【文档说明】湖南省常德市临澧县第一中学2022-2023学年高一下学期3月第一次阶段性考试数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.385 MB，由小赞的店铺上传

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临澧一中2023上学期第一次阶段性考试试卷高一数学时间：120分钟满分：150分2023.3一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中.只有一个选项是符合题目要求的.1.下列结论是否

正确有（）A.若a与b都是单位向量，则ab=B.方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量C.直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量D.若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合【答案】BD【解析】【分析】根据题

意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，因为a与b的方向可能不同，故错误；对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；对于C，因为x轴与y轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故

错误；对于D，假设点M与点N重合，则向量AMAN=，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确；故选:BD2.a，b是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（）A.ab=B.1ab=C.22abD.22||||ab=【答案】D【解析】【分析】A．分析

方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断.【详解】A．,ab可能方向不同，故错误；B．cos,cos,abababab==，两向量夹角未知，故错误；C．22221,1aaaabbbb===

===，所以22ab=，故错误；D．由C知221ab==，故正确，故选：D.【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易.3.设向量()(),2,2,3axxb=+=，且0ab=，则x=（）A.1B.-1C.65D.65−【答案】D【解析

】分析】利用向量数量积坐标公式列出方程，求出答案.【详解】()(),22,32360abxxxx=+=++=，解得：65x=−.故选：D4.若12,ee是夹角为60的两个单位向量，则122aee=+与1232bee=−+的夹角为（）A.30°B.60°C.120°

D.150°【答案】C【解析】【分析】先求得12ee的值，根据数量积的运算法则求得ab以及,ab的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得12111cos602ee==，故2212121122(2)(3

2)62abeeeeeeee=+−+=−++176222=−++=−，222121122(2447||)eeeeeae+=+=+=，222121122(329||)1247eeeeeeb=−+−+==，故712cos,2||||77ababab−===−，【由

于,[0,]ab，故,120ab=，故选：C5.已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若6A=，4B=，1a=，则b=（）A.2B.1C.3D.2【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得1sinsin64b=，化简即得解.【详解】由正弦定理得1,2sins

in64bb==.故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.若平面向量,,abc两两的夹角相等，且||||1,||3abc===，则||abc++=（

）A.2B.5C.2或5D.2或5【答案】C【解析】【分析】分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.【详解】当,,abc两两的夹角均为0°时，显然||5abc++=；当,,abc两两的夹角均为120°时，222||2222abcabc

abacbc++=+++++=，故选：C.7.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若()()sin,3aAbcabcabcc=+++−=，则ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角

三角形【答案】A【解析】【分析】由余弦定理得到1cos2A=，π3A=，从而32ac=，代入222bcabc+−=中，得到12bc=，由勾股定理逆定理得到ABC为直角三角形.【详解】由题意得：()223bcabc+−=，即222bcabc+−=，故2221cos222bca

bcAbcbc+−===，因为()0,πA，所以π3A=，故2sinπ33ac==，即32ac=因为222bcabc+−=，所以22014bbcc−+=，即2012bc−=，故12bc=，故222+=abc，故π2C=，所以ABC为直角三角形.故选：A8.设点

M是给定ABC所在平面内一点，则下列说法不正确的是（）A.若1122AMABAC=+，则点M是边BC的中点B.若AMxAByAC=+，且12xy+=，则MBC面积是ABC面积的12C.若,3110,3BMACBMBABC==+P为直线AC上的动点，则BMBP为定值D.若

2AMABAC=−，则点M在边BC的延长线上【答案】D【解析】【分析】A选项，由条件得到MBCM=，A正确；B选项，由条件得到M在ABC的中位线上，得到MBC的面积是ABC面积的12；C选项，设APAC=，推

导出BCBA=，进而利用向量数量积得到BMBPBMBA=，为定值；D选项，由条件得到BMCB=，故点M在边CB的延长线上，D错误.【详解】A选项，若1122AMABAC=+，则11112222ABAMA

MAC=−−，即MBCM=，点M是边BC的中点，A正确；B选项，若AMxAByAC=+，且12xy+=，故()12AMxABxABBC=+−+，的所以1122AMABxBC−=−，设AB的中点为N，则12AMABAMANN

M−=−=，即点M在过AB的中点且平行于BC的直线上，即M在ABC的中位线上，所以MBC的面积是ABC面积的12，B正确；C选项，因为P为直线AC上的动点，所以设APAC=，故()BPBABCBA−=−，所以()1BPBCBA=+−，因为110,33BMACBMBABC==+，所

