【文档说明】【精准解析】河北省保定市易县中学2020届高三模拟数学（文）试题.doc，共(20)页，1.716 MB，由小赞的店铺上传

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文科数学一、选择题1.已知集合20xAxx−=，3Bxx=，则AB=（）A.0xxB.3xxC.23xxD.23xx或0x【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式得0Axx=或2x，再根据

集合运算即可.【详解】因为0Axx=或2x，3Bxx=，所以23ABxx=或0x．故选：D.【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合运算，是基础题.2.若复数()1ni+为实数，则正整数n的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意可

知n只能为偶数，分别计算()()241,1++ii比较即可.【详解】因为()212ii+=，()()42124ii+==−，所以正整数n的最小值为4．故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属基础题.3.已知双曲线()2221016xybb−=

的渐近线方程为34yx=?，则该双曲线的焦距为（）A.4B.5C.8D.10【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的方程和双曲线的渐近线方程得3,44baa==，再根据222cab=+计算即可解决.【详解】设双曲线222116xyb−=的半焦

距为c，由双曲线222116xyb−=的渐近线方程为34yx=?，可得344b=，所以3b=，5c=．所以双曲线的焦距为10．故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程及性质，是基础题.4.某地自2021年起，

新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着物理、历史二选一的问题．该地A，B，C三个学校高一的人数及高一学生选择物理的情况分别如图（1）和图（2）所示．为了解该地这三个学校学生选课的原因，当地政府决定采用分层抽样的方法抽取20%的学生进行调查，则C学校抽

取的选择物理的学生人数为（）A.40B.30C.20D.10【答案】C【解析】【分析】由题知抽取的C学校人数为20020%，其中选择物理的学生占比50%，即可求解.【详解】由题意得，抽取的C学校人数为2

0020%，其中选择物理的学生占比50%，故C学校抽取的选择物理的学生人数为20050%20%20=人．故选：C.【点睛】本题考查分层抽样，是基础题.5.若圆台的母线与高的夹角为6，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（）A.233B.2C.22D.23【

答案】D【解析】【分析】直接计算tan6Rrh−=即可【详解】设上、下底面半径分别为R，r，圆台高为h，由题可知：tan6Rrh−=，即233h=，所以23h=．故选：D【点睛】本题考查圆台的几何特征，属基础题.6.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.16B.48C.96D.12

8【答案】B【解析】【分析】列出每一次循环，直到计数变量i满足3i退出循环.【详解】第一次循环：12(11)4,2Si=+==；第二次循环：242(12)16,3Si=++==；第三次循环：3162(13)48,4Si=++

==，退出循环，输出的S为48.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.7.函数()()2cosln1fxxxx=+−在[1,1]−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由()()fxfx−=−可排除选项C、D；再由(1)0

f可排除选项A.【详解】因为()()2cos()ln()1fxxxx=−=−−++()2cosln1xxx++221coslncosln(1)()1xxxxfxxx==−+−=−+−，故()fx为奇函数，排除C、D；又(1)cos1ln(21)0f=−，排除A.

故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.8.若x，y满足约束条件25,22,7,xyyxx−−，则zxy=+的最大值为（）A.21B.16C.13

D.11【答案】B【解析】【分析】首先画出可行域，确定最优点，并求最大值.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,xyx−==解得()7,9A．观察可知，当直线yxz=−

+过点()7,9A时，z有最大值16．故选：B【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.9.已知函数()()23sincos12sin2fxxxx=+−，则有关函数()fx的说法正确的是（）A.()fx的图象关于点,06对称B.()fx的最小正周期为C.(

)fx的图象关于直线6x=对称D.()fx的最大值为3【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简函数得()sin23fxx=+，再根据函数性质求解即可.【详解】由题可知()13sin2cos2sin2223fxxxx

=+=+．令2,3xkk+=Z，可得126xk=−．当6x=时，2233x+=，故函数()fx的图象不关于点,06对称，也不关于直线6x=对称，故A，C错误；函数()fx的最小正周期22T==，故B正确；函数()fx的最大值为1，故D错误；故

选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，是中档题.10.若角0,2απ，0,4，2sincossin22=−，3sin5=，则cos=（）A.255B.45C.155D.22【答案】A【解析】【分析】逆用两角差的正弦公式化简所给

等式可推出、之间的关系，再利用二倍角的余弦公式可求得2cos，根据的范围即可确定cos的值.【详解】由题意可得sinsin42=−．∵0,424−，0,4，∴42−=，则22=

