【文档说明】河南省郑州外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学 Word版含答案.docx，共(10)页，207.913 KB，由小赞的店铺上传

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郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考1试卷数学（120分钟150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若直线𝑙的一个方向向量为(−√2,

√6)，则它的倾斜角为（）A．120°B．150°C．60°D．30°2．圆心为(−1,−2)，且与𝑦轴相切的圆的方程是（）A．(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=4B．(𝑥−1)2+(𝑦−2)2=1C．(𝑥+1)2+(𝑦+2)2=1D．(𝑥+1)2+(𝑦+2)2=43．已知𝑛1⃗⃗

⃗⃗=(−1,9,1),𝑛2⃗⃗⃗⃗=(𝑚,−3,2),𝑛3⃗⃗⃗⃗=(0,2,1)，若{𝑛1⃗⃗⃗⃗,𝑛2⃗⃗⃗⃗,𝑛3⃗⃗⃗⃗}不能构成空间的一个基底，则𝑚=（）A．3B．1C．5D．74．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量

，在平面直角坐标系中，过点𝐴(−3,4)的直线l的一个法向量为(1,−3)，则直线l的点法式方程为；1×(𝑥+3)+(−3)×(𝑦−4)=0，化简得𝑥−3𝑦+15=0．类比以上做法，在空间直角坐标系

中，经过点𝑀(1,2,3)的平面的一个法向量为𝑚⃗⃗=(1,2,−4)，则该平面的方程为（）．A．𝑥−2𝑦−4𝑧+7=0B．𝑥+2𝑦+4𝑧+7=0C．𝑥+2𝑦−4𝑧+7=0D．𝑥+2𝑦−4𝑧−7=05

．台风中心从M地以每小时30km的速度向西北方向移动，离台风中心30√3km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（）A．1hB．√2hC．2hD．√3h6．如图，平面𝐴�

�𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐸𝐹，四边形𝐴𝐵𝐸𝐹为正方形，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形，∠𝐷𝐴𝐵=60°，则直线𝐴𝐶,𝐹𝐵所成角的余弦值为（）A．−√64B．√53C．√104D．√647．直线𝑦=𝑥+𝑏与曲线𝑥=√1−𝑦2恰有1个交点，则实数

𝑏的取值范围是（）A．−1<𝑏≤1B．−√2≤𝑏≤1C．−√2<𝑏≤−1D．−1<𝑏≤1或𝑏=−√28．在正三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐵=2，𝐴𝐴1=√3，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，𝑀为棱𝐵1𝐶1上的动点，

𝑁为线段𝐴𝑀上的动点，且𝑀𝑁𝑀𝑂=𝑀𝑂𝑀𝐴，则线段𝑀𝑁长度的最小值为（）A．2B．√3C．3√32D．√62二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目

要求的。若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。）9．以下四个命题为真命题的是（）A．过点(−10,10)且在𝑥轴上的截距是在𝑦轴上截距的4倍的直线的方程为𝑦=−14𝑥+152B．直线𝑥cos𝜃+√3𝑦+2=0(𝜃∈𝑅)的倾斜角的范围是[0

,π6]∪[5π6,π)C．已知𝐵(4,−1)，𝐶(4,6)，则𝐵𝐶边的中垂线所在的直线的方程为2𝑦−5=0D．直线𝑥+2𝑦−3=0关于𝐴(1,0)对称的直线方程为𝑥+2𝑦+1=010．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一

个命题：平面内与两定点的距离的比为常数𝑘（𝑘>0且𝑘≠1）的点的轨迹为圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知𝑂(0,0)，𝐴(3,0)，圆𝐶:(𝑥−2)2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)上有且只有一个点𝑃满足|𝑃𝐴|=

2|𝑃𝑂|，则𝑟的取值可以是（）A．1B．4C．3D．511．已知正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为3，E，F分别为棱𝐵𝐶,𝐶𝐷上的动点.若直线𝐶𝐶1与平面𝐸𝐹𝐶1所成角为𝜋6，则下列

