【文档说明】【精准解析】河北省保定市易县中学2020届高三模拟数学（理）试题.doc，共(21)页，1.896 MB，由小赞的店铺上传

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理科数学一、选择题1.已知集合20xAxx−=，3Bxx=，则AB=（）A.0xxB.3xxC.23xxD.23xx或0x【答案】D【解析】【分析】先解分式

不等式得0Axx=或2x，再根据集合运算即可.【详解】因为0Axx=或2x，3Bxx=，所以23ABxx=或0x．故选：D【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合运算，是基础题.2.若复数()1ni

+为实数，则正整数n的最小值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】【分析】根据题意可知n只能为偶数，分别计算()()241,1++ii比较即可.【详解】因为()212ii+=，()()42124ii+==−，所以正整数n的最小值为4．故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属基础

题.3.已知双曲线()2221016xybb−=的渐近线方程为34yx=?，则该双曲线的焦距为（）A.4B.5C.8D.10【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的方程和双曲线的渐近线方程得3,44baa==，再根据222cab=+计算即可解

决.【详解】设双曲线222116xyb−=的半焦距为c，由双曲线222116xyb−=的渐近线方程为34yx=?，可得344b=，所以3b=，5c=．所以双曲线的焦距为10．故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程及性质，是基础题.4.下图是某市2014年到2020年贫困户的户

数y（单位：万户）与时间t的条形图（时间t的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y关于t的线性回归方程为0.5yta=−+，则a=（）A.2.2B.4.2C.6.2D.6.4【答案】C【解析】【分析】根据条

形图，可求出,xy，由回归直线经过样本点的中心(),xy，可求出a.【详解】本题考查线性回归方程.依题意，得12747t+++==，5.65.24.84.43.43.32.74.27y++++++==，所以4.20.54a

=−+，所以6.2a=.故选：C.【点睛】本题考查回归直线，注意回归直线一定经过样本点的中心(),xy，属于基础题.5.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A.16B.48C.96D.128【答案】B【解析】【分析】列出每一次循环，直到计数变量i满足3i退出循环.【详解】

第一次循环：12(11)4,2Si=+==；第二次循环：242(12)16,3Si=++==；第三次循环：3162(13)48,4Si=++==，退出循环，输出的S为48.故选：B.【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题.6.函数()(

)2cosln1fxxxx=+−在[1,1]−的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由()()fxfx−=−可排除选项C、D；再由(1)0f可排除选项A.【详解】因为()()2c

os()ln()1fxxxx=−=−−++()2cosln1xxx++221coslncosln(1)()1xxxxfxxx==−+−=−+−，故()fx为奇函数，排除C、D；又(1)cos1ln(21)0f=−，排

除A.故选：B.【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.7.若x，y满足约束条件25,22,7,xyyxx−−，则zxy=+的最大值为（）A.21B.16C.13D.11【答案】B【解

析】【分析】首先画出可行域，确定最优点，并求最大值.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,7,xyx−==解得()7,9A．观察可知，当直线yxz=−+过点()7,9A时，z有最大值16．故选：B【点睛】本题考查线性规划，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型

.8.《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（）A.第10日B.第11

日C.第12日D.第60日【答案】A【解析】【分析】先求出良马和驽马日行程的通项公式，列出式子()()1130002nnaanbbn+++=，即可求解.【详解】依题意，可知良马第()*nnN日行程为()15512112143nann=+−=+，同理，可得驽马第()*nnN日行程

为1022nbn=−，令()()1130002nnaanbbn+++=，整理可得2506000nn+−=，所以10n=.故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质以及数学文化.，关键点是对题意的翻译，属于简单题目.9.已知函数()()23sincos

12sin2fxxxx=+−，则有关函数()fx的说法正确的是（）A.()fx的图象关于点,06对称B.()fx的最小正周期为C.()fx的图象关于直线6x=对称D.()fx的最大值为3【答案】B【解析】【分析】先利用三角恒等变换化简函数得

