【文档说明】湖北省宜昌市夷陵中学2021-2022学年高二下学期诊断性检测数学试题（详解版）.docx，共(21)页，1.047 MB，由envi的店铺上传

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12022年春夷陵中学高二年级诊断性检测数学试题一、单选题：本大题共8小，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知010,1AB−（，），（），则直线AB的倾斜角为（）A.0°B.90°C.180°D

.不存在【答案】B【解析】【分析】由直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，直线AB的斜率不存在，从而能求出直线AB的倾斜角．【详解】∵直线经过A（0，1），B（0，﹣1）两点，∴直线AB的斜率不存在，∴直线AB的倾斜角90°．故选B．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求

法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2.圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（）A.210xy−−=B.20xy−+=C20xy−−=D.210xy−+=【答案】B【解析】【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公

共弦所在直线方程.【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减得：4480xy−+=，即20xy−+=.故选：B3.已知椭圆C：2221(0)4xyaa+=的一个焦点为(20)，，则C的离心率为A.13B.12C.

22D.223.2【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c=，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b=，利用椭圆中对应,,abc的关系，求得22a=，最后利用椭圆离心

率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c=，因为24b=，所以2228abc=+=，即22a=，所以椭圆C的离心率为22222e==，故选C.点睛：该题考查是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要

注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中,,abc的关系求得结果.4.已知等比数列{}na满足132410,5aaaa+=+=，则5a=A.1B.12C.14D.4【答案】B【解析】【详解】依题意有()2321

111111110,5,,82aaqaqaqaaqqqa+=+==+==，故451118162aaq===.5.已知点()1,1,2A−在平面α上，其法向量()2,1,2n=−，则下列点不在平面α上的是（）A.()2,3,3B.()3,7,4C.()1,7,1−−D.()2,

0,1−【答案】D【解析】【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可.【详解】()1,1,2A−对于A：记()12,3,3A,则()11,4,1AA=.因为()()11,4,12,1,22420AAn=−=−+=，所以点()12,3,3A在平面α上对于B：记()3

,7,4B,则()2,8,2AB=.的3因为()()2,8,22,1,24840ABn=−=−+=，所以点()3,7,4B在平面α上对于C：记()1,7,1C−−,则()2,6,1AC=−−−.因为()()2,6,12,1,24620ACn=−−−−=−+−=，所以点()1,7,

1C−−在平面α上对于D：记()2,0,1D−,则()3,1,1AD=−−.因为()()3,1,12,1,26120ADn=−−−=−−−，所以点()2,0,1D−不在平面α上.故选：D6.下列四个结论正确是（

）A.任意向量,ab，若0ab=，则0a=或0b=B.若空间中点O，A，B，C满足1233OCOAOB=+，则A，B，C三点共线C.空间中任意向量,,abc都满足()()abcabc=D.已知向量()()1,1,

,2,,4axbx==−，若25x，则,ab为钝角【答案】B【解析】【分析】A选项，0ab=也可以是0,0ab，ab⊥；B选项，利用向量线性运算得到2ACCB=，从而得到三点共线；C选项可以举出反例；D选项，求出,ab为钝角时x的取值范围，从而得到答案.【详解】0a

b=则0a=或0b=或0,0ab，ab⊥，故A错误；若空间中点O，A，B，C满足1233OCOAOB=+，即()()1233OCOAOBOC−=−，所以1233ACCB=，化简得：2ACCB=，则A，B，C三点共线，B正确

；设()()()1,1,1,2,2,1abc===。则不满足()()abcabc=，C错误；()()1,1,,2,,4axbx==−，则()()1,1,2,,42452abxxxxx=−=−++=−，令520x−得：25x，当1124xx==−时，2x=−，此时,ab反向，的4要想

,ab为钝角，则25x且2x−，故D错误.故选：B7.等差数列na和nb的前n项和分别为nS与nT，对一切自然数n，都有231nnSnTn=+，则55ab=A.23B.914C.2031D.1117【答案】B【解析】【详解】195519919551999229922391

1492aaaaaaSbbbbbbT++======+++,选B.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差

、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.8.设定义在

(0,)+的函数()fx的导函数为()fx，且满足()()3fxfxx−，则关于x的不等式31(3)(3)03xfxf−−−的解集为（）A.()3,6B.()0,3C.()0,6D.()6