说法正确的是（）A．任意点E，F，二面角𝐶1−𝐸𝐹−𝐶的大小为π3B．任意点E，F，点C到面𝐸𝐹𝐶1的距离为32C．存在点E，F，使得直线𝐶1𝐸与𝐴𝐷所成角为π3D．存在点E，F，使得线段𝐸𝐹长度为2√3三、填空题（本大题共3小题，每小题5

分，共15分。）12．已知点𝐴(2,3)到直线𝑙1:𝑘𝑥−𝑦+2=0和直线𝑙2:𝑥+𝑘𝑦+1=0的距离相等，则𝑘=．13.如图，在棱长为1的正方体𝐴𝐶1中，点𝑃,𝑄分别是棱𝐴𝐷，𝐴1𝐵

1上的动点.若异面直线𝐵𝐷1和𝑃𝑄互相垂直，则𝐴𝑃+𝐴1𝑄=_______.14.已知实数x1,x2,y1,y2满足𝑥12+𝑦12=1，𝑥22+𝑦22=1，𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=12，则|𝑥1+𝑦1−

2|√2+|𝑥2+𝑦2−2|√2的最大值为．四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．（本小题满分13分）已知△ABC的顶点A（0，4），B（2，0），C（﹣5

，m），线段AB的中点为D，且CD⊥AB．（1）求m的值；（2）求BC边上的中线所在直线的方程．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝AD＝2，𝐵𝐷=2√2，B

C＝4．（1）证明：A1B1⊥AD1；（2）若AA1＝2，求点B到平面B1CD1的距离．CDBC1AD1B1A1PQ17．（本小题满分15分）已知圆O：x2+y2＝1，直线l：x+（m﹣3）y﹣m＝0（m∈R）．（1）若直线

l与圆O相切，求m的值；（2）当m＝4时，已知P为直线l上的动点，过P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当切线长（点𝑃到切点的距离）最短时，求弦AB所在直线的方程．18．（本小题满分17分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面

ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，𝐶𝐷=𝐴𝐷=12𝐴𝐵=1，∠PAD＝45°，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足CG⊥BD．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值；（3）在线段PA上是否存在点H，使得GH与平面PGC所成角的正弦值是√33，若存在

，求出AH的长；若不存在，请说明理由．19.（本小题满分17分）一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.（1）已知∆𝐴𝐵𝐶为直角边为1的等腰直角三角

形，其中𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，求分别以∆𝐴𝐵𝐶三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；（2）已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和∆𝐴𝐶𝐵1外接圆构成的几何系统的区径；（3）已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，

求正方形𝐴𝐵𝐶𝐷内切圆和正方形𝐴𝐷𝐷1𝐴1内切圆构成的几何系统的区径.郑州外国语学校2024-2025学年高二上期月考1数学参考答案五、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）1-8：ACBCCDDD六、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。）9.BCD1

0.AD11.ABD七、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）12.−4或−2513.114.2√2+√3八、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．（本小题满分13分）解：（1）因为A（0，4），B（2，0），所以

D的坐标为（1，2），因为CD⊥AB，所以𝑚−2−5−1×4−00−2=−1，解得m＝﹣1．……………………………………6分（2）设线段BC的中点为E，由（1）知C（﹣5，﹣1），则𝐸(−32，−12)，所以𝑘𝐴𝐸=4+120+32=3，所以直线AE的

方程为y﹣4＝3（x﹣0），化简得3x﹣y+4＝0，即BC边上的中线所在直线的方程为3x﹣y+4＝0．……………………………13分16．（本小题满分15分）【解答】（1）证明：因为AB＝AD＝2，𝐵𝐷=2√2，所以AB2+AD2＝8＝BD2，所以AB⊥AD，因为ABCD﹣A1B1C1D1为直

四棱往，所以A1A⊥AB，因为A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂面ADD1A1，所以AB⊥面ADD1A1，因为A1B1∥AB，所以A1B1⊥面ADD1A1，因为AD1⊂面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1．……………………………………7分（2）解：由（1）及题意知，AB，AD，A1A两