()sin23fxx=+，再根据函数性质求解即可.【详解】由题可知()13sin2cos2sin2223fxxxx=+=+．令2,3xkk+=Z，可得126xk=−．当6x=时，2233x+

=，故函数()fx的图象不关于点,06对称，也不关于直线6x=对称，故A，C错误；函数()fx的最小正周期22T==，故B正确；函数()fx的最大值为1，故D错误；故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质，是中档题.10.已知ABC内接于半径为3的圆，

2BC=，A为圆上的动点，则BCBA的取值范围是（）A.4,4−B.8,9−C.4,8−D.0,12【答案】C【解析】【分析】以BC的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设(),Axy，则3,3x−，求出()21BCBAx=+，即得BCBA的取值范围.【详解】

以BC的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B−，()1,0C.设(),Axy，则3,3x−，所以()2,0BC=uuur，()1,BAxy=+，所以()214,8BCBAx=+−.故选：C.【点睛】本题主要考查坐标法研究平面向量的问题，考查平面

向量的坐标运算和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知点P为抛物线()2:20Cypxp=上异于原点O的动点，F为C的焦点.若2PMMF=，则直线OM的斜率的取值范围是（）A.33,00,22−

B.33,22−C.22,00,22−D.2,2+【答案】C【解析】【分析】设200,2yPyp，以OP、OF为基底表示向量OM即可求得点M的坐标，代入直线

斜率公式求出直线OM的斜率表达式，再利用基本不等式即可求得范围.【详解】设200,2yPyp，显然00y，由题意,02pF，则()2001112,3333633ypyOMOFFMOFFPOFOPOFOPO

Fp=+=+=+−=+=+，可得0200023263OMykypyppyp==++.当00y时，220222OMk=，当且仅当2202yp=时取等号；当00y时，0022202222OMkyppy

=−−=−−−，当且仅当2202yp=时取等号.故22,00,22OMk−.故选：C【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题、向量的线性运算及坐标表示、基本不等式求和的最小

值，属于较难题.12.若函数()ln2xfxxxae=−在1ee,上有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A.20,eeB.21,eeeC.42,eeeD.11,2eee

【答案】D【解析】【分析】由题意可得，()0fx=在1ee,上有两个不同的实数根，等价于1ln2xxae+=在1ee,上有两个不同的实数根，也等价于直线2ya=与1lnxxye+=的图像在1ee,内有两个交点，所以只需利用导数研究函数()1lnx

xgxe+=在1ee,上的极值、最值和单调性，再结合函数图像可得结果.【详解】解：由题意()1ln2xfxxae=+−，令()0fx=，可得1ln2xxae+=.函数()fx在1ee,上有两个极值点，则需()0fx=在1ee,上有两个不同的实数根，等价

于1ln2xxae+=在1ee,上有两个不同的实数根，也等价于直线2ya=与1lnxxye+=的图像在1ee,内有两个交点.令()1lnxxgxe+=，则()11lnxxxgxe−−=.令()11lnhxx

x=−−，可得()hx在区间1ee,上为减函数，且()10h=.所以当11xe时，()0hx，故()0gx，()gx在1,1e上为增函数，当1xe时，()0hx，故()0g

x，()gx在(1,)e上为减函数，所以()()max11gxge==.又10ge=，2()egee=，所以212eaee，所以112eaee.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究函数极值、

单调性，利用了数形结合的思想，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.二、填空题：13.若圆台的母线与高的夹角为6，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.【答案】23【解析】【分析】若设圆台的上、下底面半径分别为R，r，圆台高

为h，则由题意可得，tan6Rrh−=，从而可求出圆台的高.【详解】设上、下底面半径分别为R，r，圆台高为h，根据轴截面可知tan6Rrh−=，即233h=，所以23h=.故答案为：23【点睛】本题考查圆台的几何特征，圆台中的上、下底面半径与高的