,+【答案】A【解析】【分析】根据条件，构造函数3()()gxxfx=，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)−上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可

．【详解】解：3(1)(3)(3)03xfxf−−−，3(3)(3)27xfxf−−−（3）0，3(3)(3)27xfxf−−（3），5定义在(0,)+的函数()fx，3x，令3()(

)gxxfx=，不等式3(3)(3)27xfxf−−（3），即为(3)gxg−（3），323()(())3()()gxxfxxfxxfx==+，()()3fxfxx−，()3()xfxfx−，()3()0xfxfx+，32()3()0xfxxfx+，()0gx

，()gx单调递增，又因为由上可知(3)gxg−（3），33x−，3x，36x．故选：A．【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．二、多项

选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知等比数列{na}中，满足11a=，2q=，则（）A.数列{2na}是等比数列B.数列1na是递增数列C.数

列2logna是等差数列D.数列{na}中，102030,,SSS仍成等比数列【答案】AC【解析】【分析】先利用等比数列通项公式求出12nna-=，从而得到2122nna−=，利用等比数列的定义判断A选6项；得到112nna−=，判断出为递减数列；求出2log1nan=−，利用等差数

列定义判断C选项，计算出102030,,SSS，利用20301020SSSS得到102030,,SSS不成等比数列.【详解】由题意得：12nna-=，所以2122nna−=，则()2122321242nnnnaa−−−=

=，所以数列{2na}是等比数列，A正确；112nna−=，所以121121122nnnnaa−−−==，且111a=，故数列1na是递减数列，B错误；122loglog21nnan−==−，所以()221loglog121nna

ann−−=−−−=，C正确；10203010203010203012121221,21,21121212SSS−−−==−=−==−−−−，因为2030102021212121−−−−，故数列{na}中，102030,

,SSS不成等比数列，D错误.故选：AC10.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点M，N分别是棱1AA和1BB的中点，则下列选项正确的是（）A.1ACDN⊥B.1MCDN⊥C.()11110MCA

BAD−=D.112MCABBBAD=++【答案】ACD7【解析】【分析】以1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，得出各点坐标，由向量的运算判断ABC三个选项，由向量的线性运算判断D．【详解】以1,,DAD

CDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0)A，(0,2,0)C，(2,2,0)B，1111(2,0,2),(2,2,2),(0,2,2),(0,0,2)ABCD，(2,0,1),(2,2,1)MN，(2,2,0

)=−AC，1(2,2,1)DN=−，10ACDN=，1ACDN⊥，A正确；(2,2,1)MC=−−，11MCDN=，B错；111111(2,2,0)ABADDB−==，()11110MCABAD−=，C正确；111122MCACA

MABABBBDAADAA=+=−=+−+，D正确．故选：ACD．【点睛】方法点睛：本题考查空间向量的数量积，考查空间向量的线性运算．解题方法建立空间直角坐标系，把空间向量的数量积用坐标进行运算，向量垂直用数量积进行表示，这样直接计算可减少证明．简化

的解题过程．11.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，一条渐近线过点(2,2)，则（）A.双曲线C与双曲线22124yx−=有相同的渐近线B.双曲线C的离心率为38C.

若F到渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为22184xy−=D.若直线2:alxc=与渐近线围成的三角形面积为42，则焦距为62【答案】ACD【解析】【分析】由一条渐近线过点(2,2)，可得22ba=，可得渐近线方程为22yx=

，然后逐个分析判断即可【详解】由双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=，可得其渐近线方程为byxa=，因为一条渐近线过点(2,2)，所以22ba=，所以22ba=，所以双曲线的渐近线方程为22yx=，对于A，双曲线22124yx−=

的渐近线方程为22024yx−=，即22yx=，所以A正确，对于B，由于22ba=，所以离心率为222611242ccbeaaa===+=+=，所以B错误，对于C，因为右焦点为(c,0)F到渐近

线的距离为2，所以2224c=+，解得23c=，因为22ba=，22212abc+==，所以解得228,4ab==，所以双曲线方程为22184xy−=，所以C正确，对于D，对于渐近线22yx=，当2axc=时，222ayc=，所以由双曲