两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB＝AD＝2，𝐵𝐷=2√2，BC＝4，A1A＝2．所以A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（2，4，0），D1（0，2，2），D（0，2，0），所

以𝐶𝐵1→=(0，−4，2)，𝐶𝐷1→=(−2，−2，2)，𝐵𝐶→=(0，4，0)，………9分设平面B1CD1的一个法向量为𝑛→=(𝑥，𝑦，𝑧)，则{𝑛→⋅𝐶𝐵1→=0𝑛→⋅𝐶𝐷1→=0，即{−4𝑦+2𝑧=0−2𝑥

−2𝑦+2𝑧=0，令y＝1，解得x＝1，z＝2，∴𝑛→=(1，1，2)，……………………………………12分所以点B到平面B1CD1的距离为𝑑=|𝐵𝐶→⋅𝑛→||𝑛→|=4√6=2√63．…………………15分17．（本小题满分15分

）【解答】解：（1）设圆心O到直线l的距离为d，因为直线l与圆O相切，所以𝑑=|𝑚|√1+(𝑚−3)2=1，解得𝑚=53；……………………………………4分（2）当m＝4时，直线l：x+y﹣4＝0，连接OA，OB，则OA⊥AP，OB⊥BP，所以O，A，P，B四点共圆，切线长|𝐴𝑃|=

√|𝑂𝑃|2−|𝑂𝐴|2=√|𝑂𝑃|2−1，故|AP|最短当且仅当|OP|最短，即OP⊥l时最短，……………………………8分因为|𝑂𝑃|≥4√2，所以|AP|≥√162−1=√7，此时kOP＝1，所以lOP：y＝x，联立{𝑦=𝑥𝑥+𝑦−4=

0，得P（2，2），……………………………………11分故以OP为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣2）＝0，即x2+y2﹣2x﹣2y＝0，因为弦AB即圆O与上述圆的公共弦，将两圆方程相减可得2x+2y﹣1＝0，所以弦AB所在直线方程

为2x+2y﹣1＝0．……………………………………15分18．（本小题满分17分）【解答】（1）证明：取𝑃𝐵中点𝐹，连接𝐸𝐹,𝐶𝐹.∆𝑃𝐴𝐵中，𝐸𝐹//𝐴𝐵，且𝐸𝐹=12𝐴

𝐵，又𝐶𝐷//𝐴𝐵，且𝐶𝐷=12𝐴𝐵，所以𝐸𝐹//𝐶𝐷，且𝐸𝐹=𝐶𝐷，即四边形𝐸𝐹𝐶𝐷为平行四边形，所以𝐷𝐸//𝐶𝐹，又𝐶𝐹⊂面𝑃𝐵𝐶，𝐷𝐸⊄面𝑃𝐵𝐶，所以DE∥平面PBC.……………………………………4分（2）因

为PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，由题意CD＝AD=12AB＝1，而∠PAD＝45°，又∠PDA＝90°，于是PD＝DA＝1，故D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1），所以𝐵𝐶→=(−

1，−1，0)，𝐶𝑃→=(0，−1，1)，设平面PBC的法向量为𝑚→=(𝑥，𝑦，𝑧)，则{𝑚→⋅𝐵𝐶→=0𝑚→⋅𝐶𝑃→=0，即{−𝑥−𝑦=0−𝑦+𝑧=0，令y＝1，则x＝﹣1，z＝1，∴𝑚→

=(−1，1，1)，设点G坐标为（1，t，0），则𝐶𝐺→=(1，𝑡−1，0)，𝐷𝐵→=(1，2，0)，由CG⊥BD得𝐶𝐺→⋅𝐷𝐵→=1+2(𝑡−1)=0⇒𝑡=12，∴𝐺(1，12，0)，设平面GPC的法向量为𝑛→=(𝑎，𝑏，

𝑐)，𝐶𝐺→=(1，−12，0)，由{𝑛→⋅𝐶𝑃→=0𝑛→⋅𝐶𝐺→=0得{−𝑏+𝑐=0𝑎−12𝑏=0，令a＝1，则𝑛→=(1，2，2)，则𝑐𝑜𝑠〈𝑚→，𝑛→〉=𝑚→⋅𝑛→|𝑚→|×|𝑛