−，∴3cos2cossin25=−==，又23cos22cos15=−=，解得24cos5=，又0,4，∴25cos5=．故选：A【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，属于中档题.1

1.已知m，n是函数()()32103fxxxaxa=−+的两个极值点，则41mn+的最小值为（）A.92B.9C.5D.52【答案】A【解析】【分析】计算()22fxxxa=−+，可得2mn+=，且0m，0n，

然后结合基本不等式计算可得结果.【详解】由题可知()()220fxxxaa=−+．因m，n为函数()fx的两个极值点，所以2mn+=，0=mna，故0m，0n，又440=−a，则且01a所以()

411411495222mnmnmnmnnm+=++=++，当且仅当4mnnm=，即43m=，23n=时取得最小值92．此时89amn==，符合条件．故选：A【点睛】本题考查函

数的极值点的性质以及利用基本不等式求最值，属基础题.12.已知函数()()()2ln122fxxxaxe=−+−，若()0,x+，()0fx恒成立，则实数a的值为（）A.22eB.eC.22e−D.222ee−【答案】C【解析】【分析】根据题意画出()gx和()h

x的大致图象，观察可知，若()0,x+，()0fx恒成立，则函数()gx和()hx在()0,+上有共同的零点，求解即可.【详解】令()()ln10gxxx=−，()()2220hxxaxex=+−，画出()gx和()hx的大致图象，如图所示．观察可知，若()0,x+

，()0fx恒成立，则函数()gx和()hx在()0,+上有共同的零点，因为函数()gx的零点为e，所以当函数()gx和()hx有共同的零点e时，()0fx恒成立，于是2220eaee+−=，解得22ae=−．故选：C.【点睛】本题考查不等式恒成立问题

，是中档题.二、填空题：13.已知向量()3,2a=−，()1,1b=−．若()aba+⊥，则实数的值为__________．【答案】135【解析】【分析】先计算出ab+，再根据向量垂直时数量积为零求解即可.【详解】由题意知()3,2ab+=−+−．若()aba+⊥，则()

()()33220aba+=−−++−=，解得135=．故答案为：135.【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的坐标表示，是中档题.14.设nS是正项等比数列na的前n项和，422nnnSSS+++=，则na的公比q=_________．【答案】1【解析】【分析】将422nnnS

SS+++=变形为422nnnnSSSS+++−=−，再利用等比数列性质求解即可.【详解】由422nnnSSS+++=，得422nnnnSSSS+++−=−，即3412nnnnaaaa+++++=+，所以()21212nn

nnaaqaa+++++=+，因为na是正项等比数列，所以120nnaa+++，0q，所以1q=．故答案为：1.【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及等比数列的性质，是基础题.15.在ABC中，6AB=，4AC=，BC边上的中线19AD

=，则ABC的面积为_________．【答案】63【解析】【分析】利用coscosADBADC=−，直接根据余弦定理以及面积公式计算即可.【详解】设BDCDx==，利用coscosADBADC=−，可得2222196194219219xxxx+−+−=

−，解得7x=或7x=−（舍）所以27BC=，10cos2197ADC=，123sin2197ADC=．所以11231973322197ADCS==△．所以263ABCADCSS=

=△△．故答案为：63【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系，着重考查计算，属基础题.16.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线与C交于A，B两点，AAl⊥，BBl⊥，垂足分别为A，B，若23AF=，2BF=，则p=___

_____．【答案】3【解析】【分析】根据抛物线的性质可知AAFAFA=，FBBBFD=，进一步可知90AFB=，然后使用勾股定理可得AB，最后利用等面积法可求得p【详解】如图，设C的准线l与x轴的交点为D．由抛物线的性质知，AAAF=，BFBB=，因为AABBx

∥∥轴，所以AAFAFD=，FBBBFD=，所以90AFBAAFBBF=+=．在RtAFB△中，由勾股定理得224ABAFBF=+=，所以AFBFFDAB=，所以3pFD==．故答案为：3【点睛】本题考查拋物线的性质和直线与抛

物线的位置关系，本题关键得到90AFB=，属中档题.三、解答题：（一）必考题：17.已知等差数列na的前n项和为nS，且56a=，3914aa+=．（Ⅰ）求na、nS；（Ⅱ）设1nnSnb=−，nb的前n项和为n

T，若nTm恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）1nan=+．()32nnnS+=；（Ⅱ）)2,+.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，根据题意得出关于1a和d的方程组，解出这两个量的值，即可得出na和nS；（Ⅱ）求