线的对称性可得直线2:alxc=与渐近线围成的三角形面积221224222aacc=，得222ac=，由22ba=，222+=abc，解得32c=，所以焦距为62，所以D正确，故选：ACD12.已知函数()()()21e,01,0exxxxfxxx+=+，下

列选项正确的是（）9A.函数f（x）在（－2，1）上单调递增B.函数f（x）的值域为21,e−+C.若关于x的方程()()20fxafx−=有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是2

14,eeD.不等式()0fxaxa−−在()1,−+恰有两个整数解，则实数a的取值范围是232,ee【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用导函数求解单调性；B选项，利用导函数研究函数单调性，极值情况，画出图象，作出判断；C选项，画出()yfx=的图象，数形结合

将根的个数转化为图象交点个数，从而判断出a的取值范围是214,ee；D选项，画出()12,yfxyaxa==+的图象，数形结合得到斜率的取值范围，进而求出a的取值范围.【详解】当0x时，()()2exfxx=+，当2x−时，()0fx，()fx单调递

减，当20x−时，()0fx，()fx单调递增，当0x时，()()()222111eexxxxxfx+−+−==，当)0,1x时，()0fx，()fx单调递增，当1x时，()0fx，()fx单调递减，又当0

x=时，()1e1xx+=，()211exx+=，故数f（x）在（－2，1）上单调递增，A正确；由A选项分析可知：()fx在2x=−处取得极小值，()212ef−=−，()fx在1x=处取得极大值，()41ef=，又1x−时，()()

1e0xfxx+=恒成立，1x时，()()210exxfx+=恒成立，画出()()()21e,01,0exxxxfxxx+=+，如图：10故f（x）的值域为214,ee−，B错误；由()

()20fxafx−=得：()fxa=或()0fx=画出()yfx=的图象，如图所示：从图象可以看出()0fx=有1个根，为11x=−，要想方程()()20fxafx−=有3个不相等的实数根，需要()fxa=需要有2个不相等的实数根，且不等于-1，所以则实数a的取

值范围是214,ee，C正确；不等式()0fxaxa−−在()1,−+恰有两个整数解，即()fxaxa+在()1,−+恰有两个整数解，在同一坐标系下画出()12,yfxyaxa==+的图象：当2yaxa=+介于直线12,ll之间时

，满足要求，11其中142e11elk==+，22293e21elk==+，则实数a的取值范围是232,ee，D正确.故选：ACD【点睛】研究方程根的个数问题或根据根的个数求取值范围问题，当方程

较复杂时，要转化为两个函数的交点问题，数形结合进行求解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在等差数列{na}中，22S=，36S=−，则na＝__．【答案】610n−+【解析】【分析】根据等差数

列通项公式及求和公式基本量计算得到首项和公差，从而求出答案【详解】332628aSS=−=−−=−，即128ad+=−，有2122Sad=+=，联立解得：14,6ad==−，所以()461610nan

n=−−=−+故答案为：610n−+14.已知()3ln21fxxxx=++，则()fx在点()()1,1f处的切线方程为___________.【答案】320xy−+=12【解析】【分析】利用导数的几何意义求()fx在()()

1,1f处切线的斜率，并求出()1f，即可写出切线方程.【详解】由题设，()()261ln21fxxx=+−+∴()113f=，又()11f=，∴()fx在()()1,1f处的切线方程为()1113yx−=−

，即320xy−+=.故答案为：320xy−+=.15.已知函数f（x）的导函数为()fx，()()2232lnfxxxfx=−+，则(2)f=___．【答案】178【解析】【分析】求导，代入2x=，得到方程，求出答案.【详解】()()1432fxxfx

=−+，所以()()128322ff=+−，解得：()1728f=故答案为：17816.双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左顶点为A，M是双曲线的渐近线与圆222:Cxyb+=的一个交点，过M作圆的切线l交y轴于

P，若AP的斜率为3，则双曲线E的离心率为___________.【答案】3【解析】【分析】不妨设M是圆与渐近线byxa=在第一象限的交点，求出M点坐标，得切线方程，从而可求出P点纵坐标，利用AP的斜率可得离心率．13【详解】不妨设M是圆与渐近线byxa=在第一象限的交点，由2

22byxaxyb=+=，解得2abxcbyc==，则切线PM的方程为2()baabyxcbc−=−−，令0x=得yc=，即(0,)Pc，∵AP的斜率为3，∴3ca=，即离心率为3．故答案为：3．四、解

