【文档说明】北京市第十二中学2024-2025学年高二上学期10月练习数学试题 Word版含解析.docx，共(28)页，1.939 MB，由小赞的店铺上传

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北京十二中2023级高二年级10月练习数学本试卷共4页，满分150分，考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回.第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.过()()0,1,

3,4AB两点的直线的倾斜角为（）A.60−B.60C.120D.150【答案】B【解析】【分析】先根据两点坐标求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.【详解】已知直线经过(0,1)A和(3,4)B两点.根据直线斜率的计算公

式2121yykxx−=−（其中11(,)xy和22(,)xy为直线上两点的坐标），所以4133303ABk−===−,因为直线的斜率tank=（为倾斜角），已知3ABk=，即tan3=.又因为倾斜角0180?，在这个区间内，满足tan3=的60=.故

选：B.2.已知直线l经过点(1,1,2),(0,1,0)AB，平面的一个法向量为(2,0,4)n=−−，则（）A.l∥B.l⊥C.lD.l与相交，但不垂直【答案】B【解析】【分析】根据平面的法向量与直线l的方向

向量的关系即可求解.【详解】因为直线l经过点(1,1,2),(0,1,0)AB，所以(1,0,2)AB=−−，又因为平面的一个法向量为(2,0,4)n=−−，且2nAB=，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行，则l⊥，故选：B.3.如图，平行六面体1111ABCDA

BCD−中，E为BC的中点，ABa=，ADb=，1AAc=，则1DE=（）A.12abc−+B.12abc−−C.32abc++D.1122abc+−【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得.【详解】在平行六面体1111ABC

DABCD−中，E为BC的中点，所以111111122DEDAAAABBEADAAABADabc=+++=−−++=−−.故选：B4.设点()2,3,4A−在xOy平面上的射影为B，则OB等于（）A.29B.5C.25D.13【答案】D【解析】【分析】先得到()2,3,0B，从而求出()2,

3,0OB=，计算出模长.【详解】点()2,3,4A−在xOy平面上的射影为()2,3,0B，()2,3,0OB=，故22223013OB=++=，故选：D5.在以下4个命题中，不正确的命题的个数为（）①若abb

c=，则ac=；②若三个向量,,abc两两共面，则向量,,abc共面；③若,,abc为空间的一个基底，则,,abbcca−++构成空间的另一基底；④()abcabc=.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】利用向

量的数量积、向量共面与向量基底的定义和性质，结合特殊向量法，逐一判断各命题即可得解.【详解】对于①，设0b=，a与c可以为任意向量，因为00aba==，00bcc==，此时abbc=，但a不一定等于c，所以①不正确，对于

②，例如在墙角处的三条交线对应的向量a，b，c，它们两两共面（两两垂直），但是向量a，b，c不共面，所以②不正确，对于③，假设ab−，bc+，ca+共面，则存在实数，使得()()abbcca−=+++，即()ababc−=+++，由{,,}abc为基底，所以a，b，c不共

面，则110==−+=，这个方程组无解，所以ab−，bc+，ca+不共面，{,,}abbcca−++构成空间的另一基底，③正确，对于④，|()|||||abcabc=，而|||||||cos

|abab=（为a与b的夹角），所以|()||||||cos|||||||||abcabcabc=，④不正确，故不正确的有：①②④，共3个.故选：C.6.已知向量,ab，则“()()0abab+−=”是“ab=或ab=−”的（）条件.A.必要而不充分B.充分而不必要C.充分必要

条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合向量的数量积，根据充分必要条件的定义判断．【详解】ab=或ab=−时，0ab+=或0ab−=，则()()0abab+−=，必要性满足，若(1,0),(0,1)ab==，则()()0ab

ab+−=，但ab，即充分性不满足，故题设条件关系为必要不充分条件．故选：A．7.已知PA=（2，1，﹣3），PB=（﹣1，2，3），PC=（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（）A.9B.﹣9C.﹣3D.3【

