,4,5或1,2,3,4,5，即满足条件的集合A的个数为8，故选：D．变式训练2．已知

1,2A=，1,2,6,7,8B=，且ACBÜ，满足这样的集合C的个数（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【详解】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,1

,2,71,2,8，，；若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,71,2,7,81,2,6,8，，；若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.故选：B变式训练3．已知非

空集合M满足:对任意xM，总有2xM，且xM.若{0,1,2,3,4,5}M，则满足条件的M的个数是（）A．11B．12C．15D．16【答案】A【详解】当M中有元素0时，200,00MM==，当M中有元素1时，211,11MM==，所以0,1MM

，所以集合M是集合2,3,4,5的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合M有2352,32,53,43,52,3,5,,4,,,,,,4,5,，3,4,5共11个.故选：A.考点六：集合相等集合相等，集合中

的元素种类相等，且集合中元素要完全相同，注意：数集和点集的区别，且集合中元素具有互异性.例6．已知实数集合2,,1,,,,AabBaaab==若AB=，则ab+=（）A．1−B．0C．1D．2【答案】A【详解】由题意AB=可

知，两集合元素全部相等，得到21aabb==或21abab==又根据集合互异性，可知1a，解得10ab=−=或11ab==（舍），所以1,0,1,abab=−=+=−故选:A.变式训练1．下列与集合2023,1表示同一集合的是（）A

．()2023,1B．(),2023,1xyxy==∣C．2202420230xxx−+=∣D．2023,1xy==【答案】C【详解】由2202420230xx−+=解得2023x=或1x=，所以22024202302023,

1xxx−+==∣，C正确；选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，故选：C变式训练2．下列各组集合中，表示同一集合的是（）A．()3,2M=，()2,3N=B．3,2M=，2,3N=C．{(,)1}Mxyxy

=+=∣，{1}Nyxy=+=∣D．()3,2M=，3,2N=【答案】B【详解】选项A表示点的集合，()2,3与()3,2不同，故A选项不正确，集合中元素具有无序性，所以集合3,2与集合()2,3相等，故B选项正确，选项C中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故

不同，故C不正确，选项D中集合M研究点集，集合N研究单一的实数集，故不同，故D不正确，故选：B.变式训练3．已知集合1,,Aab=，2,,Baaab=，若AB=，则20232022ab+=（）A．1

−B．0C．1D．2【答案】A【详解】由题意AB=可知，两集合元素全部相等，得到21aabb==或21abab==，又根据集合互异性，可知1a，解得1a=(舍)，10ab=−=和11ab==(舍)，所以1a=−，0b=，则2023202220232022(1)01ab+=

−+=−，故选：A【课堂小结】1、知识清单：(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．(2)求子集、真子集的个数问题．2、方法归纳：分类讨论．【课后作业】1、下列关系中正确的个数是（）①1Q2；②2RÏ；③0,1,20,1,2；④()0,10,1=A．1

B．2C．3D．4【答案】B【详解】12是有理数，故①正确；2是无理数，是实数，故②错误；根据集合的元素的无序性，0,1,20,1,2=，当然有0,1,20,1,2成立，故③正确；0,1的元素是0，1两个实

数，()0,1的元素是一个有序实数对()0,1，可以看做是坐标平面内的一个点，两个集合的元素不同，故④错误.综上，正确的有2个.故选：B.2、下列集合中表示同一集合的是（）A．(,)1,1MxyxyNyxy=+==+=B．

{1,2},{2,1}MN==C．{(3,2)},{(2,3)}MN==D．{1,2},{(1,2)}MN==【答案】B【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则MN¹，AD错；对B，由集合元素的无序性可知，MN=，B对

；对C，两集合的唯一元素不相等，则MN¹，C错；故选：B3、下列集合中为的是（）A．0B．C．2{|40}xx+=D．{|12}xxx+【答案】C【详解】对于A中，由集合0中有一个元素0，不符合

题意；对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于C中，由方程240x+=，即24x=−，此时方程无解，可得2{|40}xx+==，符合题意；对于D中，不等式12xx+，解得1x，{|12}|1xxxxx+=，不符合题意.故选：C

.4、．已知集合*{N|12}Mxx=−，则下列关系中，正确的是（）.A．0MB．MC．0,1MD．1,2M【答案】D【详解】因为集合*{N|12}{1,2}Mxx=−=，