答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线1:210lxy−+=，24:0lxy+−=，3:340lxy+=，其中1l与2l的交点为P．（1）求过点P且与3l平行的直线方程；（2）求以点P

为圆心，截3l所得弦长为8的圆的方程．【答案】（1）34150xy+−=；（2）22(1)(3)25xy−+−=.【解析】【分析】（1）首先求1l、2l的交点坐标，根据3l的斜率，应用点斜式写出过P且与3l平行的直

线方程；（2）根据弦心距、弦长、半径的关系求圆的半径，结合P的坐标写出圆的方程.【小问1详解】联立1l、2l得：21040xyxy−+=+−=，可得13xyì=ïí=ïî，故(1,3)P，又3l的斜率为34k=−，则过P且与3l平行的直线方程33(1)4yx−=−−，∴所求直线方程为341

50xy+−=.【小问2详解】由（1），P到3l的距离|3143|35d+==，∴以P为圆心，截3l所得弦长为8的圆的半径2224325R=+=，14∴所求圆的方程为22(1)(3)25xy−+−=.18.第24届冬奥

会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，

第四组[75,85)，第五组[85,95)，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求a，b的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60%分位数（分位数精确

到0.1）；（3）在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．【答案】（1）0.005,0.025ab==；（2）估计平均数为69.5，第60%分位数为71.7；（3）25【解析】

【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a，b的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式

.【小问1详解】()()20.0450.0201010.0450.020100.7aba+++=++=，解得：0.0050.025ab==，所以0.005,0.025ab==；【小问

2详解】500.00510600.02510700.04510800.02010900.0051069.5++++=，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为()0.0050.025100.30.6+=，前三组志愿者的频率为.15()0.005

0.0250.045100.750.6++=，所以第60%分位数落在第三组志愿者中，设第60%分位数为x，则()650.0450.60.3x−=−，解得：71.7x，故第60%分位数为71.7【小问3详解】第四、第五两组志愿者的频率比为4:1，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者

人数为4，分别设为abcd,,,，第五组志愿者人数为1，设为e，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,abacadaebcbdbecdcede，共有10种情况，

其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,aebecede共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=19.如图，已知直三棱柱111ABCABC−中，12ABBCBB===，ABBC⊥，E，F分别为

AC和1CC的中点，D为棱11AB上的一点．（1）证明：BFDE⊥；（2）当平面DEF与平面11BBCC所成角的余弦值为63时，求线段1BD的长度．【答案】（1）证明过程见解析；（2）12【解析】【分析】（1）建立空间直角坐

标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）求出两平面的法向量，根据余弦值列出方程，求出m的值.【小问1详解】因为直三棱柱111ABCABC−中，12ABBCBB===，ABBC⊥，所以1,,ABBCBB两两垂直，以B为坐标原点，1,,BABCBB所在直线分别为

x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，16则()()()0,0,0,0,2,1,1,1,0BFE，设(),0,2Dm，所以()()0,2,1,1,1,2BFDEm==−−，故220BFDE=−=，所以BFDE⊥.【小问2详解】

设平面DEF的法向量为(),,nxyz=，则()1200nDEmxyznFExyz=−+−==−−=，令1x=得：12,33mmyz+−==，故121,,33mmn+−=，设平面11BBCC的法向量()11,0,

0n=ur，则1122116cos,312133nnnnnnmm===+−++，解得：12m=，所以112BD=20.已知数列{}na满足11a=，124nnnaaa+=−*()nN，数列{}nb满足21nnba=−．（1）证明：数列{}nb为等比数列，并求{}

nb的通项公式；（2）设nncnb=，求数列{}nc的前n项和nS．【答案】（1）证明见解析，12nnb−=（2）(1)21nnSn=−+17【解析】【分析】（1）利用凑配法化简已知条件，得到12nnbb+=，由此

证得数列{}nb为等比数列，并求得{}nb的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得nS.【小问1详解】1142421122(1)22241nnnnnnnnnabbaaaaaa++−−=−=−=−−=−==，即12nnbb+=，又112110ba−==，∴数列{}nb是以1为首项，2为公比的等比数