答案】B【解析】【分析】由已知可得,,PAPBPC共面，根据共面向量的基本定理，即可求解.【详解】由P，A，B，C四点共面，可得,,PAPBPC共面，(2,2,33)(7,6,)xPAyPBxyxyCyPx=+=−+−+=，272633xyxyxy−=+=−+=，解得

419xy===−.故选:B.【点睛】本题考查空间四点共面的充要条件以及平面向量的基本定理，属于基础题.8.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0ABAC=，0ACAD=，0ABAD=uuuruuur，则BCD是（）A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.不确定【答案】A【解析】【分析】根据题意，得到BCACAB=−，BDADAB=−，进而求出20BCBDAB=，根据cosBCBDBBCBD=，即可判断B的大小；利用上述方法求得0DBDC，0CBCD，即可判断C和D的大小，进而可以

判断出三角形的形状.【详解】22(0)()BCBDACABADABACADACABABADABAB=−−=−−+=，cos0BCBDBBCBD=，B为锐角，同理：0DBDC，0

CBCD，D和C都为锐角，∴BCD为锐角三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的加减运算法则与向量数量积的运算，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.9.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇

方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是（）A.14B.12C.22D.32【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求平面QGC的法向量，

用点到平面的距离公式计算即可.【详解】建立空间直角坐标系如图所示：则(0,2,0)C，()1,0,2Q，(0,0,2)G，(1,1,0)A，(1,2,2)QC=−−，(1,0,0),(1,1,0)QGAC=−=−，设平面QGC的法向量

为(,,)nxyz=，则00nQCnQG==，即0220xxyz−=−+−=，则平面QGC的一个法向量为(0,1,1)n=，则点A到平面QGC的距离22nACdn==.故选：C10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面

都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体ABCDEF的棱长为2，M，N分别为棱AD，AC的中点，则直

线BN和FM夹角的余弦值为（）A.56B.116C.216D.156【答案】D【解析】【分析】根据题意得到12BNACAB=−，12FMADAB=−−，然后由向量的数量积公式分别求出,,FMBNFMBN，结合向量的夹角运算公式，即可求解.【详解】如图所示

：由题意，可得12BNANABACAB=−=−，12FMFDDMBADMADAB=+=+=−−，又由正八面体ABCDEF的棱长都是2，且各个面都是等边三角形，在ABD△中，由2,22ABADBD===，可得222ABADBD+=，所以ABAD⊥，所以1122FMBNADAB

ACAB=−−−2111422ADACADABABACAB=−+−+211111522022214422222=−+−+=−−+=；2221124BNACABACACABAB

=−=−+22112222124342=−+=−+=；2221124FMADABADADABAB=−−=++22120210454=++=++=；所以5152cos,653FMBNFMBNF

MBN===，即直线BN和FM夹角的余弦值为156.故选：D.【点睛】关键点点睛：选取适当的基底向量,,ABACAD，由已知条件可以求出它们的模以及两两之间的夹角，所以只需把,FMBN分解，然后由

向量的夹角公式即可求解.11.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点M和N分别是正方形ABCD和11BBCC的中心，点P为正方体表面上及内部的点，若点P满足DPmDAnDMkDN=++，其中,,Rmnk，且1mnk++=，则满足条件的所有点P构成的图形的

面积是（）A.32B.38C.62D.64【答案】A【解析】【分析】由共面定理得出,,,PAMN共面，正方体中得知截面即为1ACB，然后可计算面积．【详解】因为DPmDAnDMkDN=++，1mnk++=，所以,,

,PAMN四点共面，如图，易知过.,AMN截面是正1ACB，则由题意可知满足条件的所有点P构成的图形为正1ACB，正方体棱长为1，则正1ACB边长为2，所以满足条件的所有点P构成的图形的面积为233(2)

42=，故选：A．12.菱形ABCD的边长为4，60A=，E为AB的中点（如图1），将ADEV沿直线DE翻折至ADE处（如图2），连接AB，AC，若四棱锥'AEBCD−的体积为43，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为（）A.312B.232C.314D.234【答案】