关系，属于基础题.14.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________.【答案】1172【解析】【分析】事

件“甲恰好比乙多击中目标1次”可拆成三个互斥事件：甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次，然后可计算概率．【详解】甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2

次三种情形，其概率23223212123333111112112111223223323372PCCCC=++=.故答案为：117

2．【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查互斥事件的概率公式，解题关键是把事件拆成三个互斥事件的和．这样可通过概率公式计算概率．15.设nS是等比数列na的前n项和，422nnnSSS+++=，且12S=，则20192020aa+=_________.【答案】4或0【解析】【分析】

由422nnnSSS+++=，得3412nnnnaaaa+++++=+，从而得()21212nnnnaaqaa+++++=+，然后得120nnaa+++=或210q−=，进而求出公比和通项，即可得结果.【详解】解：设等比数列na的公比为q，由12S=，得12a=，由422nn

nSSS+++=，得422nnnnSSSS+++−=−，即3412nnnnaaaa+++++=+，所以()21212nnnnaaqaa+++++=+.若120nnaa+++=，则1q=−，此时()121nna−=−；若120nnaa+++，则1q=，此时2n

a=.所以20192020224aa+=+=或20192020220aa+=−=.故答案为：4或0【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质，考查了分类思想和计算能力，属于基础题.16.已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体

的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R，r，则Rr的值为________.【答案】23+【解析】【分析】设正四面体棱长为a，大球球心、小球球心分别为1O，2O，取底面BCD的中心为E，连接AE，BE，先作1OGAB⊥，易知1ROG=，再作2OHAB⊥，则2rOH=，可得出13AOR=

，23AOr=，又1212AOAOOO=+，进而得出R和r的关系，最后求出Rr的值即可.【详解】如图所示，设正四面体棱长为a，大球球心、小球球心分别为1O，2O，取底面BCD的中心为E，连接AE，BE，可知1O，

2O都在正四面体的高AE上，因为大球与三条侧棱都相切，作1OGAB⊥，易知1ROG=，又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2OHAB⊥，则2rOH=，因为233323aaBE==，ABa=，所以3sin3BAE=，所以13AOR=，23AOr

=，又1212AOAOOO=+，所以33rrRR++=，所以3142323231Rr++===+−.【点睛】本题考查空间几何体与球的相切问题，考查逻辑思维能力和计算能力，考查空间想象能力，属于常考题.三、解答题：17.在ABC中

，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3cossin3baCC=+.（1）求A；（2）若23a=，2c=，求ABC的面积.【答案】（1）3；（2）23.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化得3sinsincossin3BACC=+，再结合内角和定理与正弦的

和角公式化简得tan3A=，即可解决.（2）结合（1）与余弦定理得4b=，再用面积公式求解即可.【详解】（1）由3cossin3baCC=+，及正弦定理得3sinsincossin3BACC=+.又(

)sinsinBAC=+，所以3sincoscossinsincossinsin3ACACACAC+=+，即3cossinsinsin3ACAC=.因为()0,C，所以sin0C.所以tan3A=.因为()0,A，所以3A=.（2）由（1）知，3A=.由余弦定理得22

221412cos224bcabAbcb+−+−===.所以2280bb−−=.所以4b=.所以ABC的面积113sin4223222SbcA===.【点睛】本题考查利用正余弦定理解解三角形，考查运算能力，是基础题.18.如图，四棱锥PABCD−中，//ABCD，36ABDC==，2BMMP

=.（1）求证：//CM平面PAD；（2）若ADDC⊥，PDPC⊥且PDPC=，平面PCD⊥平面ABCD，1AD=，求直线CM与平面PAB所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）45.【解析】【分析】（1）取线段

PA的靠近P的三等分点为N，连接DN，NM，则12PNPMNAMB==，所以MNAB且13MNAB=，再结合已知可证得四边形MNDC为平行四边形，从而有DNCM∥，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；（2）取CD中点为O，连接O