以()22011113333BABCBCBABCBA−=−+=，故BCBA=，故()()22111133313131BBAMBPBABACBCBCABBBC=+−++=−+21133BABBAC=+，为定值，C

正确；D选项，若2AMABAC=−，则ABABACAM−=−，即BMCB=，故点M在边CB的延长线上，D错误.故选：D二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知非零向量,ab，若1

ab==，且ab⊥，又知()()4akbakb+⊥−，则实数k的值为（）A.-2B.-3C.3D.2【答案】AD【解析】【分析】由()()4akbakb+⊥−，ab⊥，则()()40akbakb+−=，0ab=.后由数量积运算律可得答案.【详解】因ab⊥，则0ab

=.又()()4akbakb+⊥−，则()()4akbakb+−222243402akbkabkk=−−=−==.故选：AD10.在ABC中，33,3,30abB===，则角C可以为（）A.30B.60C.90D.120【答案】AC【解析】

【分析】根据正弦定理可计算出60A=或120A=o，再根据三角形内角和为180即可得出角C为30或90.【详解】由正弦定理sinsinabAB=可得3sin2A=，又0180A，ab，所以60A=或120A=o；所以180603090C=−−

=或1801203030C=−−=，即角C可以为30或90.故选：AC11.已知O为坐标原点，点()1cos,sinP，()2cos,sinP−，()()()3cos,sinP++，()1,0A，则（）A.12OPOP=B.12APAP=C.312OAOPOPOP=

D.123OAOPOPOP=【答案】AC【解析】【分析】A、B写出1OP，2OP、1APuuur，2APuuur坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：1(cos,sin)OP=，

2(cos,sin)OP=−，所以221||cossin1OP=+=，222||(cos)(sin)1OP=+−=，故12||||OPOP=，正确；B：1(cos1,sin)AP=−，2(cos1,sin)AP=−−，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin

2(1cos)4sin2|sin|22AP=−+=−++=−==的，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP=−+=，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得：31cos()0sin()cos()OAOP=+

++=+，12coscossin(sin)cos()OPOP=+−=+，正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP=+=，23coscos()(sin)sin()OPOP=++−+(

)()()cosβαβcosα2β=++=+，故一般来说123OAOPOPOP故错误；故选：AC12.如图.P为ABC内任意一点，角,,ABC的对边分别为,,abc，总有优美等式0PBCPACPABSPASPBSPC++=成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命

题的有（）A.若P是ABC的重心，则有0PAPBPC++=B.若0aPAbPBcPC++=成立，则P是ABC的内心C.若2155APABAC=+，则:2:5ABPABCSS=△△D.若P是ABC的外心，π4A=，PAm

PBnPC=+，则)2,1mn+−【答案】AB【解析】【分析】对于A：利用重心的性质=PBCS△=PACPABSS△△，代入0PBCPACPABSPASPBSPC++=即可；对于B：利用三角形的面积公式结合0PBCPACPABSPASPBSPC++=与

0aPAbPBcPC++=可知点P到ABBCCA、、的距离相等.对于C：利用ABAC、将PAPBPC、、表示出来，代入0PBCPACPABSPASPBSPC++=，化简即可表示出PBCPACPABSSS、、△△△的关系式，用PABS将ABPABCSS、△△表示出来即可得处其比

值.对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PAmPBnPC=+两边平方，化简可得22+1mn=，结合mn、的取值范围可得出答案.【详解】对于A：如图所示：因为DEF、、分别为CAABBC、、的中点，所以2CPPE=，121,233AECABCA

PCAECABCSSSSS===，同理可得13APBABCSS=、13BPCABCSS=，所以=PBCS△=PACPABSS△△，又因为0PBCPACPABSPASPBSPC++=，所以0PAPBPC++=uu

ruuruuurr.正确；对于B：记点P到ABBCCA、、的距离分别为123hhh、、，231111=,,222PBCPACPABahbhhScSS==△△△，因为0PBCPACPABSPASPBSPC++=，则2311110222ahPAbhPBchPC++=，即2310ah

PAbhPBchPC++=，又因为0aPAbPBcPC++=，所以123==hhh，所以点P是ABC的内心，正确；对于C：因为2155APABAC=+，所以2155PAABAC=−−，所以3155PBPAABABAC=+=−，所以24

55PCPAACABAC=+=−+，所以2131240555555PBCPACPABSABACSABACSABAC−−+−+−+=，化简得：232114+0555555PBCPACPABPBCPACPABSSSABSSSAC−−+−−+=

，又因为ABAC、不共线，所以232+=0555114=0555PBCPACPABPBCPACPABSSSSSS−−−−+，所以=2=2PBCPABPACPABSSSS，所以15ABPPABPBCPACPABABCSSSSSS=++=△△，错误；对于D：因为P是ABC的