A【解析】【分析】由已知可证得DE⊥平面AEB，AE⊥平面BCDE，所以以E为原点，,,EBEDEA所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】连接BD，因为四边形ABCD为菱形，且60A=，

所以ABD△为等边三角形，因为E为AB的中点，所以DEAB⊥，所以,DEEBDEAE⊥⊥，因为EBAEE=，,EBAE平面AEB，所以DE⊥平面AEB，因为菱形ABCD的边长为4，所以4,23,2ABADCDB

CDEAEBE=======，所以直角梯形BCDE的面积为1(24)23632+=，设四棱锥'AEBCD−的高为h，则163433h=，得2h=，所以hAE=，所以AE⊥平面BCDE，所以以E为原点，,,EBEDEA所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标

系，则(0,2,0),(23,4,0),(3,0,1)BCF−−，所以(23,2,0)BC=−，所以31,,0,(3,2,1)22BCcaFBBC==−==−所以3134122,122aac=++==−+=−，所以F到直线BC的距离为()22131842d

aac=−=−=，故选：A第二部分非选择题（共90分）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.13.已知向量(1,2,1),(3,,)abxy=−=,且//ab，则xy+=_________．【答案】-9【解析】【分析】根据//ab，由3121xy==−，

求得,xy即可.【详解】因为向量(1,2,1),(3,,)abxy=−=,且//ab，所以3121xy==−，解得6,3xy=−=−，所以9xy+=−.故答案为：-914.已知i，j，k为空间两两垂直的单位向量，且2aijk=+−，34bijk=−+，

则ab=______.【答案】3−【解析】【分析】根据数量积的运算律计算即可.【详解】()()2222343243243abijkijkijk=+−−+=−−=−−=−rrrrrrrrrrr.故答案为：-3.15.已知()()2,2,3,1,1,2ba=−=−，则向量a在向量b

上的投影向量的坐标为______.【答案】()1,1,2−−【解析】【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】因为()()2,2,3,1,1,2ab=−=−，则向量a在向量b上的投影向量为()()1,1,2·226··1,1,2114114a

bbbb−−−==−−++++.故答案为：()1,1,2−−.16.已知直线l斜率的取值范围是()3,1−，则l的倾斜角的取值范围是______．【答案】20,,43【解析】【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线l斜率的取值范围

是()3,1−，所以当斜率01k时，倾斜角04，当斜率30k−时，倾斜角23，综上倾斜角的取值范围20,,43，故答案为：20,,43【点睛】本题主要考查了直线的斜率，直线的倾

斜角，属于中档题.17.长方体1111ABCDABCD−中，13,4,,,ADAAABEFG===分别是棱111,,CDBCCC的中点，M是该长方体的面ABCD内的一个动点（不包括边界），若直线1DM与平面EFG平行，则11MBMD的最小值为______.【答案】114

【解析】【分析】作出截面EFG，由平行得出M点轨迹是线段AC，建立空间直角坐标系，设出M点坐标，用坐标计算出数量积后，结合二次函数知识得最小值．【详解】解法一：因为,,EFG分别是棱111,,CDBCCC的中点，再分别取111,,ABAAAD

的中点,,HIJ，则过,,EFG三点的截面为六边形EGFHIJ，如图，连接11,,DCCAAD，则1//CDEG，又1CD平面EFG，EG平面EFG，同理//AC平面EFG，而1ACCDC=，1,ACCD平面1ACD，所以平面1//ACD平面EFG，当MAC

时，1DM平面1ACD，从而1//DM平面EFG，所以M点轨迹是线段AC，分别以1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则1(0,0,3)D，1(3,4,3)B，(3,0,0)A，(0,4,0)C，在平面ABCD内，设直线AC方程为134xy+=，即设4(,

4,0)3aMa−，(03)a，则1144(3,,3),(,4,3)33aaMBaMDa=−=−−+，221144252525311(3)(4)99()3393924aaMBMDaaaaa=−−+−++=−+=−+，所以32a=时，11MBMD取得最小值114，故答案为：114．解

法二：如图，分别以AB、AD、1AA方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系可得：()2,3,3E，34,,02F，34,3,2G，()10,3,3D，()14,0,3B，设(),,0Mxy，32,,32EF