→|=33√3=√33，所以平面GPC与平面PBC夹角的余弦值为√33．………………………………10分（3）𝐴𝑃→=(−1，0，1)，设𝐴𝐻→=𝜆𝐴𝑃→=(−𝜆，0，𝜆)，λ∈[0，1]，

𝐺𝐴→=(0，−12，0)，∴𝐺𝐻→=𝐺𝐴→+𝐴𝐻→=(−𝜆，−12，𝜆)，∴𝑐𝑜𝑠＜𝐺𝐻→，𝑛→＞=𝐺𝐻→⋅𝑛→|𝐺𝐻→||𝑛→|=2𝜆−23√(8𝜆2+1)，∵GH与平面PGC所成角的正弦值为√33，∴|2𝜆−23√8𝜆2+1|=√33，整理

得：20λ2+8λ﹣1＝0，解得：𝜆=110，𝜆=−12（舍），∴存在满足条件的点H，𝐴𝐻→=(−110，0，110)，且𝐴𝐻=√210．…………………………17分19.（本小题满分17分）解：（1）如图，若几何系

统中的两点分别在两圆上，不妨设其中一点𝑁在⊙𝐷上.若另一点𝑀在⊙𝐸上，则|𝑀𝑁|≤|𝑀𝐸|+|𝐸𝐷|+|𝐷𝑁|=1+√22，当𝑀,𝐸,𝐷,𝑁共线时取到等号；若另一点𝑀在⊙𝐹上，则|𝑀𝑁|

≤|𝑀𝐹|+|𝐹𝐷|+|𝐷𝑁|=1+√22，当𝑀,𝐹,𝐷,𝑁共线时取到等号；若两点在同一圆上，则最大距离为⊙𝐸直径，即√2.DFECABMN综上，该几何系统的区径为1+√22.……………………………………4分（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的

中心，容易求得棱切球的半径为2．因为∆𝐴𝐵1𝐶为正三角形，记它的外接圆圆心为1O，易知其半径为2√63.又|𝑂𝑂1|=√33，则球心O到∆𝐴𝐵1𝐶的外接圆上任意一点的距离均为3，圆1O与球O的位置关系如图：若两点分别在球上和圆上，设点𝑀在球𝑂上，点�

�在⊙𝑂1上，则有|𝑂𝑀|=√2，|𝑂𝑁|=√3.所以|𝑀𝑁|≤|𝑂𝑀|+|𝑂𝑁|=√2+√3，当M,O,N三点共线，且M,N在O的异侧时取到等号.若两点同时在球上或圆上，则最大距离为⊙𝑂1的直径，即4

√63.综上，该几何系统的区径为4√63.……………………………………10分（3）如图以𝐷为原点建立空间直角坐标系，在𝑥𝐷𝑦平面上，⊙𝑂1的方程为(𝑥−1)2+(𝑦−1)2=1；在𝑥𝐷𝑧平面上，⊙𝑂2的方程为(𝑥−1)2+(𝑧−1)2=1.若两点分别在两圆

上，设点𝑀在⊙𝑂1上，点𝑁在⊙𝑂2上，且𝑀(1+cos𝛼,1+sin𝛼,0),𝑁(1+cos𝛽,0,1+sin𝛽).则xyzO2O1CBADD1C1A1B1NM|𝑀𝑁|2=(cos𝛼−cos𝛽)2+(1+sin𝛼)2+(1+sin𝛽

)2=4+2(sin𝛼+sin𝛽−cos𝛼cos𝛽)=4+2(sin𝛼+√1+cos2𝛼sin(𝛽−𝜑)≤4+2(sin𝛼+√1+cos2𝛼)≤4+2√2(sin2𝛼+1+cos2𝛼)=8即|𝑀

𝑁|≤2√2，等号成立当且仅当𝛼=𝛽=𝜋2.若两点在同一个圆上，则最大距离为⊙𝑂1的直径，即2.综上，该几何系统的区径为2√2.……………………………………17分