外心，π4A=，所以π2BPC=,PAPBPC==，所以=cos0PBPCPBPCBPC=，因为PAmPBnPC=+，则222222PAmPBmnPBPCnPC=++，化简得：22+1mn=，由题

意知mn、同时为负，记cossinmn==，3ππ2，则πcossin2sin+4mn+=+=，因为5ππ7π444+，所以π21sin42−+−，所以π22sin+14−−，所以)2,1mn+−−，错误.故答

案为：AB.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在Rt△ABC中，90=C，4AC=，则ABAC=______【答案】16【解析】【分析】本题是一个求向量的数量积的问题，解题的主要依据是直角三角形中的垂直关

系和一条边的长度，解题过程中有一个技巧性很强的地方，就是把AB变化为两个向量的和，再进行数量积的运算．【详解】∵∠C＝90°，∴ACCB=0，∴ABAC=（ACCB+）AC2ACACCB=+=42＝16故

答案为16【点睛】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．14.已知向量()1,1m=，向量n与向量m夹角为3π4，且1mn=−urr

，则向量n=__________.【答案】1【解析】【分析】先求出m，再利用平面向量数量积的定义求出nr.【详解】()1,1m=urQ，22112m=+=ur，所以3π2cos2142mnmnn==−=−urru

rrr，所以1n=r.故答案为：1.15.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c，ABC的面积为53，则c＝________．【答案】21【解析】【分析】根据三角形面积公式求得角C，再由余弦定理求得c．详解】解：由三

角形面积公式得12×4×5sinC＝53，即sinC＝32．又b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．由余弦定理得c2＝42＋52－2×4×5cos60°，【解得c＝21．故答案为：21．16.《易经》是阐述天地世间

关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则()()PAPBPEPF++的最小值为______．【

答案】1282−−【解析】【分析】以A为原点建立直角坐标系，设(),Pxy，将()()PAPBPEPF++表示为关于,xy的关系即可求出.【详解】如图，以A为原点建立直角坐标系，则()()0,0,2,0AB，过H作HMx⊥轴，因为正八边形ABCDEFGH，所以AMH是等腰

直角三角形，所以2AMHM==,同理，过C作CNx⊥轴，则2BN=,过F作FQHG⊥，则2QG=，所以()()2,222,0,222EF++，设(),Pxy，则()(),,2,PAxyPBxy=−−=−−，所以()22,2PAPBxy+=−−，()()2,222,

,222PExyPFxy=−+−=−+−，则()22,4422PEPFxy+=−+−，所以()()()()22224422PAPBPEPFxyy++=−−+−()()2241121282xy=−+−−−−，其中()()22112xy−

+−−表示点(),Pxy到点()1,12+的距离的平方，因为点()1,12+在正八边形ABCDEFGH内，所以()()22112xy−+−−的最小值为0，所以()()PAPBPEPF++的最小值为1282−−.故答案为：12

82−−.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝3.（1）若π3C=，求A；（2）若π,6A=求b.【答案】（1）A＝6

（2）b＝2或b＝1【解析】【分析】（1）依据正弦定理即可求得A；（2）依据正弦定理即可求得b.【小问1详解】由正弦定理得，131sinsin223aACc===又a<c，∴π03AC=，∴Aπ6

=【小问2详解】由正弦定理得，得313sinsin122cCAa===，则C＝π3或C＝2π3.当C＝π3时，B＝π2，∴b＝312+=；当C＝2π3时，B＝A＝π6，∴b＝1.综上，b＝2或b＝1.18.已知()()cos,sin,cos,sin,0πab==.（1）若2a

b−=，求证：ab⊥；（2）设()0,1c=，若abc+=，求()cos−的值.【答案】（1）证明过程见解析（2）12−【解析】【分析】（1）求出ab−，利用模长公式列出方程，求出coscossinsin0+=，证明出ab⊥；（2）根据abc+=得到c

oscos0sinsin1+=+=，平方相加后得到()cos−的值.【小问1详解】()coscos,sinsinab−=−−，故()()22coscossinsin2ab−=−+−=，即2222cos2coscoscossin2

sinsinsin2−++−+=，化简得：coscossinsin00ab+==，故ab⊥；【小问2详解】()()coscos,sinsin0,1ab=++=+，所以cosco

s0sinsin1+=+=，两式平方相加得：2222cossincossin2coscos2sinsin1+++++=，故()1coscossinsi2cosn+==−−.19.已知,,ABC的坐标

分别为()()()()0,0,1,1,cos,sin,0,a−.（1）若,,ABC三点共线，求角的值；（2）若(),Dst，且四边形ABCD为平行四边形，求st+的取值范围.【答案】（1）3π

4=（2）(1,2]−【解析】【分析】（1）由,,ABC三点共线可得ABAC∥，化简求得tan1=−，结合()0,即可求解；（2）由四边形ABCD为平行四边形，可得ABDC=，采用坐标运算进行代换，