=−−，330,,22FG=，()1,3,3DMxy=−−，设平面EFG的法向量(),,nxyz=，则00EFnFGn==，得3230233022xyzyz−−=+=，取1y=，得34x=−，1

y=，1z=−，即3,1,14n=−−.由于直线1DM与平面EFG平行，则10DMn=，得：33304xy−+−+=，即：34yx=.()14,,3MBxy=−−，()1,3,3MDxy=−−，()()()()

2211439439MBMDxxyyxxyy=−−+−−+=−+−+，22239252549944164xxxxxx=−+−+=−+()225112164x=−+，可知：由于()0,4x，当2x=时，11MBMD取得最小值，最小值为114.故答案为：114．

18.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面,1.ABCDPAABG==为PC的中点，M为PBD△内一动点（不与,,PBD三点重合）.给出下列四个结论：①直线BC与PD所成角的大小为π4；②AGBM⊥；③GM的最小值为33；④若22AM=，则点M的轨迹

所围成图形的面积是π6.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据异面直线所成的角即可判断①，根据空间中的垂直关系转化即可证明AG⊥平面PBD，即可求证线线垂直进而判断②，根据点到面的距

离为最小值，利用等体积法即可求解③，根据圆的面积即可判断④.【详解】由于//BCAD，所以PDA即为直线BC与PD所成的角或其补角，由于PA⊥底面,ABCDAD平面ABCD，所以PAAD⊥,又1PAAD==，所以π4PDA=，①正确；由于

PA⊥底面,ABCDCD平面ABCD，所以PACD⊥,又ADCD⊥,,,PAADAPAAD=平面PAD，所以CD⊥平面PAD,取PD中点为N，连接,NANG,由于G为PC的中点，所以//NGCD，所以⊥NG平面PAD，PD平面

PAD，则NGPD⊥，又1PAAD==，PD中点为N，所以PDAN⊥,,,ANNGNANNG=平面ANG，所以PD⊥平面ANG，AG平面ANG，则PDAG⊥,,,ACBDBDPA⊥⊥,,PAACAPAAC=平面PAC，所以BD⊥平面PAC,AG平面PA

C,所以BDAG⊥,,,PDBDDPDBD=平面PBD，所以AG⊥平面PBD,MB平面PBD,所以AGBM⊥，故②正确；当GM⊥平面PBD时，GM最小，设此时点G到平面PBD距离为h，1111111112244312GPBD

DPBGDPBCPDBCPABCDVVVVV−−−−−======,所以11312GPBDPBDVSh−==,由于222PDDBPBADPA===+=，故PBD△为等边三角形，13322222PBDS==,所以131332126GPBDVhh−===，故③错误；由③得点G到平

面PBD的距离为36，不妨设G在平面PBD的投影为H,所以点C到平面PBD的距离为33,的由于AC被BD平分，所以A到平面PBD的距离为33,由②知AG⊥平面PBD，所以,,AHG三点共线，即33AH=，又22AM=，所以2222236236MHAMAH

=−=−=,因此点M的轨迹围成的图形是以点H为圆心，以HM为半径的圆，所以面积为26ππ66=，故④正确.故答案为：①②④【点睛】方法点睛：本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、异面直线所成角和点到面的距离的求解、截面面积的求解问题；求解

点到面的距离的常用方法是采用体积桥的方式，将问题转化为三棱锥高的问题的求解或者利用坐标系，由法向量法求解..三、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.19.已知空间中三点()()()2,0,

2,1,1,2,3,0,3ABC−−−，设,aABbAC==.（1）求()baa+；（2）求向量a与向量b夹角的大小.【答案】（1）1（2）120【解析】【分析】（1）（2）先求出a和b的坐标，再借助坐标运算，数量积和夹角坐标公式分别计算两小问.【小问1

详解】已知(2,0,2)A−，(1,1,2)B−，(3,0,3)−C.(1(2),10,22)(1,1,0)aAB==−−−−−=,(3(2),00,32)(1,0,1)bAC==−−−−−=−,所以(1(1)