得1121nbnn=−+，利用裂项相消法求得nT，可得出2nT，由此可求得实数m的取值范围.【详解】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d．由题意可得513914621014aadaaad=+=

+=+=，解得121ad==，所以()111naandn=+−=+，()()1322nnnaannS++==；（Ⅱ）由1nnSnb=−，得()1211211nnbSnnnnn===−−++．所以1211111221222311nnTbbbn

nn=+++=−+−++−=−++．因为*nN，所以2nT，若nTm恒成立，需2m．故m的取值范围为)2,+．【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式的求解，同时也考查了利用数列不等式恒成立求参数，考查裂项相消法的应用，考查计算能力，属于基础题.18.如图，

在四棱锥PABCD−中，O是边长为4的正方形ABCD的中心，PO⊥平面ABCD，M，E分别为AB，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBD；（Ⅱ）若3PE=，求点B到平面PEM的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）707

.【解析】【分析】（1）先证明AC⊥平面PBD，再证明平面PAC⊥平面PBD；（2）利用几何关系和等体积法求解即可.【详解】（Ⅰ）因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD⊥．因为PO⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以ACPO⊥．因为OP平面PBD，BD平面PBD，且OPBDO=，所以AC⊥平面PBD．所以平面PAC⊥平面PBD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OP为点P到平面BME的高．所以13BPEMPBEMBEMVVSOP−−==△．连接OE．因为PO⊥平面ABCD，OE

平面ABCD，所以POOE⊥．因为2OE=，3PE=，所以5OP=．又因OAOBOCOD===，所以PAPBPCPD===．在PEM△中，3PEPM==，1222MEAC==，所以()2212232142PEMS=−=△．设点B到平面PEM的距离为h，由111

12522533323BPEMPEMPBEMBEMVShVSOP−−=====△△，得142533h=，所以707h=．所以点B到平面PEM的距离为707．【点睛】本题考查空间几何体的线面关系以及等体积法求点到平面的距离，是中档题.19.某动漫影视制作公司长期坚持文化自

信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y关于年份代号x的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性

相关):年份2013201420152016201720182019年份代号x1234567年利润y(单位:亿元)29333644485259（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2020年(年份代号记为8)的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由()I中线性回归

方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A级利润年，否则称为B级利润年.将()I中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2015年至2020年这6年中随机抽取2年，求恰有1年为A级利润年的概率.参考公式:()()()121,

niiiniixxyybaybxxx==−−==−−【答案】（Ⅰ）523yx=+，63亿元；（Ⅱ）815P=.【解析】【分析】（I）按照公式()()()121,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−计算即可；（II）被评为A级利润年的有2年，分别记为12,AA，评为B级利

润年的有4年，分别记为1234,,,BBBB，采用枚举法列出从2015至2020年中随机抽取2年的总的情况以及恰有一年为A级利润年的情况，再利用古典概型的概率计算公式计算即可.【详解】()I根据表中数据，计算可得()()714,4

3,140iiixyxxyy===−−=又()27128iixx=−=()()()712715iiiiixxyybxx==−−==−aybx=−435423a=−=y关于x的线性回归方程为523yx=+.将代8x=入，582363y=+=(亿元).该公司2020年的

年利润的预测值为63亿元.()II由()I可知2015年至2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元)，其中实际利润大于相应估计值的有2年.故这6年中，被评为A级利润年的有2年，分别记为12,A

A；评为B级利润年的有4年，分别记为1234,,,BBBB从2015至2020年中随机抽取2年，总的情况分别为:121112131421222324121314,,,,,,,,,,,AAABABABABABA

BABABBBBBBB232434,,BBBBBB，共计15种情况.其中恰有一年为A级利润年的情况分别为:1112131421,,,,ABABABABAB，222324,,ABABAB共有8种情况.记

“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取2年，恰有一年为A级利润年”的概率为P，故所求概率815P=【点睛】本题考查线性回归方程的应用及古典概型的概率计算问题，考查学生运算求解能力，是一道容易题.20.椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，过点

1F且斜率为k的直线l与椭圆C相交于,MN两点.已知当24k=时，212MFFF⊥，且12MFF的面积为22.(1)求椭圆C的方程；(2)当1k=时，求过点,MN且圆心在x轴上的圆的方程.【答案】(1)2218