P，过O作OEAD交AB于E，可证得直线OP，OC，OE两两垂直，所以以O为原点，分别以射线OE，OC，OP的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，然后利用空间向量求直线CM与平面PAB所成的角.【详解】（1）如图，取

线段PA的靠近P的三等分点为N，连接DN，NM.则12PNPMNAMB==，所以MNAB且13MNAB=.又DCAB∥且13DCAB=,所以四边形MNDC为平行四边形.所以DNCM∥.又DN平面PAD，CM平面PAD，所以CM∥平面PAD.（2）如图，取CD

中点为O，连接OP，过O作OEAD交AB于E.因为平面PCD⊥平面ABCD，OPDC⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP⊥平面ABCD.所以直线OP，OC，OE两两垂直，以O为原点，分别以射线OE，OC，OP的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxy

z−.则()1,1,0A−，()1,5,0B，()0,0,1P，()0,1,0C.所以2122,,3333CMCBBMCBBP=+=+=，()0,6,0AB=，()1,1,1AP=−.设平面PAB的法向量为(),,mxyz=，则60,0,0.0ymABxyzmAP==

−++==取1x=，得()1,0,1m=.所以2cos,2CMmCMmCMm==，所以直线CM与平面PAB所成的角为45°.【点睛】此题考查了线面平行的证明，求直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题.19.某精密仪器生产车间每天生产

n个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N（单位：微米m）

，且相互独立．若零件的长度d满足9.710.3mdm，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X，求(2)PX≥及X的数学期望EX；（2）小张某天恰好从50个零件中检

查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．附：若随机变量服从正态分布2(,)N，则5049(33)0.99

87,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P−+===．【答案】（1）见解析（2）需要，见解析【解析】【分析】（1）由零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N且相互独

立,零件的长度d满足9.710.3mdm即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X满足二项分布,利用补集的思想求得()2PX,再根据公式求得EX；（2）由题可得不合格率为250,检查的成本为10n,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即

可判断.【详解】（1）1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003PXPXPXC=−=−==−−=≥,由于X满足二项分布,故0.0013500.065EX==.（2）由题意可知不合格

率为250,若不检查,损失的期望为252()2602020505EYnn=−=−；若检查,成本为10n,由于522()1020102055EYnnnn−=−−=−,当n充分大时,2()102005EYnn−=−,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其

余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20.已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为()11,0F−，C与y轴正半轴交点为A，且13AFO=.（1）求椭圆C的标准方程；（2）

过点A作斜率为1k、()2120kkk的两条直线分别交C于异于点A的两点M、N.证明：当1211kkk=−时，直线MN过定点.【答案】（1）22143xy+=；（2）见解析.【解析】【分析】（1）在1RtAFO中，计算出1AF

的值，可得出a的值，进而可得出b的值，由此可得出椭圆C的标准方程；（2）设点()11,Mxy、()22,Nxy，设直线MN的方程为ykxm=+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212kkkk=+，利用韦达定理和斜率公式化简得出

m与k所满足的关系式，代入直线MN的方程，即可得出直线MN所过定点的坐标.【详解】（1）在1RtAFO中，OAb=，11OFc==，2211AFOAOFa=+=，13AFO=，16OAF=，1122aAFOF===，22

3bac=−=，因此，椭圆C的标准方程为22143xy+=；（2）由题不妨设:MNykxm=+，设点()11,Mxy，()22,Nxy联立22143xyykxm+==+，消去y化简得()2224384120kxkmxm+++−=，且122843kmxxk+=−+，212

241243mxxk−=+，1211kkk=−，1212kkkk=+，121212123333yyyyxxxx−−−−=+，∴代入()1,2iiykxmi=+=，化简得()()()()2212122132330kkxxkmxxmm−+−−++−+=，化简得()()283333k

mm−=−，3m，()8333km=−，8333km=+，直线83:33kMNykx=++，因此，直线MN过定点83,33−.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()ln()(0)xafxe

xaa−=−+.（1）证明：函数()fx在(0,)+上存在唯一的零点；（2）若函数()fx在区间(0,)+上的最小值为1，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】【分析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明