,10,01)(0,1,1)ab+=+−++=,则()(1,1,0)(0,1,1)1011011aab+==++=.【小问2详解】根据向量点积公式||||cosabab=，1(1)10011ab=−++=−，222||1102a=++=，222||(1)01

2b=−++=，则11cos2||||22abab−===−，所以120=.20.如图，平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，1190,60,BADDAABAAM===为11AC与11BD的交点.设1,,ABaADbAAc===.（1）用,,a

bc表示BM，并求BM的值；（2）求1BMAC的值.【答案】（1）62（2）2【解析】【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用,,abc表示出BM，再通过向量模的计算公式求出||BM的值；（2）先求出1A

Cuuur，再根据向量数量积的运算规则求出1BMAC的值.【小问1详解】因为平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD的交点，所以M是11AC中点，也是11BD中点，又因为1,,ABaADbAAc===，且平行六面体中11ABABa==，11A

DADb==，那么111122BMBABC=+，因为11BAAAABca=−=−，1111BCBBBCcb=+=+，所以1111()()2222BMcacbbac=−++=−+，2222211111||

()22442BMbacbacabcbca=−+=++−+−，因为90BAD=，所以0ab=，又||||||1abc===，1160DAABAA==，所以11||||cos601122cacbca==

==，2111113||1110442222BM=++−+−=，所以36||22BM==.【小问2详解】因为11ACABADAAabc=++=++，所以111()()22BMACcababc=−+++222111111222222cacbcaabacbabbc=++−−−

+++11111111100222222222=++−−+−++=.21.如图，正方体1111ABCDABCD−棱长为2，点E是棱BC的中点.（1）求证：1//BD平面1DCE；（2）若点F是线段1BD的中点，求直线DF与平面1DCE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）23

【解析】【分析】（1）连接1DC，11DCDCO=，得1//OEBD，则根据线面平行的判定定理即可证明1//BD平面1DCE；（2）利用空间向量法，即可求直线DF与平面1DCE所成角的正弦值.【小问1详解】连接1DC，11DCDCO=，连接OE，,OE分别是1,DCBC的中点，1//

OEBD，又1BD平面1DCE，OE平面1DCE，1//BD平面1DCE；【小问2详解】如图所示，以点D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D，1(0,2,2)C，(1,2,0)E，()1(2

,2,0),0,0,2BD，(1,1,1)F，1(0,2,2)DC=，(1,2,0)DE=，(1,1,1)DF=设(,,)nxyz=为平面1DCE的一个法向量，则100nDCnDE==，22020yzxy+=+=，

令2x=，得(2,1,1)n=−，设直线DF与平面1DCE所成角为，2112sin363DFnDFn−+===，故直线DF与平面1DCE所成角的正弦值为23.22.如图，在四棱锥PABCD−中，PD⊥平面,,90ABCDABCDADC=∥，且22ADCDPDAB====.（1）求证

：AB⊥平面PAD；（2）求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；（3）在棱PB上是否存在点G（G与,PB不重合），使得DG与平面PBC所成角的正弦值为23？若存在，求PGPB的值，若不存在，说明理由.【答案】（1

）证明过程见解析（2）23（3）89【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可；（3）利

用空间向量线面角夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为PD⊥平面,ABCDAB平面ABCD，所以PDAB⊥，又因为,90ABCDADC=∥，所以ADAB⊥，而,,ADPDDADPD=平面PAD，所以AB⊥平面PAD；【小

问2详解】因PD⊥平面,,ABCDADCD平面ABCD，所以,PDCDPDAD⊥⊥，而CDAD⊥，于是建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,1,0,0,2,0DPABC，由（1）可知：AB

⊥平面PAD，所以平面PAD法向量为()0,1,0AB=，设平面PBC的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，()()2,1,2,0,2,2PBPC=−=−，则有()02201,2,22200mPBxyzmyzmPC=+−==−==，设平面PAD与平面PBC夹角为，