4xy+=；(2)22240()39xy++=.【解析】【分析】(1)由当24k=时，212MFFF⊥，且12MFF的面积为22，得到22121221,2242MFMFFFFF==，进而求出22,2bca==，求解即可得到a，

b，从而可得椭圆方程；(2)当1k=时，:2lyx=+，代入椭圆方程，求出点,MN坐标，进而可得线段MN的中垂线方程，从而可求出所求圆心和半径，得到所求圆的方程.【详解】(1)由已知得：当24k=时，22121221,2242MFMFFFFF==，此时1224,2

FFMF==，所以222,24222bcaaaa==−==，2b=，所以椭圆C的方程为22184xy+=.(2)当1k=时，:2lyx=+，代入椭圆C的方程得：2380xx+=，所以10x=，283x=−，所以()820,2,,33MN−−，线段MN的中点坐标42,33−

，线段MN的中垂线方程为2433yx−=−+，令203yx==−，即圆心坐标为2,03−，所以半径22240239r=+=，因此所求圆的方程为：2224039xy++=.【点睛】本题考查

了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，通常需要联立直线与椭圆方程，结合题中条件求解，属于常考题型.21.已知函数()21ln12fxxx=−+.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）设()21ln2gxx

axx=−+，证明：曲线()ygx=没有经过坐标原点的切线.【答案】（1）在()0,1单调递减，在()1,+单调递增；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得导函数,根据导函数的符号即可判断单调区间.（2）先讨论过原点的切线斜率是否存在.当斜率不存在时,

切线为y轴,分析可知不成立.当斜率存在时,可设出切线方程和切点坐标.建立方程组,判断方程组无解,即可证明不存在这样的切线.【详解】（1）()fx定义域为()0,+,()()()111'xxfxxxx+−=−=

.当01x时,()'0fx,当1x时,()'0fx.所以()fx在()0,1单调递减,在()1,+单调递增.（2）因为()gx定义域为()0,+,所以y轴不是曲线()ygx=的切线.当经过坐标原点的直线不是y轴时,设ykx=是曲线()ygx=的切线,切点是()00,xy.因为

()21'gxxax=−+,所以20000001ln21xaxxkxxakx−+=−+=.消去k得2001ln102xx−+=,即()00fx=.由（1）知()fx在1x=处取得最小值,则()()0132fxf=,所以()00fx=无解.因此曲线()yg

x=没有经过坐标原点的切线.【点睛】本题考查根据导函数判断函数的单调区间,利用导数研究曲线的切线方程,利用导数研究不等式成立问题,属于中档题.（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为22sin2sin

=+−，直线l的极坐标方程为()cossin1−=，设l与C交于A、B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E、F.以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.（1）求C的直角坐标方程

与点M的直角坐标；（2）求证：MAMBMEMF=.【答案】（1）22:12xCy+=，21,33M−；（2）见解析.【解析】【分析】（1）将曲线C的极坐标方程变形为()22sin2

+=，再由222sinxyy=+=可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的方程与曲线C的方程联立，求出点A、B的坐标，即可得出线段AB的中点M的坐标；（2）求得223MAMB==，写出直线EF的参数方程，将直线EF的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用韦达定理求得MEMF

的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线C的极坐标方程可化为()222sin=−，即()22sin2+=，将222sinxyy=+=代入曲线C的方程得2222xy+=，所以，曲线C的直角坐标方程为22:12xCy+=.将直线

l的极坐标方程化为普通方程得1xy−=，联立22112xyxy−=+=，得01xy==−或4313xy==，则点()0,1A−、41,33B，因此，线段AB的中点为

21,33M−；（2）由（1）得223MAMB==，89MAMB=，易知AB的垂直平分线EF的参数方程为22321232xtyt=−=−+（t为参数），代入C的普通方程得234240233tt−−=，483392MEMF−==，因此，

MAMBMEMF=.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1||2|fxxx=+−−.（1）求不等式()1fx的解集；（2）记()fx的最大值为m，

且正实数a，b满足1122mabab+=++，求ab+的最小值.【答案】（1）[1,)+；（2）49．【解析】【分析】（1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m，用凑配法得出可用基

本不等式的形式，求得最值．【详解】（1）当2x时，()1(2)31fxxx=+−−=恒成立，∴2x，当12x−时，()12211fxxxx=++−=−，解得12x，当1x−时，()(1)231fxxx=−++−=−不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+．（

2）由（1）3m=，∴11322abab+=++，∴111[(2)(2)()922ababababab+=++++++122(2)922abababab++=++++122(22)922abababab+++++49=

，当且仅当2222abababab++=++，即29ab==时等号成立，∴+ab的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本

不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．