对于A，因为0{1,2}M=，故选项A错误；对于B，是一个集合，且M，故选项B错误；对于C，因为集合{1,2}M=，所以集合{0,1}与集合M不存在包含关系，故选项C错误；对于D，因为集合{1,2}M=，任何集合都

是它本身的子集，所以{1,2}M，故选项D正确，故选：D.5、在①10,1,2；②10,1,2；③0,1,20,1,2；④0上述四个关系中，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】解：“”表示集合与集合间的关系，所以①错误；

集合0,1,2中元素是数，{1}不是集合0,1,2元素，所以②错误；根据子集的定义，{0，1，2}是自身的子集，空集是任何非空集合的真子集，所以③④正确；所表示的关系中，错误的个数是2．故选：B．6、已知集合{1,2,3,4}P=，则满足{1,2}QP

的集合Q的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【详解】解：由题题意可知，满足条件的集合Q有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个.故选：D．7、已知集合{4,5,6}P=，{1,2,3}Q=，定义{|,,}

PQxxpqpPqQ−==−，则集合PQ−的所有真子集的个数为（）A．32B．31C．30D．29【答案】B【详解】集合{4,5,6}P=，{1,2,3}Q=，定义{|,,}PQxxpqpPqQ−==−，则{1,2,3,4,5}PQ−=，元素

个数为5，故集合PQ−的所有真子集的个数为52131.−=故选：B8、已知集合2{|320R}Axxxx=−+=，，{|06N}Bxxx=，，则满足条件ACB的集合C的个数为（）A．3B．4C．8D．16【答案】C【详解】2{|320}1,2AxxxxR=−+==，{

|06}1,2,3,4,5BxxxN==，由ACB，则集合C中必有元素1,2，而元素3,4,5可以没有，可以有1个，或2个，或3个.即满足条件的集合C为：1,2，1,23，，1,24，，1,25，，1,234，，，

1,245，，，1,25，3，，1,25，4,3，共8个故选：C9、若{1，2}{0M，1，2，3，4}，则满足条件的集合M的个数为（）A．7B．8C．31D．32【答案】B【详解】由题意，因为{1,2}{

0,1,2,3,4}M，所以集合M中至少含有1，2两个元素，至多含有0，1，2，3，4这5个元素，因此集合M的个数即为集合{0,3,4}的子集个数，即为328=个.故选：B．10、已知集合M满足11,2,3M，则满足条件的集合M的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【详

解】因为集合M满足11,2,3M，所以满足条件的集合M有：1,2,1,2，即集合M的个数是3，故选：B.14、下列集合与集合1,3A=相等的是（）A．()1,3B．()1,3C．2430xxx−+=D．(),1,3xyxy==【答案】C【详解】A项不是集合

，B项与D项中的集合是由点坐标组成，C项：2430xx−+=，即()()310xx−−=，解得3x=或1x=，集合2430xxx−+=即集合1,3，因为若两个集合相等，则这两个集合中的元素相同，所以与集合1,3A=相等的是集合2430xxx−+=，故选：C.15、

已知aR，bR，若集合2{,,1}{,,0}baaaba=+，则20192019ab+的值为（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】B【详解】因为2,,1,,0baaaba=+，所以201baaaba=

=+=，解得01ba==或01ba==−，当1a=时，不满足集合元素的互异性，故1a=−，0b=，()2019201920192019101ab+=−+=−，故选：B.16、下列四个命题中，其中正确命题

的个数为（）①与1非常接近的全体实数能构成集合；②21,(1)−−表示一个集合；③空集是任何一个集合的真子集；④任何一个非空集合必有两个以上的子集.A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【详解】①不确定，所以不能构成集合；②可以

构成集合；③空集是任何非空集合的真子集；④对于非空集合，至少有一个元素，所以子集的个数为22n.②、④正确故选：C17、已知集合M满足1,21,2,5,6,7MÜ，则符合条件的集合M有______个．【答案】7【详解】据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，

而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件1,21,2,5,6,7MÜ的集合M有：{1,2}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,2,7}，{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,

2,6,7}共7个，故答案为：7.18、集合M满足,,....abcMabcde，则这样的集合M有______个.【答案】4【详解】,,....abcMabcde，则,,Mabc=或,,,Mabcd=或,,,Mabce=或,,,,Ma

bcde=.故答案为：4.19、满足1234,,,AaaaaÜ的集合A有__________个.【答案】15【详解】解：因为1234,,,Aaaaa，所以集合A是集合1234,,,aaaa的非空子集，所以集合A的个数为42115−=，故答

案为：15.