22cos31144ABmABm===++；【小问3详解】设()()0,1PGPB=，设(),,Gxyz，于是有()()(),,22,1,22,,22xyzG−=−−，为的()2,,22DG

=−，由（2）可知平面PBC的法向量为()1,2,2m=，假设DG与平面PBC所成角的正弦值为23，则有()2222244228339144422DGmDGm++−===++++−，或0=舍去，即8

9PGPB=.23.学习阅读以下材料，应用所学知识解决下面的问题.类比于二维空间（即平面），向量a可用二元有序数组()12,aa表示，若n维空间向量a用n元有序数组()12,,,naaa表示，记为()12

,,,=naaaa，对于kR，任意()()1212,,,,,,,nnaaaabbbb==，有：①数乘运算：()12,,,nkakakaka=；②加法运算：()1122,,,nnabababab+=+++；③数量积运算：112

2nnabababab=+++；④向量的模：22212=+++naaaa；⑤对于一组向量()1,2,,iaim=，若存在一组不同时为零的实数()1,2,,ikim=使得11220mmkakaka+++=，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关.⑥在n维向量空间中，基底是一组线性无关的向

量12,,,neee，并且在空间中的任意向量都可以由这组基底线性表示，即1122nneee=+++，其中12,,,n是一组实数.设iA是n元集合1,2,,An=的子集，集合iA元素的个数记为iA，若集合组12,,,mAAA同时满足以下2个条件，则称集合组1

2,,,mAAA具有性质P：①iA为奇数，其中1,2,,im=；②ijAA为偶数，其中,1,2,,,ijmij=.（1）当3n=时，集合组12,,,mAAA具有性质P，求m的最大值，并写出相应集合组；（2）当8n=时，集合组12,,,mAAA具有性质P，求m的最大值；（3）iA是

n元集合1,2,,An=的子集，若集合组12,,,mAAA具有性质P，求m的最大值.【答案】（1）3；1232,,13AAA===（2）8（3）n【解析】【分析】（1）由条件①②按iA分类讨论，得到最大值的可能情况，举例并验证满足两个条件即可；（2）给出8n=时具有性质P的集合

组：1,2,3,,8，验证分析，再应用反证法，借助向量运算证明9m=时任意集合组不具有性质P，从而得m最大值为8；（3）给出具有性质P的集合组：1,2,3,,n，验证分析，再应用反证法，借助向量运算证明1mn=+时任意集合组不具有性质P，

从而得m最大值为n.【小问1详解】当3n=时，1,2,3A=.集合组12,,,mAAA具有性质P，则iA为奇数，所以1iA=或3.当1iA=时，则iA可能是1,2,3.当3iA=时，则iA可能是1,2,3.若

集合组12,,,mAAA中包含1,2,3，设11,2,3A=，则对于其他集合(1)jAj，要使1jAA为偶数，则jA所有可能集合为,1,2,2,3,1,3，但均不满足jA为奇数.故集合组12,,,mAAA中不包含1,2,3，

具有性质P的集合组中只可能包含1,2,3；若集合组中存在两个集合,ijAA相等，由,,1,2,3,ijAAijij==，则ijiAAA=，则ijiAAA=为奇数，不满足条件②，故集合组12,,,mAAA中任意两个集合不相等，即至多含3个集合1,2,3，

故3m.若集合组为：1,2,3，设1232,,13AAA===，则有①1iA=为奇数，其中1,2,3i=；②0ijAA=为偶数，其中,1,2,3,ijij=；所以集合组123,,AAA具有性质P.综上，m的最大值为3，相应满足条件的集合组为：

1232,,13AAA===.【小问2详解】集合,1,,23,An=.设其子集iA对应向量12(,,,)iiiinaaa=，其中1,0,iikikAakA=，1,2,,kn=.若iA为奇数，则1

nikka=为奇数，即i为奇数，1,2,,in=；又由0001100,111====可知，若ijAA为偶数，则1nijikjkkaa==为偶数，,1,2,,ijn=，且ij.且由条件可知，iA，且,,1,2,,,ijAAijnij=.当8n=时，8,,1