列，其通项11122nnnbb−−==.【小问2详解】由题12nnncnbn−==，01221122232(1)22nnnSnn−−=++++−+①，12312122232(1)22nnnSnn−=++++−+②，①－②得：0

12311222222nnnSn−−=+++++−12212nnn−=−−212(1)21nnnnn=−−=−−，(1)21nnSn=−+．21.已知中心在原点O的椭圆E的长轴长为22，且与抛物线24yx=有相同的焦点．（1）求椭圆E的方程

；（2）若点H的坐标为(2，0)，点11(,)Axy、22(,)Bxy(12xx)是椭圆E上的两点，点A，B，H不共线，且∠OHA=∠OHB，证明：直线AB过定点．【答案】（1）2212xy+=（2）证明见解析【解析】分析】（1）根据长轴长与焦点坐标

即可求解,ac，从而求出方程；（2）设直线AB的方程为()0xmytm=+，代入椭圆方程，由OHAOHB=得0AHBHkk+=，结合韦【18达定理即可证明结论．【小问1详解】∵抛物线24yx=的焦点为(1,0)，∴E的焦点为(1,0)，

即1c=，焦点在x轴又222a=，∴2a=，22211bacb=−==∴椭圆E的方程为2212xy+=【小问2详解】设直线AB的方程为()0xmytm=+，则11(,)Amyty+，22(,)Bmyty+，由2222xmytxy=++=得

，222(2)220mymtyt+++−=．228(2)0mt=−+即222mt−则12222mtyym−+=+，212222tyym−=+∵OHAOHB=，∴0AHBHkk+=∴1212022yymytmyt+=+−+−，即12122(2)()

0myytyy+−+=∴22(2)(2)20mttmt−−−=，∴1t=满足题意∴直线AB恒过定点(1,0)．22.已知()()lnfxxaxaR=+.（1）讨论()fx的单调性；（2）当1a=时，若()()1fxkxb++在()0,+上恒成立，求2

21kbk+−−的最小值．【答案】（1）当0a时，()fx在()0,+上单调递增，当0a时，()fx在10,a−上单调递增，在1,a−+上单调递减；（2）1e−【解析】19【分析】（1）求出定义域，求导，分0a与

0a两种情况分类讨论，得到()fx的单调性；（2）利用第一问函数单调性，数形结合得到当直线与()lnfxxx=+相切时，b取得最小值，故22211kbbkk+−=+−−取得最小值，利用切线斜率得到方程，求出()001ln2ln11bxkkx=−−=−−−−，换元后构造函数

()ln2tttt−−=，0t，求出单调性和极值，最值情况，得到答案【小问1详解】()()lnfxxaxaR=+定义域为()0,+，()1fxax=+，当0a时，()0fx，()fx单调递增，当0a时，当10xa−时，()0fx，()fx单调递增，当1x

a−时，()0fx，()fx单调递减，综上：当0a时，()fx在()0,+上单调递增，当0a时，()fx在10,a−上单调递增，在1,a−+上单调递减；【小问2详解

】当1a=时，()ln1xxkxb+++在()0,+上恒成立由（1）知：()lnfxxx=+在()0,+上单调递增，而()1ykxb=++为直线方程，当0k时，()1ykxb=++为常函数或单调递减，故不能使得()()

1fxkxb++在()0,+上恒成立，舍去当0k时，当直线与()lnfxxx=+相切时，可以使得()()1fxkxb++在()0,+上恒成立，设切点为()000,lnxxx+，则有011kx+=，解得：011xk=−，20因为00x，所以1k，由于

()1ykxb=++恒过点()1,b−，当直线与()lnfxxx=+相切时，b取得最小值，故22211kbbkk+−=+−−取得最小值此时0000ln111xxbxx+−+=+，解得：()001ln2ln11bxkkx=−−=−−−−故()l

n132211kkkbkk−−−+−=−−，1k令1,0ktt−=，则()ln2tttt−−=，0t，()()2211ln21lntttttttt−−−−+==，当10et时，()0t

，()t单调递减，当1et时，()0t，()t单调递增，所以()t在1te=处取得极小值，也是最小值，()min11eet==−，故221kbk+−−的最小值为1e−.【点睛】导函数求解多元问题，要结合题目条件，将多元问题转化为单元问题，进行求解，注意换元后的定

义域的变化.21获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com