【文档说明】江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试数学（理）试题含答案.doc，共(10)页，822.000 KB，由小赞的店铺上传

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2021年临川一中高三模拟考试试题理科数学一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．命题“∀x∈R，x2≥0”

的否定为（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∈R，x2＜0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜03．已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是（）A．A∩C＝∅B．A∪C＝CC．B∩C＝BD．A∪B＝C4．已知m，n是两

条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面C．若m⊥α，l∥α，则直线m与n一定垂直D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行5．已知向量，

满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充

要条件D．既不充分也不必要条件7．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且直线x＝﹣（c是双曲线的半焦距）与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝18．《算数书》是我国现存最早的系统性数

学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．用该术可求得圆率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个

底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（）A．B．3C．3D．99．已知ππ3sin()sin()66−=+，则cos2=A．17B．17−C．1113D．1113−10.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼､乐､射､御､书､数”为

弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识竞赛活动,现有六位同学,每位同学准备了六艺”中的一类相关知识,且各不相同,每位同学随机从这六类知识中抽取不同的一项参加回答,则恰有三位同学抽到自己准备的知识的概率为1.1

8A2.15B1.6C1.4D11．已知函数222()131xxfxx=−++.若存在(1,4)m使得不等式2(4)(3)2fmafmm−++成立,则实数a的取值范围是A．(,7)−B．(,7]−C．(,8)−D．(,8]−12．设a

，b∈R，函数f（x）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞0二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．二项式（﹣）6的展开式中，常数

项为．14．已知椭圆C1：＝1与双曲线C2：＝1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，且两曲线在第一象限的交点为P，若PF2⊥F1F2，且a＝2b，则双曲线C2的离心率为．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意的x∈[t，

t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．16．一个组合体上部分是一个半球，下部分是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为V，则当圆柱底面半径r=时，该组合体的表面积最小．二、解答题：共70分

。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，Sn＝an+1+2．（Ⅰ）证明：数列{Sn﹣2}为等比数列，并求出Sn；（Ⅱ）求数列{}的前

n项和Tn．18．如图，在三棱柱111ABCABC−中，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面11AABB，11AAAB=，160AAB=o，O为AB的中点，M为11AC的中点．（1）求证：OM∥平面11BBCC；（2）求二面角11CBAC−−的正弦值．19．在平面直角坐标系xOy中

，已知动点M到定点(2,0)F−的距离与到定直线l：32x=−的距离之比为定值233．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）过点F作互相垂直的两条直线1l，2l，其中1l交动点M的轨迹E于M，N两点，2l交圆D：

22(4)9xy−+=于P，Q两点，点R是P，Q的中点，求△RMN面积的最小值．（第18题图）OMCC1B1BA1A20．某中学的一个高二学生社团打算在开学初组织部分同学打扫校园.该社团通知高二同学自愿报名，由于报名的人数多达50人，于是该社团采用了在报名同学中用抽签的方式

来确定打扫校园的人员名单．抽签方式如下：将50名同学编号，通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，然后再次通过计算机从这50个编号中随机抽取30个编号，两次都被抽取到的同学打扫校园．（1）设该校高二年级报名打扫校园的甲同学的编号被抽取到的次数为Y，求

Y的数学期望；（2）设两次都被抽取到的人数为变量X，则X的可能取值是哪些？其中X取到哪一个值的可能性最大？请说明理由．21．已知实数a≠0，设函数f（x）＝alnx+，x＞0．（Ⅰ）当a＝﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任

意x∈[，+∞）均有f（x）≤，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系

中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣5．（1）解不等式：f（

x）≥|x﹣1|；（2）当m≥﹣1时，函数g（x）＝f（x）+|x﹣m|的图象与x轴围成一个三角形，求实数m的取值范围．2021年临川一中高三模拟考试试题理科数学答案DDCCBBDDBACC13.6014.15.[，+∞）16.3

53V17.【解答】（Ⅰ）证明：由题意，当n＝1时，S1＝a2+2＝×4+2＝4，根据已知条件，Sn＝an+1+2＝（Sn+1﹣Sn）+2，整理，得Sn+1＝3Sn﹣4，两边同时减去2，可得Sn+1﹣2＝3Sn﹣4﹣2＝3（Sn﹣2），∵S1﹣2＝4﹣2＝2，∴数列{Sn﹣2}

是以2为首项，3为公比的等比数列，∴Sn﹣2＝2•3n﹣1，∴Sn＝2•3n﹣1+2，n∈N*．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当n＝1时，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2•3n﹣1+2﹣2•3n﹣2﹣2＝4•3n﹣2，故an＝，∴＝，当n＝

1时，T1＝＝，当n≥2时，Tn＝+++…+＝++•（）1+…++•（）n﹣2＝+＝﹣，∵当n＝1时，T1＝，∴Tn＝﹣，n∈N*．18．（1）证明：取11BC中点E，连接BE，∵11AMCM=，∴1112MEAB=，ME∥11AB，∵三棱柱111ABCABC−，O为AB的中点，∴1112OB

AB=，OB∥11AB，yxzOMCC1B1BA1A∴,OBMEOB=∥ME，∴四边形OMEB为平行四边形，∴OM∥BE．…………………………………………………………………3分∵OM平面11BBCC，BE平面11BBCC，∴OM∥平面11BBCC．…