23,,A=.若集合组为：1,2,3,,8，设1283123,,,8,AAAA====，则有①1iA=为奇数，其中1,2,3,,8i=；②0ijAA=为偶数，其中,1,2,3,,8,ijij=；所以集合组2381,,,,AAAA具有性质P，此

时8m=.下面证明当9m=时，任意集合9A，集合组：91,2,3,,8,A不符合题意.设1283123,,,8,AAAA====，则1238(1,0,0,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0,0,0,0),,

(0,0,0,0,0,0,0,1)====.若集合组为：91,2,3,,8,A具有性质P，设集合9A对应向量()9128,,,xxx=，其中128,,,xxx中有奇数个为1，其余为0，且9(1,2,,8)iAAi=；不妨理解为这9个集

合对应8维空间中的9个向量129,,,，且ii为奇数，1,2,,9i=，ij为偶数，,1,2,,9,ijij=.下面用反证法证明1289,,,,AAAA不具有性质P.证明：假设1289,,,,AAAA具有性质P，由9112288xxx

=+++，则91111221881xxx=+++，若11x=时，则111x为奇数，而221881xx++为偶数，则91为奇数，这与ij(),1,2,,

9,ijij=为偶数矛盾，.所以11x，则10x=；同理，由9(2,3,,8)ii=为偶数，可得0ix=(2,3,,8)i=.故()90,0,0,,0=，即9A=，则90A=，这与条件i

A为奇数矛盾.故集合组：91,2,3,,8,A不符合题意.下面证明任意集合组1289,,,,AAAA都不具有性质P.证明：假设存在一个集合组1289,,,,AAAA具有性质P.（i）设集合组中128,,,AAA分别对应8个向量128,,,，若12

8,,,线性无关，则可为8维向量空间的基底，又由iA对应向量12(,,,)iiiinaaa=中1ika=或0，1,2,,kn=，则891iii==，iQ，且i不全为0,1,2,,8i=.即可转化为存在不全为0的9个整数129,,,kkk，使得11228899

0kkkk++++=，且其中向量等式中的整系数129,,,kkk为最简形式（不可再约）.则1112218819910kkkk++++=为偶数，其中11为奇数，22188199

1kkk+++为偶数，若1k为奇数，则111k为奇数，则111221881991kkkk++++为奇数，故这与1112218819910kkkk++++=产生矛盾，所以1k为偶数.同理可得ik

均为偶数，2,3,,9i=.这与9个整系数129,,,kkk不全为0且不可约的最简形式矛盾.因此，若128,,,线性无关，则集合组129,,,AAA不具有性质P；（ii）设集合组中128,,,AAA分别对应8个向量128,,,，若其中128,,,AAA对

应8个向量128,,,线性相关.又由iA对应向量128(,,,)iiiiaaa=中1ika=或0，1,2,,8k=.则存在iQ，且i不全为0,1,2,,8i=，使得810iii==，即存在不全为0的8个整数128,,,ttt，使得

1122880ttt+++=，且其中向量等式中的整系数128,,,ttt为最简形式（不可再约）.则1112218810ttt+++=为偶数，其中11为奇数，221331881ttt+++为偶数，若1t为奇数，则111t为奇数，则111

221881ttt++为奇数，这与1112218810ttt+++=产生矛盾，所以1t为偶数.同理可得it均为偶数，2,3,,8i=.这与8个整系数128,,,ttt不全为0且不可约的最简形式矛盾

.因此，若向量128,,,线性相关，集合组129,,,AAA不具有性质P；由（i）（ii）可知假设错误，故任意集合组129,,,AAA都不具有性质P.综上所述，m最大值为8.【小问3详解】的集合

,1,,23,An=.若集合组为：1,2,3,,n，设123123,,,,nAAAAn====，则有①1iA=为奇数，其中1,2,3,,in=；②0ijAA=为偶数，其中,1,2,3,,,ijnij=；即满足条件①②，所以集合组12