()fx在(0,)+上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x，判断出()fx的单调性，从而()minfx可确定，利用()min1fx=以及1lnyxx=−的单调性，可确定出0,xa之间的关系，从而a的值可求.【

详解】（1）证明：∵()ln()(0)xafxexaa−=−+，∴1()xafxexa−=−+.∵xae−在区间(0,)+上单调递增，1xa+在区间(0,)+上单调递减，∴函数()fx在(0,)+上单调递增.又1(0)aaaaefeaae−−=−=，令()(0)agaaea=−

，()10agae=−，则()ga在(0,)+上单调递减，()(0)1gag=−，故(0)0f.令1ma=+，则1()(1)021fmfaea=+=−+所以函数()fx在(0,)+上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x+，使得

()00010xafxexa−=−=+，即001xaexa−=+（*）.函数1()xafxexa−=−+在(0,)+上单调递增.∴当()00,xx时，()0fx，()fx单调递减；当()0,xx+时，()0fx，()fx单调递增.∴()()0min00()lnxafx

fxexa−==−+.由（*）式得()()min0001()lnfxfxxaxa==−++.∴()001ln1xaxa−+=+，显然01xa+=是方程的解.又∵1lnyxx=−是单调递减函数，方程()001ln1xaxa−+=+有且仅有唯一的解01xa+=，把01xa=

−代入（*）式，得121ae−=，∴12a=，即所求实数a的值为12.【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“

隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22.在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为22sin2sin=+−，直线l的极坐标方程为()cossin1−=，设l与C交于A、B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E

、F.以O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy.（1）求C的直角坐标方程与点M的直角坐标；（2）求证：MAMBMEMF=.【答案】（1）22:12xCy+=，21,33M−；（2）见解析.【解析】【分析】（1

）将曲线C的极坐标方程变形为()22sin2+=，再由222sinxyy=+=可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l的方程与曲线C的方程联立，求出点A、B的坐标，即可得出线段AB的中点M的坐标；（2）求得223MAMB

==，写出直线EF的参数方程，将直线EF的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用韦达定理求得MEMF的值，进而可得出结论.【详解】（1）曲线C的极坐标方程可化为()222sin=−，即()22sin2+=，将222sinxyy=+=

代入曲线C的方程得2222xy+=，所以，曲线C的直角坐标方程为22:12xCy+=.将直线l的极坐标方程化为普通方程得1xy−=，联立22112xyxy−=+=，得01xy==−或4313xy==，则点()0,

1A−、41,33B，因此，线段AB的中点为21,33M−；（2）由（1）得223MAMB==，89MAMB=，易知AB的垂直平分线EF的参数方程为22321232xtyt=−=−+（t为参数），代入C

的普通方程得234240233tt−−=，483392MEMF−==，因此，MAMBMEMF=.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题.23.已知函数()|1||

2|fxxx=+−−.（1）求不等式()1fx的解集；（2）记()fx的最大值为m，且正实数a，b满足1122mabab+=++，求ab+的最小值.【答案】（1）[1,)+；（2）49．【解析】【分析】（

1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；（2）由（1）可得m，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值．【详解】（1）当2x时，()1(2)31fxxx=+−−=恒成立，∴2x，当12x−时，()122

11fxxxx=++−=−，解得12x，当1x−时，()(1)231fxxx=−++−=−不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+．（2）由（1）3m=，∴11322abab+=++

，∴111[(2)(2)()922ababababab+=++++++122(2)922abababab++=++++122(22)922abababab+++++49=，当且仅当2222abab

abab++=++，即29ab==时等号成立，∴+ab的最小值是49．【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定

值，从而求得最值．