…………………………………………………5分（2）∵CACB=，AOOB=，∴COAB⊥，∵平面ABC⊥平面11AABB，平面ABCI平面11AABBAB=，CO平面CAB，∴CO⊥平面11AABB，……………………………7分∵11AAAB=，160AAB=

o，∴1AAB为等边三角形，∵AOOB=，∴1OAAB⊥，∴1,,OAOAOC两两垂直，以1,,OAOAOCuuruuuruuur为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，∴(1,0,0)A，1(0,3,0)A，(1,0,0)B−，(0

,0,3)C，1(1,3,3)C−．∴(1,0,3)BC=uuur，1(1,3,0)BA=uuur．设平面1ABC的一个法向量为1111(,,)nxyz=ur，∴11111113030nBCxznBAxy=+==+=

uruuururuuur，，取13x=，得111,1yz=−=−．∴平面1ABC的一个法向量为1(3,1,1)n=−−ur，……………………………9分1(1,3,0)BA=uuur，1(0,3,3)BC=uuur．设平面

11ABC的一个法向量2222(,,)nxyz=uur，2122212230330nBAxynBCyz=+==+=uuruuuruuruuur，，取21y=，得223,1xz=−=−．∴平面11ABC的一个法向量为2(3

,1,1)n=−−uur，……………………………11分∴1212123113cos,5311311nnnnnn−−+===−++++uruururuururuur，∴124sin,5nn=uruur

，即二面角11CBAC−−的正弦值为45．………………12分19．解：（1）设M（x，y），由题意得：22(2)23332xyx++=+，……………2分即22243(2)()32xyx++=+，化简得E：22

13xy−=．……………………4分（2）①若1l的斜率不存在，则233MN=，(4,0)R，所以△RMN面积为12362323S==．………………………………5分②若1l的斜率存在，且不为0，设为1k，则11:(2)lykx=+，代入22:13xEy−=中并化

简得：2222111(13)121230kxkxk−−−−=，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则2211212123(1)113kMNxxkk+=−+=−，……7分211:(2)lyxk=−+，即120xky++=，所以212211636

3611kFRkk=−=++，且21631k+，得213k，………………………………………………9分所以△RMN面积为221121123(1)1231kkSk+=−，…………………………10分令2131

(8,)kt−=+，则2(4)(1)6354923123ttSttt++==++，所以S的最小值为23，即△RMN面积的取值范围为23．…………12分20．解：（1）因为甲同学在第一次被抽到的概率是303505=，……………

………1分第二次被抽到的概率也是35，且两次相互独立，所以3~(2,)5YB，………3分所以36()255EY==．……………………………………………………4分（2）设两次都被抽到的人数的个数为随机变量X，则1030X≤≤（XN），…………………………………………………6分则3030505

02030305050()nnnnCCCPXnCC−−−==，…………………………………………８分令303050502050!(50)!20!()(50)!!(30)!20!(30)!(10)!nnnnnfnCCCnnnn

n−−−−==−−−−250![(30)!]!(10)!nnn=−−，所以22(1)50![(30)!]!(10)!()[(29)!](1)!(9)!50!fnnnnfnnnn+−−=−+−2(30)(1)(9)nnn−=+−，若2(30)(1)(9)909520nnnn−−+−=

−，则17n≤，…………………11分所以当17n≤时，(1)()fnfn+；当18n≥时，(1)()fnfn+，所以当18n=时，()fn最大，即(18)PX=最大，所以参加打扫图书馆的人数最有可能是18人.…………………………12分21解：（1）当a＝﹣

时，f（x）＝﹣，x＞0，f′（x）＝﹣＝，∴函数f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由f（1）≤，得0＜a≤，当0＜a≤时，f（x）≤，等价于﹣﹣2lnx≥0，令t＝，则t≥2，设g（t）＝t2﹣2t﹣2lnx，t≥2，则g（t）＝（

t﹣）2﹣﹣2lnx，（i）当x∈[，+∞）时，≤2，则g（x）≥g（2）＝8﹣2lnx，记p（x）＝4﹣2﹣lnx，x≥，则p′（x）＝﹣＝＝，列表讨论：x（，1）1（1，+∞）p′（x）﹣0+P（x）p（）单调递减极小值p（1）单调递增∴p（x）≥p（

1）＝0，∴g（t）≥g（2＝2p（x）≥0．（ii）当x∈[）时，g（t）≥g（）＝，令q（x）＝2lnx+（x+1），x∈[，]，则q′（x）＝+1＞0，故q（x）在[，]上单调递增，∴q（x）≤q（），由（i）得q（）＝﹣p（）＜﹣p（1）＝0，∴q（x）＜0，∴g（t）≥g（）＝﹣＞

0，由（i）（ii）知对任意x∈[，+∞），t∈[2，+∞），g（t）≥0，即对任意x∈[，+∞），均有f（x）≤，综上所述，所求的a的取值范围是（0，]．22解：（1）曲线C和参数方程为，∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ

＝2sinθ．将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，∴AB的极坐标方程为．∴

直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，∴S△ABO＝＝．23解：（1）由题意知，原不等式等价于或或,解得x≤﹣8或ϕ或x≥2，综上所述，不等式f（x）≥|x﹣1|的解集为

（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）．（2）当m＝﹣1时，则g（x）＝|2x+2|﹣5+|x+1|＝3|x+1|﹣5，此时g（x）的图象与x轴围成一个三角形，满足题意；当m＞﹣1时，，则函数g（x）在（﹣∞，﹣1

）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，要使函数g（x）的图象与x轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数m的取值范围为．