3,,,,nAAAAL具有性质P，此时mn=.下面证明当1mn=+时，任意集合1nA+，集合组：11,2,3,,,nnA+不具有性质P.不妨设123123,,,,nAAAAn====，则123(1,0,0,0

,,0),(0,1,0,0,,0),(0,0,1,0,,0),,(0,0,0,,0,1)n====.若集合组为：11,2,3,,,nnA+具有性质P，1nA+，1(1,2,,)niAAin+=，设集合1

nA+对应向量()112,,,nnxxx+=，其中12,,,nxxx中有k（k为奇数，且1kn）个为1，其余为0；不妨理解为这1n+个集合对应n维空间的1n+个向量121,,,n+，此时ii

为奇数，1,2,,1in=+；且ij为偶数，,1,2,,1,ijnij=+.下面用反证法证明集合组121,,,nAAA+不具有性质P.证明：假设集合组121,,,nAAA+具有性质P，11122nnnxxx+=+++，则111112211nnnxxx

+=+++，若11x=时，则111x奇数，而2211nnxx++为偶数，则11n+为奇数，这与条件ij为偶数，,1,2,,1,ijnij=+矛盾.所以11x，则10x=；同理，由1(2,3,,)niin+=为偶数，可得0ix=(2,3,,)in

=.故()10,0,0,,0n+=，即1nA+=，则10nA+=，这与条件iA为奇数矛盾.为故任意集合组：11,2,3,,,nnA+不具有性质P.下面证明任意集合组121,,,nAAA+不具有性质P.证明：假设存在一个集合

组121,,,,nnAAAA+具有性质P.（i）设集合组中12,,,nAAA分别对应n个向量12,,,n，若12,,,n线性无关，则可为n维向量空间的基底，又由iA对应向量12(,,,)iiiinaaa=中1

ika=或0，1,2,,kn=.则11nniii+==，iQ，且i不全为0,1,2,,in=.即可转化为存在不全为0的1n+个整数121,,,nkkk+，使得1122110nnnnkkkk++++++=，且其

中向量整系数121,,,nkkk+为最简形式（整系数向量等式不可再约）.则11122111110nnnnkkkk++++++=为偶数，其中11为奇数，2211111nnn

nkkk+++++为偶数，若1k为奇数，则111k为奇数，则1112211111nnnnkkkk++++++为奇数，这与11122111110nnnnkkkk++++++=产生矛盾，所以1k为偶数.同理可得ik均

为偶数，2,3,,1in=+.这与1n+个整系数121,,,nkkk+不全为0且不可约的最简形式矛盾.因此，若12,,,n线性无关，则任意集合组121,,,nAAA+不具有性质P；（ii）设集合组中128,,,A

AA分别对应n个向量12,,,n，若其中12,,,nAAA对应n个向量12,,,n线性相关.又由iA对应向量12(,,,)iiiinaaa=中1ika=或0，1,2,,kn=.则存在iQ，且i不全为0,1,

2,,in=，使得10niii==，则存在不全为0的n个整数12,,,nttt，使得11220nnttt+++=，且其中向量等式中的整系数12,,,nttt为最简形式（不可再约）.则11122110nnttt+++=为偶数，其中1

1为奇数，2213311nnttt+++为偶数，若1t为奇数，则111t为奇数，则1112211nnttt++为奇数，这与11122110nnttt++=产生矛盾，故1t为偶数.同理可得

it均为偶数，2,3,,in=.这与n个整系数12,,,nttt不全为0且不可约的最简形式矛盾.因此，若向量12,,,n线性相关，集合组121,,,nAAA+不具有性质P；由（i）（ii）可知假设错误，故任意集合组121,,,nAAA+都不具有性质P.综上所述，m的最大值为n.【点睛】关键

点点睛：解决此题意的关键在于转化化归思想的应用，借助向量的构造将集合问题转化为向量问题解决，如：将iA为奇数条件转化为1nikka=为奇数，即转化为向量i的模i为奇数，1,2,,in=；再如：将集合交集的个数ijAA为偶数，转化为向

量数量积1nijikjkkaa==为偶数，,1,2,,ijn=，且ij.