可得关于,st的表达式，再结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求解st+的范围【小问1详解】∵,,ABC三点共线，∴ABAC∥，又()1,1AB=−uuur，()cos,sinAC=，∴cossin0−−=，tan1=−，又()0,，∴3

π4=.【小问2详解】∵四边形ABCD平行四边形，∴ABDC=，而(cos,sin)DCst=−−，∴cos1s−=−，sin1t−=，∴cos1s=+，sin1t=−，所以πcossin2sin()4st+=+=+，因为(0,π)，所

以ππ5π444+，则2πsin()124−+，为所以π12sin()24−+，即st+的取值范围为(1,2]−.20.如图，在ABC中，120BAC=，3ABAC==，点D在线段BC上，且12BDDC=.（1）求AD的长；（2）求DAC的大小.【

答案】（1）3；（2）90.【解析】【分析】（1）利用AB和AC表示AD，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出AD的长；（2）利用平面向量数量积计算出cosDAC的值，即可得出DAC的值.【详解】（1）设ABa=，ACb=，则()11212133

3333ADABBDABBCABACABABACab=+=+=+−=+=+uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrr，222222142142129233cos1209333

999999ADADabaabb==+=++=++=ouuuruuurrrrrrr，故3AD=；（2）设DAC=，则为向量AD与AC的夹角.221121129333333233cos0333333abbbab

ADACADAC++−+=====rrrrrruuuruuurQuuuruuur，90=，即90DAC=.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求模和夹角，解题

的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题.21.已知向量()1sin,1,3cos,cos22mxnxx==，函数()fxmn=.（1）求函数()fx的最大值及相应自变量的取值；（2）在ABC中，角ABC､､的对边分

别为abc､､，若()1,22fAa==，求bc+的取值范围.【答案】（1）1；π,Z6πkxk=+（2）(2,4【解析】【分析】(1)利用向量坐标运算，二倍角公式和辅助角公式表示出()fx，即可求出其

最大值以及相应自变量的取值；(2)结合(1)中的()fx，求出π3A=，再利用余弦定理和基本不等式变形即可求出结果.【小问1详解】由题知，()13sincoscos22fxmnxxx==+31πsin2cos2sin2

226xxx=+=+，所以当Z2ππ2,62πkkx=++，即π,Z6πkxk=+时，()fx最大，且()fx最大值为1；【小问2详解】由(1)知，()πsin26fxx=+，则()π1sin262fAA

=+=，解得π,ZAkk=或ππ,Z3kk+，所以ABC中，π3A=，又2a=，则2221cos22bcaAbc+−==，整理得()243bcbc+−=，则()22432bcbcbc+−+=≤，当且仅

当bc=时，等号成立，整理可得()216bc+，又在ABC中，所以24bc+，即bc+的取值范围为(2,4.22.如图，正方形ABCD的边长为6,E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.（1）求EMF的余

弦值.（2）若点P自A点逆时针沿正方形的边运动到A点，在这个过程中，是否存在这样的点P，使得EFMP⊥？若存在，求出MP的长度，若不存在，请说明理由.【答案】（1）210；（2）存在222(,0),||1377PMP=或者339(0,),||1377PMP=.【解

析】【分析】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系.转化为求,DEAFuuuruuur的夹角的余弦得解；（2）设(,),Mxy求出点M的坐标和(3,2)EF=，再就点P的位置分四种情况讨论得解.【小问

1详解】如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系.则(0,6),(3,0),(0,0),(6,2),(3,6),(6,2)DEAFDEAF=−=.由于EMF就是,DEAFuuuruuur的夹角.∴18122cos1093

6364EMF−==++.∴EMF的余弦值为210.【小问2详解】设(,),(,6),,3(6)60,260MxyDMxyDMDEyxxy=−−+=+−=∥.6(,),(6,2),,260,3,76,7AMxyAFAMAFxyxyyy==−====∥.∴1818

6,(,)777xM=.由题得(3,2)EF=.①当点P在AB上时，设186(,0),(06),(,)77PxxMPx=−−，∴225412222246230,,(,0),||()()137777777xxPMP−−===+=；②当点P在

BC上时，设246(6,),(06),(,)77PyyMPy=−，∴72123020,,777yy+−==−舍去；③当点P在CD上时，设1836(,6),(06),(,)77PxxMPx=−，∴5472630,,

777xx−+==−舍去；④当点P在DA上时，设186(0,),(06),(,)77PyyMPy=−−，∴22541233331827920,,(0,),||()()137777777yyPMP−+

−===+=.综上，存在222(,0),||1377PMP=或者339(0,),||1377PMP=.